北京航空航天大學(xué)材料力學(xué)課件-劉華-3第三章軸向拉壓變形

1、第三章 軸向拉壓變形(bin xng)3-1 引言(ynyn) 3-3 桁架節(jié)點(diǎn)位移與小變形概念3-4 拉壓與剪切應(yīng)變能3-5 簡單拉壓靜不定問題3-6 熱應(yīng)力與預(yù)應(yīng)力3-2 拉壓桿的變形與疊加原理 3-7 拉壓桿彈塑性分析簡介3-8 結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)概念簡介1Page共六十二頁思考：為什么要研究變形？下述問題是否(sh fu)與變形相關(guān)？各桿內(nèi)力(nil)？ A點(diǎn)位移? 各桿材料不同，溫度變化時(shí)內(nèi)力？AF123AF453-1 引言2Page共六十二頁3-2 拉壓桿的變形(bin xng)與疊加原理軸向變形(bin xng) 胡克定律一、拉壓桿的軸向變形與胡克定律拉壓剛度(伸長為正)橫向變形3Pa

2、ge共六十二頁二、拉壓桿的橫向(hn xin)變形與泊松比試驗(yàn)表明：對傳統(tǒng)材料(cilio)，在比例極限內(nèi)， 且異號。泊松比橫向正應(yīng)變定義：4Page共六十二頁例：已知E, m, D，d，F(xiàn)，求D和d的改變量。FFdD思考：當(dāng)圓管受拉時(shí)，外徑減小，內(nèi)徑增大(zn d)還是減?。?橫向應(yīng)變中的橫向：橫截面上任意一點(diǎn)(y din)沿面內(nèi)任意方向 泊松比：對于大多數(shù)各向同性材料00.5銅泡沫： =-0.395Page共六十二頁例：已知E, m, D，d，F(xiàn)，求D和d的改變(gibin)量。FFdD解：先求內(nèi)周長(zhu chn),設(shè)ds 弧長改變量為du, edu/dsdu=edsds6Page共六

3、十二頁三、多力桿的變形(bin xng)與疊加原理解：1. 內(nèi)力分析(fnx)。軸力圖2. 變形計(jì)算。（用何方法？ ）方法一：各段變形疊加步驟：*用截面法分段求軸力；*分段求出變形；*求代數(shù)和。例：已知E，A1，A2，求總伸長7Page共六十二頁階梯形桿：討論(toln)：n總段數(shù)FNi桿段 i 軸力變截面(jimin)變軸力桿8Page共六十二頁解法(ji f)二：各載荷效應(yīng)疊加與解法一結(jié)果(ji gu)一致，引出疊加原理(a)(b)例：已知E，A1，A2，求總伸長 （續(xù)）2F9Page共六十二頁疊加原理：幾個(gè)載荷同時(shí)作用所產(chǎn)生的總效果，等于各載荷單獨(dú)(dnd)作用產(chǎn)生的效果的總和。疊加原理

4、(yunl)的適用范圍*材料線彈性*小變形*結(jié)構(gòu)幾何線性10Page共六十二頁疊加原理(yunl)成立。疊加原理(yunl)不成立。材料線性問題，材料非線性問題，11Page共六十二頁*幾何(j h)非線性問題例(2)桿伸長(shn chn)：解：(1)節(jié)點(diǎn)C平衡： (4)(3) 關(guān)系：(三次拋物線關(guān)系,瞬時(shí)機(jī)構(gòu),疊加原理不成立)(微小)例：已知 ，求 與 關(guān)系。12Page共六十二頁解：距端點(diǎn)(dun din)x處截面的軸力為總伸長(shn chn)為例：已知 ，求 (1) 為常量dx 微段伸長13Page共六十二頁解：(a)取長度(chngd)為x的桿段為分離體； (c)軸力 (e)總伸長

