高級(jí)宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)-第四版-中文-羅默課后題答案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)高級(jí)宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)_第四版_中文_羅默課后題答案ADDIN CNKISM.UserStyle第2章無(wú)限期模型與世代交疊模型2.1 考慮N個(gè)廠商，每個(gè)廠商均有規(guī)模報(bào)酬不變的生產(chǎn)函數(shù)Y=FK,AL,，或者采用緊湊形式Y(jié)=ALfk。假設(shè)f0,f0，則積分項(xiàng)收斂，為1-n，則：-1=WL(0)H-n（7）將方程（7）代入（4）：Ct=eR(t)-tWL(0)H-n（8）因此，初始消費(fèi)為：C0=WL(0)H-n（9）個(gè)人的初始財(cái)富為WL(0)H，方程（9）說(shuō)明消費(fèi)是初始財(cái)富的一個(gè)不變

2、的比例。-n為個(gè)人的財(cái)富邊際消費(fèi)傾向?？梢钥闯?，這個(gè)財(cái)富邊際消費(fèi)傾向在平衡增長(zhǎng)路徑上是獨(dú)立于利率的。對(duì)于折現(xiàn)率而言，越大，家庭越厭惡風(fēng)險(xiǎn)，越會(huì)選擇多消費(fèi)。2.5 設(shè)想某家庭的效用函數(shù)由（2.1）（2.2）式給定。假設(shè)實(shí)際利率不變，令W表示家庭的初始財(cái)富加上終生勞動(dòng)收入的現(xiàn)值(2.6)的右端。已知r、W和效用函數(shù)中的各參數(shù)，求C的效用最大化路徑。U=t=0e-tuCtL(t)Hdt2.1uCt=Ct1-1-2.2答：本題目是在家庭的預(yù)算約束下最大化一生的效用，即：maxU=t=0e-tuCtL(t)Hdt（1）s.t. t=0e-rtCtL(t)Hdt=W（2）W代表家庭的初始財(cái)富加上家庭一生勞

3、動(dòng)收入的現(xiàn)值，利率r是常數(shù)。建立拉格朗日方程如下：L=t=0e-tCt1-1-L(t)Hdt+W-t=0e-rtCtL(t)Hdt求一階條件，可得：LCt=e-tCt-L(t)H-e-rtLtH=0抵消L(t)/H，得：e-tCt-=e-rt（3）兩邊對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，可得：e-t-Ct-1Ct-e-tCt-+re-rt=0得到下面的方程：-CtCte-tCt-e-tCt-+re-rt=0（4）將方程（3）代入（4），可得：-CtCt e-rt-e-rt+re-rt=0抵消e-rt然后求消費(fèi)的增長(zhǎng)率CtCt，可得：CtCt=r-（5）由于利率r是常數(shù)，所以消費(fèi)的增長(zhǎng)率為常數(shù)。如果r，則市場(chǎng)利率超過(guò)

4、貼現(xiàn)率，則消費(fèi)會(huì)增加；反之，如果r，則決定了消費(fèi)增長(zhǎng)的幅度。值越低，也就是替代彈性越高，1越高，即消費(fèi)增長(zhǎng)的越快。重寫(xiě)方程（5），得：lnCtt=r-（6）對(duì)方程（6）積分，積分區(qū)間是從時(shí)間=0到時(shí)間=t，可得：lnCt-lnC0=r-=0=t上式可以簡(jiǎn)化為：lnCtC0=(r-)/t（7）對(duì)方程（7）兩邊取指數(shù)，可得：CtC0=e(r-)/t，整理得：Ct=C0e(r-)/t（8）下面求解初始消費(fèi)，將方程（8）代入（2），可得：t=0e-rtC0e(r-)/tL(t)Hdt=W將Lt=entL0代入上式，可得：C0L(0)Ht=0e-r+r-nt/dt=W（9）只要-r+r-n/0，從而保證

5、積分收斂，則求解方程（9）可得：t=0e-r+r-nt/dt=-r+r-n（10）將方程（10）代入（9）中，求解C0：C0=WL0H-r+r-n（11）將方程（11）代入（8），求解Ct：Ct=e(r-)/tWL0H-r+r-n（12）上式便是C的效用最大化路徑。2.6 生產(chǎn)力增長(zhǎng)減速與儲(chǔ)蓄。設(shè)想一個(gè)正處于平衡增長(zhǎng)路徑上的拉姆塞卡斯庫(kù)普曼期模型，假設(shè)g永久性下降。（a）k=0曲線會(huì)如何變化（如果有影響）？（b）c=0曲線會(huì)如何變化（如果有影響）？（c）當(dāng)g下降時(shí)，c如何變化？（d）用一個(gè)式子表示g的邊際變化對(duì)平衡增長(zhǎng)路徑上儲(chǔ)蓄率的影響。能否判斷此表達(dá)式的正負(fù)？（e）設(shè)生產(chǎn)函數(shù)是柯布道格拉斯函

6、數(shù)fk=k，請(qǐng)用、n、g、和重新表示（d）中的結(jié)果。（提示：利用等式fk*=+g。）答：（a）關(guān)于資本的歐拉方程為：kt=fkt-ct-n+gkt（1）該方程描述了資本的動(dòng)態(tài)方程，在拉姆塞模型中，該方程描述了技術(shù)特征，是該模型的核心，它與消費(fèi)的動(dòng)態(tài)方程一起構(gòu)成了該模型的歐拉方程組，從而決定了該模型的最終解。圖2-1 拉姆塞模型在平衡增長(zhǎng)路徑上，k=0，由此可以推出：c=fk-n+gk。在該方程中，當(dāng)g永久性地下降時(shí)，會(huì)導(dǎo)致消費(fèi)c上升以保持方程的均衡。因而在圖形上k=0曲線向上移動(dòng)。同時(shí)，保持k不變，g永久性地下降會(huì)導(dǎo)致持平投資下降，這樣就會(huì)有更多的資源用于消費(fèi)。由于持平投資n+g下降的幅度更大

7、，因而在更高的k水平上，k=0向上移動(dòng)得更大。圖2-1是該模型的圖示。（b）每單位有效勞動(dòng)消費(fèi)的歐拉方程為：ctct=fkt-g（2）該方程描述了消費(fèi)的動(dòng)態(tài)方程，在拉姆塞模型中，該方程描述了偏好特征，是該模型的核心，它與資本的動(dòng)態(tài)方程一起構(gòu)成了該模型的歐拉方程組，從而決定了該模型的最終解。在平衡增長(zhǎng)路徑上，要求c=0，即fk=+g，在g永久性地下降時(shí)，為保持c=0，fk必須下降。由于fk0，因而fk下降必然導(dǎo)致k上升。因此，c=0必須上升，在圖形上表現(xiàn)為c=0向右移動(dòng)，如圖2-1所示。（c）在g永久性地下降時(shí)，由于每單位有效勞動(dòng)的資本是由歷史上的投資決定的，因而不會(huì)發(fā)生不連續(xù)的變化。它仍然保持

