全國高中物理競賽專題八物體的性質

1、專題八物體的性質【基本內容】一、固體的性質1、固體的分類我們把具有一定體積和一定形狀的物體成為固體，固體又分為晶體與非晶體兩類，晶體又分為單晶體與多晶體2、固體分子運動的特點由于非晶體沒有固定的熔點，所以非晶體不是嚴格意義上的固體，它可看成粘滯性很大的液體晶體中物質微粒間的相互作用時很強的，微粒的熱運動不足以克服其相互作用而遠離結點微粒的熱運動主要表現(xiàn)為以結點為平衡位置的微振動，稱為熱振動粒子振動的方向、振幅和頻率等都是雜亂無章的3、固體的線膨脹大多數(shù)物體是熱脹冷縮的，設00 C 時桿長 l0 ，加熱到 t 0C ，桿長為 l ，有l(wèi) l 0 1t稱為固體的線膨脹率，它等于單位桿長升高10 C

2、 時的增加量，其數(shù)量級 10 6105K4、固體和液體的體膨脹如果 00 C 時物體體積為 V0 ，加熱到 t 0C 體積為 V ，則有VV0 1t稱為體膨脹率二、液體的性質1、 液體分子運動的特點液體分子排列的最大特點是遠程無序近程有序，因而液體的物理性質表現(xiàn)為各向同性液體分子的熱運動主要表現(xiàn)為在平衡位置附近作微振動，但其平衡位置又是不斷在變化的，因而液體沒有固定的形狀，具有流動性2、 液體的表面現(xiàn)象液體和氣體相接觸的液體薄層稱為表面層在表面層中分子間的距離較液體內部分子間的距離大，因此表面層內液體分子間的作用力表現(xiàn)為引力，從而使得表面層具有收縮的趨勢，我們把液體表面相鄰兩部分間相互吸引的力

3、稱為表面張力表面張力系數(shù)：在液面上取一段長為L 的線段，作用在L 上的表面張力的方向與分界線垂直且與該處的液面相切，其大小與所取分界線的長度成正比，即系數(shù)3、浸潤和不浸潤現(xiàn)象fL ，其中稱表面張力液體與固體相接觸的一層很薄的液體層叫附著層，在附著層中液體分子所受固體分子的作用力叫附著力，所受內部液體分子的作用力叫內聚力如附著力大于內聚力，造成液體分子分布比內部還密，液體分子表現(xiàn)為斥力，從而使附著層有擴大的趨勢，使液體和固體相互附著，這種現(xiàn)象稱為浸潤如果附著層內附著力小于內聚力，造成液體內部分布比內部稀疏，液體分子力表現(xiàn)為引力，從而使附著層沿著固體表面收縮的現(xiàn)象稱為不浸潤同一種液體，對一些固體來

4、說是浸潤的，對另一些固體來說是不浸潤的，如水能浸潤玻璃卻不能浸潤石蠟，水銀能浸潤鋅版卻不能浸潤玻璃4、毛細現(xiàn)象浸潤液體在細管里上升的現(xiàn)象和不浸潤液體在細管里下降的現(xiàn)象叫毛細現(xiàn)象能夠發(fā)生毛細現(xiàn)象的管子稱為毛細管三、氣體的性質1、 氣體的實驗定律玻意耳 馬略特定律：在保持溫度不變的情況下，一定質量的氣體的壓強跟它的體積的乘積是不變的，即 pV恒量，于是pVp Vp V1 12 2在圖上，一定質量的氣體的等溫線為雙曲線查理定律：在保持體積不變的情況下，一定質量的氣體的壓強跟它的熱力學溫度稱正比，即 p2p1 在 p T 圖上，一定質量的氣體的等容線為（延長線）通過原點的直線T2T1蓋呂薩克定律：在保

5、持壓強不變的情況下，一定質量的氣體的體積跟它的熱力學溫度成正比，即 V2V1 在 V T 圖上，一定質量的氣體的等壓線為（延長線）通過原點的直線T2T12、理想氣體宏觀定義：嚴格遵守氣體實驗定律的氣體微觀特征： a、分子本身的大小比起它們的間距可以忽略，分子不計重力勢能；b、除了短暫的碰撞過程外，分子間的相互作用可以忽略 意味著不計分子勢能；c、分子間的碰撞完全是彈性的3、理想氣體的的狀態(tài)方程對于質量為 m 的理想氣體，若該氣體的摩爾質量為，氣體質量的物質的量為，則任意質量的理想氣體的狀態(tài)方程（又稱為克拉伯龍方程）為pVRTm RT式中 R 為普適氣體常數(shù)，其值為R8.31JmolgK4、 混

