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1、熱學(xué)第0章 引言一 、熱物理學(xué) 熱物理學(xué)是研究熱運動的規(guī)律及其對物質(zhì)宏觀性質(zhì) 的影響、以及與物質(zhì)其它各種運動形式之間相互 轉(zhuǎn)化的規(guī)律的物理學(xué)分支。二、研究對象 1. 研究對象：熱運動規(guī)律、 物質(zhì)宏觀性質(zhì) 。 物質(zhì)：氣、液、固、等離子體、高壓、粉塵等狀態(tài)的， 性質(zhì)：力、熱、電磁、光、等性質(zhì)。 2. 研究對象的特點： 由大量微觀粒子組成的體系 可推廣到微觀三、研究方法及其特點1. 宏觀方法（熱力學(xué)方法）： 根據(jù)大量事實，應(yīng)用數(shù)學(xué)工具，通過邏輯推理和 演繹，分析總結(jié)歸納出確定的、可觀測的宏觀量 之間的關(guān)系及其變化規(guī)律; 狀態(tài)方程、 熱力學(xué)定律 特點：（1）唯象， （2）可靠、普適2. 微觀方法（統(tǒng)計

2、物理方法）： 根據(jù)物質(zhì)微觀結(jié)構(gòu)的“原子分子”學(xué)說， 從微觀層次闡述物質(zhì)宏觀性質(zhì)的物理本質(zhì)。 特點：(1) 微觀、基本， (2) 近受限于對微觀結(jié)構(gòu)的認(rèn)識及計算能力.3. 宏觀方法和微觀方法的關(guān)系(1) 宏觀量和微觀量之間的關(guān)系 宏觀量是相應(yīng)的微觀量的統(tǒng)計平均值 . 例：氣體的壓強 單位面積上的正壓力; 微觀上：單位時間內(nèi)作用在單位面積上的沖量， 千變?nèi)f化 ! 宏觀上：有確定的測量值。(2) 宏觀方法和微觀方法之間的關(guān)系 兩種方法相輔相成、互相補充。四、熱物理學(xué)的特點1. 統(tǒng)計規(guī)律性 微觀無規(guī)運動 宏觀確定可測。2. 涉及物質(zhì)的冷熱程度 引入溫度、熱量、等新物理量和新概念。 概念新、方法新 極大

3、地提升我們的能力！ 難度較大，充滿挑戰(zhàn)！20?年?學(xué)期“熱學(xué)”教學(xué)計劃進(jìn)程 章 次 內(nèi) 容 學(xué)時數(shù) 第一章 平衡態(tài)與狀態(tài)方程 7 第二章 平衡態(tài)系統(tǒng)的統(tǒng)計規(guī)律 9 第三章 近平衡態(tài)中的輸運過程 4 第四章 熱力學(xué)第一定律 5 第五章 熱力學(xué)第二定律和第三定律 9 第六章 液體性質(zhì)的初步討論 6 第七章 單元系的復(fù)相平衡與相變 820?年?學(xué)期“熱學(xué)”教材和主要參考書1. 劉玉鑫， 熱 學(xué) （北京大學(xué)出版社，2016年）2. 秦允豪， 熱 學(xué) （南大出版社、高教出版社）3. 趙凱華、等， 熱 學(xué) （高等教育出版社）4. 包科達(dá)， 熱物理學(xué)基礎(chǔ) （高等教育出版社）5. 李 椿、等，熱 學(xué) （人教社

4、、高等教育出版社）6. 李洪芳， 熱 學(xué) （高等教育出版社）7. 常樹人， 熱 學(xué) （南開大學(xué)出版社）8. V.D. Schroeder, An Introduction to Thermal Physics (Addison Wesley Longman, 2000)第一章 平衡態(tài)與狀態(tài)方程1.1. 物質(zhì)結(jié)構(gòu)的基本圖像一、概念的建立（）樸素的原子論觀點（）經(jīng)典的原子模型 （）道爾頓的原子說（）量子原子模型二、物質(zhì)結(jié)構(gòu)的原子分子學(xué)說的基本內(nèi)容1. 組成：所有“物質(zhì)”都由“分子、原子”組成 分子: 組成物質(zhì)的保持物質(zhì)化學(xué)性質(zhì)的最小單元， 如：H2O, CO2, N2, 原子: 組成單質(zhì)和化合物的

5、基本單元, 它由原子核 和電子組成. 原子核由強子組成; 強子由夸克和膠子組成。 在討論宏觀物質(zhì)熱運動的層次上，常把分子看作是基本單元。2. 物質(zhì)“分子”處于不停頓的無規(guī)則運動狀態(tài)(1) 物質(zhì)“分子”運動的概念概念表述： 物質(zhì)“分子”都在不停頓地作無規(guī)則運動。 實例：空氣中懸浮顆粒的運動， 整體：隨風(fēng)而動， 熱運動：各個方向、雜亂無章。典型特征： 與整體、定向運動不同，其質(zhì)心動量為； 如：布朗運動。 熱運動是宏觀的，不對某個具體“分子”而言。2. 物質(zhì)“分子”處于不停頓的無規(guī)則運動狀態(tài)(2) 布朗運動的發(fā)現(xiàn)和本質(zhì)發(fā)現(xiàn)： 1827 年 R. Brown本質(zhì)： 布朗運動是布朗粒子在其周圍介質(zhì)“分子

6、” 無規(guī)則撞擊下所作的無規(guī)則跳動。 荷載布朗粒子的介質(zhì)的“分子”在不停頓 地?zé)o規(guī)則運動。(3) 布朗運動的定量描述 （可放在第三章） 理論描述Einstein(1905), Smoluchowski(1906), Langevin(1908) 記驅(qū)使布朗粒子無規(guī)則運動的無序策動力為 ， 斯托克斯定律：流體阻力 ， 布朗粒子運動方程為（Langevin Equation） 對直角坐標(biāo)系中任一方向， ， 則有因為等號兩邊都乘以 s 后， Langivin 方程可表述為 上述兩式聯(lián)立則有 取平均得：因為又因為那么，取平均的Langevin 方程可表述為 解之得： 因為 kg， kg/(ms)， 則，

7、只要s,指數(shù)衰減的項即趨于。 于是， 其中 稱為Einstein擴(kuò)散系數(shù)。 實驗檢驗1908年J.B. Perrin 藤黃粉末實驗 (1926年諾獎)，測量結(jié)果如右圖。 實驗結(jié)果與理論描述的符合充分 說明，無規(guī)運動的假設(shè)正確， 近期應(yīng)用廣泛 荷載布朗粒子的介質(zhì)的“分子”在不停頓地?zé)o規(guī)則運動。3. 物質(zhì)“分子”之間存在相互作用(1)（宏觀系統(tǒng)的）分子之間存在相互作用力 固體、液體很難壓縮 分子之間存在排斥力。（自旋相關(guān)） 氣體冷卻或壓縮可以形成液體 分子之間存在吸引力。（庫侖力、等）(2) 常見的分子力的形式 通常由位勢（）形式表示 經(jīng)典力學(xué)原理（哈密頓方程） 定義 則常見的分子之間的相互作用的

