Matlab輔助激光光學(xué)分析與應(yīng)用（ 第三版 word文件）

1、二零一四年 第三版Matlab輔助激光光學(xué)分析與應(yīng)用作 者：劉良清 單 位：武漢凌云光電科技畢業(yè)院校：華中科技大學(xué)激光技術(shù)與工程學(xué)院學(xué) 歷：碩士研究生研究方向：自適應(yīng)光學(xué)、非線性光學(xué)、激光光學(xué)、固體激光器件、激光工業(yè)應(yīng)用2014年五月 第三版前 言（序）每個(gè)人都會(huì)有自己的理想和夢(mèng)想，只不過(guò)我們常常走著走著就把它們弄丟了。也許你和我一樣，小時(shí)候也曾信誓旦旦地說(shuō)過(guò)自己的將來(lái)的理想是要當(dāng)科學(xué)家什么的。那時(shí)候不是因?yàn)槲覀兝硐牒苓h(yuǎn)大，其實(shí)我們根本就不知道理想是什么。我們不知道真正科學(xué)家到底是什么，也不知道除了科學(xué)家之外還有什么可以叫做理想！當(dāng)然，我現(xiàn)在沒(méi)能成為科學(xué)家，將來(lái)也沒(méi)有太大的可能會(huì)成為科學(xué)家。我

2、既不是什么教授，也不是什么專家，頂多算是一個(gè)普通的技術(shù)員，普通得不能再普通了。記得研二的時(shí)候，導(dǎo)師還曾擔(dān)心過(guò)我能不能正常畢業(yè)。整個(gè)大學(xué)過(guò)得似乎都有些渾渾噩噩，沒(méi)什么明確的目標(biāo)，只是盼望著大學(xué)畢業(yè)了能否找到一個(gè)溫飽不愁的工作。現(xiàn)在我知道，這世界上根本就沒(méi)有哪一樣?xùn)|西是真正會(huì)讓你不愁的。很早，我就有想寫一本書的想法。開始想寫小說(shuō)，結(jié)果構(gòu)思來(lái)、構(gòu)思去，發(fā)現(xiàn)好的情節(jié)似乎都被作家們寫完了。突然有一個(gè)新奇的思路的時(shí)候，才發(fā)現(xiàn)自己文筆真的不怎地，開篇幾段就寫不下去了。罷了，作家之夢(mèng)就這么完蛋了！研究生的最后一年，為了畢業(yè)論文和文章，慢慢自己學(xué)會(huì)了一點(diǎn)MATLAB編程，處理一些數(shù)據(jù)和圖形。但是，后來(lái)發(fā)現(xiàn)之前做

3、過(guò)的一些研究，突然有一天再去看的時(shí)候，竟然怎么也看不懂。于是，我就想，干脆把自己研究過(guò)的或者是純屬娛樂(lè)研究過(guò)的東西都總結(jié)在一起，把整個(gè)思路都寫下來(lái)，這樣可以方便自己以后參考。既然要寫，那就得像模像樣地寫，有多少就寫多少。我不知道什么時(shí)候會(huì)寫完，照這個(gè)想法，也許一輩子也寫不完。因?yàn)?，總?huì)有新的東西值得我們?nèi)パ芯?。那么就這樣吧，這就是我的第一本書了。書中肯定會(huì)有各種問(wèn)題和錯(cuò)誤，很多結(jié)論只代表我個(gè)人觀點(diǎn)，如有雷同請(qǐng)找專家。盡信書不是好書！目 錄 TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc389242565 Matlab輔助激光光學(xué)分析與應(yīng)用 )我們可以用幾行簡(jiǎn)單matlab程序

4、就可以畫出具有高斯分布的電場(chǎng)強(qiáng)度，如圖1.1所示，圖形美觀，方便對(duì)光強(qiáng)的分布有一個(gè)感性的視覺(jué)認(rèn)識(shí)。程序代碼為：clear;clc;w0=0.5;r=linspace(0,3*w0,200);eta=linspace(0,2*pi,200);rho,theta=meshgrid(r,eta);x,y=pol2cart(theta,rho);Iopt=exp(-2*rho.2/w02);surf(x,y,Iopt);shading interp;xlabel(位置 /mm);ylabel(位置 /mm);zlabel(相對(duì)強(qiáng)度 /a.u.);title(高斯強(qiáng)度分布);axis(-3*w0,3*w

