義務(wù)教育數(shù)學(xué)新“課標(biāo)”的理念、內(nèi)容及案例解讀課件

1、義務(wù)教育數(shù)學(xué)新“課標(biāo)”的理念、內(nèi)容及案例解讀 122012年，進(jìn)入課程改革的一個(gè)新時(shí)期 2011年12月28日，教育部頒布了義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）在內(nèi)的19種課程標(biāo)準(zhǔn)。 為落實(shí)課程標(biāo)準(zhǔn)，教育部強(qiáng)調(diào)：組織開(kāi)展 全員學(xué)習(xí)和培訓(xùn)，全面理解、準(zhǔn)確把握修訂后課程標(biāo)準(zhǔn)的精神實(shí)質(zhì)和主要變化。根據(jù)修訂后印發(fā)的各學(xué)科課程標(biāo)準(zhǔn)，組織教科書(shū)的修訂和審查工作。今年秋季將在所有起始年級(jí)使用新教材。其他年級(jí)也要依據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)組織教學(xué)，改進(jìn)評(píng)價(jià)方法。加強(qiáng)組織領(lǐng)導(dǎo)，統(tǒng)籌規(guī)劃，全面部署新課程標(biāo)準(zhǔn)的學(xué)習(xí)、宣傳、培訓(xùn)和教研工作，確保新課程標(biāo)準(zhǔn)的全面落實(shí)。 （ 教基二司20119號(hào)文，2011年12月28日 中國(guó)教育報(bào)

2、 2012年2月8日 CCTV 1 新聞直通車(chē) 2月12日 ）3媒體的報(bào)道4課程標(biāo)準(zhǔn)是國(guó)家的法定文件，應(yīng)該特別重視。我國(guó)基礎(chǔ)教育現(xiàn)在實(shí)行“一標(biāo)多本”的教材建設(shè)和選用制度，“課標(biāo)”的地位和重要性遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于各出版社出版的教材。希望教師養(yǎng)成經(jīng)常研讀“課標(biāo)”的習(xí)慣。教師備課，應(yīng)該避免“重教材，輕課標(biāo)”的情況；看課程標(biāo)準(zhǔn)，應(yīng)該避免“重內(nèi)容部分，輕理念部分”的情況。教任何一個(gè)年級(jí)的教師，都應(yīng)該盡量了解教學(xué)全局，包括數(shù)學(xué)課程的教學(xué)全局，也包括語(yǔ)文、科學(xué)等課程的相關(guān)情況。教材，由于編寫(xiě)和審定需要時(shí)間，一本一本地逐年出版，教師難以胸有全局，其實(shí)弊病很大。課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)于教學(xué)內(nèi)容，是按照學(xué)段表述的，不是按照年級(jí)表述的。

3、天津市和平區(qū)的小學(xué)教研，從2011年10月開(kāi)始布置“教師說(shuō)課標(biāo)”活動(dòng)，一直延續(xù)至2012年6月，是很好的措施。5報(bào)告的提綱一、新“課標(biāo)”在理念和內(nèi)容上的變化二、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育的“雙基”如何發(fā)展為“四基”三、“數(shù)學(xué)思想”的教學(xué)舉例（小學(xué)、初中）四、小學(xué)、初中數(shù)學(xué)若干節(jié)課舉例（聽(tīng)課、評(píng)課）五、教學(xué)建議6一、新“課標(biāo)”在理念和內(nèi)容上的變化7義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）的解讀該課標(biāo)是在2000年頒布的課標(biāo)（實(shí)驗(yàn)稿）基礎(chǔ)上修訂而成。修訂工作從2005年5月16日啟動(dòng)，2007年完成初稿后多方征求意見(jiàn)，多次修改；2010年底上報(bào)教育部，2011年4月教育部組織會(huì)議審議，再經(jīng)教育部 黨組討論通過(guò)，部長(zhǎng)

4、簽發(fā)。該新課標(biāo)已于2011年12月28日由教育部頒布， 北師大出版社出版。新課標(biāo)的解讀，也已經(jīng)由北師大出版社出版。89新“課標(biāo)”在理念上的變化理念上的變化數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。 （原：數(shù)學(xué)是人們對(duì)客觀世界定性把握和定量刻畫(huà)、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進(jìn)行廣泛應(yīng)用的過(guò)程。）10理念上的變化人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。 知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思考、問(wèn)題解決、情感態(tài)度四個(gè)方面的課程目標(biāo)的整體實(shí)現(xiàn)，是學(xué)生受到良好數(shù)學(xué)教育的標(biāo)志。（原：人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)，人人獲得必需的數(shù)學(xué)，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。）11理念上的變化10個(gè)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展的

5、核心概念： 數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)。（原：數(shù)感、符號(hào)感、空間觀念、統(tǒng)計(jì)觀念、應(yīng)用意識(shí)、推理能力。）12理念上的變化明確提出“四基” （此處略，因?yàn)楹竺鎸?zhuān)題解讀）13理念上的變化明確提出“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題”能力的培養(yǎng)。 分析問(wèn)題和解決問(wèn)題固然重要，而發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題更是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)所需要的。 （發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，不僅包括發(fā)現(xiàn)淺層次的問(wèn)題， 更加需要的是發(fā)現(xiàn)較深層次問(wèn)題的能力。）1415新“課標(biāo)”在內(nèi)容上的變化課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)上的變化義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程內(nèi)容分為“數(shù)與代數(shù)”，“圖形與幾何”，“統(tǒng)計(jì)與概率”和“綜合與實(shí)踐”四個(gè)

6、方面，每一部分內(nèi)部的結(jié)構(gòu)和具體內(nèi)容做了適當(dāng)調(diào)整。（原： “數(shù)與代數(shù)”，“空間與圖形”，“統(tǒng)計(jì)與概率”和“實(shí)踐與綜合應(yīng)用” ）16課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)上的變化“數(shù)與代數(shù)”部分在內(nèi)容結(jié)構(gòu)上沒(méi)有變化，第一學(xué)段是“數(shù)的認(rèn)識(shí)、數(shù)的運(yùn)算、常見(jiàn)的量、探索規(guī)律”；第二學(xué)段是“數(shù)的認(rèn)識(shí)、數(shù)的運(yùn)算、式與方程、正比例和反比例、探索規(guī)律”?！皥D形與幾何”部分第一、二學(xué)段，內(nèi)容結(jié)構(gòu)沒(méi)有變化。第三學(xué)段，將原來(lái)的四個(gè)部分調(diào)整為三個(gè)部分，即由原來(lái)的“圖形的認(rèn)識(shí)”、“圖形與變換”、“圖形與坐標(biāo)”、“圖形與證明”，修改為三個(gè)部分，即“圖形的性質(zhì)”、“圖形的變化”、“圖形與坐標(biāo)”。這三部分中的“圖形的性質(zhì)”基本上是整合了實(shí)驗(yàn)稿中的第一和第

7、四部分而成，而其他兩個(gè)部分與原來(lái)的兩部分對(duì)應(yīng)。17課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)上的變化“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容結(jié)構(gòu)做了較大調(diào)整，使三個(gè)學(xué)段內(nèi)容的層次更加明確。強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析觀念，與學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系得更加緊密。第一學(xué)段內(nèi)容減少，主要是學(xué)會(huì)分類(lèi)、會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)搜集與整理；第二學(xué)段分為“簡(jiǎn)單數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)過(guò)程”和“隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性”兩部分；第三學(xué)段分為“抽樣與數(shù)據(jù)分析”和“事件的概率”兩部分。這樣調(diào)整的原因在于，在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中原來(lái)第一學(xué)段對(duì)于統(tǒng)計(jì)與概率內(nèi)容的要求，按照學(xué)生現(xiàn)有的理解水平，學(xué)習(xí)有一定困難，教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施有很大難度。同時(shí)，在內(nèi)容上與后面兩個(gè)學(xué)段有很大的重復(fù)。調(diào)整后使統(tǒng)計(jì)與概率內(nèi)容在三個(gè)學(xué)段的要求上有明顯區(qū)分

8、，在難度上也呈現(xiàn)一定的梯度。18課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)上的變化“綜合與實(shí)踐”內(nèi)容做了較大修改。進(jìn)一步明確了“綜合與實(shí)踐”的內(nèi)涵和要求，明確“綜合與實(shí)踐”是一類(lèi)以問(wèn)題為載體、以學(xué)生自主參與為主的學(xué)習(xí)活動(dòng)?！熬C合與實(shí)踐”的教學(xué)目標(biāo)是幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。19第一學(xué)段具體內(nèi)容的修改第一學(xué)段內(nèi)容總體上修改不大，增刪內(nèi)容大致相當(dāng)，“數(shù)與代數(shù)”內(nèi)容略有增加，“統(tǒng)計(jì)與概率”內(nèi)容有明顯的減少。20第一學(xué)段具體內(nèi)容的修改 1.統(tǒng)計(jì)與概率等內(nèi)容適當(dāng)降低難度，內(nèi)容做了較大修改。進(jìn)一步明確了“綜合與實(shí)踐”的內(nèi)涵和要求：第一學(xué)段統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域內(nèi)容大幅減少，由原來(lái)的11條具體要求，減少為現(xiàn)在的3條。