8、在平衡增長(zhǎng)路徑k*處。與此相反，每單位有效勞動(dòng)的消費(fèi)則會(huì)隨著g永久性地下降而迅速變化。為使經(jīng)濟(jì)從舊的平衡增長(zhǎng)路徑達(dá)到新的平衡增長(zhǎng)路徑，每單位有效勞動(dòng)的消費(fèi)c必將發(fā)生變化。不過(guò)，此處無(wú)法確定新的平衡增長(zhǎng)路徑處于舊的均衡點(diǎn)的上邊還是下邊，因而無(wú)法確定每單位有效勞動(dòng)的消費(fèi)c是上升還是下降。存在一種特殊情況，即如果新的平衡增長(zhǎng)路徑恰好位于舊的均衡點(diǎn)的右上方，則每單位有效勞動(dòng)的消費(fèi)c甚至可能保持不變。因此，c和k逐步移動(dòng)到新的平衡增長(zhǎng)路徑，此時(shí)的值高于原先的平衡增長(zhǎng)路徑值。（d）在平衡增長(zhǎng)路徑上，產(chǎn)出中被儲(chǔ)蓄的部分為：fk*-c*fk*因?yàn)閗保持不變，即k=0，位于一條均衡的增長(zhǎng)路徑上，則由方程（1）可

9、知：fk*-c*=n+gk*由上面兩個(gè)式子可以推出在平衡增長(zhǎng)路徑上，產(chǎn)出中被儲(chǔ)蓄的份額為：s=n+gk*fk*（3）對(duì)方程（3）兩邊關(guān)于g求導(dǎo)數(shù)，可得：sg=fk*n+gk*g+k*-n+gk*fk*k*gfk*2可以再簡(jiǎn)化為：sg=n+gfk*-k*fk*k*g+fk*k*fk*2（4）由于k*由fk=+g決定，對(duì)該式兩邊關(guān)于g求導(dǎo)數(shù)，可得：fk*k*g=，從而求出k*g為：k*g=fk*0（5）將方程（5）代入（4）中，可得：sg=n+gfk*-k*fk*+fk*k*fk*fk*2fk*（6）在方程（6）中，分母fk*2fk*為負(fù)，分子中第一項(xiàng)為正，而第二項(xiàng)為負(fù)，因而無(wú)法確定正與負(fù)。因此，

10、無(wú)法判斷在平衡增長(zhǎng)路徑上g永久性地下降會(huì)使s上升還是下降。（e）將柯布道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)fk=k，fk=k-1和fk=-1k-2代入方程（6）中，可得：sg=n+gk*-k*k*-1+k*k*-1k*-2k*k*-1k*-2簡(jiǎn)化為：sg=n+gk*1-1-k*k*-1-1-k*k*-1k*-1從上式可以推出：sg=-n+g-+g+g2最終有下面的結(jié)果：sg=-n-+g2=-n+g22.7 說(shuō)明下列變化如何影響圖2.5中的c=0線和k=0線，并在此基礎(chǔ)上說(shuō)明其如何影響平衡增長(zhǎng)路徑上的c值和k值。（a）上升（b）生產(chǎn)函數(shù)向下移動(dòng)。（c）折舊率由本章中假設(shè)的零變?yōu)槟骋徽?。圖2-2 鞍點(diǎn)路徑答：（a）

11、關(guān)于c與k的歐拉方程為：ctct=fkt-g（1）kt=fkt-ct-n+gkt（2）的上升即消費(fèi)的跨期替代彈性1/下降，表明家庭不太愿意接受消費(fèi)的跨期替代，同時(shí)表明隨著消費(fèi)的上升，消費(fèi)的邊際產(chǎn)品下降得很快。這種情況使家庭更偏好于即期消費(fèi)。由于沒(méi)有出現(xiàn)在資本積累方程（2）中，因而資本積累方程不受的上升的影響。在消費(fèi)的動(dòng)態(tài)方程中，在平衡增長(zhǎng)路徑上c=0，從而fk=-g，由于的上升，因而fk必須上升，又因?yàn)閒k0的情況時(shí)，消費(fèi)和資本的歐拉方程變?yōu)椋篶tct=fkt-g（1）kt=fkt-ct-n+g+kt（2）對(duì)方程（1）和（2）分別在c=c*和k=k*處進(jìn)行一階泰勒展開(kāi)，可得：c=ckk-k*+

12、ccc-c*（3）k=kkk-k*+kcc-c*（4）定義c=c-c*和k=k-k*，因?yàn)閏*和k*為常數(shù)，所以c=c且k=k，將（3）和（4）重寫(xiě)為：c=ckk+ccc（5）k=kkk+kcc（6）對(duì)方程（1）和（2）計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)：ckbgp=fk*c*（7）ccbgp=fk*-g（8）kkbgp=fk*-n+g+（9）kcbgp=-1（10）將方程（7）和（8）代入（5），將方程（9）和（10）代入（6），可得：c=fk*c*k（11）k=fk*-n+g+k-c =+g-n+g+k-c =k-c（12）方程（12）的第二步用到了fk*=+g，第三步用到了定義=-n-1-g。對(duì)方程（11）除以

13、c以求c的增長(zhǎng)率，對(duì)方程（12）除以k以求k的增長(zhǎng)率：cc=fk*c*kc（13）kk=-ck（14）可以發(fā)現(xiàn)該結(jié)果與教材中不存在折舊率的增長(zhǎng)率一樣，也就是說(shuō)折舊率的存在對(duì)增長(zhǎng)率沒(méi)有影響。因此，經(jīng)濟(jì)在向平衡增長(zhǎng)路徑移動(dòng)時(shí)的c和k的不變?cè)鲩L(zhǎng)率與教材中的結(jié)果應(yīng)該一致。令=cc方程（13）可以推出：ck=fk*c*1（15）由方程（15），令（13）和（14）相等，可得：=-fk*c*1，求解可得：=2-4fk*c*122如果為正，則經(jīng)濟(jì)會(huì)偏離穩(wěn)定點(diǎn)，所以必為負(fù)：1=-2-4fk*c*122現(xiàn)在考慮柯布道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)fk=k，分別求其一階導(dǎo)和二階導(dǎo)：fk*=k*-1=r*+（16）fk*=k*-1