8、形式有：1 剛球勢2 蘇則朗勢3 林納德瓊斯勢 （王守竟） 一般形式 (3) 微觀系統(tǒng)的組分粒子之間也有相互作用1 組成原子的原子核與電子之間的作用 主要是庫倫作用，自旋-軌道作用也有貢獻(xiàn)。 （原子物理課程中專題討論） 2 組成原子核的核子（嚴(yán)格的, 強子）之間的作用 很復(fù)雜，有有心力成分（如右圖） 也有非有心力成分， 自旋-軌道作用尤其重要。 （原子核物理或原子核理論課程中專題討論） 3 組成強子的夸克之間的作用 由膠子傳遞。很復(fù)雜（高能物理領(lǐng)域的重要課題之一） 1.2 熱力學(xué)系統(tǒng)及其狀態(tài)參量 一、熱力學(xué)系統(tǒng)1. 定義：作為研究對象的在給定范圍內(nèi)由大量微觀 粒子組成的物體（或體系）。 與之相

9、對，能夠?qū)λ芯康南到y(tǒng)發(fā)生相互作用的 其它物體（或體系）稱為外界 (或環(huán)境)。 2. 分類： (1) 根據(jù)系統(tǒng)與外界的關(guān)系，可分為 開放系, 絕熱系, 封閉系, 孤立系。 (2) 根據(jù)系統(tǒng)的組成成分，可分為 單元系， 多元系。 (3) 根據(jù)系統(tǒng)組成的均勻性，可分為 單相系 (均勻系)， 復(fù)相系 (非均勻系)。 二、狀態(tài)參量1. 定義： 確定熱力學(xué)系統(tǒng)狀態(tài)的物理量稱為系統(tǒng)的狀態(tài)參量。2. 分類： (1) 幾何狀態(tài)參量， 如：長度、面積、體積。 (2) 力學(xué)狀態(tài)參量， 如：力、壓強。 (3) 電磁狀態(tài)參量， 如：電場強度、電極化強度、 磁場強度、磁化強度。 (4) 化學(xué)狀態(tài)參量， 如：物質(zhì)的量 m

10、ol 。 (5) 熱學(xué)狀態(tài)參量， 系統(tǒng)的冷熱程度 溫度 。1.3. 平衡態(tài)的概念一、引入平衡態(tài)概念的必要性 只有在系統(tǒng)處于平衡態(tài)的條件下，狀態(tài)參量才有 確定的數(shù)值和意義。二、定義(1) 平衡態(tài)：在沒有外界影響的情況下，系統(tǒng)各部分 的宏觀性質(zhì)長時期不發(fā)生變化的狀態(tài)。(2) 非平衡態(tài)：在沒有外界影響的情況下，系統(tǒng)各部分 的宏觀性質(zhì)可以自發(fā)地發(fā)生變化的狀態(tài)。(3) 馳豫時間：熱力學(xué)系統(tǒng)由其初始狀態(tài)達(dá)到平衡態(tài) 所經(jīng)歷的時間。(4) 穩(wěn)定態(tài): 外界影響下, 宏觀性質(zhì)長期保持不變的狀態(tài)。三、特 點1. 熱動平衡 宏觀性質(zhì)長時期保持不變 相應(yīng)的統(tǒng)計平均值保持不變; 如: 壓強, 精細(xì)測量隨時間略有變化； 漲

11、落幅度 。2. 理想化概念 實際不受外界影響是不可能的。 條件：馳豫時間 TB , p理 p范 , 當(dāng) T p范 。 五、理想氣體的壓強、溫度和狀態(tài)方程 的微觀機制1. 理想氣體的微觀模型 理想氣體的微觀模型包括以下四點： (1) 質(zhì)點假設(shè) 組成理想氣體的粒子都是質(zhì)點 m , 并遵從牛頓力學(xué)規(guī)律。 例：標(biāo)準(zhǔn)狀況下， N = NA = 6.021023, V0 = 22.410-3 m3, 粒子間平均間距 而分子半徑近似為 即有 。質(zhì)點假設(shè)是很好的近似。(2) 除碰撞時，粒子間無相互作用 ， ， . (3) 粒子與粒子之間及粒子與容器壁之間的碰撞 都是彈性碰撞。 (4) 各向同性 組成理想氣體的

12、粒子的運動完全是無規(guī)則的、 各向同性的。有細(xì)致平衡原理： 達(dá)到平衡態(tài)的氣體中能實現(xiàn)的任一正向的 元過程，必定有一逆元過程與之平衡。2. 理想氣體的壓強公式 (1) 定義 壓強：單位時間內(nèi)作用在單位面積上的沖量。 熱運動、 相互作用, 兩方面因素決定。 (2) 理想氣體的壓強 沖量：動量的改變量，傳遞的動量（流） 則：先求出在 t 時間內(nèi)通過面元 S 的動量， 然后對 t 和 S 求平均，即可確定壓強。 在氣體中取面元 S 如圖示， 取一組速度為 (大小、方向都相同) 的粒子， 則只有在底面積為 S、 高為 的柱體內(nèi)的粒子 可以對面元 S 施以作用。傳遞的總動量 = 每個粒子傳遞的動量 粒子數(shù)

13、記該組粒子的數(shù)密度為 ni， t 時間內(nèi)經(jīng) S 傳遞的動量為 ， 對 S 施加的力為 ， 所以 。 因為通過S 傳遞的動量為左右兩方向疊加后的 凈動量， 而則因為 組成氣體的粒子的速度各向同性，即有 則亦即有 所以.則. 在非相對論情況下， 在極端相對論情況下， 現(xiàn)代物理中, 壓強與平均動能間的關(guān)系 稱為系統(tǒng)的狀態(tài)方程。 ，.，例，致密強子物質(zhì)的EOS如右圖示。3. 理想氣體的溫度與狀態(tài)方程(1) 理想氣體狀態(tài)方程的另一種表述 實驗規(guī)律 , 即有 . 記 ， 則有 , 其中 稱為玻爾茲曼常量。 (2) 溫度的統(tǒng)計意義和微觀本質(zhì)比較理想氣體狀態(tài)方程 和 知， 都 動能的平均值（無規(guī)則運動劇烈程度

14、的度量）。 非相對論性理想氣體的溫度 , 相對論性理想氣體的溫度 .推而廣之，知， 溫度是組成系統(tǒng)的微觀粒子無規(guī)則運動 劇烈程度的度量。輔助說明： V, N一定的氣體，由 , 考慮質(zhì)量分別為 M、m 的兩粒子的對心碰撞，取原運動方向為 x 軸，則 M、m 的速度變化可表示為 動量守恒 , 能量守恒 .由之可解得 ， .于是 取平均則得 碰撞使得原能量較大的粒子的動能減小、原能量較小的粒子的能量增加，最后趨于相同。傳熱使得原高溫部分降溫、原低溫部分升溫，溫度差逐漸減小，最后趨于同溫。兩過程完全類似，結(jié)果也應(yīng)有 。例題：加工真空管抽氣抽到最后階段時，應(yīng)將管內(nèi)的金屬絲加熱后再抽 真空，原因是金屬表面

15、上吸附的單原子層厚度的氣體分子當(dāng)金屬受熱時便釋放出來。設(shè)真空管的金屬絲由半徑為0.02mm、長600mm的鉑絲繞制而成，而每個氣體分子所占的面積大約為910-16cm2, 真空管內(nèi)的容積為25cm3，當(dāng)鉑絲加熱至1000oC時，所吸附的氣體分子就從鉑絲上釋放出來散布于整個管內(nèi)，如果這些氣體不抽出，試問由之產(chǎn)生的壓強是多大？分析 已知 T、等，求 p, 需知 n 或 。解：依題意，當(dāng)吸附在鉑絲上的氣體分子都釋放出來時，有 ， 由理想氣體狀態(tài)方程 , 代入已知數(shù)據(jù)得， 所以，這些吸附在鉑絲上的氣體分子引起的壓強約為 5.81310-6 atm . . . 則得 1.6. 狀態(tài)方程的一般形式及其確定

