福建省龍巖市龍巖2022年高三最后一模數(shù)學(xué)試題含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1某單位去年的開支分布的折線圖如圖1所示，在這一年中的水、電、交通開支（單位：萬元）如圖2所示，則該單位去年的水費(fèi)開支占總開支的百分比為（ ）ABCD2已知點(diǎn)是拋物線的對稱軸

2、與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上且滿足，若取得最大值時，點(diǎn)恰好在以為焦點(diǎn)的橢圓上，則橢圓的離心率為（ ）ABCD3 “”是“，”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分又不必要條件4的展開式中的系數(shù)為（ ）ABCD5命題：存在實(shí)數(shù)，對任意實(shí)數(shù)，使得恒成立；：，為奇函數(shù)，則下列命題是真命題的是（ ）ABCD6雙曲線的漸近線方程為（ ）ABCD7曲線在點(diǎn)處的切線方程為（ ）ABCD8已知函數(shù)，若成立，則的最小值是（ ）ABCD9已知向量，且，則等于（ ）A4B3C2D110已知數(shù)列滿足,(),則數(shù)列的通項(xiàng)公式( )ABCD11已知函數(shù)，若時，恒成立，則實(shí)數(shù)的值為（

3、）ABCD12設(shè)是等差數(shù)列，且公差不為零，其前項(xiàng)和為則“，”是“為遞增數(shù)列”的（ ）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13設(shè)為銳角，若，則的值為_14如圖，某地一天從時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)，則這段曲線的函數(shù)解析式為_15若曲線（其中常數(shù)）在點(diǎn)處的切線的斜率為1，則_.16某四棱錐的三視圖如圖所示，那么此四棱錐的體積為_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知函數(shù)（1）若，試討論的單調(diào)性；（2）若，實(shí)數(shù)為方程的兩不等實(shí)根，求證：.18（12分）如圖，在四棱錐中，是

4、等邊三角形，.（1）若，求證：平面；（2）若，求二面角的正弦值19（12分）已知，均為給定的大于1的自然數(shù)，設(shè)集合，（）當(dāng)，時，用列舉法表示集合；（）當(dāng)時，且集合滿足下列條件：對任意，；證明：（）若，則（集合為集合在集合中的補(bǔ)集）；（）為一個定值（不必求出此定值）；（）設(shè)，其中，若，則20（12分）已知是圓：的直徑，動圓過，兩點(diǎn)，且與直線相切.（1）若直線的方程為，求的方程；（2）在軸上是否存在一個定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恰好與軸相切？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.21（12分）在以為頂點(diǎn)的五面體中，底面為菱形，二面角為直二面角.（）證明：；（）求二面角的余弦值.22（10分）已知

5、，分別為內(nèi)角，的對邊，若同時滿足下列四個條件中的三個：；.（1）滿足有解三角形的序號組合有哪些？（2）在（1）所有組合中任選一組，并求對應(yīng)的面積.（若所選條件出現(xiàn)多種可能，則按計(jì)算的第一種可能計(jì)分）參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1A【解析】由折線圖找出水、電、交通開支占總開支的比例，再計(jì)算出水費(fèi)開支占水、電、交通開支的比例，相乘即可求出水費(fèi)開支占總開支的百分比.【詳解】水費(fèi)開支占總開支的百分比為.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查折線圖與柱形圖，屬于基礎(chǔ)題.2B【解析】設(shè)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式的性

6、質(zhì)求出的最大值時的點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合橢圓的定義以及橢圓的離心率公式求解即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)槭菕佄锞€的對稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，所以，則，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時，點(diǎn)在以為焦點(diǎn)的橢圓上，由橢圓的定義得，所以橢圓的離心率，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的定義及離心率，屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種情況：直接求出，從而求出;構(gòu)造的齊次式，求出;采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解3B【解析】先求出滿足的值，然后根據(jù)充分必要條件的定義判斷【詳解】由得，即， ，因此“”是“，”的必要不充分條件故選：B【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件

7、，掌握充分必要條件的定義是解題基礎(chǔ)解題時可根據(jù)條件與結(jié)論中參數(shù)的取值范圍進(jìn)行判斷4C【解析】由題意，根據(jù)二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)公式，得展開式的通項(xiàng)為，則展開式的通項(xiàng)為，由，得，所以所求的系數(shù)為.故選C.點(diǎn)睛：此題主要考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，以及組合數(shù)、整數(shù)冪的運(yùn)算等有關(guān)方面的知識與技能，屬于中低檔題，也是常考知識點(diǎn).在二項(xiàng)式定理的應(yīng)用中，注意區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)，先求出通項(xiàng)公式，再根據(jù)所求問題，通過確定未知的次數(shù)，求出，將的值代入通項(xiàng)公式進(jìn)行計(jì)算，從而問題可得解.5A【解析】分別判斷命題和的真假性，然后根據(jù)含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假性判斷出正確選項(xiàng).【詳解】對于命題，由于，所以命題為真命

