福建省泉州市泉港區(qū)2022年高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1 答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用05毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1若，點(diǎn)C在AB上，且，設(shè)，則的值為（ ）ABCD2已知集合，將集合的所有元素從小到大一次排列構(gòu)

2、成一個(gè)新數(shù)列，則（ ）A1194B1695C311D10953若樣本的平均數(shù)是10，方差為2，則對(duì)于樣本，下列結(jié)論正確的是（ ）A平均數(shù)為20，方差為4B平均數(shù)為11，方差為4C平均數(shù)為21，方差為8D平均數(shù)為20，方差為84已知等邊ABC內(nèi)接于圓：x2+ y2=1，且P是圓上一點(diǎn)，則的最大值是（ ）AB1CD25設(shè)，則（ ）ABCD6已知拋物線的焦點(diǎn)為，對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)為，為上任意一點(diǎn)，若，則（ ）A30B45C60D757已知，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有最值，給出下列四個(gè)結(jié)論：在上單調(diào)遞增；在上沒有零點(diǎn)；在上只有一個(gè)零點(diǎn).其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（ ）ABCD8過橢圓的左焦點(diǎn)的直線過的上頂點(diǎn)，且與

3、橢圓相交于另一點(diǎn)，點(diǎn)在軸上的射影為，若，是坐標(biāo)原點(diǎn)，則橢圓的離心率為（ ）ABCD9設(shè)分別為的三邊的中點(diǎn)，則（ ）ABCD10已知向量與的夾角為，則( )AB0C0或D11若函數(shù)的定義域?yàn)镸x|2x2，值域?yàn)镹y|0y2,則函數(shù)的圖像可能是（ ）ABCD12已知雙曲線滿足以下條件：雙曲線E的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)F重合；雙曲線E與過點(diǎn)的冪函數(shù)的圖象交于點(diǎn)Q，且該冪函數(shù)在點(diǎn)Q處的切線過點(diǎn)F關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)則雙曲線的離心率是（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知三棱錐中，且二面角的大小為，則三棱錐外接球的表面積為_.14設(shè)第一象限內(nèi)的點(diǎn)(x，y)滿足約束條件,若目標(biāo)函

4、數(shù)zaxby(a0，b0)的最大值為40，則的最小值為_.15在平面直角坐標(biāo)系中，若雙曲線經(jīng)過點(diǎn)（3,4），則該雙曲線的準(zhǔn)線方程為_16正四面體的一個(gè)頂點(diǎn)是圓柱上底面的圓心，另外三個(gè)頂點(diǎn)圓柱下底面的圓周上，記正四面體的體積為，圓柱的體積為，則的值是_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，.（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.18（12分）已知函數(shù)，（）當(dāng)時(shí)，證明；（）已知點(diǎn)，點(diǎn)，設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，試判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)19（12分）的內(nèi)角、所對(duì)的邊長分別為、，已知.（1）求的值；（2）若，點(diǎn)是線段的

5、中點(diǎn)，求的面積.20（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，且過點(diǎn).求橢圓的方程；已知是橢圓的內(nèi)接三角形，若點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，原點(diǎn)為的垂心，求線段的長；若原點(diǎn)為的重心，求原點(diǎn)到直線距離的最小值.21（12分）如圖所示，已知平面，為等邊三角形，為邊上的中點(diǎn)，且.()求證：面；()求證：平面平面；()求該幾何體的體積22（10分）將棱長為的正方體截去三棱錐后得到如圖所示幾何體，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1B【解析】利用向量的數(shù)量積運(yùn)算即可算出【詳解】解

6、：，又在上，故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的基本運(yùn)算的應(yīng)用，向量的基本定理的應(yīng)用及向量共線定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用2D【解析】確定中前35項(xiàng)里兩個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)，數(shù)列中第35項(xiàng)為70，這時(shí)可通過比較確定中有多少項(xiàng)可以插入這35項(xiàng)里面即可得，然后可求和【詳解】時(shí)，所以數(shù)列的前35項(xiàng)和中，有三項(xiàng)3，9，27，有32項(xiàng)，所以故選：D【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列分組求和，掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列前項(xiàng)和公式是解題基礎(chǔ)解題關(guān)鍵是確定數(shù)列的前35項(xiàng)中有多少項(xiàng)是中的，又有多少項(xiàng)是中的3D【解析】由兩組數(shù)據(jù)間的關(guān)系,可判斷二者平均數(shù)的關(guān)系,方差的關(guān)系,進(jìn)而可得到答案.【詳解】樣本的平均數(shù)是10，方差為2，所以樣本的平均數(shù)為,

