高中數(shù)學(xué)好題速遞400題151—200

1、WORD 專業(yè)資料. 好題速遞151（2015第17題）a為實(shí)數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值記為， 當(dāng)_時(shí)，的值最小解：若時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故若，即時(shí)，若，即時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，綜上，故當(dāng)時(shí)，取得最小值為好題速遞152（2015第14題）設(shè)實(shí)數(shù)，則的最大值為。解法一：即當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)，取得等號(hào)解法二：換元使得題干更清晰，設(shè)則題目變?yōu)椤皩?shí)數(shù)，求的最大值。利用不等式鏈條，得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)解法三：三角換元，令，且滿足則當(dāng)時(shí)取得最大值，且此時(shí)滿足解法四：令，則，即在上有解則，滿足或解得，且故的最大值為好題速遞153（2015理科第9題）已知集合，定義集合，則中元素的個(gè)數(shù)為A77 B49 C45

2、D30解：因?yàn)榧?，所以集合中?個(gè)元素（即5個(gè)點(diǎn)），即圖中圓中的整點(diǎn)，集合中有25個(gè)元素（即25個(gè)點(diǎn)），即圖中正方形中的整點(diǎn)，集合中的元素表示中的點(diǎn)向左、右、上、下方向移動(dòng)一個(gè)單位，即的元素可看作正方形中的整點(diǎn)（除去四個(gè)頂點(diǎn)），即個(gè)好題速遞154（2015理科第7題）存在函數(shù)滿足，對(duì)任意都有（ ）A. B.C. D.解：對(duì)A選項(xiàng)，取，可知，再取，可知，矛盾對(duì)B選項(xiàng)，取，可知，再取，可知，矛盾對(duì)C選項(xiàng)，取，可知，再取，可知，矛盾對(duì)D選項(xiàng)，令，所以，符合題意，故選D本題與文科第8題異曲同工，都是考查函數(shù)概念的問(wèn)題。（2015文科第8題）設(shè)實(shí)數(shù)滿足，則（）A若確定，則唯一確定 B若確定，則唯一確定

3、C若確定，則唯一確定 D若確定，則唯一確定解：因?yàn)?，所以，所以，故?dāng)確定時(shí)，確定，所以唯一確定，故選B。好題速遞155（2015理科第8題）若空間中有個(gè)不同的點(diǎn)兩兩距離都相等，則正整數(shù)的取值A(chǔ)至多等于3 B至多等于4C至多等于5 D可以大于5解析 顯然正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)之間的距離兩兩相等，因此至少有4個(gè)點(diǎn)下面證明不會(huì)大于4若已有正四面體，則第5個(gè)點(diǎn)與其中三點(diǎn)也可以構(gòu)成正四面體，相當(dāng)于兩個(gè)正四面體共底面，但正四面體邊長(zhǎng)，故不可能存在第5個(gè)點(diǎn)好題速遞156（2015全國(guó)文科第16題）已知是雙曲線的右焦點(diǎn)，是左支上一點(diǎn)，當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí)，該三角形的面積為解：設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，由雙曲線定義知所以周長(zhǎng)為由

4、于是定值，要使周長(zhǎng)最小，則最小，即三點(diǎn)共線因?yàn)?，所以直線的方程為代入整理得，解得或（舍去）所以所以好題速遞157（2015全國(guó)理科第16題）在平面四邊形中，則的取值圍是解：如圖所示，延長(zhǎng)BA，CD交于E，平移AD，當(dāng)A與D重合于E點(diǎn)時(shí)，AB最長(zhǎng)，在中，由正弦定理可得，即，解得，平移AD，當(dāng)D與C重合時(shí)，AB最短，此時(shí)與AB交于F，在中，由正弦定理知，即，解得所以AB的取值圍為好題速遞158（2015理科第8題）已知函數(shù)，函數(shù)，其中，若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值圍是（A） （B） （C） （D）解：由得，所以，即,所以恰有4個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程有4個(gè)不同的解，即函數(shù)與函數(shù)的圖象的4個(gè)公共點(diǎn)，由圖象可

