大學(xué)課件電磁學(xué)-環(huán)路定理及電偶極子

1、力所做的功只與物體的始末位置有關(guān)，而與 所經(jīng)歷的路徑無關(guān)，這類力叫做保守力。如： 萬有引力、彈性力、靜電力。萬有引力fg =呷r2庫侖力fe =警r 24 nso r 21.4.1 靜電場的環(huán)路定理一、靜電場的保守性1. 點電荷場E = er F = q0E4ns0r2 rw0dA = F dl = q0 E dlqq4 ns0 r 2 a12 =1 dA = MI 1 - 1 124 n I rir 丿=q0 E cos 0 dl =P2P1A = f (q0, r1, r2 ) 靜電場力的功與路徑無關(guān)2.任何靜電場PzP2(力12 = J q0E dl = J qo g Ei J dZP2

2、P2P1P1P2 一 Pz 一Pz 一=J qo Ei “ + J qo E2 “+J qoEn “P1P1P1=f qqi （丄_ 丄、i=l4n0 I ri 1 ri2 丿結(jié)論n試驗電荷在任何靜電場中移動時，電場力所做的功只 與路徑的起點和終點的位置有關(guān)，而與路徑無關(guān)。 靜電力是保守力，靜電力場是保守力場。、靜電場的環(huán)路定理circuital theorem of electrostatic field）1. 表述: 靜電場中場強沿任意閉合環(huán)路的線積分恒為零2.f E dl = 0L（任意）場強的環(huán)流恒為零證明:靜電場力是保守力f F dl =f qo E - dl = 0LLf E -

3、dl = 0L*靜電場的基本方程 *保守場（無旋場）1.4.2 靜電勢能 (Electric potential energy)靜電場力做功等于相應(yīng)電勢能的減量P2 -Ai2 =!F dl = Wi 一 W2P1P1 點電勢能取 WP0= 0P2 點電勢能電場力所做的功等于電 勢能增量的負值（或電 勢能的減少）。電勢能的零點。P0(PP0)定義上W = As、= q0 J Edl即：電荷q0在電場中某點的電勢能等于把電荷從該點沿任意路徑0移動到電勢能零點靜電場力所做的功。電勢能差b Wa - Wb = Aab = qo J E dla討論M 1.電勢能零點電勢能零點的選擇原則上是任意的：有限大

4、小帶電體，選無限遠處為電勢能的零點。無限大帶電體，選有限遠處為電勢能的零點。工程上取大地或金屬外殼為電勢能的零點。電勢能wa = q0 J電勢能零點E - dl討論 2. 電場力所做的功有正（例如在斥力場中）有負（例如在引力場中），所以電勢能 有正有負。電勢能是屬于電荷q0和產(chǎn)生電場的電荷系所共有的。電勢能和試驗電荷有關(guān)，不能用來描述電場。 1.4.3電勢和電勢差一、電勢(Electric potential)E PA12 =PF dl = qofpE dl = Wi - W2根據(jù)靜電場的環(huán)路定理定義Wl_ Wqoqo電勢PP E dl =五-W Piqoqo p Wo與試驗電荷無關(guān)，Po l

5、 l反映了電場在Pi、 W = qo fE dl P2 兩點的性質(zhì)PW(p = qo勢能零點 l l pP =fE dl（p）任意路徑電場中任一點的電勢等于把單位正電荷自該點 沿任 意路徑移動到電勢零點靜電場力所做的功， 等于場強從該點沿任意路徑到電勢零點的線積 分。勢能零點- pP =JE - dl（P）任意路徑1）電場中某點的電勢與零點的選取有關(guān)。2）電勢零點確定后，電勢值唯一確定，相應(yīng)的電勢是空間位 置的函數(shù)。0 =（p（ x, y, z）3）電勢零點的選取視方便而定，一般有三種情況：a）生場電荷為有限大小，通常選“無限遠：處電勢為零。記為：pP = Jp E - dl， Poo = 0