9、全部刪除了有關(guān)概率內(nèi)容的“不確定現(xiàn)象”的3條，其中部分內(nèi)容移到第二學(xué)段。實(shí)踐表明，第一學(xué)段學(xué)生理解不確定現(xiàn)象有難度，不容易理解事件發(fā)生的可能性。這一學(xué)段學(xué)生主要應(yīng)學(xué)習(xí)和掌握確定的量，開(kāi)始理解和掌握自然數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)。因此，將不確定現(xiàn)象的描述后移。對(duì)于統(tǒng)計(jì)內(nèi)容也降低了難度，平均數(shù)、條形統(tǒng)計(jì)圖等內(nèi)容也移到第二學(xué)段。此外，“能用自選單位估計(jì)和測(cè)量圖形的面積”，“認(rèn)識(shí)千米、公頃,”“能在方格紙上畫(huà)出簡(jiǎn)單圖形的軸對(duì)稱(chēng)圖形”, “會(huì)看簡(jiǎn)單的路線圖”等，也因?yàn)殡y度的原因，將其刪除或移入第二學(xué)段。21第一學(xué)段具體內(nèi)容的修改 2增加或進(jìn)一步明確一些具體內(nèi)容 根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)的需要，以及實(shí)驗(yàn)和調(diào)研的反饋意見(jiàn)，第一學(xué)段

10、增加或調(diào)整了一些內(nèi)容。 增加的內(nèi)容包括：“知道用算盤(pán)可以表示多位數(shù)”，這一要求考慮中國(guó)文化的因素，以及許多專(zhuān)家學(xué)者和第一線教師對(duì)珠算在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)作用問(wèn)題提出的建議；“能結(jié)合具體情境比較兩個(gè)一位小數(shù)的大小，能比較兩個(gè)同分母分?jǐn)?shù)的大小?！笔箤W(xué)生能較準(zhǔn)確把握有關(guān)小數(shù)的問(wèn)題，也為后續(xù)的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備，但這一學(xué)段只要求同分母的分?jǐn)?shù)比較。22第一學(xué)段具體內(nèi)容的修改 調(diào)整的內(nèi)容包括：估算的要求改為“能結(jié)合具體情境，選擇適當(dāng)?shù)膯挝贿M(jìn)行簡(jiǎn)單估算，體會(huì)估算在生活中的作用”。使估算的要求更加具體、明確。有助于清楚地認(rèn)識(shí)和理解估算的價(jià)值與意義。強(qiáng)調(diào)了“選擇適當(dāng)?shù)膯挝贿M(jìn)行簡(jiǎn)單估算”，明確估算的重點(diǎn)一是要有具體的情境，二是

11、在一個(gè)確定的情境中，根據(jù)實(shí)際需要選擇適當(dāng)?shù)膯挝贿M(jìn)行估算。標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）的例6做了上述說(shuō)明?！澳芸谒阋晃粩?shù)乘除兩位數(shù)”從第二學(xué)段移到第一學(xué)段。在第一學(xué)段數(shù)的認(rèn)識(shí)和相關(guān)運(yùn)算的基礎(chǔ)上，學(xué)生完全可以掌握這一內(nèi)容。原來(lái)在第二學(xué)段出現(xiàn)，明顯滯后?！罢J(rèn)識(shí)小括號(hào)，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的整數(shù)四則混合運(yùn)算（兩步）”在第一學(xué)段增加了這一條，與第二學(xué)段形成一個(gè)連續(xù)的、漸進(jìn)的對(duì)于混合運(yùn)算的要求。在第一學(xué)段認(rèn)識(shí)小括號(hào)，在第二學(xué)段認(rèn)識(shí)中括號(hào)?！?結(jié)合實(shí)例認(rèn)識(shí)面積，體會(huì)并認(rèn)識(shí)面積單位厘米、分米、米，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的單位換算”。增加了分米的認(rèn)識(shí)，將千米、公頃的認(rèn)識(shí)移到第二學(xué)段，并降低了要求。23第二學(xué)段具體內(nèi)容的修改 1. 統(tǒng)計(jì)與概率

12、等內(nèi)容適當(dāng)降低難度第二學(xué)段統(tǒng)計(jì)與概率內(nèi)容，刪除了眾數(shù)、中位數(shù)內(nèi)容和“能設(shè)計(jì)統(tǒng)計(jì)活動(dòng)，檢驗(yàn)?zāi)承╊A(yù)測(cè)；初步體會(huì)數(shù)據(jù)可能產(chǎn)生誤導(dǎo)”。還有一些內(nèi)容在表述方式和具體要求上做了調(diào)整。一是強(qiáng)調(diào)了在搜集數(shù)據(jù)中運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆椒??！皶?huì)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單的調(diào)查表，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ缯{(diào)查、試驗(yàn)、測(cè)量）收集數(shù)據(jù)”。學(xué)生可以用自己喜歡的方法搜集數(shù)據(jù)，在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生用比較科學(xué)合理的方法，收集有效的數(shù)據(jù)。在經(jīng)歷收集整理數(shù)據(jù)的過(guò)程中，逐步使學(xué)生了解數(shù)據(jù)的重要性。二是調(diào)整了對(duì)可能性的要求。表述為，“1.結(jié)合具體情境，了解簡(jiǎn)單的隨機(jī)現(xiàn)象；能列出簡(jiǎn)單的隨機(jī)現(xiàn)象中所有可能發(fā)生的結(jié)果。2通過(guò)實(shí)驗(yàn)、游戲等活動(dòng)，感受隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果發(fā)生

13、的可能性是有大小的，能對(duì)一些簡(jiǎn)單的隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性大小作出定性描述，并和同學(xué)交流?！碧岢龈鼮榫唧w的要求。對(duì)于可能性，要求“列出簡(jiǎn)單隨機(jī)現(xiàn)象中所有可能發(fā)生的結(jié)果”，與原來(lái)的“體驗(yàn)事件發(fā)生的等可能性以及游戲規(guī)則的公平性，會(huì)求一些簡(jiǎn)單事件發(fā)生的可能性；能設(shè)計(jì)一個(gè)方案，符合指定的要求；對(duì)簡(jiǎn)單事件發(fā)生的可能性作出預(yù)測(cè)，并闡述自己的理由。”的要求相比，大大降低了要求。同時(shí)使這部分內(nèi)容更具可操作性，符合小學(xué)階段學(xué)生學(xué)習(xí)的特點(diǎn)。24第二學(xué)段具體內(nèi)容的修改刪除“了解兩點(diǎn)確定一條直線和兩條相交直線確定一個(gè)點(diǎn)”。這個(gè)內(nèi)容對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)較為抽象，與生活經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)系也不很緊密，要求學(xué)生了解意義不大，而把“了解兩點(diǎn)確定

14、一條直線”（及 “ 掌握等式的基本性質(zhì)” ）放在第三學(xué)段作為進(jìn)行演繹證明的基本事實(shí)之一。此外，對(duì)于小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)了理解他們的意義，以及會(huì)進(jìn)行小數(shù)、分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)之間的轉(zhuǎn)化。在這個(gè)轉(zhuǎn)化的過(guò)程中，學(xué)生必然需要了解它們之間的關(guān)系，所以不再單獨(dú)要求探索小數(shù)、分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系。25第二學(xué)段具體內(nèi)容的修改 2、增加了部分內(nèi)容增加“在具體情境中，了解常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系：總價(jià)=單價(jià)數(shù)量、路程=速度時(shí)間，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題”。學(xué)生對(duì)一些常見(jiàn)數(shù)量關(guān)系的了解，特別是運(yùn)用這些數(shù)量關(guān)系解決問(wèn)題，是小學(xué)階段問(wèn)題解決的核心。而“總價(jià)=單價(jià)數(shù)量、路程=速度時(shí)間”是小學(xué)階段最常用的數(shù)量關(guān)系，絕大多數(shù)實(shí)際問(wèn)題都

15、可以歸結(jié)為這兩類(lèi)數(shù)量關(guān)系。標(biāo)準(zhǔn)中增加這一要求，為小學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中的問(wèn)題解決提供了一個(gè)重要基礎(chǔ)。增加“結(jié)合簡(jiǎn)單的實(shí)際情境，了解等量關(guān)系，并能用字母表示”。了解數(shù)量關(guān)系是學(xué)習(xí)字母表示數(shù)的重點(diǎn)目的。使學(xué)生在實(shí)際情境中了解數(shù)量關(guān)系。也為學(xué)習(xí)簡(jiǎn)易方程做準(zhǔn)備。增加“了解圓的周長(zhǎng)與直徑的比為定值”，強(qiáng)調(diào)學(xué)生在探索周長(zhǎng)與直徑比的過(guò)程中認(rèn)識(shí)圓周率。26第三學(xué)段具體內(nèi)容的修改第三學(xué)段內(nèi)容的調(diào)整主要是從學(xué)生發(fā)展的角度出發(fā)，重點(diǎn)考慮與前面學(xué)段的知識(shí)內(nèi)容的銜接；與學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和未來(lái)的生活實(shí)踐的聯(lián)系；學(xué)生對(duì)知識(shí)內(nèi)容的接受能力和水平；對(duì)學(xué)科本質(zhì)以及核心概念的體現(xiàn)。27第三學(xué)段具體內(nèi)容的修改 1.刪減的主要內(nèi)容 在“數(shù)