7、方差為.故選:D.【點(diǎn)睛】樣本的平均數(shù)是，方差為，則的平均數(shù)為,方差為.4D【解析】如圖所示建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示建立直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則.當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的計(jì)算，建立直角坐標(biāo)系利用坐標(biāo)計(jì)算是解題的關(guān)鍵.5C【解析】試題分析：，故C正確考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)求值6C【解析】如圖所示：作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于，則，故，得到答案.【詳解】如圖所示：作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于，則，在中，故，即.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線中角度的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.7A【解析】先根據(jù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有最值求出或.再根據(jù)已知求出，判斷函數(shù)的單調(diào)性和

8、零點(diǎn)情況得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)沒有最值.所以，或解得或.又，所以.令.可得.且在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，且，所以在上只有一個(gè)零點(diǎn).所以正確結(jié)論的編號(hào) 故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.8D【解析】求得點(diǎn)的坐標(biāo)，由，得出，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓的方程，可得出關(guān)于、的齊次等式，進(jìn)而可求得橢圓的離心率.【詳解】由題意可得、.由，得，則，即.而，所以，所以點(diǎn).因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，則，整理可得，所以，所以.即橢圓的離心率為故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率的求解，解答的關(guān)鍵就是要得出、的齊次等式，充分利用點(diǎn)在橢

9、圓上這一條件，圍繞求點(diǎn)的坐標(biāo)來求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題.9B【解析】根據(jù)題意,畫出幾何圖形,根據(jù)向量加法的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】根據(jù)題意,可得幾何關(guān)系如下圖所示:,故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了向量加法的線性運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.10B【解析】由數(shù)量積的定義表示出向量與的夾角為，再由，代入表達(dá)式中即可求出.【詳解】由向量與的夾角為，得，所以，又，所以，解得.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查向量數(shù)量積的運(yùn)算和向量的模長平方等于向量的平方，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.11B【解析】因?yàn)閷?duì)A不符合定義域當(dāng)中的每一個(gè)元素都有象，即可排除；對(duì)B滿足函數(shù)定義，故符合；對(duì)C出現(xiàn)了定義域當(dāng)中的一個(gè)元素對(duì)應(yīng)值

10、域當(dāng)中的兩個(gè)元素的情況，不符合函數(shù)的定義，從而可以否定；對(duì)D因?yàn)橹涤虍?dāng)中有的元素沒有原象，故可否定故選B12B【解析】由已知可求出焦點(diǎn)坐標(biāo)為,可求得冪函數(shù)為,設(shè)出切點(diǎn)通過導(dǎo)數(shù)求出切線方程的斜率,利用斜率相等列出方程,即可求出切點(diǎn)坐標(biāo),然后求解雙曲線的離心率【詳解】依題意可得，拋物線的焦點(diǎn)為，F(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)；，所以，設(shè)，則，解得， ，可得，又，可解得，故雙曲線的離心率是.故選B【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì),已知拋物線方程求焦點(diǎn)坐標(biāo),求冪函數(shù)解析式,直線的斜率公式及導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力,難度一般.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】設(shè)的中心

11、為T，AB的中點(diǎn)為N，AC中點(diǎn)為M，分別過M，T做平面ABC，平面PAB的垂線，則垂線的交點(diǎn)為球心O，將的長度求出或用球半徑表示，再利用余弦定理即可建立方程解得半徑.【詳解】設(shè)的中心為T，AB的中點(diǎn)為N，AC中點(diǎn)為M，分別過M，T做平面ABC，平面PAB的垂線，則垂線的交點(diǎn)為球心O，如圖所示因?yàn)椋?，又二面角的大小為，則，所以，設(shè)外接球半徑為R，則，在中，由余弦定理，得，即，解得，故三棱錐外接球的表面積.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球的表面積問題，解決此類問題一定要數(shù)形結(jié)合，建立關(guān)于球的半徑的方程，本題計(jì)算量較大，是一道難題.14【解析】不等式表示的平面區(qū)域陰影部分，當(dāng)直線ax+b