5、(shn chn)：(b)分離體內(nèi)再取微段 ，微段載荷 (2) 為變量(d) 微段伸長：例：已知 ，求 （續(xù)）需兩次積分，第一次求軸力，第二次求總伸長。14Page共六十二頁解：1、葉片(ypin)的外力作用于微段 上的離心力為例：圖示渦輪葉片，已知 ，角速度 ，求葉片 橫截 面上的正應(yīng)力與軸向變形。 15Page共六十二頁2、葉片的內(nèi)力(nil)與應(yīng)力3、葉片(ypin)的變形dx 微段:總伸長：16Page共六十二頁例：已知 ,求桁架節(jié)點(diǎn)A的水平(shupng)與鉛垂位移解：1、軸力與變形(bin xng)分析(拉) (縮短)(壓)(伸長)3-3 桁架節(jié)點(diǎn)位移與小變形概念17Page共六十

6、二頁2、節(jié)點(diǎn)A的位移的精確計(jì)算(j sun) 及其困難。位移求法：桿1伸長 到 點(diǎn)， 桿2縮短 到 點(diǎn)， 以B、C為圓心作圓交于A點(diǎn)計(jì)算困難(kn nn)：解二次方程組；由于 位移內(nèi)力變化，需迭代求解. 18Page共六十二頁小變形：與結(jié)構(gòu)原尺寸(ch cun)相比 為很小的變形。實(shí)用解法：*按結(jié)構(gòu)原幾何(j h)形狀與尺 寸計(jì)算約束反力與內(nèi)力；*采用切線代圓弧的方法 確定節(jié)點(diǎn)位移。3、小變形問題實(shí)用解法19Page共六十二頁4、節(jié)點(diǎn)(ji din)位移計(jì)算20Page共六十二頁例：ABC剛性桿，求節(jié)點(diǎn)(ji din)C的位移。 然后(rnhu)畫B點(diǎn)位移 思考：有同學(xué)問BB,CC鉛垂向下，剛

7、性桿ABC桿為什么能伸長？ 再畫C點(diǎn)位移 答：切線代圓弧的近似。解：先計(jì)算桿1內(nèi)力 與伸長 FBDACCB21Page共六十二頁例：零力桿：求A點(diǎn)的位移(wiy)。FABCABCA*AB桿不受力，不伸長(shn chn)轉(zhuǎn)動(dòng)。22Page共六十二頁例：畫出節(jié)點(diǎn)(ji din)A的位移桿兩端均為可動(dòng)點(diǎn)情形：平移+變形(伸長或縮短)+ 轉(zhuǎn)動(dòng)(zhun dng)(切線代圓弧)FABCaABC23Page共六十二頁例：畫節(jié)點(diǎn)(ji din)A的位移324Page共六十二頁*設(shè)想(shxing)固定BD中點(diǎn) 和BD方位例：求A，C相對(xingdu)位移O*D點(diǎn)隨OD桿變形發(fā) 生位移，DC桿平 移、伸長

8、、轉(zhuǎn)動(dòng)， 由對稱性，C點(diǎn)到 達(dá)C點(diǎn)。25Page共六十二頁3-4 拉壓與剪切應(yīng)變(yngbin)能兩條平行(pngxng)的研究途徑(從物理、理力到材力)方法一：方法二：例： 無摩擦，求26Page共六十二頁功能原理成立條件：載體由零逐漸(zhjin)緩慢增加，動(dòng)能與熱能等的變化可忽略不計(jì)。應(yīng)變能（ ）：構(gòu)件因變形貯存能量。 外力功( ):構(gòu)件變形時(shí)，外力在相應(yīng)位移上做的功。W外力(wil)功、應(yīng)變能與功能原理（根據(jù)能量守恒定律）彈性體功能原理：27Page共六十二頁一、軸向拉壓應(yīng)變(yngbin)能*線彈性(tnxng)材料 拉壓桿應(yīng)變能D外力功彈性體功能原理：對線彈性體：（如何推導(dǎo)）28P

9、age共六十二頁*非線性彈性(tnxng)材料外力(wil)功計(jì)算功能原理是否成立?29Page共六十二頁二、拉壓與剪切應(yīng)變(yngbin)能密度單向受力應(yīng)變能密度：單位體積內(nèi)的應(yīng)變能，用 表示單向受力應(yīng)變(yngbin)能密度單向受力體應(yīng)變能30Page共六十二頁純剪切拉壓桿單向(dn xin)受力體應(yīng)變能（常應(yīng)力(yngl)等直桿）純剪應(yīng)變能密度（變力變截面桿）31Page共六十二頁2、應(yīng)變(yngbin)能計(jì)算3、位移(wiy)計(jì)算例：計(jì)算節(jié)點(diǎn)B的鉛垂位移。 解：1、軸力分析32Page共六十二頁例：用能量法求A，C相對(xingdu)位移。解：1、軸力分析(fnx)12周邊四桿軸力：2

