二次函數(shù)實際應用

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)第14講 二次函數(shù)的實際應用考點1 實物拋物線步驟建立平面直角坐標系；利用 法確定拋物線的解析式；利用二次函數(shù)的性質解決實際問題.常見類型橋梁、隧道、體育運動等【易錯提示】當題目中沒有給出坐標系時，坐標系選取的不同，所得解析式也不同.考點2 二次函數(shù)在銷售問題中的應用步驟讀懂題意，借助銷售問題中的利潤等公式尋找 ；確定函數(shù)解析式；確定二次函數(shù)的 ，解決實際問題.【易錯提示】在求二次函數(shù)最值時，要注意實際問題中自變量的取值的限制對最值的影響.考點3 二次函數(shù)在面積問題中的

2、應用步驟根據(jù)幾何知識探求圖形的 ；根據(jù)面積關系式確定函數(shù)解析式；確定二次函數(shù)的 ，解決問題.考點4 靈活選用適當?shù)暮瘮?shù)模型步驟由題目條件在坐標系中描出點的坐標；根據(jù)點的坐標判斷 ；由 確定函數(shù)解析式；將其他各點或對應值代入所求解析式，檢驗函數(shù)類型確定得是否正確；利用所求函數(shù)的性質解決問題.【易錯提示】建立函數(shù)模型解決實際問題時，題目中沒有明確函數(shù)類型時，要對求出的函數(shù)解析式進行驗證，防止出現(xiàn)錯解. 1.二次函數(shù)在實際生活中有著廣泛的應用，解題時可采用列表、畫圖象等方法輔助思考. 2.應用二次函數(shù)知識求實際問題的最大值或最小值時，一定要考慮頂點(橫坐標、縱坐標)的取值是否在自變量的取值范圍之內.

3、命題點1 實物拋物線例1 (2014鹽城)如圖，排球運動員站在點O處練習發(fā)球，將球從O點正上方2 m的A處發(fā)出，把球看成點，其運行的高度y(m)與運行的水平距離x(m)滿足關系式y(tǒng)=a(x-6)2+h.已知球網(wǎng)與O點的水平距離為9 m，高度為2.43 m，球場的邊界距O點的水平距離為18 m.(1)當h=2.6時，求y與x的關系式(不要求寫出自變量x的取值范圍)；(2)當h=2.6時，球能否越過球網(wǎng)？球會不會出界？請說明理由；(3)若球一定能越過球網(wǎng)，又不出邊界，求h的取值范圍.【思路點撥】(1)根據(jù)h=2.6和函數(shù)圖象經(jīng)過點(0，2)，確定二次函數(shù)的解析式；(2)令x=9，求y值，若y2.4

4、3，則球能過網(wǎng)，反之則不能.令y=0，求x值.若x18，則球不出界，反之就會出界；或者令x=18求y，若y0則出界，否則不出界;(3)把二次函數(shù)化為只含有字母系數(shù)h的形式.然后令x=9時y2.43，且當x=18時y0，從而確定h的取值范圍.【解答】方法歸納：利用二次函數(shù)解決實物拋物線形問題時，要把實際問題中的已知條件轉化為點的坐標，代入解析式求解，最后根據(jù)求解的結果轉化為實際問題的答案.1.(2013仙桃)2013年5月26日，中國羽毛球隊蟬聯(lián)蘇迪曼杯團體賽冠軍，成就了首個五連冠霸業(yè).比賽中羽毛球的某次運動路線可以看作是一條拋物線(如圖).若不考慮外力因素，羽毛球行進高度y(米)與水平距離x(

5、米)之間滿足關系y=-x2+x+，則羽毛球飛出的水平距離為 米.2.如圖，小河上有一拱橋，拱橋及河道的截面輪廓線由拋物線的一部分ACB和矩形的三邊AE,ED,DB組成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，拋物線的頂點C到ED距離是11米，以ED所在的直線為x軸，拋物線的對稱軸為y軸建立平面直角坐標系.(1)求拋物線的解析式；(2)已知從某時刻開始的40小時內，水面與河底ED的距離h(單位：米)隨時間(單位：時)的變化滿足函數(shù)關系h=-(t-19)2+8(0t40)且當水面到頂點C的距離不大于5米時，需禁止船只通行，請通過計算說明：在這一時段內，需多少小時禁止船只通行？命題點2 二次