5、0,-3*w0,3*w0,0,1);colorbar;colormap(hot);box on;grid off;圖1.1 高斯光強(qiáng)分布另外，我們還可以畫出高斯光束在自由傳輸過(guò)程中的強(qiáng)度變化，如圖1.2所示，程序代碼如下：clear;clc;lambda=1.064e-3;w0=0.5;ZR=pi*w02/lambda;z=linspace(-2*ZR,2*ZR,200);y=linspace(-4*w0,4*w0,200);py,pz=meshgrid(y,z);wz=w0*sqrt(1+(lambda*pz/pi/w02).2);Iopt=w02./wz.2.*exp(-2*py.2./w

6、z.2);surf(pz,py,Iopt);shading interp;xlabel(位置 /mm);ylabel(位置 /mm);zlabel(相對(duì)強(qiáng)度 /a.u.);title(高斯強(qiáng)度分布的傳輸);colorbar;colormap(hot);box on;grid off;圖1.2 高斯光束自由傳輸強(qiáng)度變化以上我們以簡(jiǎn)單的例子展示了Matlab在可視化方面的強(qiáng)大功能，但本文不再對(duì)Matlab的基本功能和語(yǔ)法常識(shí)進(jìn)行介紹，我們認(rèn)為本書的讀者已經(jīng)具備了基本的Matlab編程技巧。或者說(shuō)，我們所做的只是將我們的實(shí)際運(yùn)用跟讀者進(jìn)行交流討論，促進(jìn)大家共同進(jìn)步。當(dāng)然，我們會(huì)在一些比較關(guān)鍵的地方指

7、出編程過(guò)程中需要注意的問(wèn)題。1.2 波動(dòng)方程當(dāng)Maxwell統(tǒng)一了電磁理論以后，他馬上意識(shí)到，波動(dòng)可能是該方程組的解的形式。事實(shí)上，他希望找到一組滿足波動(dòng)形式的方程組，以輔助他完成找到真正的波動(dòng)方程。既然已經(jīng)知道了光是以波動(dòng)方式傳播的，基爾霍夫首先注意到了 SKIPIF 1 0 正好給出了精確的光速 SKIPIF 1 0 (之前就已經(jīng)被測(cè)量過(guò))，并且法拉第和克爾已經(jīng)觀測(cè)到強(qiáng)磁場(chǎng)和強(qiáng)電場(chǎng)會(huì)影響光在晶體中的傳播。對(duì)初始接觸Maxwell方程組的人來(lái)說(shuō)，并不能一眼就看出它的解具有波動(dòng)形式。但是經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)操作，我們就可以將它變?yōu)椴▌?dòng)方程的形式。我們來(lái)推到電場(chǎng)E的波動(dòng)方程，磁場(chǎng)B的波動(dòng)方程的推到過(guò)程

8、是類似的。我們將方程 GOTOBUTTON ZEqnNum704203 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum704203 * Charformat ! * MERGEFORMAT (1.3)進(jìn)行卷積，可得： SKIPIF 1 0 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 11)該方程可以由矢量微分恒等式簡(jiǎn)化： SKIPIF 1 0 MACROBUTT

9、ON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 12)卷積 SKIPIF 1 0 可由 GOTOBUTTON ZEqnNum413446 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum413446 * Charformat ! * MERGEFORMAT (1.4)式代換，由此得到： SKIPIF 1 0 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SE

10、Q MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 13)再由 GOTOBUTTON ZEqnNum378301 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum378301 * Charformat ! * MERGEFORMAT (1.1)式代入上式，經(jīng)過(guò)整理就可得到： SKIPIF 1 0 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTSec c

11、* Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 14)需要指出的是，上式中沒(méi)有考慮到介質(zhì)的極化。若考慮到介質(zhì)的極化和實(shí)際一般光學(xué)問(wèn)題中自由電荷為零的條件，上式修正為： SKIPIF 1 0 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 15)式中， SKIPIF 1 0 為極化強(qiáng)度矢量。這樣我們

12、得到了一般的電場(chǎng)傳播方程，該方程在非線性光學(xué)中有很重要的地位。當(dāng)光在真空中傳播時(shí)，式 GOTOBUTTON ZEqnNum295979 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum295979 * Charformat ! * MERGEFORMAT (1.15)中的右邊所有項(xiàng)均為零，方程簡(jiǎn)化為： SKIPIF 1 0 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMA

