【解析】江蘇省鹽城市20132014學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題含解析

1、四星高中使用2013/2014學(xué)年度第二學(xué)期高二年級期終考試數(shù) 學(xué) 試 題【試卷綜評】本試卷無論是試題的類型，還是試題的表達方式，都可以看出出題者的別具匠心。試卷從檢測學(xué)生的學(xué)習(xí)能力入手，細致、靈活地來考查基本的數(shù)學(xué)知識。打破了學(xué)生的習(xí)慣思維，能測試學(xué)生思維的多角度性和靈活性。試卷體現(xiàn)了以下特點。選擇現(xiàn)實鮮活的素材。將一些與生活實際息息相關(guān)的素材改編成有新意的試題，引發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并解決實際問題。創(chuàng)設(shè)自主選擇的平臺。命題時不僅選擇新的背景材料，又適當(dāng)改變題目結(jié)構(gòu)的程式化，為學(xué)生提供更多的自主探究的機會。感受時代跳動的脈搏。有些題目素材來源于生活實際的真實數(shù)據(jù)，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用。一、填

2、空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.1命題“，”的否定是 【知識點】命題的否定【答案解析】解析 ：解：命題“，”是特稱命題,否定命題為：.故答案為：【思路點撥】由于命題是一個特稱命題，故其否定是全稱命題，根據(jù)特稱命題的否定的格式即可.2設(shè)復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的實部為 【知識點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運算;復(fù)數(shù)的基本概念【答案解析】1解析 ：解：由，得,則的實部為1.故答案為：1【思路點撥】由，兩邊除以，按照復(fù)數(shù)除法運算法則化簡計算3某校高一年級有400人，高二年級有600人，高三年級有500人，現(xiàn)要采取分層抽樣的方法從全校學(xué)生中選出100名學(xué)生進行

3、問卷調(diào)查，那么抽出的樣本中高二年級的學(xué)生人數(shù)為 【知識點】分層抽樣的方法.【答案解析】40 解析 ：解：設(shè)從高二學(xué)生中抽取的人數(shù)應(yīng)為x，根據(jù)分層抽樣的定義和方法可得，解得 x=40，故答案為40【思路點撥】設(shè)從高二學(xué)生中抽取的人數(shù)應(yīng)為x，根據(jù)分層抽樣的定義和方法可得，由此求得x的值，即為所求4“”是“”的 條件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中選擇一個填空）.【知識點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷【答案解析】充分不必要解析 ：解：由，得x2或x-2即q：x2或x-2是的充分不必要條件，故答案為：充分不必要【思路點撥】求出成立的條件，根據(jù)充分條件和必要條件

4、的定義進行判斷5一個盒子中放有大小相同的3個白球和1個黑球，從中任取兩個球，則所取的兩個球不同色的概率為 【知識點】古典概型及其概率計算公式.【答案解析】解析 ：解：總個數(shù)，事件A中包含的基本事件的個數(shù),p故答案為：【思路點撥】算出基本事件的總個數(shù)n=C42=6，再 算出事件A中包含的基本事件的個數(shù)m=C31=3，算出事件A的概率，即P（A）=即可第6題6根據(jù)如圖所示的偽代碼，可知輸出的S的值為 【知識點】偽代碼.【答案解析】21解析 ：解：由題意，第一次循環(huán)，i=3，S=23+3=9；第二次循環(huán)，i=5，S=25+3=13；第三次循環(huán)，i=7，S=27+3=17；第四次循環(huán)，i=9，S=29

5、+3=21，退出循環(huán)故答案為：21【思路點撥】第一次循環(huán)，i=3，S=23+3=9；第二次循環(huán)，i=5，S=25+3=13；第三次循環(huán)，i=7，S=27+3=17；第四次循環(huán)，i=9，S=29+3=21，退出循環(huán)，故可得結(jié)論7在平面直角坐標(biāo)系中，已知中心在坐標(biāo)原點的雙曲線經(jīng)過點，且它的右焦點與拋物線的焦點相同，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 【知識點】拋物線、雙曲線方程.【答案解析】解析 ：解：拋物線的焦點坐標(biāo)為（2，0），則雙曲線的右焦點（2，0），所以，設(shè)雙曲線方程為代入點（1，0），可得，即，.雙曲線的方程為.故答案為：【思路點撥】求出拋物線的焦點坐標(biāo)，可得雙曲線的一個頂點，設(shè)出雙曲線方程，代入

