全國高中物理競賽14.近似法

1、十四、近似法方法簡介近似法是在觀察物理現(xiàn)象、進(jìn)行物理實驗、建立物理模型、推導(dǎo)物理規(guī)律和求解物理問題時，為了分析認(rèn)識所研究問題的本質(zhì)屬性，往往突出實際問題的主要方面，忽略某些次要因素，進(jìn)行近似處理.在求解物理問題時，采用近似處理的手段簡化求解過程的方法叫近似法.近似法是研究物理問題的基本思想方法之一，具有廣泛的應(yīng)用.善于對實際問題進(jìn)行合理的近似處理， 是從事創(chuàng)造性研究的重要能力之一.縱觀近幾年的物理競賽試題和高考試題，越來越多地注重這種能力的考查.賽題精講例 1：一只狐貍以不變的速度1 沿著直線AB 逃跑，一只獵犬以不變的速率 2 追擊，其運(yùn)動方向始終對準(zhǔn)狐貍.某時刻狐貍在 F 處，獵犬在 D

2、處， FD AB ，且 FD=L ，如圖 141 所示，求獵犬的加速度的大小 .解析 ：獵犬的運(yùn)動方向始終對準(zhǔn)狐貍且速度大小不變，故獵犬做圖 1412勻速率曲線運(yùn)動，根據(jù)向心加速度a2, r 為獵犬所在處的曲率r半徑，因為r 不斷變化，故獵犬的加速度的大小、方向都在不斷變化，題目要求獵犬在D 處的加速度大小，由于2 大小不變，如果求出 D 點(diǎn)的曲率半徑，此時獵犬的加速度大小也就求得了.圖 14 2甲獵犬做勻速率曲線運(yùn)動，其加速度的大小和方向都在不斷改變.在所求時刻開始的一段很短的時間t 內(nèi)，獵犬運(yùn)動的軌跡可近似看做是一段圓弧，設(shè)其半徑為R，則加速度2a2R其方向與速度方向垂直，如圖14 1甲所

3、示 .在t 時間內(nèi)，設(shè)狐貍與獵犬分別到達(dá)F 與 D ，獵犬的速度方向轉(zhuǎn)過的角度為2 t /R而狐貍跑過的距離是：1t L因而 2t /R 1t /L ， R=L 2 / 12所以獵犬的加速度大小為 a21 2/L=R例 2如圖 142 所示，岸高為 h ，人用繩經(jīng)滑輪拉船靠岸，若當(dāng)繩與水平方向為時，收繩速率為，則該位置船的速率為多大？圖 14 2圖 14 2甲解析要求船在該位置的速率即為瞬時速率，需從該時刻起取一小段時間求它的平均速率，當(dāng)這一小段時間趨于零時，該平均速率就為所求速率.設(shè)船在角位置經(jīng)t 時間向左行駛x 距離，滑輪右側(cè)的繩長縮短L ，如圖 14 2甲所示，當(dāng)繩與水平方向的角度變化很

4、小時，ABC 可近似看做是一直角三角形，因而有L =xcos兩邊同除以t 得：Lx cos，即收繩速率船 costt因此船的速率為船cos例 3如圖 14 3 所示，半徑為R，質(zhì)量為m 的圓形繩圈，以角速率 繞中心軸 O 在光滑水平面上勻速轉(zhuǎn)動時，繩中的張力為多大？解析取繩上一小段來研究，當(dāng)此段弧長對應(yīng)的圓心角很小圖 143時，有近似關(guān)系式sin .若取繩圈上很短的一小段繩AB= L 為研究對象，設(shè)這段繩所對應(yīng)的圓心角為，這段繩兩端所受的張力分別為TA 和 TB （方向見圖 14 3甲），因為繩圈勻速轉(zhuǎn)動，無切向加速度，所以 TA 和 TB 的大小相等，均等于T. TA 和 TB 在半徑方向上

5、的合力提供這一段繩做勻速圓周運(yùn)動的向心力， 設(shè)這段繩子的質(zhì)量為m ，根據(jù)牛頓第二定律有：2T sinm2 R ；2因為L 段很短，它所對應(yīng)的圓心角很小所以 sin22將此近似關(guān)系和 mRmm2 R2代入上式得繩中的張力為m 2 RT圖 14 3甲2例 4在某鉛垂面上有一固定的光滑直角三角形細(xì)管軌道ABC ，光滑小球從頂點(diǎn)A 處沿斜邊軌道自靜止出發(fā)自由地滑到端點(diǎn)C 處所需時間， 恰好等于小球從頂點(diǎn)A 處自靜止出發(fā)自由地經(jīng)兩直角邊軌道滑到端點(diǎn)C 處所需的時間 .這里假設(shè)鉛垂軌道AB 與水平軌道BC 的交接處B 有極小的圓弧， 可確保小球無碰撞的拐彎，且拐彎時間可忽略不計.在此直角三角形范圍內(nèi)可構(gòu)建

