1.3 等可能概型

1、1.3 等可能概型 第一章 一、等可能概型二、幾何概型設(shè)是隨機(jī)試驗(yàn) E 的樣本空間，若滿足以下兩個(gè)條件： (a) 有限性 試驗(yàn)的樣本空間中樣本點(diǎn)總數(shù)有限； (b) 等可能性 每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同，例如：E1：拋硬幣, 觀察哪面朝上= =H, T稱(chēng)隨機(jī)試驗(yàn)E為等可能概型或古典概型。1. 等可能概型(1) 定義(2) 計(jì)算公式若事件A包含k個(gè)基本事件，則將兩封信隨機(jī)的投入四個(gè)郵筒,求: 1) 前兩個(gè)郵筒中沒(méi)有信的概率, 2) 第一個(gè)郵筒中只有一封信的概率。例1解:設(shè) A = “前兩個(gè)郵筒中沒(méi)有信” B = “第一個(gè)郵筒中只有一封信”1)2)擲兩枚骰子，點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)的概率。答： 1/2例2(

2、3) 計(jì)算方法（a）構(gòu)造A 和的樣本點(diǎn)(當(dāng)樣本空間S 的元素較少時(shí)，先一一列出和A 中的元素，直接利用下面的公式求解（b）用排列組合方法求A 和的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，再利用公式求解預(yù)備知識(shí). 加法原理：完成一項(xiàng)工作m類(lèi)方法，第i類(lèi)方法有種(i=1, 2, , m)，則完成這項(xiàng)工作共有：種方法。.乘法原理：完成一項(xiàng)工作有m個(gè)步驟，第i步有，則完成該項(xiàng)工作一共有：種方法。種方法（i=1, 2, , m ).排列：從n個(gè)元素中取出r個(gè)元素，按一定順序排成一列，稱(chēng)為從n個(gè)元素里取出r 個(gè)元素的排列。(n, r 均為整數(shù)) (rn)進(jìn)行排列，共有(無(wú)放回選取)從n個(gè)不同元素中無(wú)放回的取出r個(gè)種方法。(有放回選取

3、) 從n 個(gè)不同元素中有放回地抽取r 個(gè)，依次排成一列，稱(chēng)為可重復(fù)排列，一共有 種方法。. 組合從n個(gè)元素中無(wú)放回取出r個(gè)元素，不考慮其順序，組合數(shù)為或,例：袋中有三個(gè)球，標(biāo)號(hào)1, 2, 3 任取兩次, 無(wú)放回，考慮順序12,13,21,23,31,32 無(wú)放回，不考慮順序12,13,23 有放回，考慮順序11,12,13,21,22,23,31,32,33一口袋中裝有10只球, 其中6只藍(lán)球, 4只紅球,現(xiàn)從袋中取球兩次, 每次隨機(jī)的取一只,分別按有放回和無(wú)放回兩種方式取球 ,就以上兩種情況求:1) 取到的兩只都是藍(lán)球的概率 ;2) 取到兩只球顏色相同的概率;3) 取到的兩只球中至少有一只是

4、藍(lán)球的概率。例310只球, 其中6只藍(lán)球, 4只紅球，取球2次2) 3) a) 有放回的抽樣A= 兩只球都是藍(lán)球, B= 兩只球都是紅球b) 無(wú)放回抽樣1)2) 3) 10只球, 其中6只藍(lán)球, 4只紅球，取球2次 袋中有a只白球，b 只紅球，從袋中按不放回與放回兩種方式取m 個(gè)球（ ),求其中恰有k 個(gè)（ ）白球的概率。例4解: (1) 不放回情形E1: 不考慮順序，一次取 m 個(gè)球，記下顏色1:記事件 A 為m個(gè)球中有k個(gè)白球，則因此超幾何分布(2) 有放回情形E2: 球編號(hào), 任取一球, 記下顏色, 放回去,重復(fù) m 次2:記 B 為取出的 m 個(gè)球中有 k 個(gè)白球, 則二項(xiàng)分布2. 幾

5、何概型十字路口紅綠燈，周期是60秒，紅燈亮15秒，求一輛汽車(chē)恰好遇紅燈的概率。 一片面積為S的樹(shù)林有一塊面積為S0的空地，一飛機(jī)隨機(jī)的往樹(shù)林空投一包裹，求包裹落在空地上的概率。例5例6幾何概率模型考慮的是無(wú)限多個(gè)等可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn).首先看下面幾個(gè)例子: 已知在10ml的自來(lái)水中有一大腸桿菌，隨機(jī)取2ml放在顯微鏡下觀察發(fā)現(xiàn)大腸桿菌的機(jī)率。上述三個(gè)例題中，樣本空間分別是一維、二維、三維空間，它們分別用長(zhǎng)度、面積、體積來(lái)度量大小，其共同點(diǎn)是樣本空間的樣本點(diǎn)有無(wú)限多個(gè)且出現(xiàn)是等可能的。A是樣本空間的一個(gè)子集，P(A)與A的位置、形狀無(wú)關(guān)，而只與A長(zhǎng)度、面積、體積成正比。例7 設(shè)某個(gè)區(qū)域D，面積為S

6、D, 隨機(jī)試驗(yàn)E為向區(qū)域D投點(diǎn)，如果點(diǎn)落入D的任意子區(qū)域A的可能性大小與A的面積SA成正比，與A的位置和形狀沒(méi)有關(guān)系，稱(chēng)這一類(lèi)型的試驗(yàn)為幾何概型。（1）幾何概型的定義（2）計(jì)算公式注意：一般地，某個(gè)區(qū)域D可以是線段,平面區(qū)域，空間區(qū)域，對(duì)應(yīng)的SD分別為長(zhǎng)度，面積，體積。 (會(huì)面問(wèn)題）甲乙二人約定在7點(diǎn)到12點(diǎn)之間在某地會(huì)面，先到者等一個(gè)小時(shí)后即離去設(shè)二人在這段時(shí)間內(nèi)的各時(shí)刻到達(dá)是等可能的，且二人互不影響，求二人能會(huì)面的概率。解：以X，Y分別表示甲，乙二人到達(dá)的時(shí)刻，8點(diǎn)記為0，則12點(diǎn)記為5，有 0 1 2 3 4 5 y54321.M(X,Y)x即點(diǎn)M落在圖中的陰影部分。所有的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正方形，即有無(wú)限多個(gè)結(jié)果，且各點(diǎn)是等可能的。例8二人會(huì)面的條件是： 0 1 2 3 4