6、b）帶電體為“無限大”，通常指定某位置P.電勢值為零。場點P處電勢為：pP =JpP Edl， Pp = 0c）實際工作中，常選大地為電勢零點。電器外殼接地時的電勢為零。地 = 0（4）電勢的量綱SI制：V （伏特）5) 電勢和電勢能的關(guān)系 電勢零點即電勢能零點點電荷在電場中的電勢能為W = qo0 任意帶電體在電場中的電勢能為W = gq 把電荷q從。沿任意路徑移動到方靜電場力所做的功為Aab = q0a 一申b )注意 電勢是描述電場能量性質(zhì)的物理量，與試驗電荷無關(guān)；二、電勢差 (Electric potential difference)*電場中單位正電荷在Pi、P2兩點定乂的電勢能之差

7、稱為Pi、P2兩點的電勢差(電壓)。i 2(P2 )- U12 =01 - 02 = J E - dl (p )任意路徑電場中任意兩點 P1、 P2 的電勢差，等于把單位正電荷從 P1點沿任意路徑移動到P2點靜電場力所做的功，等于場 強沿任意路徑從P1點到P2點的線積分。力12 = q0 U12力12 =昭一 W2 = q0（0l一 02）= q0U12Lightning EnergyA charge q = -30 C is pushed from cloud to ground.U = 2 x 108 V.Energy gained= Work done by electric field

8、 = -qU= -( -30 C)(2 x 108 V)= 60 x 108 J腦電圖儀(EEG) 視網(wǎng)膜電圖儀(ERG)電勢能零點-W = qoJ E d/（P）任意路徑W(P = q0J E: di（p）任意路徑(P2)-電勢差 U12 =申 一 02 = J E d / (Pi )任意路徑電場力的功出2 = qE d/ 二 Wi - W2 二 q（0-02）電勢的計算 場強積分法(由定義)電勢零點亠- J E - dl(P)任意路徑步驟：(1) 計算場強；(2) 選擇合適的路徑 L；(3) 分段積分(計算)。Q r P E dl例點電荷場的電勢公式8 丨積分路徑沿徑向 dl = J dr

9、r 4 no r= J E - dl (p )8Q八=J 洛r 4 no rQ4 ne0 r曠球?qū)ΨQ奇標(biāo)量：正負Q 0，Q R E = e r4 ne0 r若場點在球面內(nèi)，即r R8 -8 Q(p= E dl =dr =pr 4 nso r*電勢分布討論r、r p 4 hq Rr ? r p 4 ns0 r以無限遠為電勢零點。由于在球面外直 到無窮遠處場強的分布都和電荷集中在 球心處的點電荷的場強分布一樣，因此 球面外任一點的電勢與電量集中在球心 0 的點電荷的電勢分布相同。例求無限長直導(dǎo)線（+1外一點P的電勢。解：E m孟嘰 TOC o 1-5 h z 1_rpEP町，Q設(shè)% = 0,則p點

10、電勢： 不合理申 P mJ E，d T mJ 1d r_-1(lnnT)Pr 2 ns0 r2 n0選 %Q m 0Q - P1亠 亠Q亠 亠 Q -%P = j e di = j e di + j e di = J e diTo 1dr 二 1 ln ro1. r r0,(pP 0r 2nsor 2n$o r2. r 0以乩和盡分別表示 電暈極與集電極的半 徑，L表示集電極 筒高度，通常L R2,已知空氣的擊穿 場強為耳。請計算 出管式靜電除塵器的 除塵電壓。例無限長均勻帶電圓筒(Ri, R2)，已知空氣的 擊穿場強為Em。求兩筒面之間的電壓。解： P 的場強為： e =1 er 一2 ns

11、0 r內(nèi)外兩極間電壓為R2亠亠U =申 R 0R2 = J E dl12 R1=JR2-1R12 ns0 r=兒山R2 ns0 R1例 無限長均勻帶電筒(R1,R2)，已知空氣的解：擊穿場強為Em。求兩筒面之間的電壓。E =er2 ne0 rU = fE - d/ =2-ln Rr2 nSoRl=11ln(R2 Ri)Ur ln(R2 R1)r ln( R2/ R1)由于電暈線附近的電場強度最大，使它達到 空氣電離的最大電場強度 Em 時，就可獲得高 壓電源必備的除塵電壓U = Em RJn RR1例 巧克力碎屑的秘密 II 巧克力粉末及其電荷被均勻地以體電荷密度 r =-11 xlO-3 C