6、一系列如圖14 4 中虛線所示的光滑軌道，每一軌道是由若干鉛垂線軌道與水平軌道交接而成，交接處都有極小圓?。ㄗ饔猛希?，軌道均從A 點(diǎn)出發(fā)到 C 點(diǎn)終止，且不越出該直角三角形的邊界，試求小球在各條軌道中，由靜止出發(fā)自由地從 A 點(diǎn)滑行到C 點(diǎn)所經(jīng)時間的上限與下限之比值.解析直角三角形AB 、BC 、 CA三邊的長分別記為l1 、 l 2 、l 3 ，如圖14 4甲所示，小球從A 到B 的時間記為T1 ，再從B到 C 的時間為T2 ，而從A 直接沿斜邊到C 所經(jīng)歷的時間記為T3 ，由題意知T1T2T3 ，可得l 1 ： l 2 ： l 3 =3：4： 5，由此能得T1 與 T2 的關(guān)系.因為l

7、11 gT122l1gT1T2所以l1T1l 22T2因為l 1 ： l 2 =3： 4，所以22 T13小球在圖14 4乙中每一虛線所示的軌道中，經(jīng)各垂直線段所需時間之和為t1T1 ，經(jīng)各水平段所需時間之和記為t2 ，則從A 到C 所經(jīng)時間總和為tT1t2 ，最短的t 2 對應(yīng)t 的下限t min ，最長的t 2 對應(yīng)t 的上限tmax .小球在各水平段內(nèi)的運(yùn)動分別為勻速運(yùn)動，同一水平段路程放在低處運(yùn)動速度大，所需時間短，因此，所有水平段均處在最低位置（即與BC重合）時t 2 最短，其值即為T2 ，故tmin= T1T25T1.3t 2 的上限顯然對應(yīng)各水平段處在各自可達(dá)到的最高位置，實現(xiàn)它

8、的方案是垂直段每下降小量l1 ，便接一段水平小量l 2 ，這兩個小量之間恒有l(wèi) 2l1 cot，角即為 ACB ，水平段到達(dá)斜邊邊界后，再下降一小量并接一相應(yīng)的水平量，如此繼續(xù)下去，構(gòu)成如圖所示的微齒形軌道，由于l1 、l 2 均為小量， 小球在其中的運(yùn)動可處理為勻速率運(yùn)動，分別所經(jīng)的時間小量t1 (i ) 與t 2 (i ) 之間有如下關(guān)聯(lián)：t 2 (i)l2cott1 (i)l1于是作為t2 (i ) 之和的 t 2 上限與作為t1 (i ) 之和的 T1 之比也為 cot. 故 t2的上限必為T1 cot ，即得： tmaxT1T1 cot7 T1.3這樣 t max: t min =7

9、:5例 5 在光滑的水平面上有兩個質(zhì)量可忽略的相同彈簧，它們的一對端點(diǎn)共同連接著一個光滑的小物體，另外一對端點(diǎn) A 、 B 固定在水平面上，并恰使兩彈簧均處于自由長度狀態(tài)且在同一直線上，如圖 14 5 所示 .如果小物體在此平面上沿著垂直于A 、B 連線的方向稍稍偏離初始位置，試分析判斷它是否將做簡諧運(yùn)動？解析因為一個物體是否做簡諧運(yùn)動就是要看它所受的回復(fù)力是否是一個線性力，即回復(fù)力的大小與位移大小成正經(jīng)，方向相反 .因此分析判斷該題中的小物體是否做簡諧運(yùn)動，關(guān)鍵是求出所受的回復(fù)力的表達(dá)式（即此題中所受合外力的表達(dá)式）.以 AB 中點(diǎn)為原點(diǎn)， 過中點(diǎn)且垂直于AB 的直線為 x 軸，如圖 14

10、5甲所示， 取 x 軸正方向為正方向，小物體所受回復(fù)力為：Fx2k(ll 0 ) sin其中 k 為彈簧的勁度系數(shù)，l 0 為彈簧的自由長度，l 為彈簧伸長后的長度，為彈簧伸長后與 AB 直線的夾角 .由幾何知識可得sinxlll 02x 2將、代入式得：l11 x 2kx3Fx02 )2 x 2k1) x2k1 ( 2x(122l 02l0l0由此可見， 小物體受的合外力是一個非線性回復(fù)力，因此小物體將不做簡諧運(yùn)動.同時本題表明，平衡位置附近的小振動未必都是簡諧運(yùn)動.例 6三根長度均為2m ，質(zhì)量均勻的直桿，構(gòu)成一正三角形框架ABC ，C 點(diǎn)懸掛在一光滑水平轉(zhuǎn)軸上， 整個框架可繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動.桿