14、=-1k*-2（17）將方程（16）兩邊同時(shí)平方：r*+2=2k*2-2，將其代入（17）式：fk*=r*+2-1k*=-1r*+2fk*定義平衡增長(zhǎng)路徑上的儲(chǔ)蓄率為s*，則平衡增長(zhǎng)路徑上的消費(fèi)為：c*=1-s*fk*（18）將方程（17）和（18）代入（15）：1=-2-4-1r*+2fk*1-s*fk*2化簡(jiǎn)為：1=-2+41-r*+21-s*2（19）在平衡增長(zhǎng)路徑上，c=0意味著r*=+g，即：r*+=+g+（20）另外，實(shí)際投資等于持平投資：s*fk*=n+g+k*，可以推出：s*=n+g+k*fk*=n+g+k*-1（21）上步用到了r*+=k*-1，由（21）可以推出：1-s*=

15、r*+-n+g+r*+（22）將方程（20）和（22）代入到（19）中，可得：1=-2+41-+g+g+-n+g+2上式與教材中的（2.39）極其相似，它表明了消費(fèi)與資本的調(diào)整速度（將=13，=4%，n=2%，g=1%，=1，=3%代入上式，得到1=-8.8%）要快于不存在折舊時(shí)的調(diào)整速度。2.9 拉姆塞模型的解析解來(lái)自于史密斯(Smith,2006)?？紤]生產(chǎn)函數(shù)柯布-道格拉斯函數(shù)的拉姆塞模型，yt=k(t)的情形，假設(shè)相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)與資本份額相等。（a）平衡增長(zhǎng)路徑上的k值（即k*）為多少？（b）平衡增長(zhǎng)路徑上的c值（即c*）為多少？（c）令z(t)表示資本產(chǎn)出比k(t)y(t)，x(t

16、)表示消費(fèi)資本比c(t)k(t)。請(qǐng)用z、x和模型參數(shù)表示zt和xtx(t)。（d）暫且猜測(cè)x在鞍點(diǎn)路徑上是常數(shù)，根據(jù)這一猜想：（i）給定初始值z(mì)(0)，求z的路徑。（ii）給定初始值k(0),求y的路徑。經(jīng)濟(jì)沿鞍點(diǎn)路徑向平衡增長(zhǎng)路徑收斂的速度是否是常數(shù)？（e）上述猜測(cè)的解是否滿足c與k的運(yùn)動(dòng)方程(2.24)與(2.25)？答：（a）已知yt=k(t)（1）從正文可知，在c=0時(shí)，存在fk=+g。利用方程（1）計(jì)算得到k*=+g11-（2）（b）與(a)題類(lèi)似，根據(jù)正文可知，在k=0時(shí)，存在c*=fk-n+gk。利用方程（1）計(jì)算得到：c*=+g1-n+g+g11-（3）（c）設(shè)zt=k(t)

17、y(t)和xt=c(t)k(t)。將方程（1）代入zt的定義得到：k=z11-k1-=z（4）將方程（4）代入xt的定義，得到：ck-=xz（5）使用方程（4），考慮zt=k(t)y(t)的時(shí)間導(dǎo)數(shù)，得到：z=1-k-k（6）從正文的方程（2.25）知道，k=k-c-n+gk，方程（6）可表示成：z=1-k-k-c-n+gk（7）為簡(jiǎn)化上式，將方程（4）和方程（5）代入上式，得到：z=1-1-xz-n+gz（8）現(xiàn)在，對(duì)數(shù)化xt=c(t)k(t)，考慮其時(shí)間導(dǎo)數(shù)，得到:xx=cc-kk（9）根據(jù)正文的方程（2.24）和方程（2.25），上式可表示成：xx=k-1-g+-k+c+n+gkk（10

18、）將方程（4）和方程（5）代入上式，再利用=得到：xx=x+n-（11）（d）（i）根據(jù)x為常量的假設(shè)，方程（8）可表示成z=1-1-n+g+x*z（12）為確定z的變化路徑，考慮方程（12）方程（12）為線性非齊次常微分方程。該方程的解包括通解zc和zp。簡(jiǎn)單地設(shè)=1-n+g+x*。為求通解，考慮相應(yīng)的齊次方程z+z=0，A1是積分常數(shù)，求解zz的微分方程得到通解:zc=A1e-t（13）為求特解，考慮非齊次方程z+z=1-，A2是積分常數(shù)，利用積分因子得到特解：zp=1-+A2e-t（14）因此，方程（12）的zc解表示成z=zc+zp=1-+A1+A2e-t（15）利用初始條件，z0替換

19、A1+A2，得到：z=1-+z0-1-e-t（16）為簡(jiǎn)化1-，使用方程（2）和（3）消去x*，利用方程（4）得到：z=z*+e-tz0-z*（17）(ii) 可將方程（4）代入方程（1），求解y的路徑。由于已經(jīng)得到z的路徑，將z的路徑代入方程（17），得到：y=z*+e-tz0-z*1-（18）使用k表示z的方程（4），上式可表示成：y=k*1-+e-tk01-k*1-1-（19）現(xiàn)在，分析經(jīng)濟(jì)趨向平衡增長(zhǎng)路徑的收斂速度是否不變。方程（19）兩端同減方程（2）確定的平衡增長(zhǎng)路徑y(tǒng)*=k*=+g1-，再取對(duì)數(shù)求導(dǎo)：lny-y*=lnz1-+g1-（20）考慮上式的時(shí)間導(dǎo)數(shù)，得到：lny-y*t

20、=1-z1-1zz1-+g1-（21）上式顯然不是常數(shù)，收斂速度也不是常數(shù)。（e）需要知道正文的方程（2.24）和方程（2.25）,或cc=k-1-g和k=k-c-(n+g)是否成立。使用方程（2.24）和方程（2.25）求解x/x，x/x成立的充要條件是方程（2.24）和方程（2.25）成立。已經(jīng)方程（2.25）成立，以前使用該方程求解z。因此xx=0的充分必要條件是cc=0。假設(shè)xx=0，根據(jù)方程（11）可得：x*=-n（22）根據(jù)（a）題和（b）題，在平衡增長(zhǎng)路徑上，x*等于+gg-(n+g)，方程（22）可表示成：x*=-n（23）上式等同于方程（11），方程（2.24）和方程（2.2