5、知（2015文科第8題）已知函數(shù)，函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為解：當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程的小于0的零點(diǎn)為當(dāng)時(shí)，方程無(wú)零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)大于2的根故共有2個(gè)零點(diǎn)好題速遞159（2015理科第13題）已知函數(shù)，若存在滿足，且（），則的最小值為解：因?yàn)閷?duì)任意和任意都有由知但當(dāng)時(shí)，必須使則依次取，不合題意當(dāng)時(shí)，依次取可滿足題意，所以的最小值為8好題速遞160（2015第13題）已知函數(shù)，則方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為解：作出函數(shù)與的圖象，觀察共有4個(gè)交點(diǎn)。好題速遞161（2015理科第8題）將離心率為的雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)同時(shí)增加個(gè)單位長(zhǎng)度，得到離心率為的雙曲線，則A對(duì)任意的， B當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，C對(duì)任意的， D當(dāng)時(shí)

6、，；當(dāng)時(shí)，解：不妨設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，即其方程為，雙曲線，當(dāng)時(shí)，所以，即當(dāng)時(shí)，所以，即故選D評(píng)注：這是糖水不等式的應(yīng)用。好題速遞162（2015理科第14題）在銳角中，為邊上的點(diǎn)，與的面積分別為2和4，過(guò)分別作于，于，則解：如圖，由得由得由得而，得由可得，所以好題速遞163（2015文科第13題）已知平面向量滿足，且，則的最大值是解：，當(dāng)且僅當(dāng)同向時(shí)取等號(hào)。由得當(dāng)分別為1，2，3時(shí)，分別為故好題速遞164函數(shù)模塊1設(shè)二次函數(shù)，已知對(duì)于任意，恒有和成立，則解：在中令，可產(chǎn)生因?yàn)榍液愠闪?，所以因?yàn)榍液愠闪?，所以從而，所以，即，得好題速遞165函數(shù)模塊2 已知定義在上的函數(shù)滿足，且，則方程在區(qū)間上

7、的所有實(shí)根之和為解：由題意知，函數(shù)的周期為2，則與在區(qū)間上的圖象如右圖所示由上圖可知，函數(shù)與在區(qū)間上的交點(diǎn)為，易知點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，若設(shè)的橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以在區(qū)間上的所有實(shí)數(shù)根之和為好題速遞166函數(shù)模塊3設(shè)的定義域?yàn)?，若滿足條件：存在，使得在上的值域是，則稱為“半縮函數(shù)”若函數(shù)為“半縮函數(shù)”，則的取值圍是解：為單調(diào)遞增函數(shù)由已知由，即變形得，令，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為與兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)，結(jié)合圖象，可得點(diǎn)評(píng)本題是函數(shù)兩域一致問(wèn)題的應(yīng)用好題速遞167函數(shù)模塊4已知為正實(shí)數(shù)，函數(shù)，且對(duì)任意，都有成立若對(duì)每一個(gè)正實(shí)數(shù)，記的最大值為，則函數(shù)的值域是解：作出的圖象，由圖象可知當(dāng)，即時(shí)，即當(dāng)，即時(shí)，且解得

8、（舍去）或，即所以，故的值域是點(diǎn)評(píng)這里“對(duì)任意，都有恒成立”與“當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)椤笔遣灰粯拥囊粋€(gè)是恒成立問(wèn)題，一個(gè)是值域問(wèn)題，注意區(qū)分好題速遞168函數(shù)模塊5已知，若關(guān)于的方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且所有實(shí)數(shù)根之和為2，則的取值圍是解：構(gòu)造，顯然可知的圖象關(guān)于對(duì)稱，與的圖象四個(gè)橫坐標(biāo)之和應(yīng)為，故由此可知，當(dāng)時(shí)滿足條件好題速遞169函數(shù)模塊6當(dāng)且僅當(dāng)（其中）時(shí)，函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象下方，則的取值圍是解：令，畫(huà)出圖象如圖當(dāng)直線分別與，相切時(shí)，直線分別與相切時(shí)，結(jié)合圖象可知，直線，符合題意又是方程的兩個(gè)根；是方程的兩個(gè)根所以，所以點(diǎn)評(píng)這個(gè)題目難度很大，不過(guò)其中帶給我們的啟示是將方程的根問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)閮蓚€(gè)能