11、 AB 是一導(dǎo)軌，一電動玩具松鼠可在導(dǎo)軌上運(yùn)動，如圖 14 6 所示，現(xiàn)觀察到松鼠正在導(dǎo)軌上運(yùn)動，而框架卻靜止不動，試論證松鼠的運(yùn)動是一種什么樣的運(yùn)動.解析松鼠在 AB 軌道運(yùn)動，當(dāng)框架不動時，松鼠受到軌道給它的水平力F作用， 框架也受到松鼠給它的水平力F 作用，設(shè)在某一時刻，松鼠離桿AB 的中點(diǎn) O 的距離為 x ，如圖 14 6 所示，松鼠在豎直方向?qū)?dǎo)軌的作用力等于松鼠受到的重力mg ，m 為松鼠的質(zhì)量 .以 C 點(diǎn)為軸，要使框架平衡，必須滿足條件mgxFL sin 603FL，松鼠對AB桿的水平力為22mgx /( 3L) ，式中 L 為桿的長度 .所以對松鼠而言，在其運(yùn)動過程中，沿豎

12、直方向受到的合力為零，在水平方向受到桿AB 的作用力為 F，由牛頓第三定律可知F =F，即 F2mgx /( 3L ) kx其中k2m3L即松鼠在水平方向受到的作用力F作用下的運(yùn)動應(yīng)是以O(shè) 點(diǎn)為平衡位置的簡諧運(yùn)動，其振動的周期為 T2m23L / 2g2.64s.k當(dāng)松鼠運(yùn)動到桿AB 的兩端時，它應(yīng)反向運(yùn)動，按簡諧運(yùn)動規(guī)律，速度必須為零，所以松鼠做簡諧運(yùn)動的振幅小于或等于L/2=1m.由以上論證可知，當(dāng)框架保持靜止時，松鼠在導(dǎo)軌AB 上的運(yùn)動是以AB 的中點(diǎn) O 為平衡位置，振幅不大于1m、周期為2.64s 的簡諧運(yùn)動 .例 7 在一個橫截面面積為S 的密閉容器中，有一個質(zhì)量為m 的活塞把容器

13、中的氣體分成兩部分.活塞可在容器中無摩擦地滑動，活塞兩邊氣體的溫度相同，壓強(qiáng)都是p ，體積分別是V1和 V2，如圖 14所示 .現(xiàn)用某種方法使活塞稍微偏離平衡位置，然后放開，活塞將在兩邊氣體壓力的作用下來回運(yùn)動.容器保持靜止，整個系統(tǒng)可看做是恒溫的.（ 1）求活塞運(yùn)動的周期，將結(jié)果用p 、V 1、 V2、 m 和 S 表示；（ 2）求氣體溫度t0 時的周期與氣體溫度=30 時的周期之比值 .解析（ 1）活塞處于平衡時的位置O 為坐標(biāo)原點(diǎn)x0. 當(dāng)活塞運(yùn)動到右邊距O 點(diǎn) x 處時，左邊氣體的體積由V 1 變?yōu)?V 1+ Sx ，右邊氣體的體積由V2 變?yōu)?V 2Sx ，設(shè)此時兩邊氣體的壓強(qiáng)分別為

14、p1 和p2 ，因系統(tǒng)的溫度恒定不變，根據(jù)玻意耳定律有：p1 (V1Sx)pV1p2 (V2Sx)pV2而以上兩式解出：p1pV1, p2pV2SxSxV1 (1)2V2 (1)V1V2按 題 意 ， 活 塞 只 稍 許 離 開 平 衡 位 置 ， 故 上 式 可 近 似 為 ： p1p(1S x),V1p2 p(1S x) ，于是活塞受的合力為( p1p2 )SpS 2 (11)x.所以活塞的運(yùn)動方V2V1V2程是 ma211pS2 V1V2xpS()xV1V2V1V2其中 a 是加速度，由此說明活塞做簡諧運(yùn)動，周期為2mV1V2pS2 (V1V2 )（ 2）設(shè)溫度為 t 時，周期為，溫度為