6、合理想氣體道爾頓分壓定律：混合氣體的壓強等于各組分分壓強的和，即pp1p2pn 所謂某組分的分壓強，是指這個組分單獨存在、具有與混合氣體的溫度和體積相同的壓強四、理想氣體狀態(tài)變化的特殊過程1、等容過程氣體等容變化時，有p TC （常數(shù)），而且外界對氣體做功為零，這樣根據(jù)熱力學第一定律有 QE ，而QCVT ,Ei RT ，2故CVi R2式中對單原子分子 i3，對雙原子分子i5 ，對多原子分子 i 6 2、等壓過程氣體在等壓變化時，有V TC ，且有Wp V2V1R T2T1QC pT2T1i R T2 T1 2將這三個表達式代入熱力學第一定律中得C pCVR3、等溫過程氣體在等溫變化過程中有

7、pVC ，而且理想氣體的內能不變，因而有Q WRT ln V2RT ln p10V10p2式中 V1、V2 分別為過程始末態(tài)時系統(tǒng)的體積，p1、p2 分別為過程始末態(tài)時系統(tǒng)的壓強4、 絕熱過程在絕熱過程中，一定質量的理想氣體與外界無熱量交換，即Q 0，因而WEiR E2絕熱過程中有pV nCC p式中 n 稱比熱容比，其定義式為nCV5、 自由膨脹過程氣體向真空的膨脹過程稱為氣體的自由膨脹氣體自由碰撞時，沒有外界阻力，所以外界不對氣體做功，即W0 ，又因為過程進行的很快，氣體來不及與外界交換熱量，可看出是絕熱過程，即 Q0 ，根據(jù)熱力學第一定律可知，氣體絕熱自由碰撞以后其內能不變6、 循環(huán)過程

8、系統(tǒng)由一平衡態(tài)出發(fā)，經歷一系列過程又回到原來的平衡態(tài)的過程，稱為循環(huán)過程系統(tǒng)的循環(huán)過程可在pV 圖上用一閉合曲線表示如果在pV 圖上p所示的循環(huán)過程是沿順時針方向進行的，稱為正循環(huán)，如熱機的工作過程，反之，稱為逆循環(huán)如圖所示是一正循環(huán)過程， 系統(tǒng)對外界所做的總功W 為 pV圖中循環(huán)曲線所包圍的面積，而循環(huán)過程中內能增量E 0，根V據(jù)熱力學第一定律， 系統(tǒng)吸收外界的熱量 Q1 一定大于系統(tǒng)向外界放0出的熱量 Q2 ，且有 Q1Q2W熱機的效率表示吸收來的熱量又多少轉化為有用的功，是熱機性能的重要標準之一，效率的定義為W1Q21Q1Q1【例題】例 1如圖所示，在一內徑均勻的絕熱的環(huán)形管內，有三個薄

9、金屬片制成的活塞將管隔成三部分活塞的導熱性和封閉性良好，且可無摩擦地在圓環(huán)內運動三部分中盛有同一種理想氣體容器平放在12水平桌面上起始時，、三部分氣體的壓強都是p0 ，溫度分3別是 t130 C,t2 47 0 C,t3 27 0 C 三個活塞到圓環(huán)中心連線之間的夾角分別是1900 , 2 1200, 3 15001） 試求最后達到平衡時，三個活塞到圓環(huán)中心的連線之間的夾角各是多少？2） 已知一定質量的理想氣體的內能的變化量與其溫度的變化量成正比（與壓強、體積的變化無關），試求達到平衡時氣體的溫度和壓強解： 1）設氣體的摩爾質量為M ，三部分氣體的質量分別為m1, m2, m3 ，起始時體積分

10、別為 V ,V ,V ，起始溫度已知為 T270K,T320K,T 300K ，由氣態(tài)方程可知123123p0V1m1 RT1, p0V2m2 RT2 , p0V3m3 RT3（ 1）MMM由題意知V1 :V2:V31: 2: 3（ 2）最后達到平衡時，三部分氣體的壓強和溫度都相同，所以它們的體積V1 ,V2 ,V3 與其質量成正比設那時對應的角度為1,2 ,3，則有1: 2: 3V1 :V2 :V3m1 : m2 : m3（ 3）另外，有3600C（ 4）123由以上各式可解得9901120,0（ 5）1, 23 1492） 設單位質量的這種理想氣體溫度每變化一開其內能的變化量為c ，氣體最

11、后平衡時溫度和壓強分別為 T 和 p ，由能量守恒可得mc1T T1m2 c T T2m3 c T T3 0（ 6）由（ 3）、（ 5）、（ 6）三式可得TmT11 m2T2m3T31T12T23T3298 Km1m2m3123用表示三部分的總體積，由（1）式可得p VmTm Tm TR M0112233達到平衡時有pVm1m2m3RT M由（ 6）式可知，（ 7）、（ 8）兩式得右邊相等，所以得到pp0 例 2如圖（ a）所示，一球形肥皂泡，其中充有空氣（不計空氣質量），泡外為真空，平衡時其半徑長為r0 由于受到擾動，肥皂泡作微小的徑向膨脹、收縮振動，求其振動周期設振p Sr0f合ffO圖（