16、一、一些系統(tǒng)的狀態(tài)方程 (1) 氣體 p, V, T, 近似 (2) 表面 ，A, T, (3) 細(xì)絲 F, L, T, 其中 (4) 電介質(zhì) , (5) 磁介質(zhì) ， （順磁）二、一般形式 記力學(xué)狀態(tài)參量為 Yi , 幾何狀態(tài)參量為 Xi, 則有 三、(實驗上) 確定狀態(tài)方程的一般方法(1) 描述系統(tǒng)狀態(tài)“變化性質(zhì)”的物理量 1 體膨脹系數(shù) (Cubic Expansion Coefficient) 壓強保持不變條件下，溫度升高1K引起的系統(tǒng)體積變化的百分率稱為系統(tǒng)的體膨脹系數(shù)（或等壓膨脹系數(shù), C. of Isobaric Expansion） 2 等體壓強系數(shù) (Isochoric Pre

17、ssure C.) 體積保持不變條件下，溫度升高1K引起的系統(tǒng)壓強變化的百分率稱為系統(tǒng)的等體壓強系數(shù)（或相對壓力系數(shù)） 3 等溫壓縮系數(shù) (Isothermal Compression C.) 溫度保持不變的條件下，增加單位壓強引起的系統(tǒng) 體積減小的百分率稱為系統(tǒng)的等溫壓縮系數(shù)。即有 為強調(diào)溫度保持不變的條件， 常將之表述為 。實驗上，還常用絕熱壓縮系數(shù) (Adiabatic C. C. ) 4 體膨脹系數(shù)、等體壓強系數(shù)及等溫壓縮系數(shù) 之間的關(guān)系 體膨脹系數(shù)、等體壓強系數(shù)及等溫壓縮系數(shù)之間有關(guān)系證明： 那么, 對 p = const.情況, dp=0, 代入 的定義, 有 ， 所以則有即有實例

18、: 理想氣體 顯然有上述關(guān)系。以V、T 為狀態(tài)參量, p 為態(tài)函數(shù), 我們有 ，5 常見物態(tài)的體膨脹系數(shù)、等體壓強系數(shù)及等溫 壓縮系數(shù) 氣體： ， ， for ideal gas at the standard condition, they are 3.6610-3 K-1 , 3.6610-3 K-1 , 1 atm-1 . 液體： , , for H2O，they are 1.810-4 K-1 , 46.3 K-1 , 3.910-6 atm-1 . 固體： , , for Cu, they are 5.010-3 K-1 , 6.5103 K-1 , 7.610-7 atm-1 .

19、工程中必須考慮這些性質(zhì)！基礎(chǔ)研究至關(guān)重要！ 不考慮固體的很大在鋼軌間留出足夠縫隙導(dǎo)致問題的照片(2) 確定狀態(tài)方程一般形式的 (唯象) 方法 狀態(tài)方程 “態(tài)函數(shù)” , 由 得， 即有 由 得， 即有 解此二方程之一，即得狀態(tài)方程。例1、對一物質(zhì)的量為的系統(tǒng)，實驗測得， 其中p、V分別為系統(tǒng)的壓強和體積，R 和 a 都是常量，試確定系統(tǒng)的狀態(tài)方程。解：假設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程可以表示為 ， 將實驗測定的 和 與狀態(tài)參量的關(guān)系代入， 即 也就是 積分得 整理得, 該系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 . 則有則得四、(理論上) 確定狀態(tài)方程的一般方法 推廣初級微觀理論對理想氣體系統(tǒng)的壓強的結(jié)論， 任一系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其壓

20、強與能量密度間 的函數(shù)關(guān)系。 確定方案： 其中： ， S為粒子的傳播子， 為粒子的自能， S0為自由粒子的傳播子。 簡單實例（第五章將具體討論）1 由內(nèi)能確定狀態(tài)方程 由 即 與 TdS 方程 聯(lián)立, 則得 由U = U(T, V) 知， 比較上述兩式則得 . 解此微分方程(與 聯(lián)立)可得狀態(tài)方程。 2 由焓確定狀態(tài)方程 由 即 與 TdS 方程 聯(lián)立, 則得 由 H = H(T, p) 知， 比較上述兩式則得 .解此微分方程(與 聯(lián)立)可得狀態(tài)方程。 第二章 平衡態(tài)系統(tǒng)的統(tǒng)計分布律2.1. 統(tǒng)計規(guī)律與分布函數(shù)的概念0、問題的提出a. 日常生活 同學(xué)們的成績， 經(jīng)濟(jì)活動， 等等。b. 第一章討

21、論過的重要物理量 壓強、溫度、等等。 完全不同于經(jīng)典力學(xué)中的決定論規(guī)律 ！2.1. 統(tǒng)計規(guī)律與分布函數(shù)的概念一、事件及其概率1、事件： 隨機實驗中，對一次實驗可能出現(xiàn) 也可能不出現(xiàn)，而在大量重復(fù)實驗中 具有某種規(guī)律性的事情稱為事件。2、概率：在一定條件下，一系列可能發(fā)生的事件 組合中, 發(fā)生某一事件的機會或可能性。 對事件組合 Ai (i=1,2,N)，事件總數(shù) 為 N, 出現(xiàn)事件 Ai 的次數(shù)為 N(Ai)， 則事件 Ai 的概率為 。3、事件的分類 (1) 必然事件： 如果 P(Ai) = 1, 則稱 Ai 為必然事件。 (2) 不可能事件： 如果 P(Ai) = 0, 則稱 Ai 為不可

22、能事件。 (3) 隨機事件： 如果 0 P(Ai) 1, 則稱 Ai 為隨機事件。4、隨機事件的分類及相應(yīng)的概率 (1) 互不相容事件： 如果一事件發(fā)生時，其它事件不可能同時發(fā)生， 則稱這樣 的事件組合為互不相容事件。 例：擲硬幣，面值面向上時，裝飾面不可能再向上。 對互不相容事件Ai 和 Aj， P(Ai+Aj)=P(Ai)+P(Aj) . (2) 獨立事件： 如果一事件的發(fā)生不因其它事件是否發(fā)生而受到 影響, 則稱這樣的事件組合為獨立事件。 對獨立事件Ai 和 Aj， P(AiAj)=P(Ai)P(Aj) . 例：擲硬幣，第二次拋擲時出現(xiàn)裝飾面向上，不受第一次是否 向上的影響，連續(xù)兩次出現(xiàn)

23、裝飾面向上的概率為二、統(tǒng)計規(guī)律 微觀上千變?nèi)f化、完全偶然，宏觀上卻有一定 數(shù)值和規(guī)律的現(xiàn)象稱為統(tǒng)計規(guī)律。 如：理想氣體的壓強、溫度、等等。三、實例：伽爾頓板實驗 裝置：如右圖示。 過程： （重復(fù)）兩步： (1) 單個小球下落， (2) 多個小球“同時”下落。 結(jié)果：第一步，完全隨機。 第二步，有規(guī)律分布。四、隨機變量與分布函數(shù)1、隨機變量 (1) 定義：對一系列事件，如果一些量的數(shù)值 是否出現(xiàn)可以表示其中 某事件是否發(fā)生，則這些量稱為隨機變量。 (2) 分類： 2、分立隨機變量及其概率分布 (1) 分立隨機變量：只能取一些不連續(xù)的分立數(shù)值的隨機變量。 (2) 分立隨機變量的概率分布： 對分立隨