6、函數(shù)在銷售問題中的應用例2 (2014濱州模擬)某商店經(jīng)營一種小商品，進價為每件20元，據(jù)市場分析，在一個月內，售價定為25元時，可賣出105件，而售價每上漲1元，就少賣5件.(1)當售價定為每件30元時，一個月可獲利多少元？(2)當售價定為每件多少元時，一個月的獲利最大？最大利潤是多少元？【思路點撥】(1)根據(jù)定價，算出對應銷售量，然后求當月利潤；(2)每月的銷售利潤=單件利潤月銷售量，得二次函數(shù)關系式，然后轉化為頂點式求最大利潤.【解答】方法歸納：本題最后問的是售價，而關系中給出的是漲價，一定要分清二者的關系，這是一個易錯點.這類題一般設漲價或者降價為x元，得二次函數(shù)關系式.最后將結果化到

7、售價即可.1.(2013衢州)某果園有100棵橘子樹，平均每一棵樹結600個橘子.根據(jù)經(jīng)驗估計，每多種一棵樹，平均每棵樹就會少結5個橘子.設果園增種x棵橘子樹，果園橘子總個數(shù)為y個，則果園里增種10棵橘子樹，橘子總個數(shù)最多.2.某種商品的進價為每件50元，售價為每件60元，每個月可賣出200件；如果每件商品的售價上漲1元，則每個月少賣10件(每件售價不能高于72元)，設每件商品的售價上漲x元(x為整數(shù))，每個月的銷售利潤為y元.(1)求y與x的函數(shù)關系式并直接寫出自變量x的取值范圍;(2)每件商品的售價定為多少時每個月可獲得最大利潤?最大利潤是多少?命題點3 二次函數(shù)在面積問題中的應用例3 (

8、2013莆田)如圖所示，某學校擬建一個含內接矩形的菱形花壇(花壇為軸對稱圖形).矩形的四個頂點分別在菱形四條邊上，菱形的邊長AB=4米，ABC=60.設AE=x米(0 x4)，矩形的面積為S米2.(1)求S與x的函數(shù)關系式；(2)學校準備在矩形內種植紅色花草，四個三角形內種植黃色花草.已知紅色花草的價格為20元米2，黃色花草的價格為40元米2.當x為何值時，購買花草所需的總費用最低，并求出最低總費用(結果保留根號).【思路點撥】(1)連接AC，BD，根據(jù)軸對稱的性質，可得EHBD，EFAC，BEF為等邊三角形，從而求出EF.AC與EH交于M，在RtAEM中求出EM，繼而得出EH，這樣即可得出S

9、與x的函數(shù)關系式；(2)根據(jù)(1)的答案，可求出四個三角形的面積，設費用為W，則可得出W關于x的二次函數(shù)關系式，利用配方法求最值即可.【解答】方法歸納：解幾何圖形最值問題常用的方法是要先求出面積的表達式，發(fā)現(xiàn)是二次函數(shù)就可以利用配方法或利用頂點公式求最值，但要注意x的取值范圍.1.小磊要制作一個三角形的鋼架模型，在這個三角形中，長度為x(單位：cm)的邊與這條邊上的高之和為40 cm，這個三角形的面積S(單位：cm2)隨x(單位：cm)的變化而變化.(1)請直接寫出S與x之間的函數(shù)關系式(不要求寫出自變量x的取值范圍)；(2)當x是多少時，這個三角形面積S最大?最大面積是多少?2.(2013濱

10、州)某高中學校為高一新生設計的學生單人桌的抽屜部分是長方體，抽屜底面周長為180 cm，高為20 cm.請通過計算說明，當?shù)酌娴膶抶為何值時，抽屜的體積y最大？最大為多少？(材質及其厚度等暫忽略不計)命題點4 靈活選用適當?shù)暮瘮?shù)模型例4 (2013武漢)科幻小說實驗室的故事中，有這樣一個情節(jié)：科學家把一種珍奇的植物分別放在不同溫度的環(huán)境中，經(jīng)過一天后，測試出這種植物高度的增長情況(如下表).溫度x/-4-20244.5植物每天高度增長量y/mm9.75由這些數(shù)據(jù)，科學家推測出植物每天高度增長量y是溫度x的函數(shù)，且這種函數(shù)是反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù)中的一種.(1)請你選擇一種適當?shù)暮瘮?shù)，求