10、、應(yīng)變能、外力功計(jì)算桿2軸力：3、位移計(jì)算33Page共六十二頁 總結(jié)(zngji)： 1、不用通過畫變形(bin xng)圖來確定節(jié)點(diǎn)的位移。2、只能求解沿載荷作用線方向的位移。3、同時(shí)作用有多個(gè)載荷時(shí)，無法求載荷的相應(yīng)位移。無法求A點(diǎn)的水平位移PABCF無法求A點(diǎn)的鉛垂位移PABC34Page共六十二頁3-5 簡單(jindn)拉壓靜不定問題 *靜不定(bdng)問題：根據(jù)靜力平衡方程不能確定全部未知力的問題。*靜定問題 ：由靜力平衡方程可確定全部未知力(包括支反力與內(nèi)力)的問題。*靜不定度：未知力數(shù)與有效平衡方程數(shù)之差。一度靜不定AF123靜定問題35Page共六十二頁平衡(pnghng

11、)方程靜不定問題求解(qi ji)思路協(xié)調(diào)方程 贅余反力數(shù)=協(xié)調(diào)條件數(shù)求解物理方程 ：F123F36Page共六十二頁解：1、平衡(pnghng)方程2、變形(bin xng)協(xié)調(diào)方程3、胡克定律4、補(bǔ)充方程F123F37Page共六十二頁1、靜不定(bdng)問題需綜合考慮靜力學(xué)、幾何與物理三方面；注意(zh y)：5、聯(lián)立求解平衡方程及補(bǔ)充方程2、內(nèi)力特點(diǎn)：內(nèi)力分配與桿件剛度有關(guān)，某桿剛度增 大，軸力亦增大。F12338Page共六十二頁2、幾何(j h)方面3、物理(wl)方面4、支反力計(jì)算補(bǔ)充方程：解1：1、靜力學(xué)方面例：求桿兩端的支反力。 何時(shí)問題 ：39Page共六十二頁2、物理(

12、wl)方面3、求解(qi ji)解2：1、幾何方面例：求桿兩端的支反力。 4、由平衡方程40Page共六十二頁例：套管(to un)與軸兩端用剛性板固定，其拉壓剛度分別為E1A1、 E2A2。求分別在下列兩種情況的載荷P作用下，套管與軸的軸力。PPPPl1l241Page共六十二頁P(yáng)P套筒：E1A1軸：E2A2分析變形：套筒和軸同時(shí)伸長，由于兩端為剛性固定，套筒和軸的伸長量相等。協(xié)調(diào)(xitio)條件：平衡方程：PFN2FN142Page共六十二頁P(yáng)Pl1l2套筒：E1A1軸：E2A2分析變形：套筒和軸同時(shí)伸長，由于兩端為剛性固定，套筒和軸的伸長量相等。協(xié)調(diào)條件：FNZPFNT1FNZFNT2

13、軸均勻(jnyn)變形平衡方程：FNT1+FNZ=PFNT2 +FNZ=043Page共六十二頁 關(guān)于(guny)變形圖的畫法 若能直接判斷出真實(shí)(zhnsh)變形趨勢，則按此趨勢畫變形圖； 若不能直接判斷出真實(shí)變形趨勢，則畫出任意可能變形 圖均可。 對于不能判斷出真實(shí)變形趨勢的情況，一般可假設(shè)各桿 均產(chǎn)生拉伸變形，即內(nèi)力為正(設(shè)正法)。若計(jì)算結(jié)果 為負(fù)，則說明真實(shí)方向與所設(shè)方向相反。(寫變形協(xié)調(diào)方程時(shí)，可先不考慮符號，計(jì)算完后加以說明即可)44Page共六十二頁F12lllABC例：AC為剛性桿，求1、2兩桿的軸力可直接判斷：1桿縮短(sudun)， 2桿伸長ACBFAFB計(jì)算(j sun)