12、/m3散布在半徑為R = 5.0 cm聚氯乙烯管 管道中。(1)求管道中的電勢(設(shè)在接地的管壁上電勢 為零)；(2)管道中心與其內(nèi)壁之間的電勢差是多少？ 解：Eint=r尸申= Eint -血=Jdr = 依2 一 r 2 )rr 2q4。在r = 0處，center =気人一”宀V 故 U = 0center 一洙=776xl04 V-a例 平行板電容器兩板間的電勢差 解：平行板電容器內(nèi)部的場強為E /0兩板間的電勢差：U12 =(j)E d/ =(j Edl(+)(+)(-)=E J dl(+)U12 二 Ed1.4.4 電勢的計算一、電勢疊加原理（電勢零點）-（P = JE dl =（p

13、 ）qi吒列電4n%r(電勢零點L -(電勢零點)-J ZEi dl =Z JEi dl(P) ii (P)0 = J d0 =J&dq4 ns0Mi （電勢零點）二、任意帶電體電勢列（電勢零點）-1）由定義式出發(fā)0= JEdl（P）2）電勢疊加原理0 = 00 = J d 0方形的四個頂角上，各頂角與正方形中心 O 的距離例點電荷q1, q2, q3, q4均為40 xlO-9 C,放置在一正均為 5.0 cm， (1) 計算 O 點的電勢；(2) 將試驗電荷 q0 = 1.0 xlO-9 C從無限遠處移到O點，電場力做的 功為多少？(3) 電勢能改變多少？是增加還是減少？q1 -Q q4q

14、2二解 (1) 選無限遠處為電勢零點，根 據(jù)電勢疊加原理， O 點電勢為：9O =01 +02 +03 +04=401 = 4- = 2880 V4 ns0 r A = 00(08-00)= -2.88 x 10_6 J(3)壯一 WO = A = -2.88 x 106 J電勢能改變 WO 一 W= 2.88 x 106 J增加0 = 3 OP = r4ne0 r_1 q i 1 (- q)+4ns0 r+4ns0 r_甲=申+七甲_ =1 qlcos 3例 求距電偶極子相當(dāng)遠處的電勢。解：1q0+ =4ns0 r+r+ r cos 3 r r + cos 3+ 2 _ 21 q 10= 4

15、nS0 r cos 3 4nS0 r + - cos 3 4ns0 r 221_p er _ 1 p rOH* TBIMfrz 03=寸2 Q I ILrol0SOV70 I s解：取 dqdq = l dx =dx例均勻帶電直線，長/,帶電為Q，求其延長線上離桿 B 端距離為 a 的 P 點的電勢。l ldxp點電勢伽=0吠(p =(p =3. 電量可非均勻分布。例 求均勻帶電圓環(huán)軸線上的電勢 (R，q)。另解：圓環(huán)軸線上任一點的場強為：E =q-i方向沿軸線指向無限遠4 ns0 (-2 + R 2距環(huán)心為-處p點的電勢為：Vr/ (P = p E - d =iP Ed-q-d-_ q4 n

16、s0yl - 2 + R 2例 己知：均勻帶電總電量Q,半徑R。求：盤軸線上任意點 P 處的電勢。解：利用電勢積分法。1.分割合適電荷元 dq = adS ” nR 2dS = 2n pdpd0 = 4 ns0 rdq2.電荷元dq在P處電勢3總電量Q在P處電勢0=J d0=JQQ 4 ns0 (p2 + x2 卜0 = d = JQQ 4 no (r2dq+ x2nb 2 - pdpR04n0(p2 + x2) 2 =Q4 ns0 R 2=(IR2 + x2 - x)2n0 R21 p2 + x 20環(huán)0 = 4注意：0盤o = 2環(huán)o例 兩個半徑分別為 R1 和 R2 的帶電球面同心放置,

