2022年河南省鄭州市第106高三下第一次測試數(shù)學(xué)試題含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷請考生注意：1請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用05毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的注意事項，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲(1646年-1716年)于1674年得到了第一個關(guān)于的級數(shù)展開式,該公式于明朝初年傳入我國.在我國科技水平業(yè)已落后的情況下,我國數(shù)學(xué)家天文學(xué)家明安圖(1692年-1765年)為提高我國的數(shù)學(xué)研究水平,從乾隆初年(1736年

2、)開始,歷時近30年,證明了包括這個公式在內(nèi)的三個公式,同時求得了展開三角函數(shù)和反三角函數(shù)的6個新級數(shù)公式,著有割圓密率捷法一書,為我國用級數(shù)計算開創(chuàng)了先河.如圖所示的程序框圖可以用萊布尼茲“關(guān)于的級數(shù)展開式”計算的近似值(其中P表示的近似值),若輸入,則輸出的結(jié)果是( )ABCD2 的內(nèi)角的對邊分別為，已知，則角的大小為（ ）ABCD3已知雙曲線（，）的左、右焦點分別為，以（為坐標(biāo)原點）為直徑的圓交雙曲線于兩點，若直線與圓相切，則該雙曲線的離心率為（ ）ABCD4一個封閉的棱長為2的正方體容器，當(dāng)水平放置時，如圖，水面的高度正好為棱長的一半若將該正方體繞下底面（底面與水平面平行）的某條棱任意

3、旋轉(zhuǎn)，則容器里水面的最大高度為（ ）ABCD5已知雙曲線：的左右焦點分別為，為雙曲線上一點，為雙曲線C漸近線上一點，均位于第一象限，且，則雙曲線的離心率為（ ）ABCD6體育教師指導(dǎo)4個學(xué)生訓(xùn)練轉(zhuǎn)身動作，預(yù)備時，4個學(xué)生全部面朝正南方向站成一排.訓(xùn)練時，每次都讓3個學(xué)生“向后轉(zhuǎn)”，若4個學(xué)生全部轉(zhuǎn)到面朝正北方向，則至少需要“向后轉(zhuǎn)”的次數(shù)是（ ）A3B4C5D67已知，則的值等于（ ）ABCD8執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的，則輸入的整數(shù)的最大值為( )A7B15C31D639設(shè)，為非零向量，則“存在正數(shù)，使得”是“”的（ ）A既不充分也不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D充分不必要條

4、件10從拋物線上一點 (點在軸上方)引拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，且，設(shè)拋物線的焦點為，則直線的斜率為（ ）ABCD11已知雙曲線的右焦點為，過原點的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點，延長交右支于點，若，則雙曲線的離心率是（ ）ABCD12如圖，平面與平面相交于，點，點，則下列敘述錯誤的是（ ）A直線與異面B過只有唯一平面與平行C過點只能作唯一平面與垂直D過一定能作一平面與垂直二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13在邊長為2的正三角形中，則的取值范圍為_.14已知三棱錐的四個頂點在球的球面上，是邊長為2的正三角形，則球的體積為_15已知數(shù)列滿足，則_16已知橢圓的左、右焦點分別

5、為、，過橢圓的右焦點作一條直線交橢圓于點、.則內(nèi)切圓面積的最大值是_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）在中，為邊上一點，.（1）求；（2）若，求.18（12分）設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）若為銳角三角形，求的取值范圍.19（12分）如圖，在四棱柱中，平面平面，是邊長為2的等邊三角形，點為的中點（）求證：平面；（）求二面角的余弦值（）在線段上是否存在一點，使直線與平面所成的角正弦值為，若存在求出的長，若不存在說明理由20（12分）已知在中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，且（1）求角A的值；（2）若，設(shè)角，周長為y，求的最大值21（

6、12分）健身館某項目收費標(biāo)準(zhǔn)為每次60元，現(xiàn)推出會員優(yōu)惠活動：具體收費標(biāo)準(zhǔn)如下：現(xiàn)隨機抽取了100為會員統(tǒng)計它們的消費次數(shù)，得到數(shù)據(jù)如下：假設(shè)該項目的成本為每次30元，根據(jù)給出的數(shù)據(jù)回答下列問題：（1）估計1位會員至少消費兩次的概率（2）某會員消費4次，求這4次消費獲得的平均利潤；（3）假設(shè)每個會員每星期最多消費4次，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件的概率，從會員中隨機抽取兩位，記從這兩位會員的消費獲得的平均利潤之差的絕對值為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望22（10分）的內(nèi)角的對邊分別為,且(1)求角的大小(2)若,的面積,求的周長參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四