21、5）得以成立。2.10拉姆塞-卡斯-庫(kù)普曼斯模型中的資本稅。考慮處于平衡增長(zhǎng)路徑上的拉姆塞-卡斯-庫(kù)普曼斯經(jīng)濟(jì)。假設(shè)在某一時(shí)刻（我們稱作0時(shí)），政府采取了一項(xiàng)對(duì)投資所得按稅率征稅的政策，因此家庭面臨的實(shí)際利率變?yōu)閞t=1-fkt。假設(shè)政府將稅收收入以一次性轉(zhuǎn)移支付的形式返還給家庭。最后，假設(shè)稅收政策是意料之外的。（a）該稅收政策如何影響c=0和k=0線?（b）經(jīng)濟(jì)在0時(shí)會(huì)對(duì)該稅收政策作出何種反應(yīng)？0時(shí)之后的動(dòng)態(tài)學(xué)又是如何？（c）c和k在新舊兩種平衡增長(zhǎng)路徑上的值有何不同？（d）本小題基于巴羅、曼昆和薩拉伊馬丁Barro, Mankiv, and Sala-i-Martin,1995假設(shè)存在許多

22、與本題相同的國(guó)家，各國(guó)工人們的偏好相同，但各國(guó)間的投資收入稅率可以不同。假設(shè)各國(guó)都處于其平衡增長(zhǎng)路徑。(i)證明平衡增長(zhǎng)路徑上的儲(chǔ)蓄率y*-c*y*關(guān)于是遞減的。(ii)低、高k*、高儲(chǔ)蓄率國(guó)家的居民是否有動(dòng)機(jī)向低儲(chǔ)蓄率國(guó)家投資？為什么？（e）(c)小題中的答案是否說(shuō)明補(bǔ)貼投資（即讓0）并通過(guò)一次性稅收為補(bǔ)貼籌資的政策可以提高福利？為什么？（f）如果政府并不返還稅收收入，而是將其用于政府購(gòu)買(mǎi)，（a）小題和（b）小題中的答案會(huì)如何變化？答：（a）由于資本的稅后報(bào)酬變?yōu)椋簉t=1-fkt，家庭將改變每單位有效勞動(dòng)的消費(fèi)增長(zhǎng)率來(lái)實(shí)現(xiàn)一生效用的最大化，即：ctct=1-fkt-g（1）在平衡增長(zhǎng)路徑上

23、，c=0要求1-fkt=+g，即稅后報(bào)酬率為+g。為保持c=0，fkt必須上升，又因?yàn)閒k，所以資本存量必須下降。因此，c=0這條曲線將會(huì)左移，如圖2-8所示。圖2-8 對(duì)投資增稅的影響家庭的每單位有效勞動(dòng)的資本的歐拉方程仍為：kt=fkt-ct-n+gkt（2）由于政府將由這種稅收征集的收入又通過(guò)總量性轉(zhuǎn)移支出返還給家庭，所以家庭投資決策不受影響，因而k=0的軌跡不變。（b）在0時(shí)刻，由于資本的存量由歷史上的投資決策所決定，因而資本不會(huì)發(fā)生非連續(xù)的變化。資本仍然保持在原來(lái)的平衡增長(zhǎng)路徑上的k*處。在0時(shí)刻，與每單位有效勞動(dòng)的資本相反，每單位有效勞動(dòng)的消費(fèi)會(huì)由于征稅而立刻發(fā)生變化。由于稅收政策

24、的這種變化是非預(yù)期性的并且是毫無(wú)準(zhǔn)備的，因此消費(fèi)的變化是非連續(xù)的。由于政府的這種稅收征集，儲(chǔ)蓄和資本積累的回報(bào)會(huì)比以前低，家庭會(huì)轉(zhuǎn)而減少儲(chǔ)蓄，增加消費(fèi)，在圖2-8上表現(xiàn)為c向上移動(dòng)到A點(diǎn)，然后沿著新的均衡路徑移動(dòng)。經(jīng)濟(jì)沿著新的鞍點(diǎn)均衡路徑緩慢移動(dòng)，最終移動(dòng)到新的均衡點(diǎn)Enew。（c）由圖2-8可知，由于稅收扭曲了經(jīng)濟(jì)刺激，因此稅后處在新的平衡增長(zhǎng)路徑上的c與k的值將變小。（d）（i）由上述的分析可以看出，稅率越高，在平衡增長(zhǎng)路徑上的k*越小，而且c=0曲線向左移動(dòng)得越多，因而有k*0。在平衡增長(zhǎng)路徑上，儲(chǔ)蓄率可以表示為：fk*-c*fk*，同時(shí)，k=0時(shí)，由kt=fkt-ct-n+gkt可以推

25、出fk*-c*=n+gk*，由此可以將儲(chǔ)蓄率表示為：s=n+gk*fk*（3）對(duì)方程（3）兩邊求關(guān)于稅率的導(dǎo)數(shù)：s=n+gk*fk*-n+gk*fk*k*fk*2可以簡(jiǎn)化為：s=n+gfk*k*-n+gfk*k*fk*fk*k*=n+gfk*k*1-k*fk*fk*由于資本的收入份額為k*fk*fk*=Kk*，以及k*0，可以改寫(xiě)上式為：s=n+gfk*k*1-Kk*0（4）以上便證明了平衡增長(zhǎng)路徑上的儲(chǔ)蓄率y*-c*y*關(guān)于是遞減的。（ii）在低稅率、高資本存量和高儲(chǔ)蓄的國(guó)家的公民沒(méi)有動(dòng)力去投資于低儲(chǔ)蓄的國(guó)家。由（a）可知，在平衡增長(zhǎng)路徑上c=0，可以推出1-fkt=+g，即稅后的資本回報(bào)為

26、+g，假定在國(guó)家之間偏好與技術(shù)特征是相同的。因而在低儲(chǔ)蓄國(guó)家資本的稅后回報(bào)與高儲(chǔ)蓄國(guó)家的資本的稅后回報(bào)相同。因此，在低稅率、高資本存量和高儲(chǔ)蓄的國(guó)家的公民沒(méi)有動(dòng)力去投資于低儲(chǔ)蓄的國(guó)家。（e）補(bǔ)貼投資不會(huì)增加福利。原先的市場(chǎng)結(jié)果便已經(jīng)是中央計(jì)劃者能夠達(dá)到的社會(huì)效用最大化水平了，它給予了家庭最高可能的終生效用水平。從初始的E點(diǎn)開(kāi)始，投資補(bǔ)貼能夠使消費(fèi)短期內(nèi)下降到A點(diǎn)，但最終經(jīng)濟(jì)會(huì)沿著新的平衡增長(zhǎng)路徑達(dá)到更大的消費(fèi)水平Enew點(diǎn)?？梢园l(fā)現(xiàn)短期的效用損失會(huì)超過(guò)長(zhǎng)期的效用收益（都用現(xiàn)值形式表示），如圖2-9所示。圖2-9 對(duì)投資補(bǔ)貼不會(huì)增加福利（f）假定政府未將稅收所得返給家庭，而是用于政府購(gòu)買(mǎi)。令Gt

