第02講 絕對值(共6頁)

1、七年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講義 詹生樟 PAGE 7第二(d r)講 絕對值絕對值是初中代數(shù)中的一個(gè)(y )基本概念，在求代數(shù)式的值、化簡代數(shù)式、證明恒等式與不等式，以及求解方程與不等式時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到含有絕對值符號的問題，同學(xué)們要學(xué)會(huì)根據(jù)絕對值的定義來解決這些問題下面我們先復(fù)習(xí)一下有關(guān)絕對值的基本知識，然后進(jìn)行例題(lt)分析一個(gè)正實(shí)數(shù)的絕對值是它本身；一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；零的絕對值是零即絕對值的幾何意義可以借助于數(shù)軸來認(rèn)識，它與距離的概念密切相關(guān)在數(shù)軸上表示一個(gè)數(shù)的點(diǎn)離開原點(diǎn)的距離叫這個(gè)數(shù)的絕對值結(jié)合相反數(shù)的概念可知，除零外，絕對值相等的數(shù)有兩個(gè)，它們恰好互為相反數(shù)反之，相反數(shù)的絕對值相

2、等也成立由此還可得到一個(gè)常用的結(jié)論：任何一個(gè)實(shí)數(shù)的絕對值是非負(fù)數(shù)例1 a，b為實(shí)數(shù)，下列各式對嗎？若不對，應(yīng)附加什么條件？(1)a+b=a+b；(2)ab=ab；(3)a-b=b-a；(4)若a=b，則a=b；(5)若ab，則ab；(6)若ab，則ab解 (1)不對當(dāng)a，b同號或其中一個(gè)為0時(shí)成立(2)對(3)對(4)不對當(dāng)a0時(shí)成立(5)不對當(dāng)b0時(shí)成立(6)不對當(dāng)ab0時(shí)成立例2 設(shè)有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)如圖1-1所示，化簡b-a+a+c+c-b解 由圖1-1可知(k zh)，a0，b0，c0，且有cab0根據(jù)有理數(shù)加減運(yùn)算的符號(fho)法則，有b-a0，ac0，c-b0再根據(jù)

3、(gnj)絕對值的概念，得b-a=a-b，a+c=-(a+c)，c-b=b-c于是有原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c例3 已知x-3，化簡：3+2-1+x分析 這是一個(gè)含有多層絕對值符號的問題，可從里往外一層一層地去絕對值符號解 原式=3+2+(1+x)(因?yàn)?+x0) =3+3+x =3-(3+x)(因?yàn)?+x0) =-x=-x解 因?yàn)?abc0，所以a0，b0，c0(1)當(dāng)a，b，c均大于零時(shí)，原式=3；(2)當(dāng)a，b，c均小于零時(shí)，原式=-3；(3)當(dāng)a，b，c中有兩個(gè)大于零，一個(gè)小于零時(shí)，原式=1；(4)當(dāng)a，b，c中有兩個(gè)小于零，一個(gè)大于零時(shí)，

4、原式=-1說明 本例的解法是采取把a(bǔ)，b，c中大于零與小于零的個(gè)數(shù)分情況加以解決的，這種解法叫作分類討論法，它在解決絕對值問題時(shí)很常用例5 若x=3，y=2，且x-y=y-x，求x+y的值解 因?yàn)閤-y0，所以y-x0，yx由x=3，y=2可知，x0，即x=-3(1)當(dāng)y=2時(shí)，x+y=-1；(2)當(dāng)y=-2時(shí)，x+y=-5所以(suy)x+y的值為-1或-5例6 若a，b，c為整數(shù)(zhngsh)，且a-b19+c-a99=1，試計(jì)算(j sun)c-a+a-b+b-c的值解 a，b，c均為整數(shù)，則a-b，c-a也應(yīng)為整數(shù)，且a-b19，c-a99為兩個(gè)非負(fù)整數(shù)，和為1，所以只能是 a-b1

5、9=0且c-a99=1， 或a-b19=1且c-a99=0 由有a=b且c=a1，于是b-c=c-a=1；由有c=a且a=b1，于是b-c=a-b=1無論或都有b-c=1且a-b+c-a=1，所以c-a+a-b+b-c=2解 依相反數(shù)的意義有x-y+3=-x+y-1999因?yàn)槿魏我粋€(gè)實(shí)數(shù)的絕對值是非負(fù)數(shù)，所以必有x-y+3=0且x+y-1999=0即由有x-y=-3，由有x+y=1999-得2y=2002， y=1001，所以例8 化簡：3x+1+2x-1分析 本題是兩個(gè)絕對值和的問題解題的關(guān)鍵是如何同時(shí)去掉兩個(gè)絕對值符號若分別去掉每個(gè)絕對值符號，則是很容易的事例如，化簡3x+1，只要考慮3x