16、與代數(shù)”、“圖形與幾何”、“統(tǒng)計(jì)與概率”等部分中，刪除了一些內(nèi)容，主要有： 能對(duì)含有較大數(shù)量的信息作出合理的解釋與推斷；了解有效數(shù)字的概念；能夠根據(jù)具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元一次不等式組，解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題；與梯形有關(guān)的內(nèi)容：探索并了解圓與圓的位置關(guān)系；關(guān)于影子、視點(diǎn)、視角、盲區(qū)等內(nèi)容，以及對(duì)雪花曲線和莫比烏斯帶等圖形的欣賞等；關(guān)于鏡面對(duì)稱(chēng)的要求；極差、頻數(shù)折線圖等內(nèi)容28第三學(xué)段具體內(nèi)容的修改 對(duì)于刪減的內(nèi)容，理由如下：像“能對(duì)含有較大數(shù)量的信息作出合理的解釋與推斷”等內(nèi)容已經(jīng)在第一、二學(xué)段學(xué)習(xí)，而“了解有效數(shù)字的概念”這樣的內(nèi)容及要求，有些脫離初中學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)和生活需要。“能夠根據(jù)具體問(wèn)題中

17、的數(shù)量關(guān)系，列出一元一次不等式組，解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題”，學(xué)生學(xué)習(xí)有一定的困難，放到高中學(xué)習(xí)更為合適。對(duì)于梯形以及等腰梯形這樣的傳統(tǒng)內(nèi)容，在第二學(xué)段已了解了它們的概念及其基本性質(zhì)，對(duì)這些圖形的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)則完全可以通過(guò)轉(zhuǎn)化為三角形和平行四邊形等來(lái)完成。29第三學(xué)段具體內(nèi)容的修改 2.適當(dāng)增加的內(nèi)容最簡(jiǎn)二次根式和最簡(jiǎn)分式的概念；能用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實(shí)根和兩個(gè)實(shí)根是否相等；會(huì)比較線段的大小，理解線段的和、差，以及線段中點(diǎn)的意義；了解平行于同一條直線的兩條直線平行；會(huì)按照邊長(zhǎng)的關(guān)系和角的大小對(duì)三角形進(jìn)行分類(lèi)；了解并證明圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；了解正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系；尺規(guī)作

18、圖：過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線；已知一直角邊和斜邊作直角三角形；作三角形的外接圓、內(nèi)切圓；作圓的內(nèi)接正方形和正六邊形能用計(jì)算器處理較為復(fù)雜的數(shù)據(jù)；理解平均數(shù)的意義，能計(jì)算中位數(shù)、眾數(shù)；掌握等式的基本性質(zhì)。30第三學(xué)段具體內(nèi)容的修改 增加這些內(nèi)容的理由如下主要是對(duì)原實(shí)驗(yàn)稿中相關(guān)內(nèi)容的補(bǔ)充，或者是對(duì)原有要求的進(jìn)一步明確，例如，“能用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實(shí)根和兩個(gè)實(shí)根是否相等?！?，“會(huì)比較線段的大小，理解線段的和、差，以及線段中點(diǎn)的意義”，“了解平行于同一條直線的兩條直線平行”，“會(huì)按照邊長(zhǎng)的關(guān)系和角的大小對(duì)三角形進(jìn)行分類(lèi)”等等，這些內(nèi)容有助于學(xué)生很好地把握初中的知識(shí)，對(duì)今后的學(xué)習(xí)也有很

19、大的基礎(chǔ)性作用。有的內(nèi)容則是從前面的學(xué)段移到第三學(xué)段的，如，“理解平均數(shù)的意義，能計(jì)算中位數(shù)、眾數(shù)”、“ 掌握等式的基本性質(zhì)”等。31第三學(xué)段具體內(nèi)容的修改以 “*” 標(biāo)注的選學(xué)內(nèi)容主要有：*能解簡(jiǎn)單的三元一次方程組*知道給定不共線三點(diǎn)的坐標(biāo)可以確定一個(gè)二次函數(shù)（有誤？）*了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系*了解平行線性質(zhì)定理的證明*探索并證明垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對(duì)的兩條弧*探索并證明切線長(zhǎng)定理：過(guò)圓外一點(diǎn)所畫(huà)的圓的兩條切線的長(zhǎng)相等32第三學(xué)段具體內(nèi)容的修改 增加這些選學(xué)內(nèi)容的理由增加的選學(xué)內(nèi)容中與圖形的證明有關(guān)的較多。增加這些初等幾何中基本的也是很重要的命題的證明作為選學(xué)內(nèi)容

20、，目的是希望給一些有能力并喜歡幾何證明的學(xué)生更多的機(jī)會(huì)學(xué)習(xí)和掌握證明的方法、體會(huì)證明的意義以及命題間的邏輯關(guān)聯(lián)等，體現(xiàn)“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”。另外還有一部分是涉及到作為證明基礎(chǔ)的“基本事實(shí)”（即通常稱(chēng)為“公理”）的命題部分的增加或變化。33第三學(xué)段具體內(nèi)容的修改 3.在要求上有變化的內(nèi)容 “標(biāo)準(zhǔn)”中還有一些是在知識(shí)內(nèi)容的具體要求程度上的變化或要求的精細(xì)化，如原來(lái)要求的是“了解”，現(xiàn)在則是“理解”，等等。有“理解整式的概念，掌握合并同類(lèi)項(xiàng)和去括號(hào)的法則，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的整式加法和減法運(yùn)算”； “探索并掌握對(duì)頂角相等、同角（等角）的余角相等，同角（等角）的補(bǔ)角相等的性質(zhì)”； “在直角坐標(biāo)系

21、中，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸，能寫(xiě)出一個(gè)已知頂點(diǎn)坐標(biāo)的多邊形的對(duì)稱(chēng)圖形的頂點(diǎn)坐標(biāo)，并知道對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系”、“在直角坐標(biāo)系中，能寫(xiě)出一個(gè)已知頂點(diǎn)坐標(biāo)的多邊形沿坐標(biāo)軸方向平移后圖形的頂點(diǎn)坐標(biāo)，并知道對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系”等。34二、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育的“雙基”如何發(fā)展為“四基”35數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育中的“雙基”如何發(fā)展為“四基”36數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育中的“雙基”如何發(fā)展為“四基”37數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育中的“雙基”如何發(fā)展為“四基”（顧沛，數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)2012年第1期）一、“雙基”為什么要發(fā)展為“四基”二、關(guān)于數(shù)學(xué)的“基本思想”三、關(guān)于數(shù)學(xué)的“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”四、“四基”是一個(gè)有機(jī)的整體38一、“雙基”為什么要發(fā)展為“四基

22、”“雙基”發(fā)展為“四基”，在課標(biāo)中的表述為：“通過(guò)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?！?“知識(shí)與技能”、“過(guò)程與方法”、“情感態(tài)度與價(jià)值觀” 三維目標(biāo)結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)的具體化。39“雙基”的歷史貢獻(xiàn)應(yīng)該肯定。但是，對(duì)于“雙基”的內(nèi)容，即對(duì)于什么是學(xué)生應(yīng)該掌握的“基礎(chǔ)知識(shí)”和“基本技能”，在“知識(shí)爆炸”的時(shí)代，在現(xiàn)代信息技術(shù)突飛猛進(jìn)的時(shí)代，在獲取知識(shí)、技能的渠道大大增加的時(shí)代，應(yīng)該與時(shí)俱進(jìn)。過(guò)去提到數(shù)學(xué)的“雙基”時(shí)，通常是指：數(shù)學(xué)的基本概念、基本公式、基本運(yùn)算、基本性質(zhì)、基本法則、基本程式、基本定理、基本作圖、基

23、本推理、基本語(yǔ)言、基本方法、基本操作、基本技巧，等等。40許多年來(lái)，“雙基”概念一直在發(fā)展中深化。至2000年，中華人民共和國(guó)教育部制定的九年義務(wù)教育全日制初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試驗(yàn)修訂版）中的表述，數(shù)學(xué)“基礎(chǔ)知識(shí)是指：數(shù)學(xué)中的概念、法則、性質(zhì)、公式、公理、定理以及由其內(nèi)容所反映出來(lái)的數(shù)學(xué)思想和方法?；炯寄苁侵福耗軌虬凑找欢ǖ某绦蚺c步驟進(jìn)行運(yùn)算、作圖或畫(huà)圖、進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理?！?并且，“雙基”在此已經(jīng)是與思維能力、運(yùn)算能力、空間觀念等相互聯(lián)系表述的。 在“知識(shí)爆炸”的時(shí)代，對(duì)于過(guò)去數(shù)學(xué)“雙基”的某些內(nèi)容，如繁雜的計(jì)算、細(xì)枝末節(jié)的證明技巧等，需要有所刪減；而對(duì)于估算、算法、數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、收集和

