必修四平面向量共線的坐標(biāo)表示附答案

1、平面向量共線的坐標(biāo)表示學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.2.能根據(jù)平面向量的坐標(biāo)，判斷向量是否共線.3.掌握三點(diǎn)共線的判斷方法.區(qū)知識(shí)梳理自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)一平面向量共線的坐標(biāo)表示.設(shè)a=(xi,yi),b=(x2,y2),其中bw0,a、b共線，當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)Z,使a=h.如果用坐標(biāo)表示可寫(xiě)為(xi,yi)=Xx2,y2),當(dāng)且僅當(dāng)xiy2&yi=0時(shí)，向量a、b(bw。)共線.思考i向量a=(xi,yi),b=(x2,y2),若xiyix2y2=0或xix2yiy2=0能判斷a/b嗎？答不能.思考2如果兩個(gè)非零向量共線，你能通過(guò)其坐標(biāo)判斷它們是同向還是反向嗎？答能.將b寫(xiě)成后形

2、式，0時(shí)b與a同向，K0時(shí)，b與a反向.知識(shí)點(diǎn)二共線向量與線段分點(diǎn)坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中，我們可以利用共線向量坐標(biāo)之間的關(guān)系，求解坐標(biāo).如,八PiP圖所不，設(shè)P點(diǎn)是直線PiP2上的一點(diǎn)，且=入PP2思考i定比入與分點(diǎn)位置的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表:入i入=i一i0入=0P點(diǎn)位置在PF?的延長(zhǎng)線上不存在在尤旦的延長(zhǎng)線上與旦重合P點(diǎn)名稱(chēng)外分點(diǎn)外分點(diǎn)始點(diǎn)入0iP點(diǎn)位置在P1與中點(diǎn)之間P為中點(diǎn)在中點(diǎn)與山之間P點(diǎn)名稱(chēng)內(nèi)分點(diǎn)思考2設(shè)p1(x1,yi),P2(x2,y2),試用入及Pi,P2點(diǎn)的坐標(biāo)表示P(x,y)點(diǎn)的坐標(biāo).答案.OP=oPi+piP=濟(jì)什fPp= OPi+ XOP2 OP) = OPi+入OP入

3、opQpi+入dpi入=i+入xi，yi)+!T(x2,y2)11入入=e1,ky1+廠,皆2_X1+入2y1+入21+入1+入.X1+入2y1+入2P1+入1+入.r題型探究重點(diǎn)突破題型一平面向量共線的判定例1已知a=(1,2),b=(3,2),當(dāng)k為何值時(shí)，ka+b與a3b平行？平行時(shí)它們是同向還是反向？解ka+b=k(1,2)+(3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,4),.ka+b與a3b平行，.(k-3)x(-4)-10(2k+2)=0,解得k=1.3此時(shí)ka+b=-1-3,2+2=-1(a-3b),333，當(dāng)k=3時(shí)，ka+b與a3b平行，并

4、且反向.跟蹤訓(xùn)練1已知A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,3).判斷AB與CD是否共線？如果共線，它們的方向相同還是相反？解AB=(0,4)-(2,1)=(-2,3),CD=(5,-3)-(1,3)=(4,-6).方法一,.(一2)X(6)3X4=0,且(一2)X4又|AB|=2d13,y=3入，x2+y2=52.，4%+922=52,甘2(Q0).即AB=(4,6).點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5,4).題型三平面向量共線的綜合運(yùn)用例3如圖所示，已知點(diǎn)A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB交點(diǎn)P的坐標(biāo).解方法一設(shè)OP=tOB=t(4,4)=(4t,4t),則AP=OPOA=(

5、4t,4t)-(4,0)=(4t-4,4t),AC=(2,6)-(4,0)=(-2,6).由AP,AC共線的條件知(4t-4)X6-4tX(-2)=0,3解得t=4.OP=(4t,4t)=(3,3),B的坐標(biāo).A 1P點(diǎn)坐標(biāo)為（3,3）.方法二設(shè)P(x,y),則OP=(x,y),OB=(4,4).OP,OB共線，4x4y=0,又CP=(x2,y-6),CA=(2,6),且向量CP、CA共線,.6(x2)+2(6-y)=0,解組成的方程組，得x=3,y=3,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3).跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，在四邊形ABCD中，已知A(2,6)、B(6,4)、C(5,0)、D(1,0),求直線AC與BD

6、交點(diǎn)P的坐標(biāo).解設(shè)P(x,y),則DP=(x-1,y),DB=(5,4),CA=(3,6),DC=(4,0).由B,P,D三點(diǎn)共線可得DP=X-Db=(5%4/一L一一又CP=DP-DC=(5b4,4九由于CP與CA共線得，(5入4)6+12上0.解之得入=4,Dp=45b=20176,2716.p的坐標(biāo)為27,176.方法技巧用向量方法研究平面幾何問(wèn)題例4已知ABCD是正方形，BE/AC,AC=CE,EC的延長(zhǎng)線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,求證:AF=AE.證明建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，為了研究方便.不妨設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,則B(1,0),C(1,1),D(0,1),設(shè)E(x,y),這里y

7、0,于是AC=(1,1),BE=(x-1,y).AC/BE,.1Xy(x1)X1=0?y=x1.AC=OC=CE(已知),.CE2=OC2?(x1)2+(y1)2=2.3+J3由y0,聯(lián)立解得X=-2-，1+小y=2-5即E組產(chǎn)1+V32設(shè)F(t,0),則FC=(1-t,1),CE=13,T2/.F、C、E三點(diǎn)共線，F(xiàn)C/CE.(1T)XT2爐-13X1=0,解得t=-1-邪.AF=OF=1+網(wǎng)AF=AE.當(dāng)堂檢測(cè)自查自糾.已知a=(1,2),b=(2,y),若a/b,則y的值是()A.1B.1C.4D.4.下列各組的兩個(gè)向量共線的是()a1=(-2,3),b1=(4,6)a2=(1,2),b