13、T 16)這樣我們就得到了電場(chǎng)傳播的波動(dòng)方程形式。當(dāng)然在有些實(shí)際問(wèn)題中，式 GOTOBUTTON ZEqnNum295979 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum295979 * Charformat ! * MERGEFORMAT (1.15)中右邊的項(xiàng)并不是都為零，至少會(huì)有一項(xiàng)不為零，這與介質(zhì)的性質(zhì)有關(guān)。1.3 衍射考慮一個(gè)振動(dòng)頻率為 SKIPIF 1 0 的光場(chǎng)，其復(fù)振幅可以表述為 SKIPIF 1 0 ，則它也必須滿足波動(dòng)方程： SKIPIF 1 0 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMA

14、T ( SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 17)由于(是假設(shè))電場(chǎng)振幅的含時(shí)部分是顯式給出的，則方程 GOTOBUTTON ZEqnNum182174 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum182174 * Charformat ! * MERGEFORMAT (1.17)可以簡(jiǎn)化為： SKIPIF 1 0 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTSec c * Arab

15、ic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 18)式中 SKIPIF 1 0 是波矢量的大小。 GOTOBUTTON ZEqnNum104057 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum104057 * Charformat ! * MERGEFORMAT (1.18)式就是所謂的赫姆霍茲方程。如果我們忽略波動(dòng)的矢量特性，而只考慮它的振幅(這里不再詳細(xì)討論其過(guò)程)，那么在標(biāo)量近似下，就得到了標(biāo)量赫姆霍茲方程： SKIPIF 1 0 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTE

16、qn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 19)然后，我們考慮一束沿z軸傳播的光束，它的電場(chǎng)復(fù)振幅寫成 SKIPIF 1 0 的形式。我們將它代入標(biāo)量赫姆霍茲方程 GOTOBUTTON ZEqnNum479321 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum479321 * Charformat ! * MERGEFORMAT (1.19)式，得到： SKIPIF 1 0 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT

17、 SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 20)在旁軸近似下，有 SKIPIF 1 0 。即是說(shuō)，我們假設(shè)了電場(chǎng)的復(fù)振幅沿z軸傳播方向是緩慢變化的，與平面波類似。但是我們?cè)试S振幅沿z軸在遠(yuǎn)大于波長(zhǎng)量級(jí)的范圍上有明顯的變化。這樣就得到了旁軸波方程： SKIPIF 1 0 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTSec c * Arabi

18、c * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 21)求解方程 GOTOBUTTON ZEqnNum233508 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum233508 * Charformat ! * MERGEFORMAT (1.21)式，得到： SKIPIF 1 0 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MER

19、GEFORMAT 22)于是電場(chǎng)的表達(dá)式為： SKIPIF 1 0 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 23)值得一提的是，基爾霍夫早在1887年就提出了著名的菲涅耳-基爾霍夫衍射公式： SKIPIF 1 0 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTSec

20、c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 24)式 GOTOBUTTON ZEqnNum599911 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum599911 * Charformat ! * MERGEFORMAT (1.23)和 GOTOBUTTON ZEqnNum309431 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum309431 * Charformat ! * MERGEFORMAT (1.24)在分母 SKIPIF 1 0 時(shí)具有一致性，并在指數(shù)上： SKIPIF 1 0 MACROB

21、UTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 25)同時(shí)，式 GOTOBUTTON ZEqnNum599911 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum599911 * Charformat ! * MERGEFORMAT (1.23)是 GOTOBUTTON ZEqnNum309431 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum309431 * Charfor

22、mat ! * MERGEFORMAT (1.24)式在滿足 SKIPIF 1 0 條件下的菲尼爾旁軸近似。另外，如果進(jìn)一步滿足遠(yuǎn)場(chǎng)條件 SKIPIF 1 0 ，就得到夫瑯禾費(fèi)衍射近似： SKIPIF 1 0 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 26) 小孔衍射假設(shè)光場(chǎng)透過(guò)一個(gè)圓柱對(duì)稱的小孔，這時(shí)，孔徑上的場(chǎng)分布可以寫為： SKIPIF 1 0 MACROB