24、處理數(shù)據(jù)、概率初步、統(tǒng)計(jì)初步、數(shù)學(xué)建模初步等，又要有所增加。這就是數(shù)學(xué)“雙基”內(nèi)容的與時(shí)俱進(jìn)。41 為什么有了“雙基”還不夠，現(xiàn)在還要增加兩條，成為“四基”？第一，因?yàn)椤半p基”僅僅涉及上述三維目標(biāo)中的一個(gè)目標(biāo)“知識(shí)與技能”。新增加的兩條則還涉及三維目標(biāo)的另外兩個(gè)目標(biāo)“過(guò)程與方法”和“情感態(tài)度與價(jià)值觀”。第二，因?yàn)槟承┙處熡袝r(shí)片面地理解“雙基”，往往在實(shí)施中“以本為本”，見(jiàn)物不見(jiàn)人，而教育必須以人為本，新增加的“數(shù)學(xué)思想”和“活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”就直接與人相關(guān)，也符合“素質(zhì)教育”的理念。第三，因?yàn)閮H有“雙基”還難以培養(yǎng)創(chuàng)新性人才，“雙基”只是培養(yǎng)創(chuàng)新性人才的一個(gè)基礎(chǔ)，但創(chuàng)新性人才不能僅靠熟練掌握已有的知識(shí)

25、和技能來(lái)培養(yǎng)，獲得數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)等也十分重要，這就是新增加的兩條。42二、關(guān)于數(shù)學(xué)的“基本思想”數(shù)學(xué)課程固然應(yīng)該教會(huì)學(xué)生許多必要的結(jié)論，但絕不僅僅以教會(huì)這些定理、公式和計(jì)算程序、解題方法為目標(biāo)，更重要的是讓學(xué)生在學(xué)習(xí)這些結(jié)論的過(guò)程中獲得數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)生、發(fā)展的根本，也是數(shù)學(xué)課程教學(xué)的精髓。但是，課標(biāo)在這里并沒(méi)有展開(kāi)闡述“數(shù)學(xué)的基本思想” ，這就給我們留下了討論的空間。而且由于它過(guò)去并沒(méi)有被充分地討論過(guò)，所以可能仁者見(jiàn)仁，智者見(jiàn)智，不同的學(xué)者可能會(huì)有不完全一樣的說(shuō)法。我這里也談?wù)勛约翰怀墒斓挠^點(diǎn)，與大家交流。43數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵和外延都很豐富，通俗地說(shuō)，例如有從數(shù)學(xué)角度看問(wèn)

26、題的出發(fā)點(diǎn)，把客觀事物簡(jiǎn)化和量化的思想，周到、嚴(yán)密、系統(tǒng)地思考問(wèn)題，以及建立數(shù)學(xué)模型的思想，合理地運(yùn)籌帷幄，等等。一個(gè)人進(jìn)入社會(huì)后，如果不是在與數(shù)學(xué)相關(guān)的領(lǐng)域工作，他學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)定理和公式可能大多都用不到，而在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中獲得的這些數(shù)學(xué)思想?yún)s一定會(huì)使他終生受益；雖然有些人對(duì)此是有意識(shí)的，有些人是無(wú)意識(shí)的?！罢n標(biāo)”在這里的措詞為數(shù)學(xué)的“基本思想”，而不是數(shù)學(xué)的“基本思想方法”，我以為，這是明智的、恰當(dāng)?shù)模驗(yàn)椤八枷敕椒ā笨赡芨嗟刈屓寺?lián)想到具體的“方法”，如換元法、代入法、配方法，層次就降低了，且沖淡了“思想”這個(gè)關(guān)鍵詞。并且，其實(shí)雙基中已經(jīng)含有數(shù)學(xué)的這些具體方法。44 數(shù)學(xué)的基本思想，主

27、要可以有數(shù)學(xué)抽象的思想、數(shù)學(xué)推理的思想、數(shù)學(xué)模型的思想、數(shù)學(xué)審美的思想。人類(lèi)通過(guò)數(shù)學(xué)抽象，從客觀世界中得到數(shù)學(xué)的概念和法則，建立了數(shù)學(xué)學(xué)科及其眾多的分支；通過(guò)數(shù)學(xué)推理，進(jìn)一步得到大量結(jié)論，數(shù)學(xué)科學(xué)得以豐富和發(fā)展；通過(guò)數(shù)學(xué)模型，把數(shù)學(xué)應(yīng)用到客觀世界中，產(chǎn)生了巨大的社會(huì)效益，又反過(guò)來(lái)促進(jìn)了數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展；通過(guò)數(shù)學(xué)審美，看到數(shù)學(xué)“透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)”、“和諧統(tǒng)一眾多事物”中美的成份，感受到數(shù)學(xué)“以簡(jiǎn)馭繁”、“天衣無(wú)縫”給我們帶來(lái)的愉悅，并且從“美”的角度發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造新的數(shù)學(xué)。45 當(dāng)然，由上述數(shù)學(xué)的“基本思想”演變、派生、發(fā)展出來(lái)的數(shù)學(xué)思想還有很多。例如由“數(shù)學(xué)抽象的思想”派生出來(lái)的可以有：分類(lèi)的思想，集

28、合的思想，“變中有不變”的思想，符號(hào)表示的思想，對(duì)應(yīng)的思想，有限與無(wú)限的思想，等等。例如由“數(shù)學(xué)推理的思想”派生出來(lái)的可以有：歸納的思想，演繹的思想，公理化思想，數(shù)形結(jié)合的思想，轉(zhuǎn)換化歸的思想，聯(lián)想類(lèi)比的思想，逐步逼近的思想，運(yùn)籌的思想，算法的思想，代換的思想，特殊與一般的思想，等等。例如由“數(shù)學(xué)建模的思想”派生出來(lái)的可以有：簡(jiǎn)化的思想，量化的思想，函數(shù)的思想，方程的思想，優(yōu)化的思想，隨機(jī)的思想，統(tǒng)計(jì)的思想，等等。例如由“數(shù)學(xué)審美的思想”派生出來(lái)的可以有：簡(jiǎn)潔的思想，對(duì)稱(chēng)的思想，統(tǒng)一的思想，和諧的思想，以簡(jiǎn)馭繁的思想，“透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)”的思想，等等。46 舉例說(shuō)，“分類(lèi)的思想”和“集合的思想”

29、可以是這樣由“數(shù)學(xué)抽象的思想”派生出來(lái)的：人們對(duì)客觀世界進(jìn)行觀察時(shí)，常常從研究需要的某個(gè)角度分析聯(lián)想，排除那些次要的、非本質(zhì)的因素，保留那些主要的、本質(zhì)的因素，一種有效的做法就是對(duì)事物按照其某種本質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)，分類(lèi)的結(jié)果就產(chǎn)生了“集合”。把它們上升到思想的層面上，就形成了“分類(lèi)的思想”和“集合的思想”。47 在用數(shù)學(xué)思想解決具體問(wèn)題時(shí)，對(duì)某一類(lèi)問(wèn)題反復(fù)推敲，會(huì)逐漸形成某一類(lèi)程序化的操作，就構(gòu)成了“數(shù)學(xué)方法”。數(shù)學(xué)方法也是具有層次的。處于較高層次的，例如有：邏輯推理的方法，合情推理的方法，變量替換的方法，等價(jià)變形的方法，分情況討論的方法，等等。低一些層次的數(shù)學(xué)方法，還有很多。例如有：分析法，綜合法

30、，窮舉法，反證法，抽樣法，構(gòu)造法，待定系數(shù)法，數(shù)學(xué)歸納法，遞推法，消元法，降冪法，換元法，坐標(biāo)法，配方法，列表法，圖像法，等等。48 數(shù)學(xué)方法不同于數(shù)學(xué)思想“數(shù)學(xué)思想”往往是觀念的、全面的、普遍的、深刻的、一般的、內(nèi)在的、概括的；而“數(shù)學(xué)方法”往往是操作的、局部的、特殊的、表象的、具體的、程序的、技巧的。數(shù)學(xué)思想常常通過(guò)數(shù)學(xué)方法去體現(xiàn)；數(shù)學(xué)方法又常常反映了某種數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心和精髓，教師在講授數(shù)學(xué)方法時(shí)應(yīng)該努力反映和體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生體會(huì)和領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。49三、關(guān)于數(shù)學(xué)的“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”數(shù)學(xué)教學(xué)，本質(zhì)上是師生共同進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，所以學(xué)生獲得相關(guān)的活動(dòng)

31、經(jīng)驗(yàn)當(dāng)然應(yīng)該是數(shù)學(xué)課程的一個(gè)目標(biāo)。特別是，其中有些精神“只能意會(huì)，難以言傳”，必須要學(xué)生自己在親身經(jīng)歷的過(guò)程中獲得經(jīng)驗(yàn)；有些內(nèi)容雖能言傳，但是如果沒(méi)有學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中親身體會(huì)，理解也難以深刻。但是，課標(biāo)并沒(méi)有展開(kāi)闡述“數(shù)學(xué)的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)” ，這也給我們留下了討論的空間。我在這里也談?wù)勛约翰怀墒斓挠^點(diǎn)，與大家交流。50 什么是數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)？我以為，“活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”與“活動(dòng)”密不可分，所說(shuō)的“活動(dòng)”，當(dāng)然要有“動(dòng)”，手動(dòng)、口動(dòng)和腦動(dòng)。它們既包括學(xué)生在課堂上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)的探究性學(xué)習(xí)活動(dòng)，也包括與數(shù)學(xué)課程相聯(lián)系的學(xué)生實(shí)踐活動(dòng)；既包括生活、生產(chǎn)中實(shí)際進(jìn)行的數(shù)學(xué)活動(dòng)，也包括數(shù)學(xué)課程教學(xué)中特意設(shè)計(jì)的活動(dòng)?！盎顒?dòng)”