12、y=z(a0,b0)過直線xy+2=0與直線2xy6=0的交點(diǎn)(8,10)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a0,b0)取得最大40，即8a+10b=40，即4a+5b=20，而當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則的最小值為.15【解析】代入求解得,再求準(zhǔn)線方程即可.【詳解】解：雙曲線經(jīng)過點(diǎn),解得,即又,故該雙曲線的準(zhǔn)線方程為： 故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的準(zhǔn)線方程求解,屬于基礎(chǔ)題.16【解析】設(shè)正四面體的棱長為，求出底面外接圓的半徑與高，代入體積公式求解【詳解】解：設(shè)正四面體的棱長為，則底面積為，底面外接圓的半徑為，高為正四面體的體積，圓柱的體積則故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查多面體與旋轉(zhuǎn)體體積的求法

13、，考查計(jì)算能力，屬于中檔題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）；（2）【解析】(1)設(shè)數(shù)列的公差為d,由可得,由即可解得,故,由,即可解得,進(jìn)而求得.(2) 由（1）得，,利用分組求和及錯(cuò)位相減法即可求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，數(shù)列的公比為q，由可得，整理得，即，故，由可得，則，即，故.（2）由（1）得，故，所以，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，設(shè)，則，得，綜上，數(shù)列的前n項(xiàng)和為.【點(diǎn)睛】本題考查求等差等比的通項(xiàng)公式,考試分組求和及錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和,考查學(xué)生的計(jì)算能力,難度一般.18（）詳見解析；（）1.【解析】（）令，；則易得，即可證明；（），分， ，

14、 當(dāng)時(shí)，討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可【詳解】解：（ ）令，；則令，易得在遞減，在遞增， ，在恒成立 在遞減，在遞增 ；（ ） 點(diǎn)，點(diǎn)， ， 當(dāng)時(shí)，可知， ， 在單調(diào)遞增， 在上有一個(gè)零點(diǎn)， 當(dāng)時(shí)， ，在恒成立， 在無零點(diǎn) 當(dāng)時(shí)， 在單調(diào)遞減， 在存在一個(gè)零點(diǎn)綜上，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題，考查了分類討論思想，屬于壓軸題19（1）（2）【解析】（1）利用正弦定理的邊化角公式，結(jié)合兩角和的正弦公式，即可得出的值；（2）由題意得出，兩邊平方，化簡得出，根據(jù)三角形面積公式，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）由正弦定理得即即在中，所以 （2）因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以兩邊平方得由得整理得，

15、解得或（舍）所以的面積【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理的邊化角公式，三角形的面積公式，屬于中檔題.20；.【解析】根據(jù)題意列出方程組求解即可；由原點(diǎn)為的垂心可得，軸，設(shè)，則，根據(jù)求出線段的長；設(shè)中點(diǎn)為，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，為的重心，則，設(shè)：，則，當(dāng)斜率不存在時(shí)，則到直線的距離為1，由，則，得出，根據(jù)求解即可.【詳解】解：設(shè)焦距為，由題意知：，因此，橢圓的方程為：；由題意知：，故軸，設(shè)，則， ，解得：或，不重合，故，故；設(shè)中點(diǎn)為，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，為的重心，則，當(dāng)斜率不存在時(shí)，則到直線的距離為1；設(shè)：，則，則，則：，代入式子得：，設(shè)到直線的距離為，則時(shí)，；綜上，原點(diǎn)到直線距離的最小值為.【點(diǎn)

16、睛】本題考查橢圓的方程的知識(shí)點(diǎn)，結(jié)合運(yùn)用向量，韋達(dá)定理和點(diǎn)到直線的距離的知識(shí)，屬于難題.21（）見解析； （）見解析； （）.【解析】（I）取的中點(diǎn)，連接，通過證明四邊形為平行四邊形，證得，由此證得平面.（II）利用，證得平面，從而得到平面，由此證得平面平面.（III）作交于點(diǎn)，易得面，利用棱錐的體積公式，計(jì)算出棱錐的體積.【詳解】()取的中點(diǎn)，連接，則，故四邊形為平行四邊形.故.又面，平面，所以面.()為等邊三角形，為中點(diǎn)，所以.又，所以面.又，故面，所以面平面.()幾何體是四棱錐，作交于點(diǎn)，即面，.【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面平行的證明，考查面面垂直的證明，考查四棱錐體積的求法，考查空間想象能力，所以中檔題.22（1）見解析；（2）.【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接、，連接，證明出四邊形為平行四邊形，可得出，然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系