8、2=(7,14)Ca3=(2,3),C=(3,2)D.a4=(-3,2),b4=(6,4).已知向量OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(10,k),如果A、B、C三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)k=.已知四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)A,B,C,D的坐標(biāo)依次是(3,-1),(1,2),(-1,1),(3,5).求證：四邊形ABCD是梯形.已知點(diǎn)A(-1,3),B(1,1),直線AB與直線x+y5=0交于點(diǎn)C,求點(diǎn)C的坐標(biāo).己課時(shí)精箍一、選擇題.向量a=(1,2),|b|=4|a|,allb,則b可能是()A.(4,8)B.(8,4)C.(-4,8)D.(-4,8).已知三點(diǎn)A(-1,1),B(0,2),C

9、(2,0),若aB和CD是相反向量，則D點(diǎn)坐標(biāo)是()A.(1,0)B.(-1,0)C.(1,-1)D.(-1,1).已知平面向量a=(x,1),b=(x,x2),則向量a+b()A.平行于x軸B.平行于第一、三象限的角平分線C.平行于y軸D.平行于第二、四象限的角平分線 TOC o 1-5 h z 4.若a=(2cosa,1),b=(sina,1),且a/b,貝Utana等于()A.2B.1C.-2D.-1225.已知向量a=(1,2),b=(0,1),設(shè)u=a+kb,v=2a-b,若u/v,則實(shí)數(shù)k的值為()1A.-1B.-2C.2D.16.已知A、B、C三點(diǎn)在一條直線上，且A(3,6),B

10、(-5,2),若C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6,則C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為()A.-13B.9C.9D.13二、填空題.已知向量a=(2x+1,4),b=(2-x,3),若a/b,則實(shí)數(shù)x的值等于.若三點(diǎn)P(1,1),A(2,4),B(x,9)共線，則x的值為.設(shè)向量a=(1,2),b=(2,3).若向量后+b與向量c=(4,7洪線，則入=.已知點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(2,2),(4,3),向量p的坐標(biāo)為(2k1,7)且pIIAB,則k的值為.三、解答題,，一.,.,，1.已知兩點(diǎn)A(3,4),B(9,2)在直線AB上，求一點(diǎn)P使AP尸馬|AB|.3.已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)依次為A(x1,y1)，B(x2,y2),C

11、(x3,y3).試確定ABC的重心G的坐標(biāo).13.如圖所示，已知AOB中，A(0,5),O(0,0),B(4,3),OC=4OA,OD=1OB，AD與BC相交于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的坐標(biāo).當(dāng)堂檢測(cè)答案.答案D解析.-allb,.(一1)Xy2X2=0,，y=4.答案D4r一一32,解析-t-=-a4IIb4,故選D.64.答案一2或11解析.OA=(k,12),OB=(4,5),(Oc=(10,k),-;AB=(4-k,7),BC=(6,k-5),.A、B、C三點(diǎn)共線，.(4-k)(k-5)-(-7)X6=0,解得k=2或k=11.證明A(3,1),B(1,2),C(1,1),D(3,5).AB=(2

12、,3),CD=(4,6).r-_f.31.CD=2AB,.|AB|=2|CD|,.AB/CD,且ABwCD,四邊形ABCD是梯形.解設(shè)點(diǎn)C(x,y).A、B、C三點(diǎn)共線,.AC=入AB=乂2,4)=(2%4.(x+1,y+3)=(2入44x=2入一1,，C(2入一1,4X-3).y=4入一3把點(diǎn)C(2b1,4卜3)代入x+y-5=0得-3(2入一1)+(4b3)5=0,解得壯2.-C(2,3).課時(shí)精練答案一、選擇題.答案D.答案C.答案C解析.a+b=(0,1+x2),.平行于y軸.答案A解析-.1a/b,2cosaX1=sin人.tana=2.故選A.答案B解析.u=(1,2)+k(0,1

13、)=(1,2+k),v=(2,4)(0,1)=(2,3),一一1，又u/v,，1X3=2(2+k),得k=2.故選B.6.答案C解析設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)(6,v),則AB=(8,8),AC=(3,y+6).A、B、C三點(diǎn)共線，三=6,，y=9.一88二、填空題7.答案21解析由a/b得3(2x+1)=4(2-x),解得x=2.答案3解析PA=(1,5),m=(x1,10),P、A、B三點(diǎn)共線，.PA與PB共線.1X(-10)-(-5)X(x-1)=0,解得x=3.答案2解析后+b=(入+2,2計(jì)3),c=(4,7),入+2一42入+3710.答案1910解析由A(2,2),B(4,3)知AB=(2,5)

14、,又p=(2k1,7)且p/AB,(2k-1)X5-2X7=0,/.k=110.三、解答題11.解設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),若點(diǎn)P在線段AB上，則AP=2PB,1.一一.,.(x3,y+4)2(9x,2y).解得x=-1,y=2,P(-1,-2).若點(diǎn)P在線段BA的延長(zhǎng)線上，則AP=-1pB,1(x-3，y+4)=J9x,2y).解得x=7,y=6,.-.P(7,6).綜上可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,-2)或(7,6).12.解延長(zhǎng)AG交BC于點(diǎn)D,.G為4ABC的重心，.D為BC的中點(diǎn)，AG=|aD3=3(2Ab+2ac) TOC o 1-5 h z =1;Ab+1Ac,3311-31-1-.,.QG=OA+AG=OA+3AB+3AC=oA+1(5b-oA)+1(oc-OA)33一一=3(oa+ob+oc)_x+&+x3y+y2+y3=33-即ABC的