32、是一個(gè)過(guò)程，因此也體現(xiàn)出，不但學(xué)習(xí)結(jié)果是課程目標(biāo)，而且學(xué)習(xí)過(guò)程也是課程目標(biāo)。51其次，“活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”還與“經(jīng)驗(yàn)”密不可分，當(dāng)然就與“人”密不可分。學(xué)生本人要把在活動(dòng)中的經(jīng)歷、體會(huì)總結(jié)上升為“經(jīng)驗(yàn)”。這既可以是活動(dòng)當(dāng)時(shí)的經(jīng)驗(yàn)，也可以是延時(shí)反思的經(jīng)驗(yàn)；既可以是學(xué)生自己摸索出的經(jīng)驗(yàn)，也可以是受別人啟發(fā)得出的經(jīng)驗(yàn)；既可以是從一次活動(dòng)中得到的經(jīng)驗(yàn)，也可以是從多次活動(dòng)中互相比較得到的經(jīng)驗(yàn)。特別關(guān)鍵的是，這些“經(jīng)驗(yàn)”必須轉(zhuǎn)化和建構(gòu)為屬于學(xué)生本人的東西，才可以認(rèn)為學(xué)生獲得了“活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”。應(yīng)該注意的是，所說(shuō)的“活動(dòng)”都必須有明確的數(shù)學(xué)內(nèi)涵和數(shù)學(xué)目的，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，才能稱(chēng)得上是“數(shù)學(xué)活動(dòng)”，它們是數(shù)學(xué)教學(xué)的有機(jī)組

33、成部分。教師的課堂講授、學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)，是最主要的“數(shù)學(xué)活動(dòng)”，這種講授和學(xué)習(xí)，應(yīng)該是漸進(jìn)式的、啟發(fā)式的、探究式的、互動(dòng)式的。此外，還有其他形式的“數(shù)學(xué)活動(dòng)”，例如學(xué)生的自主學(xué)習(xí)，調(diào)查研究，獨(dú)立思考，合作交流，小組討論，探討分析、參觀實(shí)踐，以及作業(yè)練習(xí)和操作計(jì)算工具，等等。52還應(yīng)該強(qiáng)調(diào)的是，學(xué)生在進(jìn)行“數(shù)學(xué)活動(dòng)”的過(guò)程中，除了能夠獲得邏輯推理的經(jīng)驗(yàn)，還能夠獲得合情推理的經(jīng)驗(yàn)。例如，根據(jù)條件“預(yù)測(cè)結(jié)果”的經(jīng)驗(yàn)和根據(jù)結(jié)果“探究成因”的經(jīng)驗(yàn)。這兩種經(jīng)驗(yàn)對(duì)于培養(yǎng)創(chuàng)新人才也是非常重要的。數(shù)學(xué)活動(dòng)的教育意義在于，學(xué)生主體通過(guò)親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，能夠獲得具有個(gè)性特征的感性認(rèn)識(shí)、情感體驗(yàn)、以及數(shù)學(xué)意識(shí)、數(shù)

34、學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。53讓學(xué)生獲得“數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”，還能夠培養(yǎng)學(xué)生在活動(dòng)中從數(shù)學(xué)的角度思考問(wèn)題，直觀地、合情地獲得一些結(jié)果，這些是數(shù)學(xué)創(chuàng)造的根本，是得到新結(jié)果的主要途徑。數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)并不僅僅是實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)，也不僅僅是解題的經(jīng)驗(yàn)，更加重要的是思維的經(jīng)驗(yàn)，是在數(shù)學(xué)活動(dòng)中思考的經(jīng)驗(yàn)。因?yàn)?，?chuàng)新依賴(lài)的是思考，是數(shù)學(xué)活動(dòng)中創(chuàng)造性的思維。而思維方法是依靠長(zhǎng)期活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累獲得的，思維品質(zhì)是依靠有效的、多方面的數(shù)學(xué)活動(dòng)改善的，并不是僅僅依靠接受教師的傳授獲得的。愛(ài)因斯坦說(shuō)：“獨(dú)立思考是創(chuàng)新的基礎(chǔ)”。獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，最重要的是積累“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題”的經(jīng)驗(yàn)，以及“分析問(wèn)題、解決問(wèn)題”的經(jīng)驗(yàn)，總之，是“從頭”想問(wèn)

35、題、思考問(wèn)題、做問(wèn)題全過(guò)程的經(jīng)驗(yàn)。54學(xué)生形成智慧，不可能僅依靠掌握豐富的知識(shí)，一定還需要經(jīng)歷實(shí)踐及在實(shí)踐中取得經(jīng)驗(yàn)。數(shù)學(xué)思想也不僅在探索推演中形成，還需要在數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累的基礎(chǔ)上形成。55 數(shù)學(xué)的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)可以按不同的標(biāo)準(zhǔn)分成若干類(lèi)型。比如，有的學(xué)者把它分為如下四種： 直接的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，間接的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，設(shè)計(jì)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和思考的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。直接的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是與學(xué)生日常生活直接聯(lián)系的數(shù)學(xué)活動(dòng)中所獲得的經(jīng)驗(yàn)，如購(gòu)買(mǎi)物品、校園設(shè)計(jì)等。間接的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生在教師創(chuàng)設(shè)的情景、構(gòu)建的模型中所獲得的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，如雞兔同籠、順?biāo)兄鄣?。設(shè)計(jì)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生從教師特意設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)活動(dòng)中所獲得的經(jīng)驗(yàn)，如隨機(jī)摸球、地面拼圖

36、等。思考的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是通過(guò)分析、歸納等思考獲得的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，如預(yù)測(cè)結(jié)果、探究成因等。學(xué)生只有積極參與數(shù)學(xué)課程的教學(xué)過(guò)程，經(jīng)過(guò)獨(dú)立思考，經(jīng)過(guò)探索實(shí)踐，經(jīng)過(guò)合作交流，才有可能積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。56課標(biāo)中還專(zhuān)門(mén)設(shè)計(jì)了“綜合與實(shí)踐”的課程內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)以問(wèn)題為載體，讓學(xué)生在綜合運(yùn)用知識(shí)、技能解決問(wèn)題的實(shí)踐中獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。在學(xué)生積累和獲得數(shù)學(xué)的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程中，就必然有情感態(tài)度與價(jià)值觀的提升。這樣，“四基”就全面體現(xiàn)了綱要中“三維目標(biāo)”的要求。57四、“四基”是一個(gè)有機(jī)的整體“四基”雖然是由四個(gè)部分構(gòu)成的，但“四基”不應(yīng)僅僅看作是四個(gè)事物簡(jiǎn)單的疊加或混合，而應(yīng)是一個(gè)有機(jī)的整體，是互相聯(lián)系、互相促進(jìn)的。5

37、8基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能是數(shù)學(xué)教學(xué)的主要載體，需要花費(fèi)較多的課堂時(shí)間；數(shù)學(xué)思想則是數(shù)學(xué)教學(xué)的精髓，是統(tǒng)領(lǐng)課堂教學(xué)的主線；數(shù)學(xué)活動(dòng)是不可或缺的教學(xué)形式與過(guò)程。“四基”既然比原來(lái)增加了兩條，教師在課堂教學(xué)的安排上就應(yīng)該有意識(shí)地給數(shù)學(xué)思想的教學(xué)預(yù)留適當(dāng)?shù)臅r(shí)間；但是數(shù)學(xué)思想的教學(xué)不能空洞地進(jìn)行，一定要以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體進(jìn)行，并且應(yīng)該注意將數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想融為一體，因勢(shì)利導(dǎo)，水到渠成，畫(huà)龍點(diǎn)睛；教師在講解數(shù)學(xué)思想時(shí)，應(yīng)該避免“兩層皮”，避免生硬牽強(qiáng)，避免長(zhǎng)篇大論。在課堂數(shù)學(xué)活動(dòng)的時(shí)間安排上，大量的應(yīng)該是教師啟發(fā)式傳授和學(xué)生在教師指導(dǎo)下獨(dú)立思考、自主探究的時(shí)間；其他形式的數(shù)學(xué)活動(dòng)也應(yīng)安排適當(dāng)?shù)臅r(shí)間。此外，“四