17、所帶電量分別為Qi和Q2,求其電 場的電勢分布。解：Q1 產(chǎn)生的電勢分布為r Ri)14 ns0 r區(qū)域內(nèi)殼貢獻外殼貢獻總電勢r R10 -Q1內(nèi)-4n0R0 -Q201內(nèi)+ 02內(nèi)R1 r R201外 - 4n0r02 外 _d 24 ns0 r01外+ 02外解： 總電勢分布為0 = 0 +Ql + Q(r R1)4 ns0 R14 ns0 R2= - +Q1(R1 v r R2)dq 10內(nèi)4 ns0 r 4 ne0 rB 負(R - rB )+ 4nB 3 尿-R1)例均勻帶電球?qū)觬內(nèi)外半徑為R1, r2,求：a、b兩點的電勢 解：取帶電球面 dg = p4 nr 2dr1.求申AR2

18、 dqR2 p4nr2dr=J dW = =r1 4 ns0 r=P倨-R1)2旬2求(pBR2pB =0於外+伽內(nèi)=JrB6.0 3 R - rB -驚當(dāng) R1 = 0 時，均勻帶電球體內(nèi)% =務(wù)3 R 一 rB)一）已知電荷分布求電勢1.點電荷q 一 4n%r2.點電荷系申_2叭_2 qi=14 no r3.電荷連續(xù)分布的帶電體d = q4 ns0 r二）已知電場分布求電勢電勢零點-=JE dl電勢的計算方法P （任意路徑L ）（1）零點的選取注意 （2）最方便的路徑（3）E 分區(qū)時，分區(qū)積分02 一01 =03 一02等勢面 1.4.5 等勢面(Equipotential Surface

19、s) 一、定義由電勢相等的點組成的面叫等勢面 滿足方程0( x, y, z ) = C 當(dāng)常量C取等間隔數(shù)值時，可以得 到一系列的等勢面。 等勢面的法線方向指向電勢增高的 方向。規(guī)定：任意兩個相鄰等 勢面之間的電勢 差相等。電偶極子人心臟的等 電勢線，類 似于電偶極 子。cos0 = 0二、等勢面與電場線的關(guān)系過等勢面與電場線處處正交證：設(shè)一試探電荷 q0 沿等勢面電場力所做的元功d/ = q0E dl = q0Edlcos0 = 0 nn乂f&= n E丄dl2電場線指向電勢降的方向設(shè)申c %，AF指向電勢升高的方向2 = qoE - Af = qO0a 一 qO0c V 0E - AF V

20、 0 , E與A反向Ef 指向電勢降落的方向等勢面的疏密反映了場的強弱設(shè)電場中任意兩個相鄰等勢面之間的電勢差為一定的值0+A0 EAn 或 E 0AnAn T 0E = limAmO An等勢面密的地方場強大真空中靜電場小結(jié)兩個物理量 E 申兩個基本定理Y Q內(nèi)isE -dS = JlE d/ = 00兩種計算思路E = J dE0= J d0(Q)(Q)Y Q內(nèi)P(0)Js E - dS -0= J E dl強調(diào)兩句話 (P)點電荷 均勻帶電球面（體）注重典型場無限長的帶電線（柱）注重疊加原理無限大的帶電面（板）1.2.3.1.4.6 電勢梯度 (Potential gradient)、電場

21、強度和電勢的關(guān)系 積分關(guān)系式% = f E -血b = 0a微分關(guān)系式E = - grad% = -V%grad%, V%:電勢梯度SI單位：伏/米(V/m)二、電勢梯度兩等勢面電勢分別為0和0 + d0且呦0er: P1點處法線方向的單位矢量花Z、P3dw:兩個等勢面之間在P1點處的法向距離pd7 對任意 dldn d00 0 + d0dw dl在Pl點處，沿er方向的電勢增加率最大grad0 = d0erdn電勢梯度:在方向上與該 點處電勢增加率最大的方 向相同，在量值上等于沿 Gl=i注意 電勢梯度是矢量三、 電場強度和電勢微分關(guān)系的證明已知：在靜電場中，等勢面與電場線 處處正交。電場線的方向，亦P2即電場強度的方向，指向電勢 Xd p 降落的方向。eXp 3當(dāng)單位正電荷從電勢為(P的p