數(shù)字圖像處理：第3章 圖像處理中的正交變換第二講

1、數(shù)字圖像處理第2章 圖像處理中的正交變換（第二講） 2 離散余弦變換 圖像處理中常用的正交變換除了傅里葉變換外，還有其他一些有用的正交變換。其中離散余弦就是一種。離散余弦變換表示為DCT。 21 離散余弦變換的定義 一維離散余弦變換的定義由下式表示(374) (375) 式中 是第 個余弦變換系數(shù)， 是廣義頻率變量， ； 是時域 N 點序列， 。一維離散余弦反變換由下式表示 (376) 顯然，式(374)式(375)和式(376)構(gòu)成了一維離散余弦變換對。二維離散余弦變換的定義由下式表示(377) 式(377)是正變換公式。其中 是空間域二維向量之元素。 ， 是變換系數(shù)陣列之元素。式中表示的陣

2、列為N N 二維離散余弦反變換由下式表示(378) 式中的符號意義同正變換式一樣。式(377)和式(378)是離散余弦變換的解析式定義。更為簡潔的定義方法是采用矩陣式定義。如果令N4，那么由一維解析式定義可得如下展開式(379) 寫成矩陣式(380) 若定義 為變換矩陣， 為變換系數(shù)矩陣， 為空域數(shù)據(jù)矩陣，則一維離散余弦變換的矩陣定義式可寫成如下形式(381) 同理，可得到反變換展開式(382) 寫成矩陣式即 (384) 當(dāng)然，二維離散余弦變換也可以寫成矩陣式(385) 式中 是空間數(shù)據(jù)陣列， 是變換系數(shù)陣列， 是變換矩陣， 是 的轉(zhuǎn)置。22 離散余弦變換的正交性 由一維DCT的定義可知 它的

3、基向量是(386) 在高等數(shù)學(xué)中，切比雪夫多項式的定義為(387) 式中 是 和 的多項式。它的第N個多項式為如果 那么 將此式代入 (388) 則 顯然，這與一維DCT的基向量是一致的。因為切比雪夫多項式是正交的，所以DCT也是正交的。另外，離散余弦變換的正交性也可以通過實例看出。如前所示，當(dāng)N時，-=-=271.0500.0653.0500.0653.0500.0271.0500.0653.0500.0271.0500.02710.0500.0635.0500.0 271.0653.0653.0271.0500.0500.0500.0500.0653.0271.0271.0653.0500

4、.0500.0500.0500.0AA顯然 這是滿足正交條件的。從上述討論可見，離散余弦變換是一類正交變換。23 離散余弦變換的計算與傅里葉變換一樣，離散余弦變換自然可以由定義式出發(fā)進(jìn)行計算。但這樣的計算量太大，在實際應(yīng)用中很不方便。所以也要尋求一種快速算法。首先，從定義出發(fā)，作如下推導(dǎo) (389) 式中 是取其實部的意思。如果把時域數(shù)據(jù)向量作下列延拓，即：(390) 則 的離散余弦變換可寫成下式(391) 由式(391)可見是2N點的離散傅里葉變換。所以，在作離散余弦變換時，可以把序列長度延拓為2N，然后作離散傅里葉變換，產(chǎn)生的結(jié)果取其實部便可得到余弦變換。 同樣道理，在作反變換時，首先在變換空間，把 作如