9、方便畫(huà)圖的函數(shù)看交點(diǎn)的問(wèn)題。兩個(gè)函數(shù)圖象一般是一個(gè)定，一個(gè)動(dòng)。好題速遞170三角模塊1 設(shè)函數(shù)，存在使得和成立，則的取值圍是解：由可知，即，且所以，所以所以，所以當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，所以綜上，三角模塊2 設(shè)中的角所對(duì)邊為，且，則的最大值是解：由所以好題速遞171三角模塊3 兩點(diǎn)在的邊上，若，且，則的最大值為解：取中點(diǎn)為，則， 又，所以所以所以點(diǎn)評(píng)本題是“平行四邊形四邊平方和等于對(duì)角線平方和”性質(zhì)的應(yīng)用，它是極化恒等式的對(duì)偶式已知a，b是兩個(gè)向量，則(ab)2=a22a bb2 (ab)2=a22a bb2得“極化恒等式”：4ab(ab)2(ab)2得“平行四邊形對(duì)角線性質(zhì)”：2(|a |2| b

10、|2)(ab)2(ab)2平行四邊形對(duì)角線性質(zhì)公式揭示的是平行四邊形對(duì)角線的平方和等于其四邊和的平方好題速遞172三角模塊4在中，若，則的最大值為解法一：膽子大！，故當(dāng)解法二：所以，所以因?yàn)槿簦瑒t，均為鈍角，不可能，故所以好題速遞173三角模塊5在中，是角平分線，且，則當(dāng)取最小值時(shí)解：設(shè)，由角平分線定理得所以，即故又，所以再由余弦定理得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，所以好題速遞174三角模塊6如圖，已知正邊長(zhǎng)為，點(diǎn)為外接圓的劣弧上一點(diǎn)，記與的面積分別為，則的最大值為解法一：設(shè)，則在中，由余弦定理得即在中，由余弦定理得即得即故所以解法二：設(shè)，則在中，由正弦定理得于是故后續(xù)同解法一解法三：如圖建系，有，于是圓方程為

11、直線的方程為，直線的方程為，設(shè)記，故故當(dāng)時(shí)，好題速遞175不等式模塊1已知為正實(shí)數(shù)，則的最大值為解：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)評(píng)注：齊次化的應(yīng)用好題速遞176不等式模塊2設(shè)實(shí)數(shù)滿足，則的取值圍是解：當(dāng)同號(hào)時(shí)，當(dāng)異號(hào)時(shí)，評(píng)注：齊次化的應(yīng)用，因?yàn)辇R次的啟發(fā)，才有這一步。好題速遞177不等式模塊3已知為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為解法一：解法二：令，則題目變?yōu)槿?，則評(píng)注：換元法有助于簡(jiǎn)化問(wèn)題，看穿本質(zhì)。好題速遞178不等式模塊4 設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，則實(shí)數(shù)的最小值為解法一：將其視為關(guān)于的一元二次方程有正根，所以解法二：，解得好題速遞179不等式模塊5 已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為解：畫(huà)出可行域，為可行域任意一點(diǎn)，目標(biāo)函

12、數(shù)理解為長(zhǎng)方形的面積，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)必在線段上，即又因?yàn)?，即點(diǎn)評(píng)：本題和今年高考第9題異曲同工，要形成不等式就是可行域的觀點(diǎn)，解題的思路會(huì)更開(kāi)闊。（2015第9題）如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的最大值為（ ）A16 B18 C25 D解：畫(huà)出可行域或或（或用導(dǎo)數(shù)對(duì)恒成立，即）令，則，當(dāng)函數(shù)與可行域相交變化中，看的變化可得，當(dāng)與相切時(shí)，取得最大值，則兩式聯(lián)立，解得好題速遞180不等式模塊6已知，若，且，則實(shí)數(shù)的取值圍是解：因?yàn)?，故，在直角坐?biāo)系中，作出可行域，得由得，解得好題速遞181不等式模塊7 設(shè)，若關(guān)于的不等式的解集中的整數(shù)解恰有3個(gè)，則的取值圍是解：若要使不等式恰有三個(gè)整數(shù)解，必有，所

13、以解集為又，所以，所以所以滿足，畫(huà)出可行域，可知好題速遞182不等式模塊8 不等式對(duì)于任意的與恒成立，則實(shí)數(shù)的取值圍是解：又與，所以，所以，所以好題速遞183不等式模塊9已知，滿足，則的取值圍是解：其中視為可行域的點(diǎn)與連線的斜率，故好題速遞184不等式模塊10已知實(shí)數(shù)滿足，若不等式恒成立，則的最大值為解：的可行域如圖，令，則點(diǎn)評(píng)：最近幾天的題目都是線性規(guī)劃為背景，利用齊次化思想，將兩元的問(wèn)題轉(zhuǎn)為為關(guān)于k的一元問(wèn)題，從而變?yōu)楹瘮?shù)求值域的問(wèn)題。好題速遞185數(shù)列模塊1數(shù)列滿足，則此數(shù)列最多有項(xiàng)解：由得故新數(shù)列是首項(xiàng)為48，公差為的等差數(shù)列，所以得，故最多，最多50項(xiàng)。好題速遞186數(shù)列模塊2已知函

