投資地選擇問題數(shù)學(xué)建模論

1、關(guān)于投資地選擇問題的論文姓名：孫雨萌 學(xué)號：2011114102摘要：本文是以一道投資地選擇的問題進(jìn)行的數(shù)學(xué)模型的建立，該問題使用的是層次分析法進(jìn)行模型建立和研究計(jì)算，并運(yùn)用高等代數(shù)中特征值、特征向量的方法進(jìn)行計(jì)算求解。該層次分析分為三層，包括目標(biāo)層、決策層、準(zhǔn)則層。其中準(zhǔn)則層共有六項(xiàng)，根據(jù)重要性分別進(jìn)行分析，最后得出結(jié)果?？梢詫τ趯?shí)際問題的選擇給予一定的參考意見，但在實(shí)際問題的考慮中還要想到當(dāng)?shù)氐恼?、?dāng)?shù)氐馁Y源等問題。關(guān)鍵字：層次分析法、一致性檢驗(yàn)、最優(yōu)投資地一、問題重述 某投資者到某地投資，該市的選擇范圍主要有三個區(qū)域：A區(qū)、B區(qū)、C區(qū)。該投資者認(rèn)為選擇投資區(qū)域的主要影響因素為：工資

2、水平、辦公成本、市場規(guī)模、便利性等。下表為投資者搜集的關(guān)于這三個區(qū)域的相關(guān)信息。請建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型幫助該投資者選擇決策投資區(qū)域。 A區(qū) B區(qū) C區(qū) 工資水平53000(元/人.年）42000(元/人.年）39000(元/人.年） 商務(wù)樓租金2.5（元/平方米.天）3.0（元/平方米.天）4.0（元/平方米.天） 市場規(guī)模 高 中 中 交通便捷 堵塞 暢通 暢通與相關(guān)單位聯(lián)絡(luò)的便利程度 高 一般 較高 社會安全 一般 較高 一般二、模型假設(shè)三個地區(qū)具備的其他條件都相同，不在考慮范圍內(nèi)；忽略每一個因素對于其他因素所產(chǎn)生的結(jié)果的影響；在投資期間，工資水平，商務(wù)樓租金，市場規(guī)模等因素在一段時間內(nèi)不會

3、 出現(xiàn)改變；三個區(qū)域投資者只能選擇一個，投資方案不包括幾個區(qū)域組合選擇。三、問題分析對于該問題，在符合題意并且與實(shí)際情況較吻合的情況下，A,B,C三個投資地，受到多種因素的影響，具有層次性，因而用層次分析法來比較三種方案的優(yōu)度是可行的，我們選擇六個因素：工資水平，辦公成品，市場規(guī)模，市場便利安全性，社會安全，單位聯(lián)絡(luò)便利性來建立模型并檢驗(yàn)。四、符號的定義與說明O選擇投資區(qū)域決策層準(zhǔn)則層成對比較矩陣工資水平辦公成品市場規(guī)模市場便利安全性社會安全單位聯(lián)絡(luò)便利性權(quán)向量特征根矩陣的秩一致性指標(biāo)一致性比率（i=1,2.6）決策層對于準(zhǔn)則層權(quán)向量組合權(quán)向量一致性指標(biāo)五、模型的建立與求解一.建立層次分析結(jié)構(gòu)

4、模型 目標(biāo)層O：選擇投資地 準(zhǔn)則層C：工資水平，辦公成品，市場規(guī)模，市場便利性，社會安全，單位 聯(lián)絡(luò)便利性 決策層B：A區(qū)，B區(qū)，C區(qū)圖一：投資的選擇層次圖二：構(gòu)造準(zhǔn)則層對于目標(biāo)層成對比矩陣 假設(shè)要比較準(zhǔn)則層4個因素,，對上層一個因素選擇投資區(qū)域O的影響。每次取兩個因素和，用表示表示和表示對O的影響之比,全部比較結(jié)果可用對比比較距陣 , 0 , (1)表示。由（1）給出的的特點(diǎn),A稱為正互反矩陣。顯然比有=1。 在調(diào)查情況后，我們分析得出，市場上投資者在投資區(qū)域時所考慮的用，依次表示工資水平、辦公成品、市場規(guī)模、市場便利安全性，社會安全，單位聯(lián)絡(luò)便利性6個準(zhǔn)則，構(gòu)造C-O成對比較距陣（正互反陣

