江蘇高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)八大難點(diǎn)突破難點(diǎn)8函數(shù)最值恒成立及存在性問題學(xué)案

1、(3)是否存在正整數(shù)a，使得1n3n(2n1)n(an)n對(duì)一切正整數(shù)n都成難點(diǎn)八函數(shù)最值、恒成立及存在性問題(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第75頁)恒成立問題和有解問題、無解問題是聯(lián)系函數(shù)、方程、不等式的紐帶和橋梁，也是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)問題，往往用到的方法是依據(jù)不等式的特點(diǎn)，等價(jià)變形，構(gòu)造函數(shù)，借助圖象觀察，或參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題來處理恒成立fxminaF(x)a：有解fxmaxa無解fxmaxa具體方法為將已知恒成立或存在性的不等式或等式由等價(jià)原理把參數(shù)和變量分離開，轉(zhuǎn)化為一元已知函數(shù)的最值問題處理，關(guān)鍵是搞清楚哪個(gè)是變量哪個(gè)是參數(shù)，一般遵循“知道誰的范圍，誰是變量；求誰的范圍，誰是參數(shù)”的原

2、則參變分離后雖然轉(zhuǎn)化為一個(gè)已知函數(shù)的最值問題，但是有些函數(shù)解析式復(fù)雜，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)無法完成，或者是不易參變分離，故可利用構(gòu)造函數(shù)法【例1】(2017鹽城市濱?？h八灘中學(xué)二模)設(shè)f(x)exa(x1)(1)若a0，f(x)0對(duì)一切xR恒成立，求a的最大值；a(2)設(shè)g(x)f(x)ex，A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)是曲線yg(x)上任意兩點(diǎn)，若對(duì)任意的a1，直線AB的斜率恒大于常數(shù)m，求m的取值范圍；ee1立？若存在，求a的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：56394112】解(1)f(x)exa(x1)，f(x)exa，a0，f(x)exa0的解為xlna.f(x)mi

3、nf(lna)aa(lna1)alna.f(x)0對(duì)一切xR恒成立，alna0，alna0，amax1.(2)f(x)exa(x1)，aag(x)f(x)exexexaxa.a1，直線AB的斜率恒大于常數(shù)m，exxaag(x)exexa2aea2am(a1)，解得m3，iii2nin2n取x，i1,3，2n1，得1e，即e，實(shí)數(shù)m的取值范圍是(，3(3)設(shè)t(x)exx1，則t(x)ex1，令t(x)0得：x0.在x0時(shí)t(x)0，f(x)遞減；在x0時(shí)t(x)0，f(x)遞增t(x)最小值為t(0)0，故exx1，i2n2n2n2累加得2n1e2n3e21n3n2n1ne2n2n2ne.e1

4、1e1en12221e11n3n(2n1)n(2n)n，故存在正整數(shù)a2.使得1n3n(2n1)ne(an)n.解(1)f(x)(x1)lnxaxa，f(x)lnx1a，若f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，則alnx1在(0，)恒成立(a0)，令g(x)lnx1(x0)，g(x)，則m(x)lnx1，ee1e1【例2】(2017江蘇省無錫市高考數(shù)學(xué)一模)已知函數(shù)f(x)(x1)lnxaxa(a為正實(shí)數(shù)，且為常數(shù))(1)若f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；(2)若不等式(x1)f(x)0恒成立，求a的取值范圍1x1x1x1xx2令g(x)0，解得：x1，令g(x)0，解得：0 x1，故g

5、(x)在(0,1)遞減，在(1，)遞增，故g(x)ming(1)2，故0a2；(2)若不等式(x1)f(x)0恒成立，即(x1)(x1)lnxaxa0恒成立，x1時(shí)，只需a(x1)lnx恒成立，令m(x)(x1)lnx(x1)，1x由(1)得：m(x)2，故m(x)在1，)遞增，m(x)m(1)0，則n(x)lnx1，由(1)知n(x)在(0,1)遞減，lnx解(1)yf(x)g(x)，y，x1時(shí)，y0，y，故切線方程是：yx；exx令h(x)g(x)f(x)lnxx(x0)，eh(x)，故a0，而a為正實(shí)數(shù)，故a0不合題意；0 x1時(shí)，只需a(x1)lnx，令n(x)(x1)lnx(0 x1

6、)，1x故n(x)n(1)2，故n(x)在(0,1)遞增，故n(x)n(1)0，故a0，而a為正實(shí)數(shù)，故a0.1【例3】(2017江蘇省淮安市高考數(shù)學(xué)二模)已知函數(shù)f(x)ex，g(x)lnx，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)(1)求函數(shù)yf(x)g(x)在x1處的切線方程；(2)若存在x1，x2(x1x2)，使得g(x1)g(x2)f(x2)f(x1)成立，其中為常數(shù)，求證：e；(3)若對(duì)任意的x(0,1，不等式f(x)g(x)a(x1)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：56394113】1lnxxexex1e11ee(2)證明：由g(x1)g(x2)f(x2)f(x1)，得：g(x1)f(x1)

7、g(x2)f(x2)，xex令(x)exx，則(x)ex，由x0，得ex1，1時(shí)，(x)0，(x)遞增，故h(x)0，h(x)遞增，不成立；1時(shí)，令(x)0，解得：xln，故(x)在(0，ln)遞減，在(ln，)遞增，(x)(ln)ln，即lnxa(x1)0在(0,1恒成立，令F(x)a(x1)，x(0,1，F(xiàn)(1)0，x1F(x)a，F(xiàn)(1)a，lnxex1F(1)0時(shí)，a，F(xiàn)(x)遞減，故a.(2)確定a的所有可能取值，使得f(x)e1x在區(qū)間(1，)內(nèi)恒成立(e2.718解(1)f(x)2ax(x0)令m()ln(1)，則m()ln0，故m()遞減，又m(e)0，若e，則m()0，(x)

8、0，h(x)遞增，不成立，若e，則m()0，函數(shù)h(x)有增有減，滿足題意，故e；(3)若對(duì)任意的x(0,1，不等式f(x)g(x)a(x1)恒成立，exlnxex1lnxexe11xeex而F(1)0，故F(x)0，F(xiàn)(x)遞增，F(xiàn)(x)F(1)0，成立，F(xiàn)(1)0時(shí)，則必存在x0，使得F(x)0，F(xiàn)(x)遞增，F(xiàn)(x)F(1)0不成立，1e【例4】設(shè)函數(shù)f(x)ax2alnx，其中aR.(1)討論f(x)的單調(diào)性；1x為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))12ax21xx當(dāng)a0時(shí)，f(x)0時(shí)，由f(x)0，有x1.2a此時(shí)，當(dāng)x0，2a1時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增2a11(2)令g(x)xex1，s(x)ex1x，當(dāng)a時(shí)，令h(x)f(x)g(x)(x1)1x當(dāng)x1時(shí)，h(x)2ax2ex2綜上，a，.2a2axxxxxxx1則s(x)ex11.而當(dāng)x1時(shí)，s(x)0，所以s(x)在區(qū)間(1，)內(nèi)單調(diào)遞增又由s(1)0，有s(x)0，從而當(dāng)x1時(shí)，g(x)0.當(dāng)a0，x1時(shí)，f(x)a(x21)lnxg(x)在區(qū)間(1，)內(nèi)恒成立時(shí)，必有a0.11當(dāng)0a1.22a11由(1)有f0，所以此時(shí)f(x)g(x)在區(qū)間(1，)內(nèi)不恒成立1211111x32x1x22x10.22因