12、 a）圖（ b）動過程泡內空氣溫度保持不變，已知肥皂泡的質量為m ，肥皂膜的表面張力系數(shù)為解：如圖（ b）所示，取一塊對球心O 所對夾角為 2的很小圓球面肥皂膜作為研究對象，平衡時肥皂泡內的壓強為 p0 平衡時2 2 r0 m mp0r0m2p04r0當肥皂泡作微小振動使膜向外膨脹x 時， rr0 x ，此時對泡內氣體由波馬定理有p04r03p 4r03x33r03pp0r0 x又小肥皂膜所受到的表面張力合力為f合 fsin2r0 x 2 sin4r0 xsin4r0 x2極小時 ,sin且f回f合 p S故有f回4r0 x4r0 x23r0p0r02r0 xx2r32 20p0r0 x3r0

13、 x42r0 xr02r0 x42 x 1r0 xr082為極小值x x則f回kx, 其中 k82小肥皂泡質量為mr02 2m1 2 m4r024其振動周期為T2mm8例 3 有一內徑均勻， 兩支管等長的 （長度大于 78cm ）的U 型管 ACDB ， A 端封閉， B 端開口，用水銀將一定質量的理想氣體封閉在A 端后，將管豎直倒立，如圖所CD示 ， 平 衡 時 兩 管 中 液 面 高 度 差 為 2 c m ， 此 時 封 閉 管 中 氣 柱 的 長 度L0 =38cm 若保持溫度不變，不計水銀與管壁的摩擦，當輕輕晃動一下使2cmh （ h2cm ）時，將出現(xiàn)什么現(xiàn)象，試加以討論并左端液面

14、上升或下降說明理由L0解：本題由于玻璃管的形狀較為特殊，因此液面上下晃動以后可能產生多種情況，需要把管內CD 部分水銀柱向左、右兩邊的壓強差p 的表達式 AB寫出來，然后加以討論以 A 端密封氣柱為研究對象， 以最初平衡位置為初態(tài)， 左邊液面上升 （或下降） 了 h（設此時液柱速度為零）為末態(tài)，根據(jù)玻意耳定律可得p02 L0Sp L0h S解得p02 L0（ 1）phL0此時 U型管內 CD 段水銀柱所受左、右兩邊的壓強差p p p0 2 2 h p p0 2 2 h（ 2）將（1）代入（ 2）式得h 2 h2（ 3）ph38由此可見，p 可正可負，h 為 1（或 -1）是臨界值，現(xiàn)討論如下：

15、1)如果h1cm,p0 ，水銀柱將被壓回原來位置，并在原來平衡位置附近振動；2)如果h1cm,p0 ，水銀柱將繼續(xù)受到一個向右的壓強，左端水銀面將繼續(xù)上升，而且從p 的表達式可以看出，越大，h 也越大，水銀將不斷地由從A 管流向B 管由于兩管長度和水銀柱長度都大于78cm ，當A 管液面上升到C 時，B 管中水銀柱長度大于76cm ，因此，水銀柱將繼續(xù)流向B 管，甚至有一部分水銀流出B 管口3)如果h1cm ，而且此時水銀柱速度又恰好為零，那么由于p0 ，所以，這是一個新的平衡位置 但這是一個不穩(wěn)定平衡，如果稍有擾動， 水銀柱就將離開這個位置如果 A 端液面因受擾動而向下運動，那么將出現(xiàn) 1）

16、中的情況； 如果 A 端液面因受擾動而向下運動，那么將出現(xiàn) 2）中的情況例 4 在一個橫截面積為 S 的封閉容器中，有一個質量為 m 的活塞把容器中的氣體分成兩部分，活塞可在容器中無摩擦的滑動，當活塞處于平衡時，活V1m V2塞兩邊氣體的溫度相同，壓強都是p ，體積分別為 V1 和 V2 ，如圖所示現(xiàn)在用某種方法使活塞稍微偏離平衡位置，然后放開，活塞將在兩邊氣體的壓力作用下來回運動，整個系統(tǒng)可看做是恒溫的1） 求活塞運動的周期，將結果用p、V1、V2、 m 和 S 表示2） 求氣體溫度 t0 0C 時的周期與氣體溫度 t 30 0 C 時的周期 之比值解： 1）以活塞A處于平衡時的位置為坐標原

17、點x0 ，當活塞運動到x 處時，體積 V變?yōu)?V1 Sx，體積 V2 變?yōu)?V2Sx設此時兩邊氣體的壓強分別為p1、p2 ，則p1V1SxpV1p2V2SxpV2得p1pV1, p2pV21 Sx1 SxV1V2V1V2由題意知，活塞只稍許離開平衡位置，故又可將上式近似寫成p1p 1 Sx , p2p 1 SxV1V2于是活塞受的合力為pp SpS2 11 x12V2V1所以活塞作簡諧運動，振動周期為mVV221pS2 V1V22）設溫度為 t 時活塞的運動周期為，溫度為 t 時周期為 ，由于ppTT 2mVV122mVV12TT故得S2 V1V22 V1V2 TT ppST可見有T 以 T2