11、出它的函數(shù)關系式，并簡要說明不選擇另外兩種函數(shù)的理由；(2)溫度為多少時，這種植物每天高度增長最大？(3)如果實驗室溫度保持不變，在10天內要使該植物高度增長量的總和超過250 mm，那么實驗室的溫度x應該在哪個范圍內選擇？直接寫出結果.【思路點撥】(1)利用自變量可取0，排除反比例函數(shù)；利用三點不共線，排除一次函數(shù)；(2)把二次函數(shù)解析式整理成頂點式形式，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答；(3)利用二次函數(shù)與一元一次方程以及一元二次不等式關系求解.【解答】方法歸納：此題是一道二次函數(shù)的實際應用問題.解題的關鍵是根據(jù)題意構建二次函數(shù)模型，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質求解即可.(2013烏魯木齊)某公司銷

12、售一種進價為20元/個的計算器，其銷售量y(萬個)與銷售價格x(元/個)的變化如下表：價格x(元/個)銷售量y(萬個)5432同時，銷售過程中的其他開支(不含進價)總計40萬元.(1)觀察并分析表中的y與x之間的對應關系，用學過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)或二次函數(shù)的有關知識寫出y(萬個)與x(元/個)的函數(shù)解析式；(2)求得該公司銷售這種計算器的凈得利潤z(萬元)與銷售價格x(元/個)的函數(shù)解析式，銷售價格定為多少元時凈得利潤最大，最大值是多少？(3)該公司要求凈得利潤不能低于40萬元，請寫出銷售價格x(元/個)的取值范圍，若還需考慮銷售量盡可能大，銷售價格應定為多少元？1.某廣場有一噴水池，水從

13、地面噴出，如圖，以水平地面為x軸，出水點為原點，建立平面直角坐標系，水在空中劃出的曲線是拋物線y=-x2+4x(單位：米)的一部分，則水噴出的最大高度是( ) A.4米 B.3米 C.2米 D.1米2.生產(chǎn)季節(jié)性產(chǎn)品的企業(yè)，當它的產(chǎn)品無利潤時就會及時停產(chǎn).現(xiàn)有一生產(chǎn)季節(jié)性產(chǎn)品的企業(yè)，其一年中獲得的利潤y和月份n之間函數(shù)關系式為y=-n2+14n-24，則該企業(yè)一年中利潤最高的月份是( ) A.5月 B.6月 C.7月 D.8月3.一件工藝品進價為100元，標價135元售出，每天可售出100件.根據(jù)銷售統(tǒng)計，一件工藝品每降價1元出售，則每天可多售出4件，要使每天獲得的利潤最大，每件需降價的錢數(shù)為

14、( ) A.5元 B.10元 C.0元 D.3 600元4.(2014株洲模擬)株洲五橋主橋主孔為拱梁鋼構組合體系如圖1，小明在五橋觀光，發(fā)現(xiàn)拱梁的路面部分有均勻排列著9根支柱，他回家上網(wǎng)查到了拱梁是拋物線，其跨度為20米，拱高(中柱)10米，于是他建立如圖2的坐標系，將余下的8根支柱的高度都算出來了，你認為中柱右邊第二根支柱的高度是( ) A.7米 B.7.6米 C.8米 D.8.4米5.（2013山西）如圖是我省某地一座拋物線形拱橋，橋拱在豎直平面內，與水平橋面相交于A，B兩點，橋拱最高點C到AB的距離為9 m，AB=36 m，D，E為橋拱底部的兩點，且DEAB，點E到直線AB的距離為7

15、m，則DE的長為 m.6.便民商店經(jīng)營一種商品，在銷售過程中，發(fā)現(xiàn)一周利潤y(元)與每件銷售價x(元)之間的關系滿足y=-2x2+80 x+750，由于某種原因，售價只能滿足15x22，那么一周可獲得的最大利潤是 元.7.將一根長為16厘米的細鐵絲剪成兩段,并把每段鐵絲圍成圓,設所得兩圓半徑分別為r1和r2.(1)求r1與r2的關系式,并寫出r1的取值范圍;(2)將兩圓的面積和S表示成r1的函數(shù)關系式，求S的最小值.8.如圖是一座橋,橋下冬暖夏涼，常有漁船停泊橋下避曬納涼.已知主橋拱為拋物線型，在正常水位下測得主拱寬24 m，最高點離水面8 m，以水平線AB為x軸，AB的中點為原點建立坐標系.