6、點的坐標(biāo)，即可求出雙曲線的方程8已知點在不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)，則 的最大值為 【知識點】簡單線性規(guī)劃【答案解析】6解析:解：P（x，y）在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)，如圖：所以z=2x+y的經(jīng)過A即的交點（2，2）時取得最大值：22+2=6故答案為：6【思路點撥】畫出約束條件表示的可行域，確定目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過的位置，求出最大值即可9已知，.，類比這些等式，若（均為正實數(shù)），則= 【知識點】類比推理【答案解析】41解析 ：解：觀察下列等式，.，第n個應(yīng)該是=則第5個等式中：a=6，b=a2-1=35,a+b=41故答案為：41【思路點撥】根據(jù)觀察所給的等式，歸納出第n個式子，即可寫出結(jié)果10（理

7、科學(xué)生做）已知展開式中所有項的二項式系數(shù)和為32，則其展開式中的常數(shù)項為 【知識點】二項式定理.【答案解析】解析 ：解：因為展開式中所有項的二項式系數(shù)和為：，解得，由二項式展開式整理得：，所以，故，則其展開式中的常數(shù)項為：.故答案為：.【思路點撥】先由所有項的二項式系數(shù)和求出，然后欲求展開式中的常數(shù)項，則令x的指數(shù)可求得結(jié)果.（文科學(xué)生做）已知平面向量滿足，則向量夾角的余弦值為 【知識點】數(shù)量積表示兩個向量的夾角【答案解析】解析 ：解：設(shè)向量的夾角為；因為，平方變形得：，解得：，所以.故答案為：.【思路點撥】先設(shè)出其夾角，根據(jù)已知條件整理出關(guān)于夾角的等式，解方程即可.11（理科學(xué)生做）現(xiàn)從8名

8、學(xué)生中選出4人去參加一項活動，若甲、乙兩名同學(xué)不能同時入選，則共有 種不同的選派方案.（用數(shù)字作答）【知識點】排列組合及簡單計數(shù)問題.【答案解析】55 解析 ：解：從8名學(xué)生中選出4人，共有種選法，其中甲乙同時參加的有種選法，所以從8名學(xué)生中選出4人，甲乙不同時參加的選法有70-15=55種，故答案為55【思路點撥】所有選法共有種，減去甲乙同時參加的情況種即可.（文科學(xué)生做）設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)，則實數(shù)的值為 【知識點】奇函數(shù)的定義.【答案解析】解析 ：解：因為函數(shù)，所以，又因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，即，解得，故答案為：.【思路點撥】利用奇函數(shù)的定義解方程即可.12設(shè)正實數(shù)滿足，則當(dāng)取得最大值時，的值

9、為 【知識點】基本不等式.【答案解析】3解析 ：解：因為為正實數(shù)，且,則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時=3.故答案為3.【思路點撥】把原式整理代入并判斷出等號成立的條件即可.13若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是 【知識點】函數(shù)的單調(diào)性；不等式恒成立問題.【答案解析】解析 ：解：因為在上單調(diào)遞增，即在上恒成立，令，即在上恒成立，故，則.故答案為：.【思路點撥】先利用函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，然后求解即可.14設(shè)點為函數(shù)與圖象的公共點，以為切點可作直線與兩曲線都相切，則實數(shù)的最大值為 【知識點】導(dǎo)數(shù)的幾何意義；利用導(dǎo)數(shù)求最大值.【答案解析】解析 ：解：設(shè)點坐標(biāo)為，則有，因為以為切