18、73K, T 303K 代入上式得0.95例 5 定容摩爾熱容CV 為常量的某理想氣體，經歷如圖所示的pp V 平面上的兩個循環(huán)過程 A1B1C1 A1 和 A2B2C2 A2 ，相應的頻率分別為B11和 2 ，試比較 1和 2的大小解：循環(huán)過程的效率為WA1C1，其中 W 是氣體經循環(huán)過程對外所做B2QA2的功， Q 為氣體從外界所吸收的熱量本題A1 B1C1 A1 和 A2 B2C2 A2 兩個C2O V1V2 V循環(huán)過程的功， 可從圖中直角三角形的面積得到在 A1 B1C1 A1 循環(huán)過程中，A1B1 階段氣體對外做功，內能增大，吸收熱量；B1C1 為等容降壓過程，溫度降低，放出的熱量為

19、NCV T （為氣體的摩爾數(shù)） ； C1A1 為等壓過程，溫度降低，放出的熱量為NC p T 因此循環(huán)過程中的吸熱量就是 A1B1 過程的吸熱量循環(huán)過程A2B2C2 A2 的情形也類似先計算循環(huán)過程A1B1C1 A1 效率，設氣體的摩爾數(shù)為n 循環(huán)過程 A1B1C1 A1 對外所作的功即A1 B1C1 ，為 W11pB 1pC 1 V2V11為圖中三角形的面積2pB 1pA 1 V 2 V 1式中2pB1 和 pC1 分別是理想氣體在狀態(tài)B1 和 C1 時的壓強又 A1B1 過程是通過原點的直線，過程的方程可寫為pkV ，因此 pB1pA1k V2V1 ，代入 W1 表達式，得 W1k V2V

20、12n1 ，過程的方又直線 A1B1 過程是多方過程，指數(shù)為程式為 pV 1常量 ，此多方過程的摩爾熱容量為 C1n CV1 CV ，式中是氣體的絕熱n2指數(shù)11,0 設 A1和 B1狀態(tài)的溫度分別為T1和 T2， 則 有 pA1V1 NRT1, pB V12 NRT ，2相減得T2T11pB 1V2pA1V1kV22V12，所以 A1B1C1 A1 循環(huán)過程中所吸收的熱量為NRNRQ1NC T2T1Ck V22V12R可知 A1B1C1 A1 循環(huán)過程的效率為W1k VV2R V2V12211Q1Ck222C V2V1RV2V1同理， A2 B2C2 A2 循環(huán)過程的效率為2RV2V12C

21、V2V1以上兩式表明， 兩循環(huán)過程的效率與直線A1B1 或 A2 B2 的斜率大小無關， 而只與 C 及 V1、V2有關，其中 C 也與直線的斜率無關，因此只要相應的V1 和 V2 相同，效率就相同，所以兩循環(huán)過程的效率相同，即 12 例 6如圖所示為一直立氣缸，絕熱活塞的質量M7.00kg ，截面積 S25.0cm2 ，倔強系數(shù) k300N m 的輕彈簧，與活塞和氣缸底部相連接缸內裝有理想氣體，其摩爾內能 E3RT ，測得汽缸溫度 T1300K ，壓強 p1 1.4 105 Pa，2h氣缸長 L1 50.0cm，大氣壓 p0 1.00 105 Pa現(xiàn)有 m3.00kg 的鉛塊自活塞正上方 H

22、80.0cm 處自由落下，與活塞發(fā)生完全非彈性碰撞已知碰L1后鉛塊在運動中某刻又與活塞分開，此時溫度為T2290K 鉛塊最終上升到活塞初位置上方h 7.8cm 處，試求自鉛塊和活塞開始一起向下運動到鉛塊離開活塞的整個過程中，外界傳給缸內氣體的熱量，假設缸壁光滑導熱，g 10m s2 解：以缸內氣體為研究對象，根據(jù)熱力學第一定律可知，氣體從外界吸收的能量等于氣體內能的增量與氣體對外做功（轉化為彈簧的彈性勢能、活塞的動能和勢能以及推動活塞克服大氣壓力做功）之和求出系統(tǒng)初、末態(tài)的相關力學與熱學參量，即可得出結果設彈簧原長為L0 ，鉛塊未落時，有p1Sp0 SMgk L1L0則L0 0.400 m設鉛

23、塊與活塞碰后的共同速度為v1 ，則mv01.2 m sv1mM兩者碰后經平衡位置下落到速度為零處，便一道向上加速到平衡位置a 0,v vm ，再向上減速運動， 當向下的加速度增大到g 值時，鉛塊便與活塞分開， 設此時（末態(tài)）氣柱長為 L2 ，有p2Sp0SMm gk L2L0Mmgp1L1T2p2L2T1由以上兩式得L2 0.565 m設鉛塊和活塞分離時的共同速度為v2 ，由機械能守恒有1 mv22mg h L2 L12得v2 0.510 m s整個過程中，氣體內能的變化量為E3 nR2T2T13 p1L1S T22T1T1氣體對外界做功為W1 k L LL L21 M m v2v222201