16、(1)求此橋拱線所在拋物線的解析式；(2)橋邊有一艘船,浮在水面部分高4 m，最寬處12 m，試探索此船能否開到橋下?說明理由.9.(2014武漢)九(1)班數(shù)學興趣小組經(jīng)過市場調查，整理出某種商品在第x(1x90)天的售價與銷量的相關信息如下表：時間x(天)1x5050 x90售價(元/件)x+4090每天銷量(件)200-2x已知該商品的進價為每件30元，設銷售該商品的每天利潤為y元.(1)求y與x的函數(shù)關系式；(2)問銷售該商品第幾天時，每天銷售利潤最大，最大利潤是多少？(3)該商品在銷售過程中，共有多少天每天銷售利潤不低于4 800元？請直接寫出結果.10.星光中學課外活動小組準備圍建

17、一個矩形生物苗圃園，其中一邊靠墻，另外三邊用長為30米的籬笆圍成.已知墻長為18米(如圖所示)，設這個苗圃園垂直于墻的一邊的長為x米.(1)若平行于墻的一邊長為y米，直接寫出y與x的函數(shù)關系式及其自變量x的取值范圍；(2)垂直于墻的一邊的長為多少米時，這個苗圃園的面積最大，并求出這個最大值；(3)當這個苗圃園的面積不小于88平方米時，試結合函數(shù)圖象，直接寫出x的取值范圍.11.(2013青島)某商場要經(jīng)營一種新上市的文具，進價為20元/件.試營銷階段發(fā)現(xiàn)：當銷售單價25元/件時，每天的銷售量是250件；銷售單價每上漲1元，每天的銷售量就減少10件.(1)寫出商場銷售這種文具，每天所得的銷售利潤

18、w(元)與銷售單價x(元)之間的函數(shù)關系式；(2)求銷售單價為多少元時，該文具每天的銷售利潤最大？(3)商場的營銷部結合上述情況，提出了A、B兩種營銷方案：方案A：該文具的銷售單價高于進價且不超過30元；方案B：每件文具的利潤不低于25元且不高于29元.請比較哪種方案的最大利潤更高，并說明理由.參考答案考點解讀待定系數(shù) 等量關系 最值 面積關系式 最值 函數(shù)類型 待定系數(shù)法各個擊破例1 點(0，2)在y=a(x-6)2+h的圖象上，2=a (0-6)2+h，a=，函數(shù)可寫成y=(x-6)2+h.(1)當h=2.6時，y與x的關系式是y=-(x-6)2+2.6；(2)球能越過球網(wǎng)，球會出界.理由

19、：當x=9時，y=-(9-6)2+2.6=2.452.43，所以球能過球網(wǎng)；當y=0時，-(x-6)2+2.6=0，解得x1=6+218，x2=6-2(舍去)，故球會出界.另解：當x=18時，y=-(18-6)2+2.6=0.20，所以球會出界.(3)由球能越過球網(wǎng)可知，當x=9時，y=+h2.43，由球不出邊界可知，當x=18時，y=8-3h0，由、知h，所以h的取值范圍是h.題組訓練 1.52.(1)依題意有頂點的坐標為(0，11)，點的坐標為(8，8)，設拋物線解析式為y=ax2+c，有解得拋物線解析式為y=x2+11.(2)令-(t-19)2+8=11-5，解得t1=35，t2=3.因

20、為-0，所以當335時，水面到頂點C的距離不大于5米，需禁止船只通行，禁止船只通行時間為35-3=32(時).答：禁止船只通行時間為32小時.例2 (1)獲利：(30-20)105-5(30-25)=800（元）.答：當售價定為30元時，一個月可獲利800元；(2)設售價為每件x元時，一個月的獲利為y元，由題意，得y=(x-20)105-5(x-25)=-5x2+330 x-4 600=-5(x-33)2+845，當x=33時，y的最大值為845，故當售價定為33元時，一個月的利潤最大，最大利潤是845元.題組訓練 1.10 2.(1)根據(jù)題意，得y=(60-50+x)(200-10 x)，整