24、機變量xi，相應(yīng)于某隨機變量 xi 的概率 為 P(xi), 其概率分布為 。 (3) 分立隨機變量的平均值及多次矩 平均值 對分立隨機變量 xi 和相應(yīng)的概率分布 P(xi), 這些 隨機變量的平均值為 多次矩 稱為隨機變量 x 的 n 次矩。一次矩 ；二次矩 .因為二次矩 ,所以由二次矩可得到較多的概率分布信息。二次矩又稱為色散。且常考慮平方的平均值或其平方根（方均根）。還考慮三次矩、四次矩，分別稱為扭度(skewness)、峭度(kurtosis)。、連續(xù)隨機變量及其分布函數(shù)的概念(1) 連續(xù)隨機變量：可連續(xù)變化的隨機變量稱為連續(xù)隨機變量。 如：經(jīng)典物理中的位矢、速度、能量、等。 (2)

25、 分布函數(shù)：以伽爾頓板實驗為例, 記粒子總數(shù)為 N，i 為小槽的序號， Ni 為落入第 i 個小槽的粒子數(shù)，Ai 為落入第 i 個小槽 的粒子所占的體積（亦即看到的面積）， 其寬度為 xi，高度為 hi，則 . 那么，粒子落入第 i 個小槽的概率為.細(xì)化使 ，則有 . 令 則 . 這樣定義的函數(shù) f(x) 即稱為分布函數(shù)。 由 知 即分布函數(shù)為隨機變量 x 處單位區(qū)間內(nèi)的概率， 所以 分布函數(shù)又稱為概率密度。(3) 概率與平均值 對連續(xù)隨機變量， 為隨機變量取 x x+dx 區(qū)間內(nèi)的數(shù)值的概率。 隨機變量 x 的平均值為 對力學(xué)量 G = G(x), 則有 ,4、分布函數(shù)的性質(zhì)(1) 歸一性

26、因為分布函數(shù)即概率密度， , 所以 . (2) 物理量守恒 , . 五、一些常見的分布1、高斯分布 (1) 無規(guī)行走 質(zhì)點自原點出發(fā)，在O-xy平面內(nèi)無規(guī)行走，步長不限， 取向等概率，且后一步與前一步無關(guān)，經(jīng) N 步后， 質(zhì)點出現(xiàn)在位置 (x, y) 附近 dxdy 面元內(nèi)的概率為 。 “概率”的意義： 做多次無規(guī)行走實驗，走 N 步后，質(zhì)點落在dxdy 內(nèi)的次數(shù)占總實驗次數(shù)的比率。 大量質(zhì)點同時從原點出發(fā)作無規(guī)行走，走 N 步后, 落在 dxdy 內(nèi)的質(zhì)點數(shù)占總質(zhì)點數(shù)的比率。 所以, f(x, y) 即分布函數(shù)。(2) 分布函數(shù) f(x, y) 的確定 因為每一步取向都等概率, 無優(yōu)先方向,

27、 當(dāng) N 很大時, f(x, y) 在 O-xy 平面內(nèi)關(guān)于原點圓對稱, 并且, x、y方向相互獨立, 因圓環(huán)面積隨x, y 增加而增大, 則分布函數(shù)沿徑向減小, 即有 所以 其中 C 須由歸一化條件確定。(3) 高斯分布及其性質(zhì) 表述： . 性質(zhì): ， 。 標(biāo)準(zhǔn)形式:2、二項式分布(1) 實例：體積為 V 的容器由隔板分為左右兩部分， 左邊有 n1 個粒子，右邊有n2個粒子，n1 + n2 = N. 顯然，共有 N + 1 種宏觀分布方式： N, 0, N-1, 1, , 1, N-1, 0, N . 記一個粒子在左右兩邊的概率分別為 p、q, 則 n1個粒子在左邊, n2個粒子在右邊的概率

28、為 又，從 N 中取出 n1個分子的方式為 所以出現(xiàn)宏觀態(tài)n1, n2的概率，即二項式分布為 。 (2) 性質(zhì)： 歸一 , 平均值: 漲落： 3、近獨立粒子系統(tǒng)的最概然分布 本章重點討論內(nèi)容。2.2. 麥克斯韋速度分布律一、速度空間1. 表述 .2. 不同坐標(biāo)系中表述間的關(guān)系(1) 分量 , , .(2) 體積元 如右圖。二、麥克斯韋速度分布律1. 表述2. 導(dǎo)出(1) 速度各方向獨立 分布函數(shù)在三個方向互相獨立 , .(2) 速度各向同性，宏觀上靜止 分布函數(shù)僅與速度的大小有關(guān)，與其方向無關(guān), 即有： . (3) 試探解 由上式知： ， 假設(shè)有解： 即有 則(4) 確定待定系數(shù) 物理條件 歸

29、一化 能量守恒 ., 數(shù)學(xué)工具：高斯積分公式 待定系數(shù)滿足的方程及其求解由歸一化條件得： 由能量守恒得： 兩式相除 得： 于是有 ， . 所以 .3. 性質(zhì)(1) 有極大值， 隨 增大， 減小。 (2) 隨 T 升高， 變化漸緩。(3) 隨 m 增大， 變化加劇。4. 推論：速率分布律因為 , 所以性質(zhì)如圖示5. 實驗檢驗 著名實驗有：Stern實驗(1920)、葛正權(quán)實驗(1934)、 Miller-Kusch實驗(1955)、等等。 M-K實驗裝置如圖 實驗時, 鉈蒸汽經(jīng)狹縫 S 進(jìn)入圓柱 R, 經(jīng)柱上的斜槽穿出圓柱后， 由探測器 D 測量到。 記圓柱長度為 L, 以角速度 轉(zhuǎn)動， 鉈分子

30、進(jìn)入和穿出圓柱處兩半徑 的夾角為 ， 所以 理論結(jié)果與實驗結(jié)果符合。 . . M-K實驗證明的分布與麥?zhǔn)戏植奸g的關(guān)系 記蒸氣源中各種速度“分子”的總數(shù)密度為 n， 蒸氣源器壁上小孔的面積為 dS， 以 x 軸垂直小孔建立坐標(biāo)系， 則蒸氣源內(nèi)單位體積中速度介于 的“分子”數(shù)為 時間 dt 內(nèi), 可以由小孔穿出形成“分子”束的“分子”數(shù)為 以球坐標(biāo)表示，則在 區(qū)間內(nèi) 的“分子”都可以在 dt 時間內(nèi)穿過小孔， 所以在 dt 時間內(nèi)，由蒸氣源中速率介于 區(qū)間內(nèi)的“分子”形成的“分子”束的“分子” 數(shù)為即: dt 時間內(nèi)形成的“分子”束中速率介于 區(qū)間內(nèi)的“分子”數(shù)為 dt 時間內(nèi)“分子”束中的“分子

31、”總數(shù)為 所以“分子”束中“分子”按速率的分布律為6. 應(yīng)用舉例(1) 最概然速率 vp 定義： 條件： 二階導(dǎo)數(shù) 0. 因為 則有 解之得 (無意義、舍去）， 所以最概然速率為(2) 平均速率 所以，氣體“分子”的平均速率為(3) 方均根速率vrms 計算 因為 所以 討論 由速度分布律得到的 vrms 與由溫度的統(tǒng)計解釋得到的結(jié)果一致。 三種速率間的關(guān)系 常見氣體的方均根速率 環(huán)境保護(hù)至關(guān)重要 力學(xué) , 于是 . 其它星球周圍不存在與地球周圍 相同的大氣，環(huán)境保護(hù)至關(guān)重要！ (4) 氣體“分子”碰壁數(shù)與瀉流速率 瀉流：對面積為dS的小孔，當(dāng)dS的線度小于粒子 的平均自由程時，粒子束流從小孔