14、數(shù)，記若是遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值圍是解：是遞減數(shù)列，從開(kāi)始，必須滿足又對(duì)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，需要滿足對(duì)稱軸注意還要滿足，即，綜上得好題速遞187數(shù)列模塊3已知集合，若中有且僅有3個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的取值圍是解：令，考查的單調(diào)性，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞減，由題意知，中有且僅有3個(gè)元素，只需大于第四項(xiàng)即可，所以點(diǎn)評(píng)：數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，特殊性在于自變量取正整數(shù)，函數(shù)圖象是不連續(xù)的點(diǎn)。因此在涉與數(shù)列單調(diào)性問(wèn)題時(shí)，既可以從函數(shù)單調(diào)性的角度去理解，也可以有數(shù)列判斷單調(diào)性特有的方法，后項(xiàng)減前項(xiàng)與0比較大小解決。這個(gè)題目最經(jīng)典的題根就是“遞增數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則的取值圍是?！边@里就既可以從二次函數(shù)單調(diào)遞

15、增的角度，也可以用的角度來(lái)求解。好題速遞188數(shù)列模塊4在各項(xiàng)均為正整數(shù)的單調(diào)遞增數(shù)列中，且，則解：當(dāng)時(shí)，由與得又?jǐn)?shù)列是各項(xiàng)均為正整數(shù)的單調(diào)遞增數(shù)列，所以所以，所以，又，所以，所以當(dāng)時(shí)，由，所以當(dāng)時(shí)，由，所以當(dāng)時(shí)，由，所以繼續(xù)下去，可得本題可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列其實(shí)是斐波那契數(shù)列，故由得可以發(fā)現(xiàn)，即斐波那契數(shù)列好題速遞189數(shù)列模塊5設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若數(shù)列滿足且，則的最小值是解：設(shè)，則故，解得故好題速遞190數(shù)列模塊6已知函數(shù)，若數(shù)列滿足，且的前項(xiàng)和為，則解：所以，故好題速遞191向量模塊1在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)滿足，且，則線段在軸上的投影長(zhǎng)度的最大值為解：，即，則三點(diǎn)共線，故設(shè)在

16、軸的夾角為，設(shè)點(diǎn)，為點(diǎn)在軸上的投影，則在軸上的投影長(zhǎng)度為當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)。好題速遞192向量模塊2 已知是的外心，若，則的最大值為解：由，得即，解得所以點(diǎn)評(píng)：這是用向量法處理三角形外心問(wèn)題的一般套路，在向量等式的兩邊同時(shí)點(diǎn)積兩邊，可以將向量點(diǎn)積問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)檫叺拈L(zhǎng)度問(wèn)題。好題速遞193向量模塊3在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線與圓交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若圓上有一點(diǎn)滿足，則解：即，整理得過(guò)點(diǎn)作的垂線交于，則由得又圓心到直線的距離為，故，所以好題速遞194向量模塊4已知圓的半徑為1，為圓的一條動(dòng)弦，以弦為一條邊向圓外作正方形，連結(jié)，設(shè)，若，則的值為解：過(guò)點(diǎn)作于，故好題速遞195向量模塊5已知兩個(gè)不共線的向量滿足，設(shè)的夾角為，則的最小值是解法一：代數(shù)法：由兩邊平方整理得解法二：幾何法，以，由得，畫(huà)出圖象可知的終點(diǎn)在阿氏圓上故最大為與阿氏圓相切時(shí)，此時(shí)好題速遞196向量模塊6在中，分別為三角形的重心和外心，且，則的形狀是（ ）A銳角三角形 B直角三角形 C鈍角三角形 D上述三種情況都有可能解：又，所以故，故為鈍角，所以是鈍角三角形好題速遞197向量模塊7已知向量，則的最大值是解：數(shù)形結(jié)合，如圖所示可知故即，得又由恒等式知注意這里出現(xiàn)不等式打架，故調(diào)整思路為：故好題速遞198解析幾何