38、基”既然比原來(lái)增加了兩條，那么，在教學(xué)評(píng)價(jià)上也應(yīng)該給數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)活動(dòng)以適當(dāng)?shù)奈恢煤涂臻g。59課標(biāo)在“四基”的表述前用了“獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的”這樣一個(gè)限制性定語(yǔ)，這樣，一方面避免了在“四基”的名義下不適當(dāng)?shù)財(cái)U(kuò)大教學(xué)內(nèi)容，一方面也強(qiáng)調(diào)了學(xué)生獲得數(shù)學(xué)“四基”的現(xiàn)實(shí)意義和長(zhǎng)遠(yuǎn)意義。其現(xiàn)實(shí)意義是學(xué)生適應(yīng)社會(huì)生活所必需；其長(zhǎng)遠(yuǎn)意義是學(xué)生進(jìn)一步發(fā)展所必需。如果數(shù)學(xué)課程能夠使我們的學(xué)生獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，那么培養(yǎng)全面發(fā)展的創(chuàng)新性人才就具備了很好的條件。60三、“數(shù)學(xué)思想”的教學(xué)舉例 （小學(xué)、初中）學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)十分

39、重要 小學(xué)、中學(xué)和大學(xué)，學(xué)習(xí)內(nèi)容不同，但 這一點(diǎn)是共同的。62小學(xué)的案例課標(biāo)中若干案例（原序號(hào)）該案例體現(xiàn)什么數(shù)學(xué)思想該案例還體現(xiàn)課標(biāo)的其他哪些方面63第一學(xué)段例1 用算盤(pán)上的算珠表示三位數(shù)。 符號(hào)表示的思想64例8. 估計(jì)每分鐘脈搏跳動(dòng)的次數(shù)、閱讀的字?jǐn)?shù)、跳繩的次數(shù)、走路的步數(shù)。 優(yōu)化的思想；設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)活動(dòng)；解決問(wèn)題的多種策略65例10 在下面的圖1中，描出橫排和豎排上兩個(gè)數(shù)相加等于10 的格子，再分別描出相加等于6，9的格子，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律。 數(shù)形結(jié)合的思想； 函數(shù)的思想； 數(shù)學(xué)審美的思想； 情感態(tài)度和價(jià)值觀66987654321+123456789 圖1例18 新年聯(lián)歡會(huì)準(zhǔn)備買(mǎi)水果，調(diào)

40、查班級(jí)同學(xué)最喜歡吃的水果，設(shè)計(jì)購(gòu)買(mǎi)方案。 數(shù)據(jù)分析的思想；設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)活動(dòng) “統(tǒng)計(jì)”無(wú)對(duì)錯(cuò)，但是要符合最初設(shè)定的原則。67例19 對(duì)全班同學(xué)的身高進(jìn)行調(diào)查分析。 數(shù)據(jù)分析的思想；情感態(tài)度和價(jià)值觀 養(yǎng)成保存資料的習(xí)慣；在數(shù)學(xué)活動(dòng)中體會(huì)數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)精神。68 在三個(gè)學(xué)段，標(biāo)準(zhǔn)都舉了對(duì)全班同學(xué)的身高進(jìn)行分析的例子，并且鼓勵(lì)學(xué)生把每年測(cè)量身高的數(shù)據(jù)都保留下來(lái)，根據(jù)不同學(xué)段的特點(diǎn)對(duì)于數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析，提取信息，從而經(jīng)歷數(shù)據(jù)分析的過(guò)程。具體闡述和要求如下。 三個(gè)學(xué)段中對(duì)于數(shù)據(jù)分析過(guò)程的例子第一學(xué)段（課標(biāo)例19）：對(duì)全班同學(xué)的身高進(jìn)行調(diào)查分析。 說(shuō)明 學(xué)校一般每年都要測(cè)量學(xué)生的身高，這為學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)提供

41、了很好的數(shù)據(jù)資源，因此這個(gè)問(wèn)題可以貫穿第一學(xué)段和第二學(xué)段，根據(jù)不同學(xué)段的學(xué)生特點(diǎn)，要求可以有所不同。希望學(xué)生把每年測(cè)量身高的數(shù)據(jù)都保留下來(lái)，養(yǎng)成保存資料的習(xí)慣。在第一學(xué)段，主要讓學(xué)生感悟可以從數(shù)據(jù)中得到一些信息。第二學(xué)段（課標(biāo)例38）： 對(duì)全班同學(xué)的身高的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理和分析。 說(shuō)明 在上面的例子中，已經(jīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)全班同學(xué)的身高的數(shù)據(jù)進(jìn)行初步分析。在這個(gè)學(xué)段中，要求學(xué)生結(jié)合以前積累的身高數(shù)據(jù)，進(jìn)行進(jìn)一步的整理，然后進(jìn)行分析。整理的目的是為了便于分析，例如，條形統(tǒng)計(jì)圖有利于直觀了解不同高度段的學(xué)生數(shù)及其差異；扇形統(tǒng)計(jì)圖有利于直觀了解不同高度段的學(xué)生占全班學(xué)生的比例及其差異；折線統(tǒng)計(jì)圖有利于直觀了解

42、幾年來(lái)學(xué)生身高變化的情況，預(yù)測(cè)未來(lái)身高變化趨勢(shì)。學(xué)生還可以討論用什么數(shù)據(jù)來(lái)代表全班同學(xué)的身高，自己的身高在全班的什么位置。第三學(xué)段（課標(biāo)例70）： 比較自己班級(jí)與別的班級(jí)同學(xué)的身高狀況。69例20 （扣子）圖形分類(lèi)。 分類(lèi)的思想；集合的思想70 圖6 說(shuō)明 本活動(dòng)適合于本學(xué)段的各個(gè)年級(jí)，可以在要求上有所區(qū)分。本活動(dòng)的目的是希望學(xué)生能夠清楚，分類(lèi)是要依賴(lài)分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)的，例如扣子的形狀、扣子的顏色或者扣眼的數(shù)量都可以作為分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)，而在不同的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)下分類(lèi)的結(jié)果可能是不同的。本活動(dòng)將有利于培養(yǎng)學(xué)生把握?qǐng)D形的特征、抽象出多個(gè)圖形的共性的能力。另一方面，活動(dòng)還要求學(xué)生運(yùn)用文字、圖畫(huà)或表格等方法記錄對(duì)扣子進(jìn)

43、行分類(lèi)后的結(jié)果，這有利于培養(yǎng)學(xué)生整理數(shù)據(jù)的能力。71 教師在此活動(dòng)的教學(xué)中可以作如下設(shè)計(jì)：（1）教師提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生討論分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)?？梢詥l(fā)學(xué)生這樣思考：先關(guān)注一個(gè)指標(biāo)作為分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，如先關(guān)注顏色；在此基礎(chǔ)上，再進(jìn)一步關(guān)注兩個(gè)指標(biāo)作為分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，如進(jìn)一步關(guān)注顏色和形狀；最后再關(guān)注顏色、形狀和扣眼數(shù)。這樣可以避免出現(xiàn)混亂。（2）根據(jù)已經(jīng)討論確定的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)對(duì)學(xué)生分組，引導(dǎo)學(xué)生實(shí)際操作，合作完成計(jì)數(shù)；各小組呈現(xiàn)統(tǒng)計(jì)結(jié)果。（3）教師組織學(xué)生報(bào)告統(tǒng)計(jì)結(jié)果，引導(dǎo)學(xué)生作出評(píng)價(jià)，幫助學(xué)生整理思路。7273（扣子分類(lèi)問(wèn)題的延伸）按不同的標(biāo)準(zhǔn)分類(lèi)，結(jié)果不同；兼用兩種標(biāo)準(zhǔn)分類(lèi)；兼用兩種標(biāo)準(zhǔn)分類(lèi)，順序不同，注意其結(jié)果；再

44、兼用兩種標(biāo)準(zhǔn)分類(lèi)，順序不同，注意其結(jié)果；猜測(cè)規(guī)律 交換率；驗(yàn)證規(guī)律 窮舉法；規(guī)律能否推廣 任何兩個(gè)獨(dú)立的指標(biāo)，在“運(yùn)算”時(shí)都滿足 交換率？試驗(yàn)推廣的規(guī)律 按行和列兩個(gè)獨(dú)立的指標(biāo)加方表中的數(shù)；找出不獨(dú)立的兩個(gè)指標(biāo)的情況 平面的旋轉(zhuǎn)和平移； 灌水和燒水例22 上學(xué)時(shí)間。讓學(xué)生記錄自己在一個(gè)星期內(nèi)每天上學(xué)途中所需要的時(shí)間，并從這些數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)有用的信息。 數(shù)據(jù)分析的思想；隨機(jī)的思想 數(shù)據(jù)較多時(shí)的穩(wěn)定性；培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真做事的習(xí)慣。74第二學(xué)段例26 李阿姨去商店購(gòu)物，帶了100元，她買(mǎi)了兩袋面，每袋30.4元，又買(mǎi)了一塊牛肉，用了19.4元，她還想買(mǎi)一條魚(yú)，大一些的每條25.2元，小一些的每條15.8元。

45、請(qǐng)幫助李阿姨估算一下，她帶的錢(qián)夠不夠買(mǎi)小魚(yú)？能不能買(mǎi)大魚(yú)？ 簡(jiǎn)化的思想，估算的思想 估算的方法：取合適的單位；適當(dāng)放大和適當(dāng)縮小75例29 彩帶每米售價(jià)3.2元，購(gòu)買(mǎi)2米，3米，10米彩帶分別需要多少元？在方格紙上把與數(shù)對(duì)（長(zhǎng)度，價(jià)錢(qián)）相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)描出，并且回答下列問(wèn)題：（1）所描的點(diǎn)是否在一條直線上？（2）估計(jì)一下買(mǎi)1.5米的彩帶大約要花多少元？（3）小剛買(mǎi)的彩帶長(zhǎng)度是小紅的3倍，他所花的錢(qián)是小紅的幾倍？ 數(shù)形結(jié)合的思想；數(shù)學(xué)審美的思想76長(zhǎng)度/米01234567價(jià)錢(qián)/元03.26.49.612.81619.222.4 “數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)中最基本的兩個(gè)概念，數(shù)學(xué)家華羅庚先生說(shuō)“數(shù)無(wú)形時(shí)不直觀