15、 t時，周期為.由于 pp，得出TT2mV1V22m V1V2TTTp S2 (V1V2 )2(V1pSV2 )T所以T ，將數(shù)值代入得:0.95T例 8如圖 14 8 所示，在邊長為 a 的正三角形三個頂點(diǎn)A 、 B 、C 處分別固定電量為Q 的正點(diǎn)電荷，在其中三條中線的交點(diǎn) O 上放置一個質(zhì)量為m，電量為 q 的帶正電質(zhì)點(diǎn)， O點(diǎn)顯然為帶電質(zhì)點(diǎn)的平衡位置，設(shè)該質(zhì)點(diǎn)沿某一中線稍稍偏離平衡位置，試證明它將做簡諧運(yùn)動，并求其振動周期.解析要想證明帶電質(zhì)點(diǎn)是否做簡諧運(yùn)動，則需證明該帶電質(zhì)點(diǎn)沿某一中線稍稍偏離平衡位置時，所受的回復(fù)力是否與它的位移大小成正比，方向相反 .因此該題的關(guān)鍵是求出它所受回復(fù)

16、力的表達(dá)式，在此題也就是合外力的表達(dá)式.以 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 AOD 中線為坐標(biāo) x 軸，如圖 14 8甲所示，設(shè)帶電質(zhì)點(diǎn)在該軸上偏移 x ， A 處 Q 對其作用力為 F1 ， B、 C 處兩個 Q 對其作用的合力為F2 ，取 x 軸方向為正方向. 有F1kQq 2kQq2 (1x ) 2(rx)rr因為 rOAOB OC3 a3(1x ) 212x當(dāng) x 很 小 時 可 忽 略 高 次 項 所 以rrF13kQq(16 x)a23aF22(kQqhx)( a ) 2( a ) 2(h x) 2(h x) 222x)( a ) 232kQq(h( hx) 2 22x)( a232kQq (

17、hh22hx) 2（略去 x 2 項）4a 2332kQq(hax)2x)(33x)( a 233 x)32kQq(h)2 (123a63kQq h x(133 x)a32 a63k Qq(h33 hxx)（略去 x2 項）a 32aQq33x63ka 3h(12axh )Qq33ka3(12ax)FxF1F2Q6x39 3Qqx因此帶電質(zhì)點(diǎn)所受合力為3k2q(x)k3a3a2a2a由此可知，合外力 Fx 與 x 大小成正比，方向相反 .即該帶電質(zhì)點(diǎn)將做簡諧運(yùn)動，其振動周期為Tm2 a2am233kQqk例 9欲測電阻 R 的阻值， 現(xiàn)有幾個標(biāo)準(zhǔn)電阻、 一個電池和一個未經(jīng)標(biāo)定的電流計，連成如圖

18、14 9 所示的電路 .第一次與電流計并聯(lián)的電阻 r 為 50.00，電流計的示度為3.9格；第二次 r 為100.00 ，電流計的示度為 5.2 格；第三次 r 為 10.00 ，同時將待測電阻 R 換成一個20.00k 的標(biāo)準(zhǔn)電阻，結(jié)果電流計的示度為7.8格 .已知電流計的示度與所通過的電流成正比，求電阻R的阻值.圖 149解析在測試中， 除待求量 R 外，電源電動勢 E，電源內(nèi)阻 r ，電流計內(nèi)阻 Rg 以及電流計每偏轉(zhuǎn)一格的電流I 0 ，均屬未知 .本題數(shù)據(jù)不足，且電流計讀數(shù)只有兩位有效數(shù)字，故本題需要用近似方法求解.設(shè)電源電動勢為E，電流計內(nèi)阻為Rg ，電流計每偏轉(zhuǎn)一格的電流為I 0

19、 ，用歐姆定律對三次測量的結(jié)果列式如下：E50Rg13.9I 050Rg50 RgRgR50RgrE100Rg15.2I 0100RgR100 Rg Rg100RgrE10Rg17.8I 010Rg10 RgRg10Rg20000 r從第三次測量數(shù)據(jù)可知，當(dāng)用20k 電阻取代R，而且 r 阻值減小時電流計偏轉(zhuǎn)格數(shù)明顯增大，可推知R 的阻值明顯大于20k ，因此電源內(nèi)阻完全可以忽略不計，與R 相比，電流計內(nèi)阻 Rg 與 r 的并聯(lián)值對干路電流的影響同樣也可以忽略不計，故以上三式可近似為：E503.9I 0 R 50 RgE1005.2I 0 R 100RgE107.8I 020000 10Rg待