24、0221p0S L2L1M m g L2L1故氣體從外界吸收熱量為QEW10.7J例 7 如圖（ a）所示，有mol 的理想氣體經過1 231 的循環(huán)過程， 過程 12和2 3在圖中是直線段，而過程3 1可表達為 T0.5T1 3BVBV ，式中TB 是未知的常數(shù)，圖中的T 是絕對溫標的溫度，求氣體在一個循環(huán)中所22T1做的功1解：為了計算一個循環(huán)所做的功， 一般可利用理想氣體的狀態(tài)方程，T13把循環(huán)過程反應到 p V 圖上把 31 過程的溫度表達式代入狀態(tài)方程pVRT 中，可得到在（a）V這個過程中壓強隨體積的變化關系是線性的，即有p0.5 RT1 B 3BV這樣便可把TV 圖上的循環(huán)過程反

25、應到pV 圖上仍考慮31 過程，將 TT1 代入V 表達式中得T10.5T1 3 BVBV解得 V112，這表明： 過程 12 是氣體在常壓 p2 下的膨脹， 在過程,V2,即 V2 2V1BB2 3 中氣體體積不變， 而壓強及溫度減小為原來的1 2 ，在 pV 圖上循環(huán)過程是一個直角三角形，循環(huán)方向為順時針，如圖（b）所示，所求的功為圖中三角形的面積，即pW1p2 p1 V2 V112p2212 RT1RT1V2V1p132V1V21RT1V1V2 V4（b ）例 8 絕熱容器 A 經一閥門與另一容積比A 大很多的絕熱容器B 相連開始時閥門關閉，兩容器中盛有同種理想氣體，溫度均為300 C

26、， B 中氣體的壓強為A 中的兩倍現(xiàn)將閥門緩慢打開，直至壓強相等時關閉問此時容器A 中氣體的溫度為多少？假設在打開到關閉閥門的過程中處在 A 中的氣體與處在B 中的氣體無熱交換已知每摩爾氣體的內能為U5 RT ，式中2R 為普適氣體恒量， T 是熱力學溫度解：打開閥門后，原B 容器中一部分氣體被壓入A 容器，由于無熱交換，所以B 容器中其他氣體對這部分氣體所做的功應等于A 容器中氣體（包括壓入的那部分氣體）內能的變化設氣體的摩爾質量為，容器 A 的體積為 V ，閥門打開時，其中氣體的質量為M ，壓強為 p ，溫度為 T 由pVM RT得MpV（ 1）RT因為容器 B 很大，所以在題中所述的過程

27、中，B 中氣體的壓強和溫度皆可視為不變根據(jù)題意，打開閥門又關閉后，A 中氣體的壓強變?yōu)? p ，若其溫度為 T ，質量為 M ，則M 2 pV（ 2）RT 進入 A 的氣體的質量M M MpV21（ 3）RT T設這些氣體在容器 B 中時所占的體積為V ，則VM RT（ 4）2 p為把這些氣體壓入容器A ，容器中其他氣體對這些氣體做的功為W2 p V（ 5）由（ 3）、（ 4）、（5）式得2T1（ 6）W pVT中氣體內能的變化為UM2.5R TT（7）因為與外界沒有熱交換，根據(jù)熱力學第一定律有WU（ 8）由（ 2）、（ 6）、（7）和（ 8）式得2TTT 12 2.51T （ 9）結果為T

28、353 K例9一個質量為 m200.0kg ，的薄底大金屬桶倒扣在寬曠的水池底部，如圖（ ）所示桶a的 內 橫 截 面 積 S0. 5 0 02m（ 桶 的 容 積 為 l0 S ）， 桶 本 身 （ 桶 壁 與 桶 底 ） 的 體 積V02.50 102m3，桶內封有高度l2. 0 0 mH020. 00 m的空氣，池深，大氣壓強p1 0. 00 m水柱，水的密度1.00033 ，重力加速度 g 取2 ，若用圖（ b）010 kg m10.00m s所示的吊繩將桶上提，使桶底能達到水面處，則繩的拉力所需做的功有一最小值，試求從開始到繩拉力剛完成此功的過程中，桶和水（包括池水和桶內水）的機械能

29、改變了多少（結果只保留三位有效數(shù)字）？不計水的阻力，設水溫很低，不計其飽和蒸汽壓影響，并設水溫上下均勻且保持不變解：此題是力熱綜合的題型，解此題的關鍵在于確定浮力等于重力的位置因此隨著桶的H 0l H(a)(b)上提，桶內空氣壓強減小，體積將增大，從而對桶和桶內空氣（空氣質量不計）這一整體的浮力將增大因此，浮力等于重力的位置是桶的不穩(wěn)定平衡的位置，再稍上提，浮力將大于重力，此時繩不必再拉桶，桶也將在浮力作用下上浮到達水面并冒出，所以，繩對桶的拉力所需做的最小功的過程，就是緩慢地將桶由池底提高到浮力等于重力的位置所經歷的過程假設存在這一位置，如圖（b）所示，設在此位置時桶內空氣的高度為l ，因為