32、dS射出的 現(xiàn)象稱為瀉流。 氣體“分子”碰壁數(shù)率與瀉流速率 如圖，dt 時間內(nèi)碰到器壁 dS 上的粒子數(shù)為 所以 因為 則 所以 , 氣體 “分子”碰壁數(shù)率為 討論 瀉流速率及碰壁數(shù)率的系數(shù)與直觀結(jié)果不同 直觀上, 空間為三維, 上述系數(shù)應(yīng)為 。 事實上, 不僅速度垂直于小孔的粒子可以通過, 傾斜的也能通過。 應(yīng)用：同位素分離技術(shù) 原理： 質(zhì)量 m 越小，越易瀉流出。.例題：試確定在“分子”束實驗中從蒸氣源小孔中射出的束流 中“分子”的最概然速率、平均速率和方均根速率。解：因為那么，由極值條件 可得解之則得“分子”束中“分子”的最概然速率為 . 直接積分則得， 即有 2.3. 麥克斯韋玻爾茲曼

33、分布律一、重力場中微粒按高度的等溫分布律 如圖示，對高度 z 附近、厚度為 dz、面積為 dS 的區(qū)間中的氣體， 平衡時: T固定 于是有 , 解之得 . 代入狀態(tài)方程得 . 等溫氣壓公式 因為小框中粒子的數(shù)目為 則 底面積為 dS 的柱體中的微?？倲?shù)為 所以，重力場中微粒按高度的分布律為二、玻爾茲曼密度分布律 根據(jù)重力場中微粒按高度的分布 中的 為重力勢能， 玻爾茲曼將之推廣到任意外場 U(r)， 得到 此即 Boltzmann 密度分布律。 例如：回轉(zhuǎn)體中的微粒 因為 則 ， 所以，龍卷風(fēng)、臺風(fēng)、颶風(fēng)等有眼，呈漏斗狀。三、麥克斯韋玻爾茲曼分布律 Maxwell 分布律的指數(shù)中 即 Bolt

34、zmann密度分布律的指數(shù)中 即有動能與勢能為獨立事件，兩分布直接相乘，則得記 為包括各種形式的動能和各種形式的 勢能的總能量，即有麥克斯韋玻爾茲曼分布律該分布適用于任意經(jīng)典熱力學(xué)系統(tǒng)。 2.4. 能量均分定理與熱容量一、分子的自由度 自由度：決定物體運動狀態(tài)所需要的獨立坐標(biāo)。 分子有一定的構(gòu)形，所以有一定的自由度。 如：單原子分子，有一定的體積， 剛體近似：有 6 個自由度；質(zhì)點近似：有 3 個自由度。 雙原子分子，如：O2, HCl, . 有6個自由度：3個平動，2個轉(zhuǎn)動，1個振動。 三原子分子，如： H2O, 有9個自由度：3個平動，3個轉(zhuǎn)動，3個振動。 一般地，n 原子分子有 3n 個

35、自由度： 3個平動、3個轉(zhuǎn)動、（3n 6）個振動。二、能量均分定理1. 表述： 在平衡態(tài)下，非相對論性粒子的每一個自由 度都具有平均能量 。 對 t 個平動自由度、r 個轉(zhuǎn)動自由度、s 個振動 自由度的粒子， 其平均能量為2. 論證 理想氣體分子平動能： 轉(zhuǎn)動能： 振動能： 由于“微觀”上能量都正比于“自由度”的平方， 即 每一個轉(zhuǎn)動、振動自由度的平均能量應(yīng)和一個 平動自由度的平均能量相同。 因此，每一轉(zhuǎn)動自由度有平均能量 ， 每一振動自由度有平均動能 ， 和平均勢能 。三、理想氣體的內(nèi)能和熱容1. 理想氣體的內(nèi)能 內(nèi)能：組成系統(tǒng)的所有粒子的無規(guī)則熱運動的 動能和它們之間的相互作用勢能之和稱

36、為該系統(tǒng)的內(nèi)能。 理想氣體：只有動能、“沒有”勢能， 質(zhì)量為 M 的理想氣體的摩爾數(shù)為 ， 包含的分子數(shù)目為 根據(jù)能量均分定理，內(nèi)能為 例：1mol 非相對論性理想氣體， 單原子分子： 剛性雙原子分子： 非剛性雙原子分子： 剛性多原子分子：2. 非相對論性理想氣體的定體熱容 理論 , 實驗：一些常見氣體在0oC下的摩爾定體熱容如下：單原子分子氣體 He Ne Ar Kr Xe單原子N 1.49 1.55 1.50 1.47 1.51 1.49雙原子分子氣體 H2 O2 N2 CO NO Cl2 2.53 2.55 2.49 2.49 2.57 3.02多原子分子氣體 CO2 H2O CH4 C

37、2H4 C3H6 NH3 3.24 3.01 3.16 4.01 6.17 3.423. 理論與實驗之間的矛盾 理論表明，理想氣體的熱容與溫度無關(guān)。 實驗測量表明，氣體的熱容與溫度有關(guān)。 對H2的觀測結(jié)果如右圖示。 理論與實驗比較知， 二者在一定溫區(qū)內(nèi)一致。 T 升高 ，自由度逐漸激發(fā)： 低溫時，只有平動 ; 常溫時，開始有轉(zhuǎn)動 ; 高溫時，才有振動。 經(jīng)典物理中，能量連續(xù)變化，不會出現(xiàn)這種離散激發(fā)。 有必要發(fā)展新的理論：量子理論 ！ 黑體輻射的紫外災(zāi)難也表明：必須發(fā)展量子理論 ！在量子理論中，所以有不同溫區(qū)中自由度數(shù)不同的現(xiàn)象。例題：在溫度不太高的情況下，將質(zhì)量為 2.0g 的 CO2氣體與

38、 質(zhì)量為 3.0g 的 N2 氣體混合，試確定混合物的摩爾定體熱容。解: 記CO2的質(zhì)量為M1, 比定體熱容為cV1, 摩爾定體熱容為CVm1， N2的質(zhì)量為M2, 比定體熱容為cV2，摩爾定體熱容為CVm2， 則混合物的比定體熱容為 摩爾定體熱容為 因物質(zhì)的量不變，則混合物的摩爾質(zhì)量與兩組分的摩爾質(zhì)量 的關(guān)系為 所以 在溫度不太高的情況下， 代入數(shù)據(jù)則得四、固體的內(nèi)能與熱容量1. 杜隆-珀替定律 固體中，粒子排列成晶格點陣，沒有平動，沒有轉(zhuǎn)動， 只有振動，可圖示如下， 即有 。 于是有： ， 并且 。 該規(guī)律最早由杜隆和珀替總結(jié)實驗 測量結(jié)果得到，因此稱為杜隆-珀替定律。 例如： 物 質(zhì) L