23、UTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 27)這樣，二維衍射積分可以簡(jiǎn)化為一維衍射積分。將 GOTOBUTTON ZEqnNum677149 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum677149 * Charformat ! * MERGEFORMAT (1.27)式代入到菲尼爾衍射積分公式中，得到簡(jiǎn)化衍射積分式： SKIPIF 1 0 MACROBUTTON M

24、TPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 28)對(duì)角度的積分項(xiàng)，我們可以借助下面的公式完成： SKIPIF 1 0 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT

25、29)式中， SKIPIF 1 0 稱為零階Bessel函數(shù)。這樣， GOTOBUTTON ZEqnNum798311 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum798311 * Charformat ! * MERGEFORMAT (1.28)式可以簡(jiǎn)化為： SKIPIF 1 0 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 30)式 GOTOBUTTON

26、ZEqnNum730949 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum730949 * Charformat ! * MERGEFORMAT (1.30)中的積分項(xiàng)也稱為 SKIPIF 1 0 的漢克爾變換。在夫瑯禾費(fèi)衍射近似下， SKIPIF 1 0 項(xiàng)等于1，積分項(xiàng)變?yōu)?SKIPIF 1 0 的漢克爾變換。于是夫瑯禾費(fèi)柱對(duì)稱圓孔衍射方程為： SKIPIF 1 0 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEq

27、n c * Arabic * MERGEFORMAT 31)雖然經(jīng)過(guò)了一系列簡(jiǎn)化，然而 SKIPIF 1 0 是復(fù)振幅通常都是不確定的，即使知道了強(qiáng)度分布，相位分布也可能是比較難預(yù)測(cè)的。當(dāng)然，也可以通過(guò)輔助手段測(cè)量強(qiáng)度分布和相位分布。這里，我們以平面波入射為例，討論圓孔夫瑯禾費(fèi)衍射問(wèn)題。這時(shí) SKIPIF 1 0 可用常數(shù)代替，不妨設(shè)為1。利用Bessel函數(shù)的遞推關(guān)系，我們可以得到解析的圓孔夫瑯禾費(fèi)衍射公式： SKIPIF 1 0 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTSec c * Ar

28、abic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 32)圖1.3 夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射 (孔徑，距離1m遠(yuǎn))即使是解析式，我們還是不能直觀地感受到衍射斑的樣式。下面我們利用Matlab給出夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射的強(qiáng)度分布。程序代碼如下：R=0.1;lambda=1.064e-3;k=2*pi/lambda;z=1.0e3;r=linspace(0,2*1.22*lambda/2/R*z,201);eta=linspace(0,2*pi,201);rho,theta=meshgrid(r,eta);x,y=pol2cart(theta,rho

29、);Bess=besselj(1,rho*R*k/z);Ie=4*pi2*R2*Bess.2./(rho*k).2/lambda2;surf(x,y,Ie);axis(-max(r),max(r),-max(r),max(r),0,max(Ie(:);shading interp;box on; grid off;figure;plot(x(1,:),Ie(1,:),k,x(101,:),Ie(101,:),k);程序中使用了這樣一個(gè)參數(shù) SKIPIF 1 0 ，因?yàn)槠矫娌僭O(shè)具有最小的衍射角，這個(gè)參數(shù)就稱為衍射極限角，所以在衍射區(qū)域里，只取二倍衍射極限范圍就可以大致看出小孔的衍射特性。并且，

30、對(duì)于解析表達(dá)，Matlab提供了Bessel函數(shù)工具箱，可以直接調(diào)用。當(dāng)然，為了能夠從圖上看到跟實(shí)際觀測(cè)相近的衍射環(huán)，可以將相對(duì)強(qiáng)度分布取四次開根號(hào)，如圖1.3下圖所示。圖1.4 數(shù)值積分法計(jì)算的夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射上面，我們使用的解析表達(dá)式繪圖。接下來(lái)，我們采用數(shù)值積分方法直接求解 GOTOBUTTON ZEqnNum189768 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum189768 * Charformat ! * MERGEFORMAT (1.26)式夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射分布。這需要將目標(biāo)平面劃分網(wǎng)格，然后用網(wǎng)格格點(diǎn)上的復(fù)振幅代替領(lǐng)域內(nèi)的平均振幅分布求相面上的振幅分布。為了簡(jiǎn)化計(jì)算量，