46、，形無(wú)數(shù)時(shí)難入微”，這就是數(shù)形結(jié)合思想。在分?jǐn)?shù)的教學(xué)中，我們常用餅形圖幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的含義；而在有理數(shù)的教學(xué)中，我們需要借助數(shù)軸表示相反數(shù)、理解絕對(duì)值的意義、比較有理數(shù)大小，表示不等式組的共解集等。在平時(shí)的教學(xué)中，教師要對(duì)具體的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行深入的分析，挖掘這部分內(nèi)容蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想，進(jìn)行反復(fù)滲透，提高學(xué)生的認(rèn)識(shí)水平。77例30 聯(lián)歡會(huì)上，小明按照3個(gè)紅氣球、2個(gè)黃氣球、1個(gè)綠氣球的順序把氣球串起來(lái)裝飾教室。你知道第16個(gè)氣球是什么顏色嗎？ 數(shù)學(xué)模型的思想，“變中有不變”的思想，符號(hào)表示的思想78AAABBCAAABBC例31 一個(gè)房間里有四條腿的椅子和三條腿的凳子共16個(gè)，如果椅子腿數(shù)和凳子腿

47、數(shù)加起來(lái)共有60個(gè)，那么有幾個(gè)椅子和幾個(gè)凳子？ 數(shù)學(xué)推理的思想；歸納的思想，符號(hào)表示的思想，數(shù)學(xué)模型的思想 探索規(guī)律的觀念；由簡(jiǎn)至繁的方法；解決問(wèn)題多種策略椅子數(shù) 凳子數(shù) 腿的總數(shù) 16 0 416=64 15 1 415+31=63 14 2 414+32=62 ， 模型：由416 60 = 凳子數(shù) 推知 4（椅子和凳子的總數(shù)） 腿的總數(shù) = 凳子數(shù) （擴(kuò)展：雞兔同籠）79數(shù)學(xué)模型的思想 事實(shí)上，這個(gè)問(wèn)題可以用三種方法建立模型。在第二學(xué)段討論過(guò)的方法是基于四則運(yùn)算，還可以用一元一次方程的方法或二元一次方程組的方法解決。啟發(fā)學(xué)生從不同的角度思考同一個(gè)問(wèn)題，有利于學(xué)生進(jìn)行比較，加深對(duì)于模型的理解

48、。 例51題目與例31完全一樣，但是有方程語(yǔ)言的闡述；可以讓學(xué)生比較解決問(wèn)題的不同策略。80例32 觀察下圖（圖8）： 請(qǐng)指出從前面、右面、上面看到的相應(yīng)圖形（圖9）： 空間觀念 （先想后看） 81例34 測(cè)量一個(gè)土豆的體積。 轉(zhuǎn)換的思想；簡(jiǎn)化的思想； 化繁為簡(jiǎn)的方法 等量替換的方法82例38 對(duì)全班同學(xué)身高的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理和分析。 統(tǒng)計(jì)的思想；數(shù)據(jù)分析的方法83例40 袋中裝有5個(gè)球、4個(gè)紅球和1個(gè)白球。只告訴學(xué)生袋中球的顏色為紅色和白色，不告訴他們紅球數(shù)目與白球數(shù)目，讓學(xué)生通過(guò)多次有放回的摸球，統(tǒng)計(jì)摸出紅球和白球的數(shù)量及各自所占比例，由此估計(jì)袋中紅球和白球數(shù)目的情況。 隨機(jī)的思想，統(tǒng)計(jì)的思想

49、；數(shù)據(jù)分析的方法84例42 繪制學(xué)校平面圖。 按照確定的比例和方位，繪制校園的平面圖，包括圍墻、主要建筑、主要活動(dòng)場(chǎng)所、道路等等。 空間觀念；綜合與實(shí)踐的活動(dòng)85例44 象征性長(zhǎng)跑。 為了迎接奧運(yùn)會(huì)的召開(kāi)，某小學(xué)決定組織“迎接圣火、跑向北京”的象征性長(zhǎng)跑活動(dòng)，學(xué)校向同學(xué)們征集活動(dòng)方案，請(qǐng)你參與設(shè)計(jì)，其中要解決的問(wèn)題有： （1）調(diào)查你所在的學(xué)校到北京天安門(mén)的距離約有多少千米？（2）如果一個(gè)人每天跑一個(gè)“馬拉松”，要幾天能完成這項(xiàng)長(zhǎng)跑？（3）如果全班用接力方式開(kāi)展這項(xiàng)活動(dòng)，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)合理的活動(dòng)方案。（4）全班交流、展出同學(xué)們的不同方案，說(shuō)明各個(gè)方案的特點(diǎn)，同學(xué)之間評(píng)價(jià)方案的優(yōu)缺點(diǎn)，推薦本班的最佳

50、活動(dòng)方案。 綜合與實(shí)踐的活動(dòng)； 生生互評(píng)86初中的案例課標(biāo)中若干案例（原序號(hào)）該案例體現(xiàn)什么數(shù)學(xué)思想該案例還體現(xiàn)課標(biāo)的其他哪些方面87 例54 小明的父母出去散步，從家走了20分鐘到一個(gè)離家900米的報(bào)亭，母親隨即按原速返回。父親在報(bào)亭看了10分鐘報(bào)紙后，用15分鐘返回家。下面的圖形中哪一個(gè)表示父親離家后的時(shí)間與距離之間的關(guān)系？哪一個(gè)圖形是表示母親的行走過(guò)程？88數(shù)形結(jié)合的思想、對(duì)應(yīng)的思想、函數(shù)的思想 例77 看圖說(shuō)故事。 如圖27，設(shè)計(jì)兩個(gè)不同問(wèn)題情境，使情境中出現(xiàn)的一對(duì)變量，滿足圖示的函數(shù)關(guān)系。結(jié)合圖象，講出這對(duì)變量的變化過(guò)程的實(shí)際意義。 89數(shù)形結(jié)合的思想 說(shuō)明 通過(guò)這個(gè)活動(dòng)，激發(fā)學(xué)生自

51、己思考并構(gòu)造出滿足特定關(guān)系的函數(shù)實(shí)例，以加深對(duì)函數(shù)理解。 學(xué)生可以設(shè)計(jì)多種情境，比如，把這個(gè)圖看成“小王跑步的s-t圖”，可以說(shuō)出下面的故事：小王以常速度400米/分，跑了5分鐘，在原地休息了6分鐘，然后以常速度500米/分，跑回出發(fā)地。 再比如：有一個(gè)容積為2升的開(kāi)口空瓶子，小王以常速度0.4升/秒，向這個(gè)瓶子注水，灌了5秒后停水，等待6秒，然后以常速度0.5升/秒，倒空瓶中水。 老師可以鼓勵(lì)學(xué)生，創(chuàng)設(shè)不同的符合函數(shù)關(guān)系和實(shí)際情況的情境。90函數(shù)的思想 例55 某書(shū)定價(jià)8元。如果一次購(gòu)買(mǎi)10本以上，超過(guò)10本部分打8折。分析并表示購(gòu)書(shū)數(shù)量與付款金額之間的函數(shù)關(guān)系。 說(shuō)明 這是一個(gè)分段函數(shù)，函

52、數(shù)的三種表示法均適用于這個(gè)例子。一般來(lái)說(shuō)，列表法適用于變量取值是離散的情況；分段函數(shù)應(yīng)當(dāng)畫(huà)圖，并且關(guān)注分段點(diǎn)處函數(shù)的變化情況?？梢苑纸M討論三種方法，然后讓學(xué)生分析比較。91數(shù)學(xué)推理的思想 例62 探索并了解：過(guò)圓外一點(diǎn)所畫(huà)的圓的兩條切線的長(zhǎng)相等 說(shuō)明 通過(guò)探索和了解此結(jié)論的證明，幫助學(xué)生體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)結(jié)論到驗(yàn)證結(jié)論的過(guò)程。 教學(xué)中可以參考安排如下的過(guò)程： （1）發(fā)現(xiàn)結(jié)論。在透明紙上畫(huà)出如圖19 - 1的圖：設(shè)PA ，PB 是O的兩條切線，A，B是切點(diǎn)。讓學(xué)生操作：沿直線OP將圖形對(duì)折，啟發(fā)學(xué)生思考，或者組織學(xué)生交流。學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)： PA = PB ， APO = BPO 。 這是通過(guò)實(shí)例發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)

