高中數(shù)學(xué)選修2-2教學(xué)設(shè)計9：2.2.1綜合法和分析法教案

1、高中數(shù)學(xué)選修2-2教學(xué)設(shè)計 2.2.1綜合法和分析法教學(xué)目標(biāo)：1 結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；2通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)了解分析法和綜合法的思考過程、特點；3增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維的情趣，給學(xué)生成功的體驗，形成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識、了解數(shù)學(xué)文化的積極態(tài)度教學(xué)重點：分析法和綜合法的思考過程；教學(xué)難點：分析法和綜合法的思考過程、特點.教學(xué)過程設(shè)計、情景引入，激發(fā)興趣教師引入合情推理分歸納推理和類比推理，所得的結(jié)論的正確性是要證明的數(shù)學(xué)結(jié)論的正確性必須通過邏輯推理的方式加以證明本節(jié)我們將學(xué)習(xí)兩類基本的證明方法：直接證明與間接證明、探究新知，揭示概念探究一：

2、在數(shù)學(xué)證明中，我們經(jīng)常從已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等出發(fā)，通過推理推導(dǎo)出所要的結(jié)論例如：已知 a, b0,求證 a(b2 c2) b(c2 a2) 4abc 教師活動：給出以上問題，讓學(xué)生思考應(yīng)該如何證明，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用不等式證明教師最后歸結(jié)證明方法學(xué)生活動：充分討論，思考，找出以上問題的證明方法證明：因為b2 c2 2bc,a 0 ,所以 a(b2 c2) 2abc 因為 c2 a2 2ac,b 0 ,所以 b(c2 a2) 2abc I I 2 2 2 2因此 a(b C ) b(c a ) 4abc 一般地，禾U用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)

3、 出所要證明的結(jié)論成立，這種方法叫做綜合法探究二：證明數(shù)學(xué)命題時，還經(jīng)常從要證的結(jié)論Q出發(fā)，反推回去，尋求保證 Q成立的條件，即使 Q成立的充分條件 Pi,為了證明Pi成立，再去尋求 Pi成立的充分條件 P2，為 了證明P2成立，再去尋求 P2成立的充分條件P3,直到找到一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.例如：基本不等式要證a b2 ab（a0, b0）的證明就用了上述方法a b2一 ab ,只需證a b2 . ab只需證a b2 ab0,只需證(a.b)20由于 C.a .b)20顯然成立，因此原不等式成立 .一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)， 逐步尋求使它成立的充分條件，直

4、至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止這種方法叫做分析法（三）、分析歸納，抽象概括用P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等，Q表示要證明的結(jié)論，則綜合法可表示為：PQi（QiQ2）Q2Q3.QnQ綜合法的特點是：由因?qū)Ч从梢阎獥l件出發(fā)，禾U用已知的數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)和公式，推出 結(jié)論的一種證明方法.分析法可表示為：QP（P PD （Pni PI）PIP分析法的特點是：執(zhí)果索因（四）、知識應(yīng)用，深化理解例1在ABC中，三個內(nèi)角A, B,C的對邊分別為a,b,c ,且A, B, C成等差數(shù)列，a,b,C 成等比數(shù)列，求證KBC為等邊三角形.分析：將

5、A，B，C成等差數(shù)列，轉(zhuǎn)化為符號語言就是 2B =A + C ； A，B，C為ABC 的內(nèi)角，這是一個隱含條件，明確表示出來是A + B + C = a， b，C成等比數(shù)列，轉(zhuǎn)化為符號語言就是b2 ac 此時，如果能把角和邊統(tǒng)一起來，那么就可以進(jìn)一步尋找角和邊可以用余弦定理為工之間的關(guān)系，進(jìn)而判斷三角形的形狀，余弦定理正好滿足要求于是,具進(jìn)行證明.證明：由A, B, C成等差數(shù)列，有2B=A + C .因為A, B, C為ABC的內(nèi)角，所以A + B + C= .由，得B=I.由a, b, C成等比數(shù)列，有b2 ac.由余弦定理及,可得b22C 2accosB2C ac .再由，得a2c2 a

6、c ac .(a c)20,因此A=C.從而 由，得冗A=B=C=3.所以AABC為等邊三角形.注：解決數(shù)學(xué)問題時，往往要先作語言的轉(zhuǎn)換，如把文字語言轉(zhuǎn)換成符號語言，或把符號語 言轉(zhuǎn)換成圖形語言等.還要通過細(xì)致的分析，把其中的隱含條件明確表示出來.例2 求證 372 5 .分析：從待證不等式不易發(fā)現(xiàn)證明的出發(fā)點，因此我們直接從待證不等式出發(fā)，分析其成立的充分條件 證明：因為 3 .7和25都是正數(shù)，所以為了證明“3 : 72：.?5 ,只需明(.3.7)2(2. 5)2,展開得10 2.21 20 ,只需證4215 ,因為2125成立，所以(、3、.7)2(2.5)2成立.在本例中，如果我們從

7、“ 21 25”出發(fā)，逐步倒推回去，就可以用綜合法證出結(jié)論但由于我們很難想到從“ 2125入手，所以用綜合法比較困難 事實上，在解決問題時，我們經(jīng)常把綜合法和分析法結(jié)合起來使用：根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論Q ;根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點去轉(zhuǎn)化條件，得到中間結(jié)論 P若由P可以推出Q成立，就可以證明結(jié)論成立下面來看一個例子例4 已知， k -(k Z),且2 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark47 o Current Document Sin COS 2sin HYPERLINK l bookmark49 o Current Document Sin co

8、ssin2求證：2 21 tan1 tan1 tan22(1 tan2 ) .分析：比較已知條件和結(jié)論，發(fā)現(xiàn)結(jié)論中沒有出現(xiàn)角，因此第一步工作可以從已知條件中消去觀察已知條件的結(jié)構(gòu)特點，發(fā)現(xiàn)其中蘊含數(shù)量關(guān)系 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark51 o Current Document (Sin cos )2 2sin cos 1，于是，由2一 2得4sin22sin 21 把4si n22s in21與結(jié)論相比較，發(fā)現(xiàn)角相同，但函數(shù)名稱不同，于是嘗試轉(zhuǎn)化結(jié)論:統(tǒng)一函數(shù)名稱，即把正切函數(shù)化為正(余)弦函數(shù)把結(jié)論轉(zhuǎn)化為2CoS2Sinz2(COS22Sin),再與4sin2sin 21比較，發(fā)現(xiàn)只要把2 cos2Sin1 2 (COS22Sin）中的角的余弦轉(zhuǎn)化為正弦,就能達(dá)到目的證明：因為（SinCoS )2si nCoS1 ,所以將代入，可得2 24s in2si n1.另一方面，要證1 tan21 tan21 tan22(12