39、i Zn Al Ag Au Pb 固態(tài)(J/mK)24.825.224.224.925.426.4 液態(tài)(J/mK)30.332.5282431282、理論與實驗的矛盾 很硬的固體存在明顯矛盾，如： 硬度大，K大， 且振動能級具有離散性， 需要發(fā)展量子理論！Einstein 單模模型Debye 多模模型2. 固體熱容量的考普-諾伊曼定律 雙原子分子固體 ， 三原子分子固體 。 3. 固體熱容量的前述定律與實驗的矛盾 室溫下多數(shù)固體的摩爾熱容量滿足杜隆-珀替定律 或 考普-諾伊曼定律，但對很堅硬的固體存在明顯矛盾， 如： 。(1) 唯象解釋 硬度大，K 大， 大，振動也不全激發(fā)， 且振動能級具有

40、離散性，相應(yīng)自由度不起作用，因此，它們的熱容量很小。(2) 需要發(fā)展量子理論：Einstain 模型、Debye模型。2.5. 平衡態(tài)下粒子微觀運動狀態(tài)的分布規(guī)律一、微觀運動狀態(tài)的描述1、微觀粒子運動狀態(tài)的描述 (1) 經(jīng)典描述 廣義坐標(biāo) 廣義動量 哈密頓量 。 運動方程 相空間與相軌道 廣義坐標(biāo) 和 廣義動量 構(gòu)成的 2d 維坐標(biāo)空間稱為相空間。 粒子運動時, 其代表點在相空間中的軌道稱為相軌道。 (2) 量子描述 波函數(shù) ， 物理量：厄米算符 運動方程： 能級及其簡并度 能量 i 分立取值 分立能譜每一個能量 一個能級。相應(yīng)于一個能量 i 的狀態(tài)（波函數(shù)）i 如果不只一個， 則稱之為簡并的

41、； 若相應(yīng)的波函數(shù) i 有 個，則 gi 稱為該能級的簡并度。形象示意：樓房的樓層能級每層的房間數(shù)簡并度 自旋：一般地，s = 整數(shù) 或半整數(shù) 玻色子和費米子 自旋 S = 整數(shù) 的粒子： 玻色子 ; 自旋 S = 半整數(shù) 的粒子：費米子 . 全同粒子 定義：具有完全相同的內(nèi)稟性質(zhì)（質(zhì)量、電荷、 自旋、等）的粒子。 性質(zhì)：狀態(tài)具有交換對稱性（量子力學(xué)基本假設(shè)） 波函數(shù) 對稱 或 反對稱 . Pauli不相容原理 不可能有兩個全同的費米子處于同一個量子態(tài).2、微觀粒子系統(tǒng)的分類 (1) 按粒子間相互作用的強度分類： 近獨立粒子系統(tǒng) 關(guān)聯(lián)系統(tǒng) (2) 按粒子的全同性分類： 玻色系統(tǒng) 由全同玻色子組

42、成的系統(tǒng)。 費米系統(tǒng) 由全同費米子組成的系統(tǒng)。 玻爾茲曼系統(tǒng) 由可分辨的全同近獨立粒子組成的、處在每 一個量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制的系統(tǒng)。3、等概率原理 (1) 宏觀態(tài) 由一組完備的宏觀量（例如：狀態(tài)參量）決定的 系統(tǒng)狀態(tài)稱為系統(tǒng)的宏觀態(tài)。 (2) 微觀態(tài) 相應(yīng)于同一個宏觀態(tài)，組成系統(tǒng)的微觀粒子可 以有大量的各種不同的微觀運動狀態(tài)。每一種 微觀運動狀態(tài)簡稱為系統(tǒng)的一個微觀態(tài)。 例如：理想氣體， (3) 等概率原理 Boltzmann指出：對于處于平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)， 其各個可能的微觀態(tài)出現(xiàn)的概率都相等。 即：如果平衡態(tài)下孤立系統(tǒng)的可能的微觀態(tài)的總數(shù)為 ，則任一微觀態(tài)出現(xiàn)的概率均為 1/ ， i.

43、e., 如果某一宏觀態(tài)相應(yīng)的微觀態(tài)的數(shù)目為 n , 則該宏觀態(tài)出現(xiàn)的概率為 二、三類系統(tǒng)的微觀態(tài)的數(shù)目1. 分布的概念 (1) 定義： 對于一個全同近獨立粒子系統(tǒng)， 以i (i = 1, 2, ) 表示粒子的第 i 個能級， gi 表示能級 i 的簡并度，Ni 表示能級 I 上的粒子數(shù)， 則數(shù)列N1, N2, , Ni, = Ni稱為系統(tǒng)的一種分布。 (2) 約束條件： 對一個可能實現(xiàn)的分布，必須滿足 (3) 分布與微觀態(tài)的關(guān)系： 一個微觀態(tài) 一個分布； 一個分布 若干個微觀態(tài)。2. 微觀態(tài)數(shù)目 (1) 玻爾茲曼系統(tǒng)的微觀態(tài)數(shù)目 記能級 i 的簡并度為 gi ，其上有 Ni 個粒子，那么 每個

44、粒子都具有 gi 種占據(jù) i 的方式，Ni個可分辨的 粒子占據(jù) i 上 gi 個量子態(tài)的方式為 。 則，N1, N2, , Ni, 個可分辨的粒子 分別 占據(jù) 能級的量子態(tài)的總方式數(shù)為 . 粒子可分辨 出現(xiàn) Ni 的方式數(shù)為 . 所以，微觀態(tài)的數(shù)目（總的占據(jù)方式）為 .(2) 玻色系統(tǒng)的微觀態(tài)數(shù)目 粒子不可分辨 Ni 個粒子占據(jù) gi 個能量 為 i 的 簡并量子態(tài)的方式數(shù)就是從 (Ni + gi 1 )個態(tài) 中取出 Ni 個態(tài)的方式數(shù)， 例：四個不可分辨的人占用A、 B、 C 三個房間， 若 A 中有 4 人，則房間 B、C 只有 1 種占用方式， 若 A 中有 3 人，則房間 B、C 有

45、2 種占用方式， 若 A 中有 2 人，則房間 B、C 有 3 種占用方式， 若 A 中有 1 人，則房間 B、C 有 4 種占用方式， 若 A 空置， 則房間 B、C 有 5 種占用方式， 則總方式數(shù)為 5+4 + 3 +2 +1 =15 ，即 . 那么，一組能級 i 上分別有 Ni 粒子的方式數(shù)， 即微觀態(tài)數(shù)目為 . (3) 費米系統(tǒng)的微觀態(tài)數(shù)目 Pauli原理 每個量子態(tài)上最多能容納 1 個粒子。 粒子不可分辨 Ni 個費米子占據(jù) i 上 gi （ ）個量子態(tài)的 方式數(shù)相當(dāng)于從 gi 個態(tài)中取出 Ni 個態(tài)的方式數(shù)， 即 那么，一組能級 i 上分別有 Ni 個費米子的方式 總數(shù)，即微觀態(tài)

46、數(shù)目為 三、三種系統(tǒng)的粒子按能級的最概然分布1. 最概然分布 (1) 定義 相應(yīng)于微觀態(tài)數(shù)目最多的分布稱為最概然分布。 (2) 與宏觀態(tài)的關(guān)系 最概然分布對應(yīng)的宏觀態(tài)為平衡態(tài)； 平衡態(tài)對應(yīng)的微觀態(tài)分布為最概然分布。 例：對玻爾茲曼系統(tǒng)，設(shè)其微觀態(tài)總數(shù)為 t ， 則每個微觀態(tài)出現(xiàn)的概率為1/t，再設(shè)最概然分布 對應(yīng)的微觀態(tài)數(shù)目為mp，則該分布出現(xiàn)的概率為 因為 ， 2. 玻爾茲曼系統(tǒng)的最概然分布 記Boltzmann系統(tǒng)的最概然分布對應(yīng)的微觀態(tài)數(shù)目為 BM，相應(yīng)的分布為 Ni = Ni (i), 因為 ， 則 因為 , （Stirling公式） 則 . 因為 則有 即 . 也就是 約束條件 則前