27、為每單位有效勞動(dòng)的政府購(gòu)買(mǎi)，則每單位有效勞動(dòng)的資本存量變化的歐拉方程仍為：kt=fkt-ct-Gt-n+gkt（5）政府購(gòu)買(mǎi)被視為是政府的消費(fèi)而不是投資，這將不會(huì)增加資本存量。由（5）可得，k=0曲線將向下移動(dòng)。如圖2-10所示。由（a）可知，由于政府征稅，c=0曲線向左移動(dòng)，k*移動(dòng)到knew*，在新的平衡增長(zhǎng)路徑上，每單位有效勞動(dòng)的消費(fèi)會(huì)低于存在政府的總量稅返還的情況。如圖2-10所示。圖2-10 稅收全部用于政府購(gòu)買(mǎi)對(duì)經(jīng)濟(jì)的影響2.11應(yīng)用相圖分析預(yù)期變化的影響?？紤]習(xí)題2.10中提到的政策，假設(shè)政府并不是在0時(shí)宣布并執(zhí)行該政策，而是在0時(shí)宣布將在以后某一時(shí)刻t1對(duì)投資收入按照稅率征稅。

28、（a）用相圖畫(huà)出t1之后c和k的動(dòng)態(tài)學(xué)。（b）c在t1時(shí)刻的變化是否連續(xù)？為什么？（c）用相圖畫(huà)出t1之前c和k的動(dòng)態(tài)學(xué)。（d）根據(jù)（a）、（b）和（c）的答案，c在0時(shí)應(yīng)如何變化？（e）總結(jié)上述4個(gè)小問(wèn)題，并把c和k的路徑描繪為時(shí)間的函數(shù)。答：（a）-（c）在開(kāi)始征稅的時(shí)間t1之前，描述經(jīng)濟(jì)動(dòng)態(tài)變化的方程為：ctct=fkt-g（1）kt=fkt-ct-n+gkt（2）對(duì)于方程（1），在平衡增長(zhǎng)路徑上，c=0可以推出fk=+g。由于政府返還總量稅，資本積累方程不受影響。在t1時(shí)刻征稅之后，c的歐拉方程為：ctct=1-fkt-g（3）在平衡增長(zhǎng)路徑上，c=0可以推出1-fkt=+g，即稅后的

29、回報(bào)為+g。因此，稅前的資本回報(bào)fkt高于稅后的資本回報(bào)。為保持c=0，fkt必須上升，從而k必須下降。因此，在t1時(shí)刻，c=0曲線必須向左移動(dòng)。如圖2-11所示。圖2-11 t1時(shí)刻征稅使得c=0向左移動(dòng)不過(guò)值得注意的是，資本的動(dòng)態(tài)在實(shí)際征稅之前仍由原先的歐拉方程決定。在t1時(shí)刻征稅之后，消費(fèi)c不可能發(fā)生不連續(xù)的變化，原因在于家庭已經(jīng)在事先知道了將要征稅的消息，家庭希望平滑消費(fèi)。（d）在t1時(shí)刻征稅之后，消費(fèi)不可能發(fā)生不連續(xù)的變化，同時(shí)經(jīng)濟(jì)會(huì)達(dá)到新的平衡增長(zhǎng)路徑。在0時(shí)刻宣布并施行征稅后，c會(huì)立即由原先的均衡點(diǎn)E移動(dòng)到平衡增長(zhǎng)路徑上的A點(diǎn)，如圖2-12所示。圖2-12 征稅對(duì)c=0曲線的影響

30、在A點(diǎn)，由于消費(fèi)c太高，從而不足以將資本維持在原先的資本水平k*上，因此k開(kāi)始下降。從0時(shí)刻到t1時(shí)刻，動(dòng)態(tài)系統(tǒng)仍由原先的c=0的歐拉方程決定。消費(fèi)在鞍點(diǎn)路徑之左，因此消費(fèi)開(kāi)始上升。在t1時(shí)刻經(jīng)濟(jì)恰好移動(dòng)到新的鞍點(diǎn)路徑，此時(shí)稅收開(kāi)始執(zhí)行，并且動(dòng)態(tài)系統(tǒng)仍由新的c=0的歐拉方程決定。因此，c開(kāi)始下降，經(jīng)濟(jì)最終移動(dòng)到新的鞍點(diǎn)Enew。（e）每單位有效勞動(dòng)的消費(fèi)與每單位有效勞動(dòng)的資本如圖2-13所示。(1)每單位有效勞動(dòng)的消費(fèi)的圖示(2)每單位有效勞動(dòng)的資本的圖示圖2-13 每單位有效勞動(dòng)的消費(fèi)、有效勞動(dòng)的資本圖示2.12應(yīng)用相圖分析暫時(shí)性變化的影響?？紤]習(xí)題2.11的如下兩種變形：（a）在0時(shí)刻，政

31、府宣布將對(duì)0時(shí)到其后某一時(shí)刻t1間的投資收入按照稅率征稅，而此后投資收入仍將免稅。（b）在0時(shí)，政府宣布將對(duì)t1時(shí)其后某一時(shí)刻t2間的投資收入按照稅率征稅，而t1之前和t2之后的投資收入仍將免稅。答：（a）第一問(wèn)是分析預(yù)期到的稅收將在t1時(shí)刻結(jié)束，因而消費(fèi)在t1時(shí)刻將不會(huì)發(fā)生非連續(xù)的變化。原因在于家庭的跨期消費(fèi)最優(yōu)化要求家庭平滑消費(fèi)。因此，在經(jīng)濟(jì)返回到舊的鞍點(diǎn)路徑時(shí)，消費(fèi)必須在t1時(shí)刻位于舊的鞍點(diǎn)路徑上。在征稅之前，即到0時(shí)刻，和在結(jié)束征稅之后，即t1時(shí)刻之后，經(jīng)濟(jì)動(dòng)態(tài)變化由下面兩個(gè)歐拉方程決定：ctct=fkt-g（1）kt=fkt-ct-n+gkt（2）資本積累的動(dòng)態(tài)方程k=0不會(huì)受到征稅