31、我們不再計(jì)算二維分布，只計(jì)算一維分布，計(jì)算結(jié)果如圖1.4所示。程序代碼如下：R=0.1;lambda=1.064e-3;k=2*pi/lambda;z=1.0e3;r=linspace(0,2*1.22*lambda/2/R*z,201);eta=linspace(0,2*pi,201);rho,theta=meshgrid(r,eta);x,y=pol2cart(theta,rho);r0=linspace(0,R,201);eta0=linspace(0,2*pi,201);rho0,theta0=meshgrid(r0,eta0);x0,y0=pol2cart(theta0,rho0);

32、deta=R/200*2*pi/200;E2=zeros(201,1);for gk=1:201 for m=1:200 for n=1:201 E2(gk)=E2(gk)-j/lambda/z*exp(x(1,gk)2+y(1,gk)2)/z/2+z). *j*k)*exp(j*k*(x(1,gk)*x0(m,n)+y(1,gk)*y0(m,n)/z). *deta*rho0(m,n); end endendIe=conj(E2).*E2;plot(r,Ie,k,-r,Ie,k);比較圖1.3和圖1.4，可以看出，數(shù)值積分法計(jì)算出的衍射斑與理論解析結(jié)果是一致的。另外，值得注意的是，從圖上看到

33、，一級(jí)衍射峰值比零級(jí)衍射峰值要低很多，其他級(jí)次就更低了。那為什么我們?cè)趯?shí)驗(yàn)中仍然可以清晰地看到許多級(jí)次的衍射環(huán)呢？那是因?yàn)槿搜蹖?duì)光子的感光度比較高，而實(shí)驗(yàn)所用的激光都具有很高的光子數(shù)密度，因此還是可以看到很多的衍射級(jí)次。對(duì)于旁軸遠(yuǎn)場(chǎng)條件不夠滿足的情況，夫瑯禾費(fèi)近似不成立，即使是菲涅耳近似也可能不成立，這時(shí)必須使用更為嚴(yán)格的菲涅耳-基爾霍夫標(biāo)量衍射公式： SKIPIF 1 0 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEq

34、n c * Arabic * MERGEFORMAT 33)式中， SKIPIF 1 0 。我們?nèi)匀灰云矫娌ǖ膱A孔衍射為例，對(duì) GOTOBUTTON ZEqnNum918285 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum918285 * Charformat ! * MERGEFORMAT (1.33)式數(shù)值計(jì)算不同相面上的衍射圖樣，如圖1.5所示。程序代碼如下：%exmp1_3_1R=0.1;lambda=1.064e-3;k=2*pi/lambda;for z=0.5:5:25; r=linspace(0,2*1.22*lambda/2/R*z,201); eta=linspace

35、(0,2*pi,201); rho,theta=meshgrid(r,eta); x,y=pol2cart(theta,rho); r0=linspace(0,R,201); eta0=linspace(0,2*pi,201); rho0,theta0=meshgrid(r0,eta0); x0,y0=pol2cart(theta0,rho0); deta=R/200*2*pi/200; E2=zeros(201,1); for gk=1:201 for m=1:200 for n=1:201 Rrho=sqrt(x(1,gk)-x0(m,n)2+(y(1,gk)-y0(m,n)2+z2);

36、Rtheta=z/Rrho; E2(gk)=E2(gk)-j/lambda/2*exp(Rrho*j*k). *(1+Rtheta)/Rrho*deta*rho0(m,n); end end end Ie=conj(E2).*E2; Ie=Ie/max(Ie); plot3(z*ones(size(r),r,Ie,k,z*ones(size(r),-r,Ie,k); hold on;end圖1.5 不同傳輸距離處的圓孔衍射樣式(孔徑)可見，在遠(yuǎn)場(chǎng)條件不滿的情況下，衍射樣式有較大的差異。遠(yuǎn)場(chǎng)條件由菲涅耳數(shù)決定： SKIPIF 1 0 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEF

37、ORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 34)式中，a為對(duì)光束起實(shí)際限制作用元件的橫向限度(半徑)，L為傳輸距離。當(dāng)F滿足約為1的數(shù)量級(jí)時(shí)，菲涅耳衍射近似成立，當(dāng)F滿足遠(yuǎn)小于1的數(shù)量級(jí)時(shí)，夫瑯禾費(fèi)衍射近似成立。(a)(b)圖1.6 矩孔衍射圖樣D= (a)z=20,(b)z=500當(dāng)衍射孔為矩形孔時(shí)，同樣利用 GOTOBUTTON ZEqnNum918285 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum918285

38、* Charformat ! * MERGEFORMAT (1.33)式，可以數(shù)值求解不同相面上的衍射樣式。如圖1.6所示。其中左圖為衍射樣式的相對(duì)強(qiáng)度分布，右圖為了突出與實(shí)際觀測(cè)的近似，對(duì)強(qiáng)度分布取四次開根號(hào)。程序代碼如下：%exmp1_3_2 矩孔衍射clear;tic;R=0.1;lambda=1.064e-3;k=2*pi/lambda;z=500;xmax=2*1.22*lambda/2/R*z;x=linspace(-xmax,xmax,61);y=x;x,y=meshgrid(x,y);x0=linspace(-R,R,61);y0=x0;x0,y0=meshgrid(x0,y0

39、);deta=(2*R/60)2;E2=zeros(61,61);for bk=1:61 for gk=1:61 for m=1:60 for n=1:60 Rrho=sqrt(x(gk,bk)-x0(m,n)2+(y(gk,bk)-y0(m,n)2+z2); Rtheta=z/Rrho; E2(gk,bk)=E2(gk,bk)-j/lambda/2*exp(Rrho*j*k)*(1+Rtheta). /Rrho*deta; end end endendIe=conj(E2).*E2;surf(x,y,Ie);shading interp;axis(-xmax,xmax,-xmax,xmax)

40、;figure;Ie=conj(E2).*E2;surf(x,y,Ie.(1/4);shading interp;axis(-xmax,xmax,-xmax,xmax);toc;另外，矩孔衍射也可以求得平面波衍射夫瑯禾費(fèi)近似解析表達(dá)式： SKIPIF 1 0 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 35)則遠(yuǎn)場(chǎng)衍射的強(qiáng)度分布為： SKIPIF 1 0 MACRO

41、BUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 36)式中，a和b分別為矩孔的邊長(zhǎng)。它的衍射圖樣如圖1.7所示，單縫衍射與此有相類似的分布，只不過(guò)去除一個(gè)自由度，這里就不再贅述。程序代碼如下：%矩孔衍射的解析計(jì)算 exmp1_3_3R=0.1;lambda=1.064e-3;k=2*pi/lambda;z=1.0e3;xmax=8*1.22*lambda/2/R*z;x=lins

42、pace(-xmax,xmax,200);y=x;x,y=meshgrid(x,y);IF=sin(k*x*R/z).2.*sin(k*y*R/z).2./(k*x/2/z).2./(k*y/2/z).2/lambda2/z2;surf(x,y,IF.(1/2);colormap(hot)axis equalshading interp;圖1.7 夫瑯禾費(fèi)矩孔衍射振幅絕對(duì)值圖樣 雙縫衍射對(duì)于雙縫夫瑯禾費(fèi)衍射，根據(jù)相干疊加原理，只需要將 GOTOBUTTON ZEqnNum704272 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum704272 * Charformat ! * MERGEF

43、ORMAT (1.35)稍作調(diào)整并疊加： SKIPIF 1 0 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTSec c * Arabic * MERGEFORMAT 1. SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 37)式中，a為縫寬，d為縫的中心間距。計(jì)算結(jié)果如圖1.8所示。程序代碼如下：%雙縫衍射解析計(jì)算exmp1_3_4clear;R=0.1;d=4*R;lambda=1.064e-3;k=2*pi/lambda;z=1.0e3;xmax=3*1.22*lambda/2/R*z;x=linspace(-xmax,xmax,200);y=x;x,y=meshgrid(x,y);IF1=j*exp(j*k*(x-d/2).2/2/z+z).*sin(k*(x-d/2)*R/z)./(k*(x-d/2)/2/z)/lambda/z;IF2=j*exp(j*k*(x+d/2).2/2/z+z).*sin(k*(x+d/2)*R/z)./(k*(x+d/2)/2/z)/lambda/z;IF=IF1+IF2;surf(y,x,abs(IF);colo