六年級(jí)奧數(shù)題容斥原理

1、十七容斥原理(1)年級(jí)班姓名得分一、填空題1.一個(gè)班有45個(gè)小學(xué)生,統(tǒng)計(jì)借課外書(shū)的情況是:全班學(xué)生都借有語(yǔ)文或數(shù)學(xué)課外書(shū).借語(yǔ)文課外書(shū)的有39人,借數(shù)學(xué)課外書(shū)的有32人.語(yǔ)文、數(shù)學(xué)兩種課外書(shū)都借的有人.2.有長(zhǎng)8厘米,寬6厘米的長(zhǎng)方形與邊長(zhǎng)為5厘米的正方形,如圖,放在桌面上(陰影是圖形的重疊部分),那么這兩個(gè)圖形蓋住桌面的面積是平方厘米.863453.在1100的自然數(shù)中,是5的倍數(shù)或是7的倍數(shù)的數(shù)有個(gè).4.某區(qū)100個(gè)外語(yǔ)教師懂英語(yǔ)或俄語(yǔ),其中懂英語(yǔ)的75人,既懂英語(yǔ)又懂俄語(yǔ)的20人,那么懂俄語(yǔ)的教師為人.5.六一班有學(xué)生46人,其中會(huì)騎自行車的17人,會(huì)游泳的14人,既會(huì)騎車又會(huì)游泳的4人

2、,問(wèn)兩樣都不會(huì)的有人.6.在1至10000中不能被5或7整除的數(shù)共有個(gè).7.在1至10000之間既不是完全平方數(shù),也不是完全立方數(shù)的整數(shù)有個(gè).8.某班共有30名男生,其中20人參加足球隊(duì),12人參加藍(lán)球隊(duì),10人參加排球隊(duì).已知沒(méi)一個(gè)人同時(shí)參加3個(gè)隊(duì),且每人至少參加一個(gè)隊(duì),有6人既參加足球隊(duì)又參加藍(lán)球隊(duì),有2人既參加藍(lán)球隊(duì)又參加排球隊(duì),那么既參加足球隊(duì)又參加排球隊(duì)的有人.9.分母是1001的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)有個(gè).10.在100個(gè)學(xué)生中,音樂(lè)愛(ài)好者有56人,體育愛(ài)好者有75人,那么既愛(ài)好音樂(lè),又愛(ài)好體育的人最少有人,最多有人.二、解答題11.某進(jìn)修班有50人,開(kāi)甲、乙、丙三門(mén)進(jìn)修課、選修甲這門(mén)課的有3

3、8人,選修乙這門(mén)課有的35人,選修丙這門(mén)課的有31人,兼選甲、乙兩門(mén)課的有29人,兼選甲、丙兩門(mén)課的有28人,兼選乙、丙兩門(mén)課的有26人,甲、乙、丙三科均選的有24人.問(wèn)三科均未選的人數(shù)?12.求小于1001且與1001互質(zhì)的所有自然數(shù)的和.13.如圖所示,A、B、C分別代表面積為8、9、11的三張不同形狀的紙片,它們重疊放在一起蓋住的面積是18,且A與B,B與C,C與A公共部分的面積分別是5、3、4,求A、B、C三個(gè)圖形公共部分(陰影部分)的面積.CAB14.分母是385的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)有多少個(gè),并求這些真分?jǐn)?shù)的和.即這兩個(gè)圖形蓋住的圖形面積為86554367(平方厘米).答案1.26從圖中可以

4、看出全班45人,借語(yǔ)文或數(shù)學(xué)課外讀物的共39+32=71(人),超過(guò)全班人數(shù)71-45=26(人),這26人都借了語(yǔ)文、數(shù)學(xué)兩種課外書(shū)。共45人語(yǔ)文數(shù)學(xué)39人32人267將長(zhǎng)方形和正文形面積相加，則圖中陰影部分即三角形面積被多算了一次，123.32在1到100這100個(gè)自然數(shù)中,5的倍數(shù)有20個(gè),7的倍數(shù)有14個(gè),既是5的倍數(shù)又是7的倍數(shù)有2個(gè),故5的倍數(shù)或7的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是20+14-2=32.4.45從圖中可以看出:懂俄語(yǔ)的人數(shù)(即陰影部分)等于總?cè)藬?shù)減去只懂英語(yǔ)的人數(shù),即100-(75-20)=45(人)75英20俄5.19所求人數(shù)=全班人數(shù)-(會(huì)騎車人數(shù)+會(huì)游泳人數(shù)-既會(huì)騎車又會(huì)游泳人在