32、的影響，但是，消費(fèi)的動(dòng)態(tài)方程c=0則會(huì)受到征稅的影響。在0時(shí)刻到t1時(shí)刻，資本的稅后回報(bào)為1-fkt=+g，為了保證c=0成立，fkt必須上升，由于fk0或lnkt1/1-時(shí)，上升意味著kt+1函數(shù)應(yīng)該向上移動(dòng)，相反，當(dāng)lnkt0,和2kt+1kt2=sfkt1+g1+n0檢驗(yàn)稻田條件：limk0kt+1kt=limkkt+1kt=1-1+g1+nrt+1，儲(chǔ)蓄會(huì)下降更快，相反，儲(chǔ)蓄則會(huì)下降的較慢。定義Zt=2+1+rt+1-1+rt+1-n2+1+rt+1，并將其代入（7），可得：St=12+Awt-ZtT（8）由于t+1期的資本存量等于t期的儲(chǔ)蓄，因此有：Kt+1=StL（9）將方程（9）

33、轉(zhuǎn)化為每單位有效勞動(dòng)的形式，并使用方程（8），可得：kt+1=11+n12+wt-ZtTA(10)對(duì)于柯布道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)，實(shí)際工資為：wt=1-kt（11）將方程（11）代入（10），產(chǎn)生新的關(guān)系，即：kt+1=11+n12+1-kt-ZtTA(12)（ii）為判斷社會(huì)保障的引入對(duì)平衡增長(zhǎng)路徑上的k值的影響，必須判定Zt的正負(fù)號(hào)。如果Zt為正數(shù)，則社會(huì)保障稅T的引入會(huì)降低kt+1曲線并且降低k值。下面計(jì)算Zt：Zt=2+1+rt+1-1+rt+1-n2+1+rt+1=1+1+1+rt+1-1+rt+1-n2+1+rt+1上式可簡(jiǎn)化為：Zt=1+rt+1+1+1+rt+1-rt+1-n2+1+

34、rt+1=1+rt+1+1+1+n2+1+rt+10因此，kt+1曲線向下移動(dòng)，k*也降低了。（iii）如果經(jīng)濟(jì)是初始動(dòng)態(tài)有效的，則T的邊際增長(zhǎng)會(huì)提高老年人的福利，但是它將使k*低于黃金律所要求的資本水平kGR，從而使未來(lái)一代人的福利惡化，降低他們的消費(fèi)水平。但是，如果經(jīng)濟(jì)初始是動(dòng)態(tài)無(wú)效的，則k*kGR，則T的邊際增加會(huì)提高老年人的福利。同時(shí)，還會(huì)提高未來(lái)一代人的福利水平，從而是福利改進(jìn)的。此時(shí)社會(huì)保障稅T的引入會(huì)降低過(guò)度的資本積累，從而消除動(dòng)態(tài)無(wú)效率。（b）（i）方程（3），即第二期的預(yù)算約束變?yōu)椋篊2,t+1=1+rt+1St+1+rt+1T（13）從個(gè)人角度講，社會(huì)保障的回報(bào)率等于儲(chǔ)蓄的

35、回報(bào)率。由方程（13）推出儲(chǔ)蓄，即：St=C2,t+11+rt+1-T(14)將方程（14）代入（2）（即第一期的預(yù)算約束），可得： C1,t+C2,t+11+rt+1=Awt-T+T上式進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：C1,t+C2,t+11+rt+1=Awt（15）家庭的最優(yōu)化行為產(chǎn)生了通常的歐拉方程，即：C2,t+1=11+1+rt+1C1,t將上式代入方程（15）中，可得：C1,t=1+2+Awt（16）為得到每個(gè)人的儲(chǔ)蓄，將方程（16）代入（2）中，可得：St=Awt-1+2+Awt-T上式進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：St=12+Awt-T（17）社會(huì)保障的引入引起儲(chǔ)蓄的一對(duì)一的減少。t+1期的資本存量等于個(gè)人在t

36、期的儲(chǔ)蓄加上政府投資，即：Kt+1=StLt+TLt（18）將方程（18）轉(zhuǎn)化為每單位有效勞動(dòng)的形式，并利用方程（17），可得：kt+1=11+n12+wt-TA+11+nTA上式進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：kt+1=11+n12+wt利用方程（11）來(lái)替代上式中的工資，即：kt+1=11+n12+1-kt（19）因此，全額融資的社會(huì)保障稅T的引入對(duì)后續(xù)各期的資本沒(méi)有影響。（ii）因?yàn)槿~融資的社會(huì)保障的引入對(duì)各期資本之間的關(guān)系沒(méi)有影響，因此在平衡增長(zhǎng)路徑上各期資本是一樣的。各期的總資本與總儲(chǔ)蓄是一樣的，政府的作用僅僅是使年輕人儲(chǔ)蓄。因?yàn)樯鐣?huì)保障回報(bào)率與儲(chǔ)蓄利率是一致的，因此來(lái)說(shuō)個(gè)人對(duì)說(shuō)誰(shuí)來(lái)為他們儲(chǔ)蓄是無(wú)差

37、異的，個(gè)人將一對(duì)一的抵消政府為他們所做的任何儲(chǔ)蓄。2.18基本的世代交疊模型（本題來(lái)源于薩繆爾森，1958；阿萊，1947）。與戴蒙德模型類(lèi)似，假設(shè)在t期出生的Lt個(gè)人只存活兩期，并且Lt=1+nLt-1。為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，令效用函數(shù)為不折現(xiàn)的對(duì)數(shù)效用函數(shù)：Ut=lnC1,t+lnC2,t+1。在經(jīng)濟(jì)的生產(chǎn)方面，該模型也比戴蒙德模型更為簡(jiǎn)單：經(jīng)濟(jì)中只有一種產(chǎn)品，它既可以用于消費(fèi)，也可用于儲(chǔ)存；每個(gè)在t期出生的人都擁有A單位該產(chǎn)品;儲(chǔ)存每單位產(chǎn)品可使經(jīng)濟(jì)主體在下一期得到x(x0)單位產(chǎn)品。最后。假設(shè)在最初的第0期，除L0個(gè)擁有A單位產(chǎn)品的年輕人之外，還有11+nL0個(gè)只生活在第0期的老年人，每個(gè)老年

38、人擁有Z單位的產(chǎn)品, 其效用就是在起始期的消費(fèi)C2,0。（a）說(shuō)明該經(jīng)濟(jì)的分散化均衡。（提示：給定上述世代交疊的結(jié)構(gòu)，某一代的成員是否會(huì)與另一代的成員進(jìn)行交易？）（b）假設(shè)經(jīng)濟(jì)人的稟賦中用于儲(chǔ)蓄的份額ft是不隨時(shí)間變化的常數(shù)，在這樣的路徑上請(qǐng)把人均總消費(fèi)（總消費(fèi)指所有年輕人與所有老年人的消費(fèi)總和）表示為f的函數(shù)形式。如果x1+n,滿足0f1且最大化人均消費(fèi)的f值是多少？分散均衡在這種情況下是否是帕累托有效的？如果不是，社會(huì)計(jì)劃者怎樣才能提高福利？答：（a）首先，該模型不存在任何一代的成員將會(huì)同另一代的成員交易的可能性。原因是即使年輕人愿意交換，但他們的交易對(duì)象只能是老人，而老人則因?yàn)橄乱黄谝讶?/p>