53、的過(guò)程。啟發(fā)學(xué)生由特殊到一般，通過(guò)合情推理推測(cè)出切線長(zhǎng)定理的結(jié)論。92 2）證明結(jié)論的正確性。如圖19 - 2，連接OA和OB。因?yàn)镻A和PB是O的切線，則 PAO = PBO =90 ，即POA 和POB均為直角三角形。又因?yàn)镺A =OB和OP =OP ，則POA 與 POB 全等。于是有 PA = PB ， APO = BPO 。 這是通過(guò)演繹推理證明圖形性質(zhì)的過(guò)程。 由此可見(jiàn)，合情推理與演繹推理是相輔相成的兩種推理形式，都是研究圖形性質(zhì)的有效工具。 上述證明過(guò)程沒(méi)有采用形式化的三段論，但有利于初學(xué)者把握證明的條理和說(shuō)理的邏輯。93 例64 下面圖20-2中的三個(gè)三角形是由圖20-1中的三

54、角形經(jīng)過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱(chēng)得到的，分別指出圖形運(yùn)動(dòng)的形式，并標(biāo)出對(duì)應(yīng)的角。 圖20-1 圖20-2 說(shuō)明本例是把運(yùn)動(dòng)后的結(jié)果放在一起讓學(xué)生辨認(rèn)，有利于學(xué)生理解三種圖形運(yùn)動(dòng)形式的不同之處，從而把握平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱(chēng)的基本特征，體驗(yàn)圖形運(yùn)動(dòng)是研究圖形的有力工具。由此可以培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，滲透變換的思想、運(yùn)動(dòng)的思想、普遍聯(lián)系的思想。在標(biāo)出對(duì)應(yīng)的角時(shí)，又可以滲透符號(hào)表示的思想。 數(shù)學(xué)變換的思想、運(yùn)動(dòng)的思想、普遍聯(lián)系的思想；符號(hào)表示的思想94 例74 直覺(jué)的誤導(dǎo)。 有一張8 cm8 cm的正方形的紙片，面積是64 cm2。把這張紙片按圖25 - 1所示剪開(kāi)，把剪出的4個(gè)小塊按圖25 - 2所示重新拼合

55、，這樣就得到了一個(gè)長(zhǎng)為13cm，寬為5cm的長(zhǎng)方形，面積是65 cm2。這是可能的嗎？95 說(shuō)明這是一個(gè)直覺(jué)與邏輯不符的例子，希望學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)體會(huì)到：對(duì)于數(shù)學(xué)的結(jié)論，完全憑借直覺(jué)判斷是不行的，還需要通過(guò)演繹推理來(lái)驗(yàn)證。 一般來(lái)說(shuō)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)是不會(huì)相信圖25 -2中紙片的面積是65 cm2，但又無(wú)法說(shuō)明為什么觀察的結(jié)果是錯(cuò)誤的。進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考，如果觀察是錯(cuò)誤的，那么錯(cuò)誤可能出在哪里呢？學(xué)生通過(guò)邏輯思考，可以推斷只有一個(gè)可能：圖25 -2中紙片所示圖形不是長(zhǎng)方形，因此不能用長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式來(lái)計(jì)算面積。然后，可以引導(dǎo)學(xué)生實(shí)際測(cè)量圖形左上角或者右下角，發(fā)現(xiàn)確實(shí)不像是直角?？梢愿嬖V學(xué)生，這個(gè)想法是

56、正確的，但最好能夠給出證明，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)由合情推理到演繹推理的過(guò)程。 在實(shí)際教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生先看圖、再讓學(xué)生分組將圖剪開(kāi)，動(dòng)手操作發(fā)現(xiàn)矛盾（64=65？）。然后，嘗試找出理由并嘗試證明，最后表達(dá)收獲。9697數(shù)學(xué)推理的思想； 綜合與實(shí)踐 例80 “零指數(shù)”的教學(xué)設(shè)計(jì)（實(shí)施建議之第三學(xué)段）。 本案例希望體現(xiàn)課程目標(biāo)在課堂教學(xué)中的整體落實(shí)通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅理解和掌握有關(guān)的知識(shí)技能，而且初步了解指數(shù)概念是如何擴(kuò)充的，感受零指數(shù)“規(guī)定”的合理性。 通過(guò)計(jì)算2323提出問(wèn)題：如果應(yīng)用同底數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，可以得到2323 = 23-3 = 20。那么20有什么意義呢？等于多少呢？我們需要做出

57、解釋?zhuān)瑪?shù)學(xué)面臨了挑戰(zhàn)。 我們先回顧簡(jiǎn)單的事實(shí)： 2323 = 88= 1，于是可以自然提出猜想： 20 =1，然后采用各種途徑引導(dǎo)學(xué)生感受規(guī)定“20 =1”的合理性。98例如： 用細(xì)胞分裂作為情境，提出問(wèn)題：一個(gè)細(xì)胞分裂1次變2個(gè)，分裂2次變4個(gè)，分裂3次變8個(gè)那么，一個(gè)細(xì)胞沒(méi)有分裂時(shí)呢？ 觀察數(shù)軸上表示2的正整數(shù)次冪16、8、4、2，等等點(diǎn)的位置變化，可以發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？ 圖2999 再觀察下列式子中指數(shù)、冪的變化，可以發(fā)現(xiàn)下面的規(guī)律 24=1623=822=421=22( )=1 這樣，在學(xué)生感受“20=1”的合理性的基礎(chǔ)上，做出零指數(shù)冪意義的“規(guī)定”，即0=1(0) 。 在規(guī)定的基礎(chǔ)上，再

58、次驗(yàn)證這個(gè)規(guī)定與原有“冪的運(yùn)算性質(zhì)”是無(wú)矛盾的，原有的冪的運(yùn)算性質(zhì)可以擴(kuò)展到零指數(shù)。例如，計(jì)算 5 0 ： 運(yùn)用冪的運(yùn)算性質(zhì) 5 0 = 5-0= 5 ； 根據(jù)零指數(shù)冪意義的規(guī)定 5 0 = 5 1= 5 。100 綜上，學(xué)生在學(xué)習(xí)“零指數(shù)”時(shí)將經(jīng)歷如下的過(guò)程： 面對(duì)挑戰(zhàn)進(jìn)行思考提出“規(guī)定”的猜想通過(guò)各種途徑說(shuō)明“規(guī)定”的合理性做出“規(guī)定”驗(yàn)證這種“規(guī)定”與原有知識(shí)體系無(wú)矛盾指數(shù)概念和性質(zhì)得到擴(kuò)展。 這樣的過(guò)程較充分地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)自身發(fā)展的軌跡，有助于學(xué)生感悟指數(shù)概念是如何擴(kuò)展的，他們借助學(xué)習(xí)“零指數(shù)”所獲得的經(jīng)驗(yàn)，可以進(jìn)一步嘗試對(duì)負(fù)整指數(shù)冪的意義做出合理的“規(guī)定”。這樣的過(guò)程較充分地展示了“規(guī)

59、定”的合理性，有助于發(fā)展學(xué)生的理性思維。101數(shù)學(xué)推理的思想抽樣統(tǒng)計(jì)的思想 例67 設(shè)計(jì)調(diào)查方法。 了解本年級(jí)的同學(xué)是否喜歡某電視劇。調(diào)查的結(jié)果適用于學(xué)校的全體同學(xué)嗎？適用于全地區(qū)的電視觀眾嗎？如果不適用，應(yīng)當(dāng)如何改進(jìn)調(diào)查方法？ 說(shuō)明 對(duì)于許多問(wèn)題，不可能、有時(shí)也不必要得到與問(wèn)題有關(guān)的所有數(shù)據(jù)，只要得到一部分?jǐn)?shù)據(jù)（樣本）就可以對(duì)于總體的情況進(jìn)行估計(jì)。很顯然，如果得到的樣本能夠客觀地反映問(wèn)題，則估計(jì)就會(huì)準(zhǔn)確一些，否則估計(jì)就會(huì)差一些。因此，我們希望尋找一個(gè)好的抽取樣本的方法，使得樣本能夠客觀地反映問(wèn)題。在本學(xué)段，主要學(xué)習(xí)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法，這是收集數(shù)據(jù)中通用的方法，在一般情況下，我們都假定樣本是通過(guò)

60、隨機(jī)的方法得到的。102103 用這個(gè)數(shù)據(jù)估計(jì)全地區(qū)的電視觀眾喜歡這部電視劇的比例是不合適的，因?yàn)閷W(xué)生、成年人、老年人喜歡的電視劇往往不同。為了對(duì)全地區(qū)的電視觀眾喜歡這部電視劇的情況進(jìn)行估計(jì)，可以采用分層抽樣方法，比如依據(jù)年齡分層，需要知道各年齡段人口的比例，按照比例數(shù)分配樣本數(shù)，而在各個(gè)層內(nèi)則采取隨機(jī)抽樣；或者依據(jù)職業(yè)分層，等等。教師應(yīng)該了解分層抽樣，在本學(xué)段學(xué)生只需學(xué)習(xí)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法。104其他案例（機(jī)動(dòng)）105 被刪去的例84 探索數(shù)量關(guān)系的變化規(guī)律 （實(shí)施建議之第三學(xué)段） 教師可以先給出題目，求 1+3+5+19=？ 教學(xué)的目的當(dāng)然不是希望學(xué)生通過(guò)加法運(yùn)算得到結(jié)果，而是希望學(xué)生通過(guò)求