8、題.對于命題，由于，由解得，且，所以是奇函數(shù)，故為真命題.所以為真命題. 、都是假命題.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查誘導(dǎo)公式，考查函數(shù)的奇偶性，考查含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.6C【解析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可寫出漸近線方程.【詳解】 雙曲線,雙曲線的漸近線方程為，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于容易題.7A【解析】將點(diǎn)代入解析式確定參數(shù)值，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線斜率，即可由點(diǎn)斜式求的切線方程.【詳解】曲線，即，當(dāng)時，代入可得，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，求得導(dǎo)函數(shù)可得，由導(dǎo)數(shù)幾何意義可知，由點(diǎn)斜式可得切線方程為，即，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何

9、意義，在曲線上一點(diǎn)的切線方程求法，屬于基礎(chǔ)題.8A【解析】分析：設(shè)，則，把用表示，然后令，由導(dǎo)數(shù)求得的最小值詳解：設(shè)，則，令，則，是上的增函數(shù)，又，當(dāng)時，當(dāng)時，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，是極小值也是最小值，的最小值是故選A點(diǎn)睛：本題易錯選B，利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，解題時學(xué)生可能不會將其中求的最小值問題，通過構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題，另外通過二次求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間也很容易出錯9D【解析】由已知結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解【詳解】因?yàn)?，且，則故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量垂直的坐標(biāo)表示，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題10A【解析】利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，

10、通過累加法求解即可【詳解】數(shù)列滿足：，可得以上各式相加可得：，故選：【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列累加法以及通項(xiàng)公式的求法，考查計(jì)算能力11D【解析】通過分析函數(shù)與的圖象，得到兩函數(shù)必須有相同的零點(diǎn)，解方程組即得解.【詳解】如圖所示，函數(shù)與的圖象，因?yàn)闀r，恒成立，于是兩函數(shù)必須有相同的零點(diǎn)，所以，解得故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象的綜合應(yīng)用和函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查不等式的恒成立問題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.12A【解析】根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可【詳解】是等差數(shù)列，且公差不為零，其前項(xiàng)和為，充分性：，則對任意的恒成立，則，

11、若，則數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，則必存在，使得當(dāng)時，則，不合乎題意；若，由且數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則對任意的，合乎題意.所以，“，”“為遞增數(shù)列”；必要性：設(shè)，當(dāng)時，此時，但數(shù)列是遞增數(shù)列.所以，“，”“為遞增數(shù)列”.因此，“，”是“為遞增數(shù)列”的充分而不必要條件.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式是解決本題的關(guān)鍵，屬于中等題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】為銳角，故.14，【解析】根據(jù)圖象得出該函數(shù)的最大值和最小值，可得，結(jié)合圖象求得該函數(shù)的最小正周期，可得出，再將點(diǎn)代入函數(shù)解析式，求出的值，即可求得該函數(shù)的解析式.【詳解】由

12、圖象可知，從題圖中可以看出，從時是函數(shù)的半個周期，則，.又，得，取，所以，故答案為：，【點(diǎn)睛】本題考查由圖象求函數(shù)解析式，考查計(jì)算能力，屬于中等題.15【解析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，由解方程即可.【詳解】由已知，所以，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.16【解析】利用三視圖判斷幾何體的形狀，然后通過三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的體積.【詳解】如圖：此四棱錐的高為，底面是長為，寬為2的矩形，所以體積.所以本題答案為.【點(diǎn)睛】本題考查幾何體與三視圖的對應(yīng)關(guān)系，幾何體體積的求法，考查空間想象能力與計(jì)算能力.解決本類題目的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解幾何體的定義，真正把

13、握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，可以根據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在幾何模型中進(jìn)行判斷.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）答案不唯一，具體見解析（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)題意得，分與討論即可得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，得，參變分離得，分析不等式，即轉(zhuǎn)化為，設(shè)，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得單調(diào)性，進(jìn)而得證.【詳解】（1）依題意，當(dāng)時，當(dāng)時，恒成立，此時在定義域上單調(diào)遞增；當(dāng)時，若，；若，；故此時的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）方法1：由得令，則，依題意有，即，要證，只需證（不妨設(shè)），即證，令，設(shè)，則，在單調(diào)遞減，即，從而有.方法2：由得令，則，當(dāng)時，時，