39、世而不可能同年輕人進(jìn)行交換。個(gè)人的效用函數(shù)為：Ut=lnC1,t+lnC2,t+1（1）預(yù)算約束為：C1,t+Ft=A（2）C2,t+1=xF（3）其中Ft是個(gè)人在第一期的儲(chǔ)蓄。將方程（3）代入（2），求個(gè)人的跨期預(yù)算約束：C1,t+C2,t+1x=A（4）用拉格朗日方法聯(lián)立方程（1）和（4）以求解個(gè)人終生效用的最大化，如下：L=lnC1,t+lnC2,t+1+A-C1,t+C2,t+1x求一階條件：LC1,t=1C1,t-=01C1,t=（5）LC2,t+1=1C2,t+1-x=01C2,t+1=x（6）將方程（5）代入（6），可得：C2,t+1=xC1,t（7）將方程（7）代入跨期預(yù)算約束

40、式（4）中，可得：C1,t+xC1,t=A，上式可簡(jiǎn)化為：C1,t=A2（8）求第二期的消費(fèi)，將方程（8）代入（7）中，可得：C2,t+1=xA2（9）當(dāng)年輕人將他的財(cái)富一半儲(chǔ)蓄時(shí)，下一期他可以消費(fèi)xA2。由于是對(duì)數(shù)效用函數(shù)，因此，個(gè)人將其稟賦儲(chǔ)蓄的比例并不依賴于儲(chǔ)蓄的回報(bào)率。（b）在t時(shí)刻的總消費(fèi)為：Ct=C1,tLt+=C2,tLt-1其中，Lt是年輕人的數(shù)量，Lt-1是老年人的數(shù)量。每個(gè)年輕人消費(fèi)他的稟賦的一部分1-fA，每個(gè)老年人消費(fèi)他的稟賦的總回報(bào)fxA。由式Ct=1-fALt+fxALt-1，對(duì)其兩邊除以ALt以轉(zhuǎn)化為每單位有效勞動(dòng)的形式，即：CtALt=1-f+fx/1+n因此，

41、每單位有效勞動(dòng)的消費(fèi)為一加權(quán)和。因?yàn)閤1+n，所以，當(dāng)權(quán)數(shù)為1時(shí)，每單位有效勞動(dòng)的消費(fèi)為一加權(quán)和達(dá)到最大化。因此，分散化均衡（即權(quán)數(shù)為）不是帕累托有效的。因?yàn)榭绱灰资遣豢赡艿模虼藗€(gè)人儲(chǔ)蓄為年老時(shí)提供消費(fèi)，即使儲(chǔ)蓄的回報(bào)率非常低，他們也必須這樣做。但是在一個(gè)集權(quán)經(jīng)濟(jì)中，社會(huì)計(jì)劃者則可以從年輕人手中取走一單位物品而給每個(gè)老年人1+n的物品。由于x1+n，所以得到了一個(gè)更高的回報(bào)率。因此，社會(huì)計(jì)劃者可以從年輕人手中取走他們一半的財(cái)富交給老年人去消費(fèi)，從而提高社會(huì)的總體福利。社會(huì)計(jì)劃者可以每期都這么做，即允許個(gè)人在年輕時(shí)消費(fèi)A2，而在年老時(shí)消費(fèi)1+nA2，高于在分散經(jīng)濟(jì)的情況下每個(gè)人在年老時(shí)消費(fèi)的

42、xA2。2.19薩繆爾森世代交疊模型中的穩(wěn)態(tài)貨幣均衡（本題來(lái)源于薩繆爾森，1958）?？紤]習(xí)題2.18中的設(shè)定，假設(shè)xPtPt+1他將消費(fèi)一半的稟賦，存儲(chǔ)剩余的一半而不持有任何貨幣，因?yàn)樨泿诺幕貓?bào)率低于儲(chǔ)蓄的回報(bào)率。因此有：C1,t=A2, Ft=A2, MtdPt=0, C2,t+1=xA2情況2：xPtPt+1他將用貨幣持有一半的稟賦，即他將消費(fèi)一半的財(cái)富而賣(mài)掉另一半的稟賦。因此有：C1,t=A2, Ft=0, MtdPt=A2, C2,t+1=PtPt+1A2情況3：x=PtPt+1由于貨幣和存儲(chǔ)帶來(lái)同樣的回報(bào)，因此他將消費(fèi)一半的稟賦，對(duì)于另一半，則在貨幣和存儲(chǔ)兩者之間無(wú)差異。令0,1為

43、以貨幣形式持有的比例。因此有：C1,t=A2, Ft=1-A2, MtdPt=A2, C2,t+1=PtPt+1A2（b）均衡要求總的實(shí)際貨幣需求等于總的實(shí)際貨幣供給?？倢?shí)際貨幣需求=LtA2總實(shí)際貨幣供給=L01+nMPt=Lt1+nt+1MPt在上式中，在0時(shí)刻，每個(gè)老人擁有M單位貨幣，共有L01+n個(gè)老人。最后一步用了Lt=1+ntL0，從而有L0=Lt1+nt。聯(lián)立總實(shí)際貨幣需求和總實(shí)際貨幣供給兩個(gè)公式，可得：LtA2=Lt1+nt+1MPtPt=2MA1+nt（5）因此有：總實(shí)際貨幣需求=Lt+1A2=1+nLtA2總實(shí)際貨幣供給=Lt1+nt+1MPt+1下面使用均衡條件求Pt+1

44、，即：1+nL0A2=Lt1+nt+1MPt+1Pt+1=2MA1+nt+2（6）用方程（6）除以（5），有：Pt+1Pt=11+nPt+1=Pt1+n上面的分析對(duì)任何的t0成立，因此Pt+1=Pt1+n是一個(gè)均衡。這表明如果貨幣被引入到一個(gè)動(dòng)態(tài)無(wú)效率的經(jīng)濟(jì)中，個(gè)人將不會(huì)選擇存儲(chǔ)。（c）由于Pt+1=Ptx，所以貨幣的回報(bào)等于存儲(chǔ)的回報(bào)。此時(shí)，個(gè)人對(duì)于以何種形式持有稟賦是無(wú)差異的。令0,1為儲(chǔ)蓄中以貨幣形式持有的比例。t期的總實(shí)際貨幣需求和總實(shí)際貨幣供給的表達(dá)式如下：總實(shí)際貨幣需求=LttA2總實(shí)際貨幣供給=L01+nMPt=Lt1+nt+1MPt使用均衡條件求Pt：LttA2=Lt1+nt+