5、）為：1121111211112111121111從矩陣上可以看出，表示工資水平對于辦公成品對選擇投資區(qū)域這個目標(biāo)的重要性之比為5:2；表示工資水平對于市場規(guī)模對選擇投資區(qū)域這個目標(biāo)O重要性之比為5:4；表示辦公成品對于工資水平之比為2:5.可以看出此投資者在選擇投資區(qū)域的時，最看重工資成本，其次是市場規(guī)模，市場便利性，社會安全，單位聯(lián)絡(luò)便利性，最后是辦公成品。 比較尺度：在進(jìn)行定性的成對比矩陣時，人們頭腦中通常有5種明顯的等級，用1-9尺度可以方便地表示如表1。表1：1-9尺度的含義1與的影響相同3與的影響稍強(qiáng)5與的影響強(qiáng)7與的影響明顯的強(qiáng)9與的影響絕對的強(qiáng)2,4,6,8與的影響之比在上述兩

6、個相鄰之間1,1/2,.1/9與的影響之比為上面?zhèn)€的互反數(shù) 三：計(jì)算權(quán)向量和特征值并進(jìn)行一致性檢驗(yàn)計(jì)算權(quán)向量，對應(yīng)于最大特征根（即作）的特征向量（歸一化后）作為權(quán)向量，即滿足 = （2）直觀地看，應(yīng)為矩陣的特征根和特征向量連續(xù)依賴于矩陣的元素，所以當(dāng)離一致性的要求不遠(yuǎn)時，的特征根和特征向量也與一致陣的相差不大。（2）式表示的方法稱為有成對比矩陣求權(quán)向量的特征根法。我們用根法來求權(quán)向量：將的每一列向量歸一化得 ； 對按行求和得；將歸一化，=（，.)T 即為近似特征向量；計(jì)算，作為最大特征根的近似值。 1.0000 2.5000 1.2500 1.2500 1.2500 1.2500 0.4000

7、 1.0000 0.5000 0.5000 0.5000 0.50000.8000 2.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 列向量歸一化 A= 0.8000 2.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.8000 2.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.8000 2.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.2174 0.2174 0.2174 0.2174 0.2174 0.2174 0.0870 0.0870 0.0870 0.0870 0.0870 0.08700.17

8、39 0.1739 0.1739 0.1739 0.1739 0.1739 按行求和 0.1739 0.1739 0.1739 0.1739 0.1739 0.1739 0.1739 0.1739 0.1739 0.1739 0.1739 0.17390.1739 0.1739 0.1739 0.1739 0.1739 0.1739 1.3044 0.2174 1.31790.5220 0.0870 0.52721.0434 0.1739 1.05431.0434 歸一化 0.1739 = A= 1.0543 1.0434 0.1739 1.05431.0434 0.1739 1.0543 一

9、致性檢驗(yàn)：成對比矩陣通常不是一致陣，但是為了你能用它的對應(yīng)于特征矩陣根的特征向量作為被比較因素的權(quán)向量，其不一致程度應(yīng)在容許范圍內(nèi)。據(jù)定理，n階正反矩陣的最大特征根=n;當(dāng)=n時是一致陣。 根據(jù)這個定理和連續(xù)地依賴于的事實(shí)可知，比n大的挺多，的不一致程度越嚴(yán)重，用特征向量作為權(quán)向量引起的判斷誤差越大。因而可以用-n數(shù)值的大小來衡量的不一致程度。Saaty將 (3)定義為一致性指標(biāo)。=0時一致陣；越大的不一致程度越嚴(yán)重。 為了確定的不一致程度的容許范圍，需要找出衡量的一致性指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)。Saaty又引入所謂隨機(jī)一致性指標(biāo)。Saaty對于不同的n，用100500個樣本算出的隨機(jī)一致性指標(biāo)的數(shù)值如表2

10、。表2： 隨機(jī)一致性指標(biāo)RI的數(shù)值表中n-1,2時RI=0,是因?yàn)?，2階的正互反陣總是一致陣。 對于n3的成對比較陣A，將它的一致性指標(biāo)CI與同階（指n相同）的隨機(jī)一致性的指標(biāo)RI之比成為一致性比率CR 當(dāng) （4） 是認(rèn)為的不一致程度在容許范圍之內(nèi)，可用其特征向量作為權(quán)向量。權(quán)向量檢驗(yàn)：根據(jù)上面計(jì)算結(jié)果，=6.0621,按公式（3）計(jì)算，,在表2中查按（4）式計(jì)算，一致性檢驗(yàn)通過，上述可以作為權(quán)向量。四：構(gòu)造決策層對準(zhǔn)則層成對比較矩陣并計(jì)算特征值和特征向量在投資選擇區(qū)域問題中我們已經(jīng)得到第2層對第1層的權(quán)向量。記作.用同樣的方法構(gòu)造第3層（決策層）對第2層(準(zhǔn)則層)的每一個準(zhǔn)則的成對比較陣。

