2019-2020年北師大版七年級下冊第一章綜合復習利用數(shù)學思維解決整式的混合運算

1、cd，北師大版七年級下冊綜合復習利用圖形結(jié)合思維解決整式運算一、整式混合運算與數(shù)學思維的碰撞1、整式混合運算主要是加、減、乘、除、乘方這5種運算，應運用運算順序與數(shù)學思維相結(jié)合的計算方式來簡化，從而為后面函數(shù)學習打下堅固基礎。2、整式乘法相關(guān)的幾個重要公式、單項式與多項式相乘：m（a+b+c）=ma+mb+mc、多項式與多項式相乘：（m+a）（n+b）=mn+mb+an+ab注意：多項式與多項式相乘，均可以轉(zhuǎn)化為單項式與多項式相乘。如：（m+n+p）（a+b+c）=m（a+b+c）+n（a+b+c）+p（a+b+c）、平方差公式：(ab)(ab)a2b2、完全平方公式：(ab)2a22abb2

2、3、整式四則運算與數(shù)學思維碰撞出的最親密思維-整體思維例題1：若a+b=3,ab=1,求（a-2）（b-2）的值2【解析】：（a-2）（b-2）=ab-2a-2b+4=ab-2（a+b）+4=1-23+4=22整體思維的運用：將代數(shù)式a+b、ab的值作為一個整體帶入求值，而不必將這2個已知條件中等式聯(lián)合成方程組分別求出a、b的值再帶入，可見數(shù)學思維的運用是要簡化并降低計算的難度。例題2：將4個數(shù)a，b，c，d排成2行、2列，兩邊各加一條豎直線記成abcdadbc，請你將定義abx3x1x1x3化為代數(shù)式，再化簡為_cdadbc，【解析】：abx3x1x1x3=（x+3）（x+3）（x1）（x+

3、1）=x2+6x+9x2+1=6x+10整體思維的運用：這里是將代數(shù)式x+3、x1、x+1分別與已知條件中的a、b、c、d對應成一個整體，再運用已知條件，來進行解答題目。整體思維的總結(jié)：整體思維作為整式混合運算中一個非常重要，并且是每個人都必須掌握的一個思維，可見整式運算與整體思維已經(jīng)融為一體了，你只有了解它、分析它、熟悉它、并把它作為你的一種武器，才能在整式混合運算這個大機器里擁有屬于你的一小片領地，只有這樣你才能為后面學習代數(shù)打下堅固的基礎，并且不斷完善以及開闊自己的知識面。4、代數(shù)與幾何碰撞出的數(shù)學思維-數(shù)形結(jié)合思維例題3：如圖，某校有一塊長為（3a+b）米，寬為（2a+b）米的長方形空

4、地，中間是邊長（a+b）米的正方形草坪，其余為活動場地，學校計劃將活動場地（陰影部分）進行硬化（1）用含a，b的代數(shù)式表示需要硬化的面積并化簡；（2）當a=5，b=2時，求需要硬化的面積【解析】：（1）需要硬化的面積表示為：（3a+b）（2a+b）-（a+b）2-化簡：（3a+b）（2a+b）-（a+b）=6a2+3ab+2ab+b2（a2+2ab+b2）=5a2+3ab（2）當a=5，b=2時,5a2+3ab=552+352=155（米2）數(shù)形結(jié)合思維的應用：通過圖形陰影面積的求法，成功利用幾何圖形的相關(guān)公式與等量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為整式乘法運算。通過這道題，我們看到了數(shù)形結(jié)合思維的一個雛形，只要大

5、家用心理解它們間的聯(lián)系，相信大家一定會靈活運用的。例題4：如圖，邊長為m+4的正方形紙片剪出一個邊長為m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一個矩形，若拼成的矩形一邊長為4，則另一邊長為（2m+4）【解析】：設拼成的矩形的另一邊長為x，根據(jù)題意，可列方程：4x（m+4）2m2（m+4+m）（m+4m），解得x2m+4數(shù)學思維的綜合運用：本題運用了數(shù)形結(jié)合思維、方程思維、逆向思維、整體思維，四種數(shù)學思維的綜合運用，清晰明了的將此題完美的呈現(xiàn)出來。例題5：把三張大小相同的正方形卡片A、B、C疊放在一個底面為正方形的盒底上，底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示，若按圖1擺放時，陰影部分的面積為S1；若按圖2擺

6、放時，陰影部分的面積為S2，則S1與S2的大小關(guān)系是（）AS1S2BS1S2CS1S2D無法確定【解析】：設底面的正方形的邊長為a，正方形卡片A，B，C的邊長為b，由圖1，得S1（ab）（ab）（ab）2，由圖2，得S2（ab）（ab）（ab）2，S1S2故選：C數(shù)學思維的綜合運用：本題通過數(shù)形結(jié)合思維，綜合運用了方程思維、轉(zhuǎn)化思維等不同的思維，將代數(shù)思維與幾何思維進行碰撞組合，通過數(shù)形結(jié)合思維作為橋梁，為后面函數(shù)、幾何綜合題打下基礎。5、數(shù)形結(jié)合思維作為數(shù)學解題中的一個重要思維，一定要將這個思維當做一個公式一樣，讓它成為解題的一種必備“武器”。數(shù)形結(jié)合思維在幾何題中的應用還是很廣泛的，在后面