45、1MPtPt=2MtA1+nt（7）t+1期的總實(shí)際貨幣需求和總實(shí)際貨幣供給的表達(dá)式如下：總實(shí)際貨幣需求=Lt+1t+1A2=1+nLtt+1A2總實(shí)際貨幣供給=Lt1+nt+1MPt+1使用均衡條件求Pt+1：1+nLtt+1A2=Lt1+nt+1MPt+1（8）用方程（8）除以（7），可得：Pt+1Pt=tt+111+n因?yàn)镻t+1Pt=1x，所以有：tt+111+n=1xtt+1=x1+n0因此對(duì)于所有的t0，Pt+1=Ptx=將是任何滿足tt+1=x1+n的的路徑的一個(gè)均衡。（d）Pt=代表貨幣是無(wú)價(jià)值的，也是一種均衡。這種情況是因?yàn)槟贻p人相信貨幣在下一期是無(wú)價(jià)值的，因此這一代人將不會(huì)

46、接受貨幣作為儲(chǔ)存的替代物。在這種情況下，年輕人消費(fèi)稟賦的一半然后儲(chǔ)存另一半，而老年人則擁有一堆無(wú)價(jià)值的貨幣。這時(shí)，總實(shí)際貨幣需求與總實(shí)際貨幣供給相等且都是0。如果沒(méi)有人相信下一代人將接受貨幣作為存儲(chǔ)的替代物，這種均衡將持續(xù)到未來(lái)各期。在T期，這種情況將是唯一的均衡。在T期沒(méi)有年輕人愿意出賣(mài)稟賦以換取貨幣。年輕人將通過(guò)消費(fèi)所有的存儲(chǔ)來(lái)最大化一生的效用，老年人將持有一堆毫無(wú)價(jià)值的貨幣。因此，在T-1期，老年人因?yàn)橹老乱黄谪泿藕翢o(wú)價(jià)值，沒(méi)有人愿意出賣(mài)稟賦以換取貨幣。T-1期將沒(méi)有人愿意持有貨幣，逆向歸納，將沒(méi)有人愿意在任何一期出賣(mài)稟賦來(lái)?yè)Q取貨幣。2.20動(dòng)態(tài)無(wú)效率的來(lái)源。（本題來(lái)自于謝爾，1971

47、。）戴蒙德模型和薩繆爾森模型可以在下面兩個(gè)方面進(jìn)行改變：第一，不完全市場(chǎng)，即由于一個(gè)人不能與尚未出生的人交易，從而排除了一些可能的交易；第二，無(wú)限時(shí)期，即由于時(shí)間是無(wú)窮無(wú)盡的，因此存在無(wú)窮數(shù)量的經(jīng)濟(jì)人。本題試圖討論其中哪一方面是導(dǎo)致動(dòng)態(tài)無(wú)效率的可能原因。為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們著重討論薩繆爾森世代交疊模型（參見(jiàn)前面兩題），假設(shè)對(duì)數(shù)效用并且不考慮折現(xiàn)。為簡(jiǎn)化本題，進(jìn)一步假設(shè)n=0以及0 x0，Qt+1=Qtx等價(jià)于x=QtQt+1。換句話說(shuō)，存儲(chǔ)的回報(bào)率等價(jià)于交易的回報(bào)率，因此個(gè)人對(duì)于存儲(chǔ)和交易是無(wú)差異的。令t0,1代表儲(chǔ)蓄的份額A2中被賣(mài)掉的部分。因此個(gè)人在t期賣(mài)掉tA2。這允許個(gè)人在t+1期年老時(shí)

48、購(gòu)買(mǎi)tQtQt+1A2。個(gè)人存儲(chǔ)他的儲(chǔ)蓄的1-t，有下式：St=1-tA2（3）在t+1期的消費(fèi)將等于個(gè)人購(gòu)買(mǎi)的數(shù)量加上存儲(chǔ)的數(shù)量，即：C2,t+1=tQtQt+1A2+1-txA2（4）考慮Qt+1=Qtx的情況，方程（4）可以寫(xiě)為：C2,t+1=txA2+1-txA2=xA2（5）考慮在任意的t+1期，令L代表各期總?cè)藬?shù)，它是不變的?？偣┙o等于L乘以個(gè)人想賣(mài)掉的數(shù)量t+1A2。則總供給為：yt+1=Lt+1A2（6）總需求為t+1期總的老人數(shù)量L乘以個(gè)人想要購(gòu)買(mǎi)的數(shù)量（tQtQt+1A2?？傂枨鬄椋篸t+1=LQtQt+1tA2(7)要達(dá)到市場(chǎng)出清，總需求等于總供給，即：Lt+1A2=LQ

49、tQt+1tA2該式簡(jiǎn)化為：t+1=QtQt+1t(8)由于均衡的價(jià)格路徑為：Qt+1=Qtx，方程（8）給出的均衡條件可以寫(xiě)為：t+1=xt（9）考慮0期的情況，老年人僅僅消費(fèi)他們的稟賦，因此在0期令0=0以實(shí)現(xiàn)市場(chǎng)出清，則方程（9）表明對(duì)于任何的t0，都有t=0。均衡的結(jié)果與習(xí)題2.17的結(jié)果是一致的。個(gè)人在第一期消費(fèi)一半的稟賦而存儲(chǔ)另一半，在第二期消費(fèi)xA2。由于x1+n,（因?yàn)閚=0和x1），因此是動(dòng)態(tài)無(wú)效率的。因此，通過(guò)在開(kāi)始之前允許交易以消除市場(chǎng)的不完全性并不能消除動(dòng)態(tài)無(wú)效率。（ii）假定拍賣(mài)者宣布Qt+1Qtx或者xQtx或者 xQtQt+1，這意味著存儲(chǔ)占優(yōu)于交易，即在t期年輕人將存儲(chǔ)所有的儲(chǔ)蓄，并且購(gòu)買(mǎi)A2。對(duì)于t期的老人來(lái)講，Qt+1是無(wú)關(guān)的，老人基于在年老時(shí)QtQt+1=x來(lái)做決策。因此對(duì)于老人來(lái)說(shuō)，正如第一部分分析的，