47、述極值條件方程線性相關(guān)，即為條件極值問題。 應(yīng)用Lagrangin 乘子法擴(kuò)展為 ,.即有 于是得 解之得 由 知， 則有 所以 ， 于是有 處于平衡態(tài)的Boltzmann系統(tǒng)的最概然分布為其實際分布的具體表現(xiàn) 記Boltzmann分布 Ni 對應(yīng)的微觀態(tài)數(shù)目為 BM，相對于 Boltzmann 分布有偏離 Ni 的一個分布的微觀態(tài)數(shù)目為 BM + ， 因為 所以 對宏觀系統(tǒng)，N 1023， 所以，最概然分布的微觀態(tài)數(shù)幾乎等于全部可能的微觀 態(tài)總數(shù)。3. 玻色系統(tǒng)的最概然分布 （B.D., or B-E. D.） 約束條件:4. 費米系統(tǒng)的最概然分布 （F.D., or F-D. D.） 約束

48、條件:,.,.5. 經(jīng)典極限條件及三種分布的關(guān)系 當(dāng) 則 F. D. 和 B. D. 的分母中的 1 項可忽略。 于是 與 Ni(BM) 形式相同。 此時， 即 gi 很大時，與經(jīng)典情況一致。 所以有經(jīng)典極限條件： 或 并可以證明：經(jīng)典極限下6. 能量連續(xù)條件 經(jīng)典極限下，三種分布有相同的形式， 需要根據(jù)相同的條件確定參數(shù) 和 ， 具體計算需要將求和化為積分， 于是應(yīng)有 ， 即 也就是 所以能量連續(xù)條件為溫度很高。四、應(yīng)用1. 熱容問題2. 量子理想氣體的性質(zhì)(1) 量子關(guān)聯(lián)與量子簡并微觀粒子狀態(tài)的不確定關(guān)系 量子關(guān)聯(lián) “彌散的軌道”有重疊, 概率分布有一定的關(guān)聯(lián)。 量子簡并的簡并溫度 使組成

49、氣體的粒子都處于很強的量子關(guān)聯(lián)狀態(tài) 的特征溫度稱為簡并溫度。 則 量子簡并狀態(tài) 簡并溫度(2) 量子態(tài)密度與量子態(tài)求和、等等 量子態(tài)的能量不連續(xù), 計算平均值時應(yīng)分立求和。 很困難 ！ 近似處理：轉(zhuǎn)化為相空間積分。 定義量子態(tài)密度 ： 則，量子分布的約束條件表述為:.,相空間體積（狀態(tài)總數(shù)）： . 非相對論情況： 則 所以 相對論情況：,.(3) 簡并費米氣體的性質(zhì)的定性討論 量子態(tài)分布： 費米能與費米動量(4) 簡并玻色氣體的性質(zhì)的定性討論 化學(xué)勢 3. 實例 連續(xù)相變； 玻色-愛因斯坦凝聚； 白矮星、 中子星等核天體 ； 2.6. 氣體粒子的碰撞及其概率分布一、氣體粒子的碰撞截面與平均自由

50、程1. 碰撞截面 如圖，由于粒子之間有相互作用，則粒子 B 向粒子 A 靠近時，其“運動軌跡”與粒子 A 到其入射方向的垂直距離 b (稱為瞄準(zhǔn)距離） 有關(guān)： b 增大，偏折角（出射角）變小。 恰好使偏折角為 0 的瞄準(zhǔn)距離 b = d 稱為粒子的有效直徑， 以 d 為半徑的“圓截面”稱為粒子的散射 截面，或碰撞截面，記為 。 對有效直徑分別為 d1、d2 的粒子間的碰撞(如右圖示)： 2. 粒子間的平均碰撞頻率與平均自由程 (1) 基本概念 粒子間碰撞隨機發(fā)生， “運動軌跡”為無軌則的折線。 在相繼兩次碰撞之間，粒子以慣性 作勻速直線運動，其間所經(jīng)過的 路程稱為其自由程，記為 ， 其平均值稱

51、為粒子的平均自由程，記為 。 每個粒子在單位時間內(nèi)與其它粒子碰撞的平均次數(shù) 稱為其平均碰撞頻率，簡稱碰撞頻率，記為 。(2) 碰撞頻率的確定 示蹤粒子法：如圖示， 對同類粒子，設(shè)粒子數(shù)密度為 n， 粒子間的平均相對速率為 ， 則 由麥?zhǔn)戏植悸芍?，兩粒子的速度分別為 的概率為 ， 在質(zhì)心系表述 則有 . 于是 所以， 對不同類粒子，. (3) 平均自由程的確定 對同類粒子， 因為在 t 時間內(nèi)粒子走過的路程為 , 與其它粒子碰撞的次數(shù)為 , 所以 與 無關(guān)， 與 n 成反比， 對不同類粒子，二、粒子碰撞的概率分布1. 粒子的自由程分布 對于 x 方向的小位移 dx ， 設(shè)時間 dt 很短， 因與

52、其它粒子碰撞而引起的 沿 x 方向運動的粒子數(shù)的減少 可近似為 于是有 ， 因dN即N0個粒子中自由程在 x x+dx 之間的粒子數(shù), 則 dN/N0為粒子的自由程在x x + dx 范圍內(nèi)的概率. 由上述方程的解 知， 則 即有 所以 于是有 顯然，自由程大于某定值 的粒子的概率為2. 粒子飛行時間的分布 記經(jīng)過時間 t 后，粒子經(jīng)過坐標(biāo) x 標(biāo)記的位置， 因為 由 則得 于是有， t 時刻“殘存”的粒子的概率為 由此知， 為粒子束中粒子數(shù)減為原來的 所需要的時間。例題：試計算1mol理想氣體中分子自由程在1到2之間的 分子數(shù)及在此區(qū)間內(nèi)的分子自由程的平均值。解：由按自由程分布的概率密度為

53、知，自由程在 + d 的區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)為 對1mol 理想氣體，N0 = NA，則自由程在1到2之間 的分子數(shù)為 所以 自由程在1 2 之間的分子的自由程的平均值為 3、統(tǒng)計解釋 (1) 對單原子分子（非相對論性） 改寫麥克斯韋分布律的表述 最概然能量使得 即有 解之得 最概然的與平均的相同。因此，本應(yīng)如此。 (2) 對雙原子分子、等 可用類似的方法證明。第三章 近平衡態(tài)系統(tǒng)中的輸運過程3.1. 一些基本概念 一、馳豫現(xiàn)象 在均勻且恒定的外部條件下，當(dāng)熱力學(xué)系統(tǒng)對于 平衡態(tài)稍有偏離時，粒子間的相互作用（碰撞） 使之向平衡態(tài)趨近的現(xiàn)象稱為馳豫現(xiàn)象。 二、輸運過程 在孤立系統(tǒng)中，由于動量、能量、質(zhì)