7、幾何知識章節(jié)內(nèi)，我還會通過不同的題型，來讓大家感受到這種思維的強大與實用的；數(shù)形結(jié)合思維在七下第一章整式乘除中，主要是利用圖形中不變的量（大多利用線段的長度、某個圖形的面積或者周長等不變的量），通過線段的長度與面積（或者周長）間的公式來證明某2個代數(shù)式的恒等式關(guān)系。二、數(shù)形結(jié)合思維在整式混合運算中的應用1、對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數(shù)學等式，例如圖1可以得到（a+b）2a2+2ab+b2，請解答下列問題（1）寫出圖2中所表示的數(shù)學等式；（2）根據(jù)整式乘法的運算法則，通過計算驗證上述等式；（3）利用（1）中得到的結(jié)論，解決下面的問題：若a+b+c10，ab+ac+

8、bc35，求a2+b2+c2；（4）小明同學用圖3中2張邊長為a的正方形，3張邊長為b的正方形m張邊長分別為a、b的長方形紙片拼出一個長方形或正方形，直接寫出m的所有可能取值【解析】：（1）邊長為（a+b+c）的正方形的面積為：（a+b+c）2分部分來看的面積為a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac同一個正方形面積相等所以：（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac2（2）（a+b+c）（a+b+c）a+b+c）a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac（3）a+b+c10，ab+ac+bc35a2+b2+c2（a+b+c）22

9、ab2bc2ac10223530a2+b2+c2=30（4）由題意可得，所拼成的長方形或正方形的面積為：2a2+3b2+mab從同一個圖形面積相等，由題意可列式為（2a+b）（a+3b）或（2a+3b）（a+b）（2a+b）（a+3b）2a2+3b2+7ab或（2a+3b）（a+b）2a2+3b2+5abm5或7數(shù)學思維的綜合運用：通過數(shù)形結(jié)合思維，結(jié)合分類思維、逆向思維、方程思維、整體思維、等量思維等多種思維的碰撞，來鞏固整式乘法公式中的完全平方公式，同時拓展并考察了分類思維的運用。2、如圖a是一個長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀均勻分成四塊小長方形，然后按圖b形狀拼成一個正方形

10、（1）你認為圖b中的陰影部分的正方形的邊長等于多少？（2）觀察圖b你能寫出下列三個代數(shù)式之間的等量關(guān)系嗎？代數(shù)式：（m+n）2，（mn）2，mn（3）已知m+n7，mn6，求（mn）2的值【解析】：（1）mn（2）（m+n）2（mn）2+4mn（3）（mn）2（m+n）24mn494625數(shù)學思維的綜合運用：通過數(shù)形結(jié)合思維，結(jié)合整體思維，對完全平方公式進行變形，使完全平方公式拓展出這2個公式間的聯(lián)系與區(qū)別。3、甲、乙兩個長方形的邊長如圖所示（m為正整數(shù)），其面積分別為S1，S2（1）填空：S1S2（用含m的代數(shù)式表示）；（2）若一個正方形的周長等于甲、乙兩個長方形的周長之和設該正方形的邊長為

11、x，求x的值（用含m的代數(shù)式表示）；設該正方形的面積為S3，試探究：S3與2（S1+S2）的差是否是常數(shù)？若是常數(shù)，求出這個常數(shù)，若不是常數(shù)，請說明理由，【解析】：（1）S1S2（m+7）（m+1）（m+4）（m+2）2m1（3）根據(jù)題意，列方程得4x2（m+7+m+1）+2（m+4+m+2）解得x2m+7S2S1+S22m2+14m+15，32（S1+S2）（2m+7）2（2m2+14m+15）4m2+28m+494m228m3019所以：S3與2（S1+S2）的差是常數(shù)：19數(shù)學思維的綜合運用：通過數(shù)形結(jié)合思維，結(jié)合方程思維、整體思維、等量思維等綜合運用，從而達到熟練掌握整式混合運算的技巧

12、，本題中（2）中整體思維的另一個運用是將除了未知數(shù)x外的其他字母當成常數(shù)來運用，這個運用在后面的函數(shù)、方程等的解題過程中會經(jīng)常用到。4、我們已經(jīng)知道，對于一個圖形，通過不同的方法計算圖形的面積可以得到一個數(shù)學等式，例如由圖1可以得到（a+2b）（a+b）a2+3ab+b2，請解答下列問題：（1）寫出圖2中所表示的數(shù)學等式（2）利用（1）中所得到的結(jié)論，解決下面的問題：已知a+b+c11，ab+bc+ac38，求a2+b2+c2的值；（3）小明同學用圖3中x張邊長為a的正方形，y張邊長為b的正方形，z張寬、長分別為a、b的長方形紙片拼出一個面積為（2a+b）（a+2b）長方形，則x+y+z；（4

13、）事實上，通過計算幾何圖形的體積也可以表示一些代數(shù)恒等式，圖4表示的是一個邊長為x的正方體挖去一個小長方體后重新拼成一個新長方體，請你根據(jù)圖4中圖形的變化關(guān)系，寫出一個數(shù)學等式：【解析】（1）最大正方形的邊長是：a+b+c所以它的面積為：（a+b+c）2，從分部分來看，有三個正方形、六個長方形，它們的和為：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc由同一個正方形面積相等得出（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc（2）a+b+c11，ab+bc+ac38，112a2+b2+c2+238a2+b2+c21217645a2+b2+c2的值為45（4）（2a+b）（a+2b）2a2+2b2+5abx代表的是a2系數(shù)，y代表的是b2系數(shù),z代表的是ab系數(shù)x2，y2，z5x+y+z9（5）大