11、對判斷矩陣：A區(qū)，B區(qū)，C區(qū)取權(quán)重如下： 圖二10.73071.161010.8483 1.36851.17881計(jì)算權(quán)向量：=(0.2833 0.3289 0.3878）T計(jì)算特征值：3.0000(2)對判斷矩陣A區(qū)，B區(qū)，C區(qū)取權(quán)重如下：圖三11.21.60030.833311.33360.6249 0.74991計(jì)算權(quán)向量：=(0.4068 0.3390 0.2542)T計(jì)算特征值：3.0000對于判斷矩陣A區(qū)，B區(qū)，C區(qū)取權(quán)重如下： 圖四111 11計(jì)算權(quán)向量：=(0.7142 0.1429 0.1429)T計(jì)算特征值：3.0000對于判斷矩陣A區(qū)，B區(qū)，C區(qū)取權(quán)重如下： 圖五1511

12、 5 11計(jì)算權(quán)向量：=(0.0909 0.4545 0.4545)T計(jì)算特征值：3.0000對判斷矩陣A區(qū)，B區(qū)，C區(qū)取權(quán)重如下： 圖六11414 1 1計(jì)算權(quán)向量：=（0.1667 0.6667 0.1667）T計(jì)算特征值：0.3000對判斷矩陣A區(qū)，B區(qū)，C區(qū)取權(quán)重如下： 圖七151 31計(jì)算權(quán)向量：=（0.5556 0.1111 0.3333）T計(jì)算特征值：3.0000C-B權(quán)向量進(jìn)行一致性檢驗(yàn)由第3層對于第2層的成對比較陣計(jì)算的權(quán)向量，最大特征值列入表3.表3：投資投資區(qū)域k1234560.28330.32890.38780.40680.33900.25420.7142 0.1429

13、 0.14290.0909 0.4545 0.45450.1667 0.6667 0.16670.5556 0.1111 0.33333.00003.00003.00003.00003.00003.0000（1）-B矩陣=3.0000=0.58,一致性檢驗(yàn)通過，上述可以作為權(quán)向量。（2）-B矩陣=3.0000=0.58,一致性檢驗(yàn)通過，上述可以作為權(quán)向量。（3）-B矩陣=3.0000=0.58,一致性檢驗(yàn)通過，上述可以作為權(quán)向量。（4）-B矩陣=3.0001=0.58,一致性檢驗(yàn)通過，上述可以作為權(quán)向量。（5）-B矩陣=3.0000=0.58,一致性檢驗(yàn)通過，上述可以作為權(quán)向量。（6）-B矩陣

14、=3.0000=0.58,一致性檢驗(yàn)通過，上述可以作為權(quán)向量。六計(jì)算組合權(quán)向量并作一致性檢驗(yàn)（1）計(jì)算組合權(quán)向量本問題由各準(zhǔn)則層對目標(biāo)層的權(quán)向量和各方案對每一準(zhǔn)則的權(quán)向量（k=1,.6）,計(jì)算各方案對目標(biāo)的權(quán)向量，稱為組合權(quán)向量，記作。對于方案A區(qū)，它在工資水平等6個準(zhǔn)則中的權(quán)重用的第1個分量表示（表2中的第2行），而6個準(zhǔn)則對于目標(biāo)的權(quán)重又用權(quán)向量表示，第3層對第1層的組合權(quán)向量為： = (5)所以在目標(biāo)中的組合權(quán)重應(yīng)為它們相應(yīng)項(xiàng)的兩兩乘積之和，即= 0.3665 0.3443 0.3000于是組合權(quán)向量=（0.3665 0.3443 0.3000）T。（2）組合一致性檢驗(yàn)：在應(yīng)用層次分析法