54、量等的傳遞， 各部分之間的宏觀相對運動、溫度差異、 密度差異 逐漸消失，系統(tǒng)將從非平衡態(tài)過渡到平衡態(tài)， 這些傳遞過程統(tǒng)稱為輸運過程。三、輸運的方式 輸運方式 平衡態(tài)條件 3.2. 輸運現(xiàn)象的宏觀規(guī)律一、黏滯現(xiàn)象的宏觀規(guī)律 1. 流動與黏滯現(xiàn)象 (1) 流動： 湍流：流線混雜， 物理量的時間平均值 有不規(guī)則漲落。 層流：流線不混雜 ，如圖示。 (2) 黏滯現(xiàn)象： 流體作層流時，通過任一平行于流速的截面兩側(cè)的 相鄰兩層流體間的互相阻滯相對“滑動”的現(xiàn)象。 2. 牛頓黏滯定律 3. 切向動量流密度 動量流：單位時間內(nèi)相鄰流體層之間轉(zhuǎn)移的 沿流體層切向的定向動量，記為： 動量流密度：單位面積上轉(zhuǎn)移的動

55、量流 ， . 因為 ， 所以 。 “ ”表示定向動量流總是沿著流速變小的方向輸運。 一般地，還有體黏滯。很復(fù)雜，這里略去。二、熱量傳遞的宏觀規(guī)律1. 熱量傳遞的方式 熱量傳輸?shù)姆绞接?熱傳導(dǎo)：當(dāng)系統(tǒng)各層溫度不均勻時，熱量從高溫區(qū) 傳向低溫區(qū)的方式 稱為 熱傳導(dǎo)。 輻射傳熱：當(dāng)兩系統(tǒng)表面有溫度差時，由于表面溫度 不同，發(fā)射或吸收的熱輻射能量不同， 致使能量從高溫系統(tǒng)的表面向低溫系統(tǒng) 的表面遷移，這種方式稱為輻射傳熱。 對流傳熱：流體從某處吸收熱量后流到別處向較冷的 流體釋放出熱量的傳熱方式稱為對流傳熱。2. 熱傳導(dǎo)現(xiàn)象的宏觀規(guī)律 傅立葉傳導(dǎo)定律： 溫度梯度： 熱流量（熱流） , 該規(guī)律稱為傅立葉

56、傳導(dǎo)定律。 其中：“ ”表示熱流方向與溫度梯度方向相反； 為熱導(dǎo)率（熱導(dǎo)系數(shù)），熱流密度： .例題：一半徑為 b 的長圓柱形容器沿它的軸線上有一半徑 為 a、單位長度電阻為R的圓柱形長導(dǎo)線。圓柱形容器維持在恒溫下，里面充有被測氣體，當(dāng)導(dǎo)線內(nèi)有一小電流 I 通過時，測出導(dǎo)線與容器壁間的溫度差為 ，假設(shè)此時已達(dá)到穩(wěn)態(tài)傳熱, 試問待測氣體的熱導(dǎo)率為多大。解：由傅立葉傳到定律知，熱流密度為 記圓筒長為 L，則半徑為 r 處的圓柱面上通過的熱流為 因為穩(wěn)態(tài)傳熱時，不同 r 處 H相同， 積分得 又因為 ， 3. 輻射傳熱的規(guī)律(1) 一些基本概念1 輻射: 物體以電磁波形式向外部發(fā)射能量。2 熱輻射:

57、處在熱平衡態(tài)的物體在一定溫度下進(jìn)行的輻射。3輻射本領(lǐng)溫度為 T 的物體在單位時間內(nèi)從單位表面上發(fā)射的波長在 - +d 范圍內(nèi)的輻射能量 dE 與 波長間隔 d 之比 . 單位時間內(nèi)從單位面積上輻射的各種波長的總輻射能 即 . 總輻射本領(lǐng)：4 物體對其它物體的輻射能量的響應(yīng)方式及其描述 響應(yīng)方式 反射、散射， 吸收， 透射（透明物質(zhì)） 描述 吸收本領(lǐng)在一定溫度下，物體的吸收本領(lǐng)（系數(shù)）為 ， 反射本領(lǐng)（系數(shù)） ， 透射本領(lǐng)（系數(shù)） ， 5 黑體與絕對黑體一般的，由能量守恒知 。 黑體及其吸收本領(lǐng)與反射本領(lǐng)間的關(guān)系 黑體：不透明的物體 。 黑體的吸收本領(lǐng)與反射本領(lǐng)之間的關(guān)系 . if 絕對黑體 在

58、任何溫度下都把輻照在 其上的任意波長的輻射 能量全部吸收的物體， 即有： 。(2) 輻射傳熱的規(guī)律 黑體i 輻射本領(lǐng) 實驗測量結(jié)果如圖示 規(guī)律表述： 其中 , 為普朗克常數(shù), c為光速。ii 斯特藩 玻爾茲曼定律iii 維恩位移定律 一般物體（灰體）：基爾霍夫定律： 輻射：吸收：(3) 輻射傳熱規(guī)律應(yīng)用舉例: 溫室防輻射傳熱 地面附近張一層薄膜，如圖 地面的輻射本領(lǐng)： . 單位面積薄膜吸收的能量： , . 地表與薄膜之間單位底面積柱體內(nèi)沉積能量： . 溫室效應(yīng)： 大氣、氟氯化碳、甲烷、二氧化碳等具有薄膜的作用, 地面附近沉積能量，溫度升高。4. 對流傳熱(1) 對流傳熱的規(guī)律：牛頓冷卻定律 溫

59、度差不大時： (2) 實例： 地幔環(huán)流 熱管三、擴(kuò)散現(xiàn)象的宏觀規(guī)律1. 擴(kuò)散過程(1) 擴(kuò)散現(xiàn)象：當(dāng)系統(tǒng)中粒子數(shù)密度不均勻時， 由于粒子的熱運動使粒子從密度高 的地方遷移到密度低的地方的現(xiàn)象。(2) 互擴(kuò)散：不同組分，各處 T、p 相同。(3) 自擴(kuò)散：發(fā)生互擴(kuò)散的兩種組分粒子的差異 盡量小, 相互擴(kuò)散的速率趨于相同。(4) 重要性： 物理、化學(xué)、生命科學(xué)等中都起重要作用。2. 菲克擴(kuò)散定律(1) 粒子密度梯度(2) 質(zhì)量通量（或質(zhì)量流）J 單位時間內(nèi)通過 z = z0 處面元S的質(zhì)量 (3) 粒子流密度 單位時間內(nèi)通過單位面積擴(kuò)散的粒子數(shù) (4) 菲克擴(kuò)散定律 ， 其中，“ ”表示質(zhì)量沿密度

60、下降（即逆密度梯度）的 方向流動； D為擴(kuò)散系數(shù)， 例題：兩個體積都為 V 的容器用長為 L、橫截面積 S 很小 （ ）的水平管連通。開始時，左邊容器中充有分壓強為 p0 的 CO 和分壓強為 的 N2 組成的混合氣體，右邊容器中裝有壓強為 p 的純 N2 。設(shè) CO 向 N2 中擴(kuò)散及 N2 向 CO 中擴(kuò)散的擴(kuò)散系數(shù)都為 D，試求出左邊容器中 CO 的分壓強隨時間變化的函數(shù)關(guān)系。解：設(shè)左、右兩容器中CO的數(shù)密度分別為 n1、n2， 由Fick定律知，從左邊容器流向右邊容器的CO的 粒子流率為 ， 由粒子數(shù)守恒知 于是有 解之得 ， 應(yīng)用實例：用于強子物理實驗的小丸內(nèi)靶的制備工作原理實際裝置