30、浮力等于重力，應有mgl S V0g（ 1）代入已知數(shù)據(jù)可得l 0.350 m（ 2）設此時桶的下方邊緣距池底的高度為H ，由玻意耳定律，有p0H 0l 0 llp0 H 0 H l0 l l （ 3）由（ 2）（ 3）兩式可得H12.24 m因為 HH 0 l0 ，即整個桶仍浸在水中，可知存在上述浮力等于重力的位置現(xiàn)在再求將桶由池底緩慢地提高到H 處時， 桶及水的機械能的增量E ， E 包括三部分：1） 桶的勢能的增量E1 ，顯然這個值是正的2）在 H 高度時，桶本身排開的水，可看作這些水下降到了池底，填充桶原來所占的空間，引起的水勢能的增量E2 ，顯然這個值時負的3）在 H 高度處，桶內空

31、氣所排開的水可看做一部分下降去填充在池底時空氣所占的空間，一部分（由于空氣膨脹）上升到水池表面，由此引起水的勢能的增量E3 在這一增量中，前者是負的，后者是正的因此，有E1mgH（ 4）E2V0 gH（ 5）ElSg l01 lS l l gH0l Sg Hl01 l （ 6）322所以，系統(tǒng)機械能的增量為EE1E 2E 3SlgHSg l l 2l2（ 7）mV0l H 0 l02由（ 1）式可得ESg l l H 0l 0l 2l 2（ 8）2代入數(shù)值計算，結果取三位有效數(shù)字，得E1.37104J例 10 1mol 理想氣體緩慢地經歷了一個循環(huán)過程，在pVp3B圖中這過程是一個橢圓，如圖所

32、示已知此氣體若處在與橢圓中p02AV0 , p0Cp0心 O 點所對應的狀態(tài)時，其溫度為T0300K 求整個循環(huán)過程O1中氣體的最高溫度 T1 和最低溫度 T2各是多少？p0D2解：在 p V 圖中，描寫此氣體循環(huán)過程的橢圓方程為O 13VV0V0V02222p p0V V0122（ 1）1V01 p022現(xiàn)在考慮橢圓與溫度為T 的等溫線pVRT（ 2）的交點所對應的狀態(tài)一般來說，對給定溫度為T 的等溫線，它與橢圓有兩個交點而與橢圓相切的等溫線，它對應的溫度即為循環(huán)過程中的最高或最低溫度（ 1）、（ 2）兩式可改寫為2p2V1）11（ 3V0p04pVRTT（ 4）p0V0p0V0T0式中 T

33、0p0V0 即為 O 點上的溫度RVpy令x,p0V0則（ 3）、（ 4）式可改寫為2y21x 11（ 5）4xyC（ 6）式中 CT，（ 5）式又可改寫為T021xy12xy14（ 6）、（ 7）兩式消去y ，得二曲線交點的x 值應滿足的方程式xC12C3x4由于此循環(huán)過程中 xV1 , yp1上式右邊應取 “+”（ 8）式可改寫為V02p02x212C3xC 04這是 x 的二次方程，它的兩個根植就是等溫線與橢圓的兩個交點所求最高、最低溫度相當于使曲線相切時的C 值這時（ 9）式有等根，即2312C4C04由（ 10）式得4C 29C49016解得二曲線相切時的兩個C 值7）8）9）10）

34、932C11.838（ 11）932C20.4188最后得最高溫度T1C1T0549K最低溫度T2C2T0125KA例 11 一直立的汽缸由截面積不同的兩圓筒連接而成，活塞 A和 B用一長 2l 的不可伸長的細線連接，它們可在筒內無摩擦地上下滑動A和B的2l截面積分別為 SA20cm2 , SB10cm2 AB 間有一定質量理想氣體A 上lB方和 B 下方都是大氣，大氣壓強保持為1.0 105 Pa .1) 當缸內氣溫為 600K、壓強為 1.2105 Pa 時， A 和 B 的平衡位置如圖所示，已知活塞 B的質量 m1kg，求活塞A的質量mA2 .B? g 10m s已知缸內氣體由 600K

35、 緩慢降低時， AB 之間距離保持不變，并一起向下緩慢移動（可認為兩活塞仍處在平衡狀態(tài)），直到活塞 A 移到兩圓筒連接處此后若氣體繼續(xù)降溫，直到 AB之間距離開始小于2l 為止試分析在降溫的整個過程中，缸內氣體壓強的變化情況，并求出氣體的最低溫度解： 1）設初態(tài)時，缸內氣體壓強為p1 ，細線拉力為F1 ，活塞 A、 B 的平衡條件分別是p0 SA mA g F1p1SA 0（ 1）p S m g F pS 0（ 2）1BB10 B已知 p0 1.0 105 Pa,p11.2 105 Pa,mB1kg ，可得mA 1 k g2）當氣體降溫時，在活塞A 移至兩圓筒聯(lián)接處之前，AB 間距離不變，且處