6、+1的正負(fù)，即可去掉絕對值符號這里我們?yōu)槿齻€(gè)部分(b fen)(如圖12所示)，即這樣我們就可以分類(fn li)討論化簡了原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x；原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2； 原式=(3x+1)+(2x-1)=5x即說明(shumng) 解這類題目，可先求出使各個(gè)絕對值等于零的變數(shù)字母的值，即先求出各個(gè)分界點(diǎn)，然后在數(shù)軸上標(biāo)出這些分界點(diǎn)，這樣就將數(shù)軸分成幾個(gè)部分，根據(jù)變數(shù)字母的這些取值范圍分類討論化簡，這種方法又稱為“零點(diǎn)分段法”例9 已知y=2x+6+x-1-4x+1，求y的最大值分析(fnx) 首先(shuxin)使用“零點(diǎn)(ln din)分段法”將y化簡

7、，然后在各個(gè)取值范圍內(nèi)求出y的最大值，再加以比較，從中選出最大者解 有三個(gè)分界點(diǎn)：-3，1，-1(1)當(dāng)x-3時(shí)，y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1，由于x-3，所以y=x-1-4，y的最大值是-4(2)當(dāng)-3x-1時(shí)， y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11，由于-3x-1，所以-45x+116，y的最大值是6(3)當(dāng)-1x1時(shí)， y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3，由于-1x1，所以0-3x+36，y的最大值是6(4)當(dāng)x1時(shí)， y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1，由于x1，所以1-x0，y的最大值是0綜上可知，當(dāng)x=

8、-1時(shí)，y取得最大值為6例10 設(shè)abcd，求x-a+x-b+x-c+x-d的最小值分析 本題也可用“零點(diǎn)分段法”討論計(jì)算，但比較麻煩若能利用x-a，x-b，x-c，x-d的幾何意義來解題，將顯得更加簡捷便利解 設(shè)a，b，c，d，x在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)分別為A，B，C，D，X，則x-a表示線段AX之長，同理，x-b，x-c，x-d分別表示線段BX，CX，DX之長現(xiàn)要求x-a，x-b，x-c，x-d之和的值最小，就是要在數(shù)軸上找一點(diǎn)X，使該點(diǎn)到A，B，C，D四點(diǎn)距離之和最小因?yàn)閍bcd，所以A，B，C，D的排列應(yīng)如圖13所示：所以當(dāng)X在B，C之間時(shí)，距離和最小，這個(gè)最小值為AD+BC，即(d-a)+

9、(c-b)例11 若2x+4-5x+1-3x+4的值恒為常數(shù)，求x該滿足的條件及此常數(shù)的值分析與解 要使原式對任何數(shù)x恒為常數(shù)，則去掉絕對值符號，化簡合并時(shí)，必須使含x的項(xiàng)相加為零，即x的系數(shù)之和為零故本題只有2x-5x+3x=0一種情況因此必須有4-5x=4-5x且1-3x=3x-1 故x應(yīng)滿足(mnz)的條件是此時(shí)(c sh)原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+4=7練習(xí)(linx)二1x是什么實(shí)數(shù)時(shí)，下列等式成立：(1)(x-2)+(x-4)=x-2+x-4；(2)(7x+6)(3x-5)=(7x+6)(3x-5)2化簡下列各式： (2)x+5+x-7+x+103若ab0，化簡a+b-1-3-a-b4已知y=x+3+x-2-3x-9，求y的最大值5設(shè)T=x-p+x-15+x-p-15，其中0p15，對于滿足px15的x來說，T的最小值是多少？6已知ab，求x-a+x-b的最小值7不相等的有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)分別為A，B，C，如果a-b+b-c=a-c，那么B點(diǎn)應(yīng)為( )(1)在A，C點(diǎn)的右邊；(2)在A，C點(diǎn)的左邊；(3)在A，C點(diǎn)之間；(4)以上三種情況都有可能內(nèi)容總結(jié)（1）第二講 絕對值絕對值是初中代數(shù)中