7、個選項中，只有一項是符合題目要求的。1B【解析】執(zhí)行給定的程序框圖，輸入，逐次循環(huán)，找到計算的規(guī)律，即可求解.【詳解】由題意，執(zhí)行給定的程序框圖，輸入，可得：第1次循環(huán)：；第2次循環(huán)：；第3次循環(huán)：；第10次循環(huán)：，此時滿足判定條件，輸出結(jié)果，故選：B.【點睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計算與輸出，其中解答中認(rèn)真審題，逐次計算，得到程序框圖的計算功能是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.2A【解析】先利用正弦定理將邊統(tǒng)一化為角，然后利用三角函數(shù)公式化簡，可求出解B.【詳解】由正弦定理可得，即，即有，因為，則，而，所以.故選：A【點睛】此題考查了正弦定理和三角函數(shù)

8、的恒等變形，屬于基礎(chǔ)題.3D【解析】連接，可得，在中，由余弦定理得，結(jié)合雙曲線的定義，即得解.【詳解】連接，則，所以，在中，故在中，由余弦定理可得. 根據(jù)雙曲線的定義，得，所以雙曲線的離心率故選：D【點睛】本題考查了雙曲線的性質(zhì)及雙曲線的離心率，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.4B【解析】根據(jù)已知可知水面的最大高度為正方體面對角線長的一半，由此得到結(jié)論【詳解】正方體的面對角線長為，又水的體積是正方體體積的一半，且正方體繞下底面（底面與水平面平行）的某條棱任意旋轉(zhuǎn)，所以容器里水面的最大高度為面對角線長的一半，即最大水面高度為，故選B.【點睛】本題考查了正方體的幾何特征，

9、考查了空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題5D【解析】 由雙曲線的方程的左右焦點分別為，為雙曲線上的一點，為雙曲線的漸近線上的一點，且都位于第一象限，且，可知為的三等分點，且,點在直線上，并且，則，設(shè)，則，解得，即，代入雙曲線的方程可得，解得，故選D點睛：本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，離心率的求法，考查了轉(zhuǎn)化思想以及運算能力，雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：求出，代入公式；只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范圍)6B【解析】通過列舉法，列舉出同學(xué)的朝向，然后即可求

10、出需要向后轉(zhuǎn)的次數(shù).【詳解】“正面朝南”“正面朝北”分別用“”“”表示，利用列舉法，可得下表，原始狀態(tài)第1次“向后轉(zhuǎn)”第2次“向后轉(zhuǎn)”第3次“向后轉(zhuǎn)”第4次“向后轉(zhuǎn)”可知需要的次數(shù)為4次.故選：B.【點睛】本題考查的是求最小推理次數(shù)，一般這類題型構(gòu)造較為巧妙，可通過列舉的方法直觀感受，屬于基礎(chǔ)題.7A【解析】由余弦公式的二倍角可得，再由誘導(dǎo)公式有，所以【詳解】由余弦公式的二倍角展開式有又故選：A【點睛】本題考查了學(xué)生對二倍角公式的應(yīng)用，要求學(xué)生熟練掌握三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式，屬于簡單題8B【解析】試題分析：由程序框圖可知：，；，；，；，；，. 第步后輸出，此時，則的最大值為15，故選B.考點：程

11、序框圖.9D【解析】充分性中，由向量數(shù)乘的幾何意義得，再由數(shù)量積運算即可說明成立；必要性中，由數(shù)量積運算可得，不一定有正數(shù)，使得，所以不成立，即可得答案.【詳解】充分性：若存在正數(shù)，使得，則，得證；必要性：若，則，不一定有正數(shù)，使得，故不成立；所以是充分不必要條件故選：D【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的運算，向量數(shù)乘的幾何意義，還考查了充分必要條件的判定，屬于簡單題.10A【解析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)求出點坐標(biāo)和焦點坐標(biāo)，進而求出點的坐標(biāo)，代入斜率公式即可求解.【詳解】設(shè)點的坐標(biāo)為，由題意知，焦點,準(zhǔn)線方程，所以，解得，把點代入拋物線方程可得，因為，所以，所以點坐標(biāo)為，代入斜率公式可得，.故選：A

12、【點睛】本題考查拋物線的性質(zhì)，考查運算求解能力；屬于基礎(chǔ)題.11D【解析】設(shè)雙曲線的左焦點為，連接，設(shè)，則，和中，利用勾股定理計算得到答案.【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點為，連接，設(shè)，則，根據(jù)對稱性知四邊形為矩形，中：，即，解得；中：，即，故，故.故選：.【點睛】本題考查了雙曲線離心率，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.12D【解析】根據(jù)異面直線的判定定理、定義和性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的關(guān)系，對選項中的命題判斷.【詳解】A.假設(shè)直線與共面，則A，D，B，C共面，則AB，CD共面，與，矛盾， 故正確.B. 根據(jù)異面直線的性質(zhì)知，過只有唯一平面與平行，故正確.C. 根據(jù)過一點有且只有一個平面與已知直線垂