36、于平衡態(tài)，則任何時刻兩活塞組成的系統(tǒng)所受合外力為零設缸內氣體壓強為p2 ，有p0 SAp0 SBmA g mB g p2SAp2SB 0（ 3）由（3）式可以得到 p2p1 這表明在 T1600K 開始降溫， 在活塞 A 移至聯(lián)接處過程中，缸內壓強一定，是等壓降溫階段，A 到達聯(lián)接處，缸內氣溫T2 由蓋呂薩克定律知lSAlSB2lSB（ 4）T1T2當氣溫為 T2 時，活塞 B 靜止此后缸內壓強 p ，細線拉力 F ，有p0 SBpSBF mB g 0（ 5）氣溫由 T2 繼續(xù)下降，p 變小， F 亦變小，但 B 仍靜止直至 F 減小至零為止，是定容降溫階段當 F 0 后繼續(xù)降溫，活塞B 將上

37、移， AB 間距離開始小于 2l 的溫度，就是 F0 時的氣溫此時缸內壓強為 p3 ，則有p3p0mB g SB（ 6）氣體最低溫度 T3 可由查理定律和（ 4）、（ 6）式求得T3p3 T2300Kp2例 12 質量為 m 、摩爾質量為 M 、摩爾定容熱容量 CV 1.5R 的理想氣體經歷的直線過程如圖（ a）所示，1) 試確定此過程的TV 關系，并畫圖；2) 試確定此過程中比熱c 與體積之間的關系，畫出曲線，并依據(jù)cQc 值對各段曲線m T的正、負作定性解釋Tcp7RTmaxA2M152 p0TminRV0B8p0A2MBO3 V02V0 VOV03V02V0VO2V0VV022（ c）（

38、a）（b）解： pV 圖上的直線表明過程中p 與 V 成線性關系，利用圖上A、B 態(tài)的參量，寫出過程中 p V 的定量關系，把它與狀態(tài)方程結合，即可寫出過程中的TV 關系，并畫圖根據(jù)比熱的定義， 利用 TV 關系式得出T 與V 的關系，再利用熱力學第一定律給出Q 與V 的關系，由此即可得出cV 關系，然后分段從物理上加以說明1) p V 圖上直線過程的方程為p0V3 p0 ，理想氣體的狀態(tài)方程為mRT ，ppVV0M從而得出 TV 的關系為TMp 0V 23Mp0 VmRV0mR可見，過程的 TV 曲線是拋物線，如圖（b）所示，其中最高溫度Tmax9Mp 0V0，最低4mR溫度 Tmin2Mp

39、 0V0 mR2) 比熱的定義為 cQV 的增量為V ，則，在過程中任取一小過程，設m TTT VVT VMp0VV2V 23Mp0VVVmRV02VVVmRVMp03Mp02mRV0mRMp032VVmRV0Qp VnCVTp0 V 3 p0 Vm 3R Mp03 2 VVV0M2 mRV04p015VVp0V02從上式可知，當1515V0V8 V0,Q0，吸熱；當V8 V0,Q0 ； 當15V0 V 2V0, Q 0 ，放熱8Q4 p0 V15 p0VR 15V08VcV02m TMp 0V2M3V02V3Vm2mRV0V 曲線如圖（ c）所示，由圖可知對 c 值的正、負討論如下：00段，

40、由TV圖可知T上升， T0,Q 0故在此段c0，在接近0V3 V3 V 處22時，溫度 T 幾乎不變與等溫過程相近，T 幾乎為零，故 c315V0 段， T 下降，T0 ，吸熱， Q0，故 c為負值接近 3V0處時，溫度 T2 V082幾乎不變與等溫過程相近，c在 15V0 處， Q0 ，與絕熱過程相同，故c 0 8152V0 段， T 下降，T0放熱， Q0 ，故 c 為正值V08【訓練題】1、 證明成分相同而體積、溫度不相等的兩杯液體，混合后總體積不變，在混合過程中與外界隔熱2、 已知氯化鈉的摩爾質量5.8510 2 kg mol ，密度為2.22 103 kg m 3 ，估算兩相鄰鈉離子

41、的最近距離（要求一位有效數(shù)字）3、 厚度均為 h0.2mm 的鋼片和青銅片，在T1293K 時，將它們的端點焊接起來，成為等長的平面雙金屬片若鋼和青銅的線膨脹率分別為10 5 K 和 2 10 5 K 當把它們的溫度升高到 T2393K 時，它們彎成圓弧形，試求這圓弧的半徑4、 一根 1.0m長的豎直玻璃管， 在 20 0 C 時用某種液體灌到一半，問當玻璃管溫度升高到30 0 C 時，液體高度變化了多少？取玻璃的線膨脹系數(shù)為1.0 10 50 C ，液體的體膨脹系數(shù)為 =4.0 10 50 C 5、 兩根均勻的不同金屬棒， 密度分別為1、 2 ，線膨脹系數(shù)分別為1、2 ，長度都為 l ，一端