10、點可作直線與兩曲線都相切，所以，即或由，故，此時；所以點坐標(biāo)為，代入整理得：，令，即，得，可判斷當(dāng)時有極大值也是最大值，故答案為：.【思路點撥】設(shè)點坐標(biāo)為滿足兩個函數(shù)解析式成立，再借助于斜率相同可解得a，代入函數(shù)，最后利用導(dǎo)數(shù)求最大值即可.二、解答題：本大題共6小題，共計90分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15（本小題滿分14分）（理科學(xué)生做）設(shè)某地區(qū)型血的人數(shù)占總?cè)丝跀?shù)的比為，現(xiàn)從中隨機抽取3人. （1）求3人中恰有2人為型血的概率；（2）記型血的人數(shù)為，求的概率分布與數(shù)學(xué)期望.【知識點】n次獨立重復(fù)試驗恰有k次發(fā)生的概率；分布列；期望.【答案解析】（1

11、）（2）解析 ：解：（1）由題意，隨機抽取一人，是型血的概率為， 2分3人中有2人為型血的概率為. 6分（2）的可能取值為0，1，2，3， 8分， ， ， 12分. 14分【思路點撥】（1）代入n次獨立重復(fù)試驗恰有k次發(fā)生的概率的公式即可；（2）根據(jù)n次獨立重復(fù)試驗恰有k次發(fā)生的概率的公式依次求出為0，1，2，3，時的概率，最后求出期望值.（文科學(xué)生做）設(shè)函數(shù)，記不等式的解集為.（1）當(dāng)時，求集合；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.【知識點】一元二次不等式的解法；集合間的關(guān)系.【答案解析】（1）（2） 解析 ：解：（1）當(dāng)時，解不等式，得， 5分. 6 分（2），又 ，. 9分又，解得，實數(shù)的取值范

12、圍是. 14分【思路點撥】（1）當(dāng)時直接解不等式即可；（2）利用已知條件列不等式組即可解出范圍.16（本小題滿分14分）（理科學(xué)生做）設(shè)數(shù)列滿足，.（1）求；（2）先猜想出的一個通項公式，再用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.【知識點】數(shù)學(xué)歸納法；歸納推理【答案解析】（1）（2），證明見解析.解析 ：解：（1）由條件，依次得， 6分（2）由（1），猜想. 7分下用數(shù)學(xué)歸納法證明之：當(dāng)時，猜想成立； 8分假設(shè)當(dāng)時，猜想成立，即有， 9分則當(dāng)時，有，即當(dāng)時猜想也成立， 13分綜合知，數(shù)列通項公式為. 14分【思路點撥】（1）直接利用已知關(guān)系式，通過n=1，2，3，4，求出a2，a3，a4；（2）利用（1）猜

13、想數(shù)列的通項公式，利用數(shù)學(xué)歸納法證明的步驟證明即可.（文科學(xué)生做）在中，設(shè).（1）當(dāng)時，求 的值；（2）若，求的值.【知識點】向量的數(shù)量積；向量的數(shù)量積運算.【答案解析】（1）-36（2）解析 ：解：（1）當(dāng)時，所以， 3分. 7分（2）因為 ， 12分，解得. 14分【思路點撥】（1）當(dāng)時，利用向量的數(shù)量積公式計算即可；（2）先計算出，然后解方程即可.17（本小題滿分14分）ABCA1B1C1ED第17題（理科學(xué)生做）如圖，在直三棱柱中，分別是的中點，且.（1）求直線與所成角的大小；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【知識點】異面直線所成的角；直線與平面所成的角.【答案解析】（1）（2）解析

14、 ：解：分別以、所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則由題意可得：,又分別是的中點，,. 3分（1）因為， ，所以， 7分直線與所成角的大小為. 8分（2）設(shè)平面的一個法向量為,由,得,可取， 10分又，所以， 13分直線與平面所成角的正弦值為. 14分【思路點撥】（1）分別以、所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則由題意可得， ，然后利用向量的夾角公式計算可得結(jié)果；（2）找出兩個半平面的法向量后利用向量的夾角公式計算即可.（文科學(xué)生做）設(shè)函數(shù).（1）用反證法證明：函數(shù)不可能為偶函數(shù)；（2）求證：函數(shù)在上單調(diào)遞減的充要條件是.【知識點】反證法與放縮法；必要條件、充分條件與充要條件的判斷【答案解析】（1