13、直知，故正確.D. 根據(jù)異面直線的性質(zhì)知，過不一定能作一平面與垂直，故錯誤.故選：D【點睛】本題主要考查異面直線的定義，性質(zhì)以及線面關(guān)系，還考查了理解辨析的能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】建立直角坐標(biāo)系，依題意可求得，而，故可得，且，由此構(gòu)造函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得取值范圍【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，根據(jù)，即，則，即，則，所以，且，故，設(shè)，易知二次函數(shù)的對稱軸為，故函數(shù)在，上的最大值為，最小值為，故的取值范圍為故答案為：【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解

14、能力，求解時注意通過設(shè)元、消元，將問題轉(zhuǎn)化為元二次函數(shù)的值域問題14【解析】由題意可得三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則它的外接球就是棱長為的正方體的外接球，求出正方體的對角線的長，就是球的直徑，然后求出球的體積.【詳解】解：因為，為正三角形，所以，因為，所以三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，所以它的外接球就是棱長為的正方體的外接球，因為正方體的對角線長為，所以其外接球的半徑為，所以球的體積為故答案為：【點睛】此題考查球的體積，幾何體的外接球，考查空間想象能力，計算能力，屬于中檔題.15【解析】項和轉(zhuǎn)化可得，討論是否滿足，分段表示即得解【詳解】當(dāng)時，由已知，可得，故，由-得，顯然當(dāng)時不滿足上式，故答案為：【

15、點睛】本題考查了利用求，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算，分類討論的能力，屬于中檔題.16【解析】令直線：，與橢圓方程聯(lián)立消去得，可設(shè)，則，可知，又，故三角形周長與三角形內(nèi)切圓的半徑的積是三角形面積的二倍，則內(nèi)切圓半徑，其面積最大值為故本題應(yīng)填點睛：圓錐曲線中最值與范圍的求法有兩種：()幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法()代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)，則可首先建立起目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值，求函數(shù)最值的常用方法有配方法，判別式法，重要不等式及函數(shù)的單調(diào)性法等三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或

16、演算步驟。17（1）；（2）4【解析】（1），利用兩角差的正弦公式計算即可；（2）設(shè)，在中，用正弦定理將用x表示，在中用一次余弦定理即可解決.【詳解】（1），所以， .（2），設(shè)，在中，由正弦定理得，.【點睛】本題考查兩角差的正弦公式以及正余弦定理解三角形，考查學(xué)生的運算求解能力，是一道容易題.18（1）（2）【解析】（1）利用正弦定理化簡已知條件，由此求得的值，進而求得的大小.（2）利用正弦定理和兩角差的正弦公式，求得的表達式，進而求得的取值范圍.【詳解】（1）由題設(shè)知，即，所以，即，又所以.（2）由題設(shè)知，即，又為銳角三角形，所以，即所以，即，所以的取值范圍是.【點睛】本小題主要考查利用正

17、弦定理解三角形，考查利用角的范圍，求邊的比值的取值范圍，屬于中檔題.19（）證明見解析；（）；（）線段上是存在一點，使直線與平面所成的角正弦值為.【解析】（）取中點，連結(jié)、，推導(dǎo)出四邊形是平行四邊形，從而，由此能證明平面;（）取中點，連結(jié)，推導(dǎo)出平面，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的余弦值；（）假設(shè)在線段上是存在一點，使直線與平面所成的角正弦值為，設(shè)利用向量法能求出結(jié)果【詳解】（）證明：取中點，連結(jié)、，是邊長為2的等邊三角形，點為的中點，四邊形是平行四邊形，平面，平面，平面（）解：取中點，連結(jié)，在四棱柱中，平面平面，是邊長為2的等邊三角形，點為的中點，平

18、面，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，1，0，1，0，0，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)二面角的平面角為，則二面角的余弦值為（）解：假設(shè)在線段上是存在一點，使直線與平面所成的角正弦值為，設(shè)則，平面的法向量，解得，線段上是存在一點，使直線與平面所成的角正弦值為【點睛】本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查滿足正弦值的點是否存在的判斷與求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題20（1）；（2）【解析】（1）利用正弦定理，結(jié)合題中條件，可以得到，之后應(yīng)用余弦定理即可求得；（2）利用正弦定理求得，求出三角形的周長，利用三角函數(shù)的最值求解即可.【詳解】（1）由已知可得，結(jié)合正弦定理可得，又，（2）由，及正弦定理得，故，即，由，得，當(dāng)，即時，【點睛】該題主要考查的是有關(guān)解三角形的問題，解題的關(guān)鍵是掌握正余弦定理，屬于簡單題目.21（1）（2）22.5（3）見解析，【解析】（1）根據(jù)頻數(shù)計算頻率，得出概率；（2）根據(jù)優(yōu)惠標(biāo)準(zhǔn)計算平均利潤；（3）求出各種情況對應(yīng)的的值和概率，得出分布列，從而計算出數(shù)學(xué)期望【詳解】解：（1）估計1位會員