20、測電阻 R=120k解、三式，可得Rg =50例 10如圖14 10 所示，兩個帶正電的點(diǎn)電荷A、B 帶電量均為 Q，固定放在 x 軸上的兩處，離原點(diǎn)都等于r .若在原點(diǎn) O放另一正點(diǎn)電荷P，其帶電量為 q ，質(zhì)量為 m，限制 P 在哪些方圖 14 10向上運(yùn)動時，它在原點(diǎn)O 才是穩(wěn)定的？解析設(shè) y 軸與 x 軸的夾角為，正電點(diǎn)電荷P 在原點(diǎn)沿 y 軸方向有微小的位移s 時，A 、 B 兩處的點(diǎn)電荷對P 的庫侖力分別為F A 、 FB ，方向如圖 14 10 所示， P 所受的庫侖力在 y 軸上的分量為 F yFA cosFB cos根據(jù)庫侖定律和余弦定理得FAkqQr2s22rs coskq

21、QFBr 2s22rs coscosr cossr 2s22rs coscosr cossr 2s22rs cos將、式代入得：FykqQ (r coss)kqQ (r coss)(r 2s22rs cos)32( r 2s22rs cos) 3 2因為 s很小，忽略 s2 得：FykqQr cossr cossr 3(12scos)32(12s32rrcos )又因為 sr ,2s cos1r3所以利用近似計算(1x) 213 x 得2FykqQ3 ( r coss)(13s cos) (r coss)(13s cos)rrr忽略 s2 得 FykqQs (3cos21)r 31當(dāng)（ 3co

22、s21)0時 Fy 具有恢復(fù)線性形式，所以在cos2范圍內(nèi)， P 可圍繞原3點(diǎn)做微小振動，所以P 在原點(diǎn)處是穩(wěn)定的 .例 11 某水池的實際深度為 h ，垂直于水面往下看，水池底的視深為多少？（設(shè)水的折射率為 n ）解析 如圖 14 11 所示，設(shè)S 為水池底的點(diǎn)光源，在由S 點(diǎn)發(fā)出的光線中選取一條垂直于面MN 的光線，由O 點(diǎn)垂直射出， 由于觀察者在 S 正方，所以另一條光線與光線SO 成極小的角度從點(diǎn)S 射向水面點(diǎn) A ，由點(diǎn) A 遠(yuǎn)離法線折射到空氣中，因入射角極小， 故折射角也很小， 進(jìn)入人眼的兩條折射光線的反向延長線交于點(diǎn)S，該點(diǎn)即為我們看到水池底光源S 的像，像點(diǎn) S到水面的距離 h

23、 ，即為視深 .由幾何關(guān)系有tan rAB / h , tani AO / h, 所以 tan r / tan ih / h ，因為 r 、 i 均很小，則有 tan rsin r , tan i sin i ，所以 sin r / sin ih / h 又因 nsin rsin i所以視深 hh / n針對訓(xùn)練1活塞把密閉氣缸分成左、右兩個氣室，每室各與U 形管壓強(qiáng)計的一臂相連，壓強(qiáng)計的兩臂截面處處相同.U形管內(nèi)盛有密度為7.5 102kg/m 3 的液體.開始時左、右兩氣室的體積都為V0 =1.2 102m3，氣壓都為04.0 103Pa，且液體的液面處在同一高度， 如圖 14 12 所示

24、 .現(xiàn)緩緩向左推動活塞，直到液體在 U 形管中的高度差 h=40cm.求此時左、右氣室的體積V1、V 2.假定兩氣室的溫度保持不變.計算時可以不計 U 形管和連接管道中氣體的體積 .取 g=10m/s2 .2一汽缸的初始體積為V 0，其中盛有 2mol 的空氣和少量的水（水的體積可忽略） ，其平衡時氣體的總壓強(qiáng)是 3.0 大氣壓在膨脹過程結(jié)束時，其中的水剛好全部消失，此時的總壓強(qiáng)為膨脹，使其體積再次加倍，試計算此時：.經(jīng)過等溫膨脹使其體積加倍，2.0 大氣壓 .若讓其繼續(xù)作等溫1）汽缸中氣體的溫度；2）汽缸中水蒸氣的摩爾數(shù)；3）汽缸中氣體的總壓強(qiáng) . （假定空氣和水蒸氣均可當(dāng)做理想氣體處理）3 1964 年制成了世界上第一盞用海浪發(fā)電的航標(biāo)燈，它的氣室示意圖如圖 14 13 所示 .利用海浪上下起伏力量，空氣能被吸進(jìn)來，壓縮后再推入工作室，推動渦輪機(jī)帶動發(fā)電機(jī)發(fā)電 .當(dāng)海水下降時，閥門S1 關(guān)閉， S2 打開，設(shè)每次吸入壓強(qiáng)為631.0 10 Pa、溫度為