21、理，得y=-10 x2+100 x+2 000(0 x12)；(2)由(1)得y=-10 x2+100 x+2 000=-10(x-5)2+2 250，當x=5，即每件商品的售價定為65元時利潤最大，最大月利潤為2 250元.例3 (1)連接AC，BD.AC與EH的交點為M.花壇為軸對稱圖形，EHBD，EFAC.BEFBAC.ABC=60，ABC，BEF是等邊三角形.EF=BE=AB-AE=4-x.在RtAEM中，AEM=ABD=30，則EM=AEcosAEM=x.EH=2EM=x.S=EHEF=x(4-x).即S=-x2+4x.(2)紅色花草價格比黃色花草便宜，當矩形面積最大時，購買花草的總

22、費用最低.又S=-x2+4x=-(x-2)2+4，當x=2時，S最大=4.易得S四邊形ABCD=8.此時四個三角形的面積為8-4=4(米2).最低總費用為：204+404=240(元).答：當x=2時，購買花草所需的總費用最低，最低總費用是240元.題組訓練 1.(1)S=x(40-x)=-x2+20 x.(2)S=-(x-20)2+200.即當x=20時，這個三角形的面積最大，最大面積是200 cm2.2.根據(jù)題意，得y=20 x(-x)，整理，得y=-20 x2+1 800 x.y=-20 x2+1 800 x=-20(x-45)2+40 500，-200，當x=45時，函數(shù)有最大值，y最

23、大值=40 500，即當?shù)酌娴膶挒?5 cm時，抽屜的體積最大，最大為40 500 cm3.例4 (1)選擇二次函數(shù)，因為當x=0時，y=49，所以c=49.所以設y=ax2+bx+49，得解得y關于x的函數(shù)關系式是y=-x2-2x+49.不選另外兩個函數(shù)的理由：點(0，49)不可能在反比例函數(shù)圖象上，y不是x的反比例函數(shù)；點(-4，41)，(-2，49)，(2，41)不在同一直線上，y不是x的一次函數(shù).(2)由(1)，得y=-x2-2x+49=-(x+1)2+50.a=-10，當x=-1時，y有最大值為50，即當溫度為-1 時，這種植物每天高度增長量最大.(3)10天內要使該植物高度增長量的

24、總和超過250 mm，平均每天該植物高度增長量超過25 mm，當y=25時，-x2-2x+49=25，整理，得x2+2x-24=0，解得x1=-6，x2=4，在10天內要使該植物高度增長量的總和超過250 mm，實驗室的溫度應保持在-6 x4 .題組訓練 (1)經(jīng)描點、連線可知，表中的y與x之間的對應關系為一次函數(shù)關系，設y=kx+b，由題意得解得y與x的函數(shù)解析式為y=-0.1x+8.(2)由題意，得z=(x-20)y-40=(x-20)(-0.1x+8)-40=-0.1x2+10 x-200=-0.1(x-50)2+50，當x=50時，z最大值=50.即z與x的函數(shù)解析式為z=-0.1x2

25、+10 x-200.銷售價格定為50元時凈得利潤最大，最大值是50萬元.(3)當z=40時，-0.1(x-50)2+50=40.解得x=40或60.又該公司要求凈得利潤不能低于40萬元，40 x60.又還需考慮銷售量盡可能大，即y盡可能大，x盡可能小，x=40.即銷售價格x(元/個)的取值范圍是40 x60，若還需考慮銷售量盡可能大，銷售價格應定為40元/個.整合集訓1.A 2.C 3.A 4.D 5.48 6.1 5507.(1)依題意得2r1+2r2=16,化簡得r1+r2=8,0r18.(2)兩圓面積和S=r12+r22=(r12+r22)=r12+(8-r1)2=2(r12-8r1+32)=2(r1-4)2+16,當r1=4時，面積和有最小值32平方厘米.8.(1)設拋物線所對應的函數(shù)關系式為y=ax2+8，又拋物線過點(12，0)，0=a122+8，故a=-，所以拋物線的解析式為y