15、）見解析（2）見解析解析 ：解：(1)假設(shè)函數(shù)是偶函數(shù)， 2分則，即，解得， 4分這與矛盾，所以函數(shù)不可能是偶函數(shù). 6分(2)因為，所以. 8分充分性：當(dāng)時，所以函數(shù)在單調(diào)遞減； 10分必要性：當(dāng)函數(shù)在單調(diào)遞減時，有，即，又，所以. 13分綜合知，原命題成立. 14分【思路點撥】（1）假設(shè)函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，則f（-x）=f（x），代入利用對數(shù)的性質(zhì)，可得矛盾，即可得證；（2）分充分性、必要性進行論證，即可得到結(jié)論18（本小題滿分16分）OPHABC第18題如圖所示，某人想制造一個支架，它由四根金屬桿構(gòu)成，其底端三點均勻地固定在半徑為的圓上（圓在地面上），三點相異且共線，與地面垂直. 現(xiàn)要

16、求點到地面的距離恰為，記用料總長為，設(shè)（1）試將表示為的函數(shù)，并注明定義域；（2）當(dāng)?shù)恼抑凳嵌嗌贂r，用料最?。俊局R點】函數(shù)解析式與定義域的求法；利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最知.【答案解析】（1），. （2）時用料最省.解析 ：解：（1）因與地面垂直，且，則是全等的直角三角形，又圓的半徑為3，所以， 3分又，所以， 6分若點重合，則，即，所以，從而，. 7分（2）由（1）知，所以，當(dāng)時， 11分令，當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以函數(shù)L在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 15分所以當(dāng)，即時，L有最小值，此時用料最省. 16分【思路點撥】（1）通過圖形分別求出的值，然后寫出解析式并注明定義域即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合單調(diào)性

17、即可求出最值.19（本小題滿分16分）OABPCDxy第19題如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)橢圓，其中，過橢圓內(nèi)一點的兩條直線分別與橢圓交于點和，且滿足，其中為正常數(shù). 當(dāng)點恰為橢圓的右頂點時，對應(yīng)的.（1）求橢圓的離心率；（2）求與的值；（3）當(dāng)變化時，是否為定值？若是，請求出此定值；若不是，請說明理由.【知識點】橢圓的性質(zhì)；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；根與系數(shù)的關(guān)系.【答案解析】（1）（2）（3）為定值.解析 ：解：（1）因為，所以，得，即，所以離心率. 4分（2）因為，所以由，得， 7分 將它代入到橢圓方程中，得，解得，所以. 10分（3）法一：設(shè)，由，得， 12分又橢圓的方程為，所以由，得 ，

18、且 ，由得，即，結(jié)合，得， 14分同理，有，所以，從而，即為定值. 16分法二：設(shè)，由，得，同理，12分將坐標(biāo)代入橢圓方程得，兩式相減得，即， 14分同理，而，所以，所以，所以，即，所以為定值. 16分【思路點撥】（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)求出a，c的關(guān)系式即可；（2）由得代入到橢圓方程中即可得結(jié)果；（3）設(shè)，由，得到點坐標(biāo)間的關(guān)系，再將將坐標(biāo)代入橢圓方程后兩式相減，再利用即可.20（本小題滿分16分）設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極大值；（2）若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有三個不同的交點，求的取值范圍；（3）設(shè)，當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間【知識點】利用導(dǎo)數(shù)求極值；借助導(dǎo)數(shù)求范圍；利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間.【答案解析】（1）極大值為5.（2）;（3）當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為,； 當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為, 解析 ：解：（1）當(dāng)時，由=0，得或， 2分列表如下：1300遞增極大遞減極小遞增所以當(dāng)時，函數(shù)取得極大值為5.