14、故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，不妨設(shè)，則，要證，只需證，易知，故只需證，即證令，（），則=，（也可代入后再求導(dǎo)）在上單調(diào)遞減，故對于時，總有.由此得【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.18（1）詳見解析（2）【解析】（1）如圖，作，交于，連接.因?yàn)椋允堑娜确贮c(diǎn)，可得.因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以?因?yàn)椋?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?又，平面，平面，所以平面.因?yàn)?，、平面，所以平面平面，所以平?（2）因?yàn)槭堑冗吶切?，所?又因?yàn)?，所以，所?又，平面，所以平面.因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?在平面內(nèi)作平面.以B點(diǎn)

15、為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，.設(shè)為平面的法向量，則，即，令，可得.設(shè)為平面的法向量，則，即，令，可得.所以，則，所以二面角的正弦值為.19（）；（）（）詳見解析（）詳見解析.（）詳見解析.【解析】（）當(dāng)，時，即可得出（）（i）當(dāng)時，2，3，又，必然有，否則得出矛盾（ii）由可得又，即可得出為定值（iii）由設(shè)，其中，2，可得，通過求和即可證明結(jié)論【詳解】（）解：當(dāng)，時，（）證明：（i）當(dāng)時，2，3，又，必然有，否則，而，與已知對任意，矛盾因此有（ii），為定值（iii）由設(shè)，其中，2，【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求和公式，考查了推

16、理能力與計(jì)算能力，屬于難題20（1）或. （2）存在，；【解析】（1）根據(jù)動圓過，兩點(diǎn)，可得圓心在的垂直平分線上，由直線的方程為，可知在直線上；設(shè)，由動圓與直線相切可得動圓的半徑為；又由，及垂徑定理即可確定的值，進(jìn)而確定圓的方程.（2）方法一：設(shè)，可得圓的半徑為，根據(jù)，可得方程為并化簡可得的軌跡方程為.設(shè)，可得的中點(diǎn)，進(jìn)而由兩點(diǎn)間距離公式表示出半徑，表示出到軸的距離，代入化簡即可求得的值，進(jìn)而確定所過定點(diǎn)的坐標(biāo)；方法二：同上可得的軌跡方程為，由拋物線定義可求得，表示出線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)到軸的距離可得等量關(guān)系，進(jìn)而確定所過定點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）因?yàn)檫^點(diǎn)，所以圓心在的垂直平分線上.由已知的

17、方程為，且，關(guān)于于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，所以在直線上，故可設(shè).因?yàn)榕c直線相切，所以的半徑為.由已知得，又，故可得，解得或.故的半徑或，所以的方程為或.（2）法一：設(shè)，由已知得的半徑為，.由于，故可得，化簡得的軌跡方程為.設(shè)，則得，的中點(diǎn)，則以為直徑的圓的半徑為：，到軸的距離為，令，化簡得，即，故當(dāng)時，式恒成立.所以存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓與軸相切.法二：設(shè)，由已知得的半徑為，.由于，故可得，化簡得的軌跡方程為.設(shè)，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)在拋物線上，所以，線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則到軸的距離為，而，故以為徑的圓與軸切，所以當(dāng)點(diǎn)與重合時，符合題意，所以存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓與軸相切.【點(diǎn)睛】本題考查

18、了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求法，動點(diǎn)軌跡方程的求法，拋物線定義及定點(diǎn)問題的解法綜合應(yīng)用，屬于難題.21（）見解析（）【解析】（）連接交于點(diǎn)，取中點(diǎn)，連結(jié)，證明平面得到答案.（）分別以為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，平面的法向量為，平面的法向量為，計(jì)算夾角得到答案.【詳解】（）連接交于點(diǎn)，取中點(diǎn)，連結(jié)因?yàn)闉榱庑危?因?yàn)?，所? 因?yàn)槎娼菫橹倍娼牵云矫嫫矫?，且平面平面，所以平面所?因?yàn)樗允瞧叫兴倪呅?，所? 所以，所以，所以平面，又平面，所以. （）由（）可知兩兩垂直，分別以為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系. 設(shè) 設(shè)平面的法向量為，由，取.平面的法向量為 . 所以二面角余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了線線垂直，二面角，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.22（1），或，；（2）.【解析】（1）由可求得的值，由可求出角的值，結(jié)合