5、1到10000中,能被5整除的有2000(個(gè)),能被7整除的有1428(個(gè)),能被35整除的有285(個(gè)).因此能被5或7整除11001中,有7的倍數(shù)143(個(gè));有11的倍數(shù)91(個(gè)),有數(shù))=46-(17+14-4)=19(人)會(huì)奇車會(huì)游泳6.6857班全1000051000010000737的共有2000+1428-285=3143(個(gè)).從而不能被5或7整除的有10000-3143=6857(個(gè)).7.9883110000中完全平方數(shù)有100個(gè)(因?yàn)?002=10000),完全立方數(shù)有21個(gè)(因?yàn)?1310000223),完全六次方數(shù)有4個(gè)(因?yàn)?61000056)故110000中是完

6、全平方數(shù)或完全立方數(shù)的數(shù)共有100+21-4=117個(gè);從而既不是完全平方數(shù),又不是完全立方數(shù)的數(shù)有10000-117=9883(個(gè)).8.4如圖所示,設(shè)既參加是球隊(duì)又參加排球隊(duì)的人數(shù)為x,則依容斥原理,有20+12+10-6-2-x=30,解得x=4.排球隊(duì)10 x2足球隊(duì)6藍(lán)球隊(duì)20129.7201001100171113的倍數(shù)77(個(gè));有711=77的倍數(shù)10011001137713(個(gè)),有713=91的倍數(shù)11(個(gè)),有1113=143的倍數(shù)7(個(gè)).有1001的倍數(shù)1個(gè).1001100191143由容斥原理知:在11001中,能被7或11或13整除的數(shù)有(43+91+7)-(13

7、+11+7)+1=281(個(gè)),從而不能被7、11或13整除的數(shù)有1001-281=720(個(gè)).也就是說(shuō),分母為1001的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)有720個(gè).10.31,56如圖,當(dāng)100人都是或者音樂(lè)愛(ài)好者,或者體育愛(ài)好者時(shí),這兩者都愛(ài)好的人數(shù)為最小值即56+75-100=31(個(gè)).當(dāng)所有的音樂(lè)愛(ài)好者都是音樂(lè)愛(ài)好者時(shí),這兩者都愛(ài)好的人數(shù)最大可為56人.音樂(lè)愛(ài)好者體育愛(ài)好者11.如圖,選甲乙而不選丙的有a=29-24=5(人),選甲丙而不選乙的b=28-24=4(人),選乙丙而不選甲的有c=26-24=2(人),僅選了丁的人有d=35-24-a-c=4(人),僅選了丙的人有e=31-24-b-c=1(人)

8、,故少選了一科的人數(shù)是:甲+d+c+e=45(人),故三門(mén)均未選的人數(shù)為50-45=5(人).甲乙24和真分?jǐn)?shù)(a與1001互質(zhì))是成對(duì)出現(xiàn)的,故上述720個(gè)真分?jǐn)?shù)可adbce丙12.由第9題的結(jié)論知分母是1001的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)是720.又真分?jǐn)?shù)a1001a10011001以分成360對(duì),每一對(duì)=數(shù)之和為1,故上述720個(gè)分母是1001的真分?jǐn)?shù)之和為360.所以所有小于1001且與1001互質(zhì)的數(shù)之和為3601001=360360.13.設(shè)陰影部分的面積是x,由容斥原理知28-(5+3+4)+x=18,故x=2.14.因?yàn)?85=5711,故在1385這385個(gè)自然數(shù)中,5的倍數(shù)有76(個(gè)),7的倍數(shù)有55(個(gè)),11的倍數(shù)有38538538557535(個(gè)),57=35的倍數(shù)有11(個(gè)),511=55的倍數(shù)有7(個(gè)),711=77的倍數(shù)有=5(個(gè)),385的倍數(shù)有1個(gè).a385a385385355538577由容斥原理知,在1385中能被5、7或11整除的數(shù)有77+55+35-(11+7+5)+1=145(個(gè)),而5、7、11互