42、粘合在一起，溫度為0 0 C ，懸掛棒于 A 點，棒恰成水平并靜止，如圖所示，若溫度升高到t 0 C ，要使棒保持水平并靜止，需改變懸點，A設位于 B 點，求 AB 間的距離ll6、 有三根端點互相連接的線浮在水面上，如圖所示，其中1， 2 兩條長1.5cm ，第三條長 1cm ，先在圓中 A 點處滴下某種雜質，使水的表面張力系112數(shù)比原來減小了倍，求每根線上的張力然后再把該種雜質滴在B 點，32.5BA再求每根線上的張力已知水的表面張力系數(shù)=0.07 N m 7M 、長度為 L 的車廂可以無、 如圖所示，一輛質量為摩擦地沿軌道運行， 車廂內充滿氣體， 正中間由可動的豎直輕m 2 m 2隔板

43、分開，氣體的初始溫度為T ，右半側車廂內裝有加熱器，a使氣體溫度加熱到2T，左半側車廂內氣體溫度保持初溫，試Oxm 求車廂發(fā)生的位移氣體的總質量為8U型細玻璃管豎直倒立放置，A 端封閉， D 端為5cm、 一內徑均勻的開口，如圖所示，當豎直管AB 內空氣溫度為 27 0 C 時，管內封閉的空氣BC柱長為 40cm ，U 型管水平部分 BC 長 5cm ，充滿了水銀，當 AB 管內的40cm氣溫發(fā)生變化時，水平部分的水銀將發(fā)生移動，設管外大氣壓強恒為75cmHg ，試求要使管內水銀離開水平管BC ， AB 管內空氣溫度應是多少？AD9、 如圖（ a）所示，有兩個截面為S 的相同的 U 形管 1、

44、 2，其內部裝有高度為h1 和 h2 、密度為的液體現(xiàn)用同樣截面的導管將兩者在大氣中密接起來，如圖（b）所示導管中有一活塞 D ，它把管中氣體分成長度皆為L0 的兩部分，每部分中氣體的壓強皆為大氣壓p0 活塞與管壁間的最大靜摩擦力為F 現(xiàn)向 U 形管 1 開口端緩慢注入一質量的同種液體，達到平衡時U 形管 2 的左側液面高度變?yōu)閔3 試求注入液體的體積Dh1h2h1 Lh21212(a)(b)10、在一個圓柱形容器中用移動活塞將氣體分成兩部分，每部分為1mol 單原子氣體容器左側保持溫度不變，活塞不導熱，移動無摩擦，如圖所示求兩邊溫度相等時右邊氣體的熱容11、質量為 m1 的圓筒水平地放置在真

45、空中，質量為 m2 、厚度可忽略的活塞將圓筒分為體積相同的兩部分，圓筒的封閉部分充有 nmol 的單原子理想氣體，氣體的摩爾質量為 M ，溫度為 T0 ，突然放開活塞，氣體逸出試v2m1v1問圓筒的最后速度是多少？設摩擦力、圓筒和活塞的熱交m2換以及氣體重心的運動均忽略不計（ T0273K, m1 0.6kg, m2 0.3kg,n 25mol 氦的摩爾質量為 4 10 3 kg mol,CV12.6J mol K,5 3 ）12、 00 C 時，一水銀溫度計玻璃泡的容積為V0 ，毛細管的橫截面積為A0 ，玻璃的線脹系數(shù)為1 ，水銀的體脹系數(shù)為若 00 C 時，泡內恰好盛滿水銀，證明：1） 在

46、 t 0C 時，設A0 不變，毛細管中水銀的高度與t 成正比；2） 若 t 隨溫度變化，第一問的結論是否成立13、毛細管由兩根內徑分別為d1 和 d2 的薄玻璃管構成，其中d1d2 ，如圖所示管內注入質量為M 的一大滴水，當毛細管水平放置時，整個水滴“爬進”細管內，而當毛細管豎直放置時，所有水從中流出來試問當毛細管的軸與豎直方向之間成多大角時，水滴一部分在粗管內而另一部分在細管內？水的表面張力系數(shù)，水的密度為對玻璃管來說，水是浸潤液體14、有一氣筒， 除底部外都是絕熱的，上邊是一個可以上下無摩擦地移動不計重力的活塞，中間有一個位置固定的能導熱的隔板，把筒分割成相等的兩部分A和 B，在 A和 B中各盛有1mol 氮氣，如圖所示， 現(xiàn)有底部慢慢地將350J 的熱量傳送給氣體，設導熱板的熱容量可忽略，求 A 和 B 溫度改變了多少？它們各吸收了多少熱量？若將位置固定的導熱板換成可自由滑動的絕熱隔板，其他條件不變，則A 和 B 溫度又改變了多少？15、在水平放置的潔凈平玻璃板上倒一些水銀，由于重力和表面張力的影響，水銀近似成圓餅形狀（側面向外突出），過圓