15、作重大決策的時，除了對每個成對比矩陣進(jìn)行一致性檢驗(yàn)外，還常要進(jìn)行所謂組合一致性檢驗(yàn)，以確定組合權(quán)向量是否可以作為最終的決策依據(jù)。方案層所有方案的一致性比率公式 （6） 按公式（3）已計(jì)算的，列入表4。 表4:k123456000000按公式（6）式計(jì)算得=0方案層B區(qū)域?qū)δ繕?biāo)層的組合一致性比率為： 因此組合一致性檢驗(yàn)通過，得到的權(quán)向量可以作為最終決策的依據(jù).在計(jì)算過程中，所有的判斷矩陣都滿足一致性檢驗(yàn)，保證了結(jié)果的可靠性和正確性. 從計(jì)算結(jié)果=（0.3665 0.3443 0.3000）T來看,選擇地的優(yōu)先排列順序?yàn)锳BA.A區(qū)的總權(quán)重最大,為 0.3665,因此，最優(yōu)選擇投資地應(yīng)為區(qū)A,其次

16、是B區(qū)，C區(qū).六、模型的推廣與評價投資地的選擇問題是日常生活中經(jīng)常會出現(xiàn)的決策問題,但這種問題常常會受到主觀因素的影響,因此,采用層次分析法建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型,更加具有科學(xué)性、實(shí)用性和準(zhǔn)確性。能夠避免問題的決策受到主觀因素的影響導(dǎo)致不利的結(jié)果。但該模型存在一定的缺點(diǎn)，它只是粗略的將準(zhǔn)則層的幾項(xiàng)因素進(jìn)行定量。而且，它不能完全避免主觀的決斷，所以，它只能作為一個參考的依據(jù)，不能將其作為最終的結(jié)果。推廣：如果城市多幾個，而不僅僅是三個的時候，或者是在增加準(zhǔn)則層的幾個因素的時候也可以運(yùn)用相同的方法進(jìn)行求解，但不能過多，否則會帶來計(jì)算上的麻煩。七、參考文獻(xiàn)1將啟源，謝金星，葉俊 數(shù)學(xué)建模,高等教育出版社

17、2011附錄程序準(zhǔn)則層對于目標(biāo)層的矩陣求特征向量的過程程序：A=1 5/2 5/4 5/4 5/4 5/4;2/5 1 1/2 1/2 1/2 1/2;4/5 2 1 1 1 1;4/5 2 1 1 1 1;4/5 2 1 1 1 1;4/5 2 1 1 1 1;w=0.2174 0.0870 0.1739 0.1739 0.1793 0.1793;a=A*wa = 1.3179 0.5272 1.0543 1.0543 1.05431.0543C1-B矩陣權(quán)重畫圖 x=0.2834 0.3289 0.3877;pie(x,A區(qū)0.2834,B區(qū)0.3289,C區(qū)0.3877)C1-B矩陣求特

18、征向量和權(quán)向量： A=1 0.8614 0.7307;1.1610 1 0.8483;1.3685 1.1788 1; x,y=eig(A)x = 0.4868 -0.5765 0.2857 0.5651 0.8020 0.4051 0.6661 -0.1565 -0.8685y = 3.0000 0 0 0 -0.0000 0 0 0 0.0000 C=x(:,2)/sum(x(:,2)C = -8.3496 11.6159 -2.2663C2-B權(quán)重比重畫圖： x=0.4068 0.3390 0.2542;pie(x,A區(qū)0.4068,B區(qū)0.3390,C區(qū)0.2542) C3-B矩陣求特

19、征向量和權(quán)向量： A=1 5 5;1/5 1 1;1/5 1 1; x,y=eig(A)x = -0.9901 0.9623 -0.8767 0.0990 0.1925 -0.2410 0.0990 0.1925 0.4164y = -0.0000 0 0 0 3.0000 0 0 0 0.0000 C=x(:,2)/sum(x(:,2)C = 0.7143 0.1429 0.1429C4-B矩陣求特征向量和權(quán)向量： A=1 1/5 1/5;5 1 1;5 1 1; x,y=eig(A)x = -0.2722 0.1400 0.0138 0.6804 0.7001 -0.7407 0.6804 0.7001 0.6717y = 0.0000 0 0 0 3.0000 0 0 0 0.0000C=x(:,2)/sum(x(:,2)C = 0.0909 0.4545 0.4545C5-B矩陣求特征向量和權(quán)向量：A=1 1/4 1;4 1 4;1 1/4 1;x,y=eig(A)x = -0.4364 0.2357 -0.0000 0.8729 0.9428 -0.9701 0.2182 0.2357 0.2425y = -0.000