14、完之后，說明一下： 1桿受壓，2桿受拉45Page共六十二頁F123llll1l2l3假設(shè)(jish)各桿受拉(設(shè)正法)FFN1FN2FN3例：AB為剛性桿，求1、2、3桿的軸力。AB各桿伸長(shn chn)，所受軸力為正46Page共六十二頁例：各桿拉壓剛度(n d)EA，桿1，2 長l解：1、畫變形圖(畫法(hu f)2,教材P75圖為畫法(hu f)1)設(shè)節(jié)點(diǎn)C位移至C，過C點(diǎn)向三桿作垂線2、根據(jù)變形圖畫受力圖，假 設(shè)各桿均受拉。對照書上 例題。思考：可否假設(shè)桿1，3受壓，桿2 受拉求解？47Page共六十二頁解：1、平衡(pnghng)方程3、物理(wl)方程2、變形協(xié)調(diào)方程C48P

15、age共六十二頁5、強(qiáng)度(qingd)校核4、解答(jid)符合強(qiáng)度要求思考：選取哪一根或哪幾根桿校核？如果不夠，怎樣加強(qiáng)?設(shè)49Page共六十二頁6、設(shè)計(jì)(shj)截面思考：由上式設(shè)計(jì)的 能否取各自由上式的計(jì)算值？為什么？設(shè)4、解答(jid)50Page共六十二頁解：1、協(xié)調(diào)(xitio)條件例：ABC剛性(n xn)塊，各桿EA，求軸力。分析：如何建立變形協(xié)調(diào)條件？考慮剛性塊ABC轉(zhuǎn)動(dòng)：2、代入物理方程51Page共六十二頁4、解答(jid)3、平衡(pnghng)方程52Page共六十二頁建立協(xié)調(diào)(xitio)方程例（方法一）贅余桿：桿3和桿4協(xié)調(diào)(xitio)方程：53Page共六十二

16、頁建立(jinl)協(xié)調(diào)方程例（方法二）結(jié)構(gòu)看作(kn zu)兩部分組合，A點(diǎn)位移相同。協(xié)調(diào)方程：54Page共六十二頁3-6 熱應(yīng)力(yngl)與初應(yīng)力(yngl) 思考：當(dāng)溫度變化時(shí)，桿內(nèi)可能(knng)引起應(yīng)力嗎？AA(1)(3)(2)(4)55Page共六十二頁A 在靜不定結(jié)構(gòu)(jigu)各構(gòu)件桿變形必須服從變形協(xié)調(diào)條件，因此溫度變化或桿長制造誤差，一般將引起應(yīng)力。 由于桿長制造誤差或溫度變化，結(jié)構(gòu)在未受載時(shí)已存在的應(yīng)力，分別(fnbi)稱為初應(yīng)力（或稱預(yù)應(yīng)力）與熱應(yīng)力。56Page共六十二頁解：(1)平衡(pnghng)方程（設(shè)各桿受拉）代入物理(wl)方程(2)協(xié)調(diào)方程例：3桿制造誤

17、差長 ，1、2桿 ，3桿 ，求各桿內(nèi)力57Page共六十二頁設(shè) 由溫度(wnd)變化引起：解答(jid)成為（比較預(yù)應(yīng)力與熱應(yīng)力）解答：58Page共六十二頁例：制造誤差，同時(shí)(tngsh)作用外載。1、利用疊加原理(yunl)求解思考：裝配應(yīng)力有利還是有害？工程中能否利用？用于設(shè)計(jì)等強(qiáng)結(jié)構(gòu)：如預(yù)應(yīng)力鋼筋混凝土。載荷內(nèi)力裝配或/和溫度內(nèi)力59Page共六十二頁2、一般(ybn)解法(1)平衡(pnghng)方程（同前）(2)協(xié)調(diào)方程(3)物理方程(同前)規(guī)律探索：從單純外載靜不定問題到載荷、預(yù)應(yīng)力和熱應(yīng)力耦合靜不定問題，求解方程唯一不同：FF60Page共六十二頁建立協(xié)調(diào)(xitio)方程例61Page共六十二頁內(nèi)容摘要第三章 軸向拉壓變形。3-4 拉壓與剪切應(yīng)變能。3-2 拉壓桿的變形與疊加原理。3-