三角恒等變換解析版

1、考點27 三角恒等變換（1）在考點詳解1 1st【命題解讀】能從兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.能運用上述公式進行簡單的恒等變換【基礎(chǔ)知識回顧】知識梳理.兩角和與差的余弦、正弦、正切公式sin（ a # Sin a cos B cos a sin B , 簡記作 S（士 b）；cos（ a 書 Cosa cos 3 ?sin a sin 3 , 簡記作 C（“士 B）;tan a tantan（ 士# 1?tan a tan 3 , 簡記作 T（“ 士 b）.二倍角公式sin2 2 = 2sin a cos a;2tan

2、歸tan2 i = 1 tan2 a ；cos2 a = cos2 a sin2 a = 2cos2 a 1 = 1 2sin2 a .輔助角公式aby= asinx + bcosx = Va2 + b2sin（x+ 3 ）其中（）為輔助角，且其中 cos（j）=不年靛，sin j =不2+取,tan b= a.公式的逆用及有關(guān)變形tan a tan 3 = tan（ a 6?tan a tan 6 ）;.sin a cos a = V2sin（ 4 4）；1sin c , cos a = 2sin2 a;21 + sin2 a = （sin a + cos a ）;1 - sin2 a =

3、（sin a cos a ）2;1 cos2 a TOC o 1-5 h z sin2 a =2；+ cos2 a HYPERLINK l bookmark103 o Current Document =cos a =2，1 cos2 atan2 a = 1 + cos2 a （降塞公式）；1 cos2 a = 2sin2a ; 1 + cos2 a = 2cos2 a （升哥公式）.在熱身訓(xùn)練43jt工1、知 cos a= 5, aC 兀，2 ,則 sin a+ 4 等于（） TOC o 1-5 h z 227.2A. 10B. 10C. - 10【答案】 C【解析】 -& 2,且 cos

4、a= 5， sin 3 5,3 通 4y2謔sin a+ 4 = 5X 2 + -5 X 2 = 10.2、已知 tan a+ 4 =2,則 tan a=() HYPERLINK l bookmark156 o Current Document 114A.3B.-3C.3【答案】A_k 1 + tan a1【解析】tan a+ 4 = 1_tan a = 2, 解得 tan a= 3.1_7tf(x)的最小正周期T=2f(x)是偶函數(shù)1c. f(x)的最大值為4D. f(x)的最小正周期丁=兀7,2 D.而4 d.-33、(多選)已知f(x)=2(1 + cos 2x)sin2x(xC R),

5、則下面結(jié)論正確的是【答案】ABC1【解析】因為f(x)= 4(1 + cos2x)(1 cos 2x) = 4(1 cos22x) = 4sin22x= 8(1cos 4x), / f(x)= f(x), /. T2兀 工11= 4= 2，f(x)的最大值為8* 2 = 4.故D錯.4、(多選)下列式子的運算結(jié)果為 43的是()tan 25 平 tan 35 平 V3tan 25 tan 35 2(sin 35 cos-2feos 35 cos 65 )+ tan 15 C.1 tan 15 %tan6D. 衛(wèi) tan26【答案】ABC【解析】對于 A,tan 25 + tan 35 +/3t

6、an 25 tan 35tan(25。+ 35 )(Jtan 25 tan 35+)3tan 25 tan 35 v3-T3tan 25 tan 35 3tan 25 tan 35=乖；對于 B, 2(sin 35 cos 25 cos 35 cos 65= 2(sin 35 cos 25 cos_1 + tan 15 tan 45 舉 tan 15 35 sin 25 = 2sin 60 =X3；對于 C, 1 tan 15 =1 tan 45tan 15tan 60 =V3； TOC o 1-5 h z 兀兀tar)612tar)61 兀 3對于 D，%= 2X %= 2 x tan3=

7、2z- HYPERLINK l bookmark161 o Current Document 221 tan 61 tan 6綜上，式子的運算結(jié)果為 、豆的是A、B、C.?35、【2020江蘇南京三校聯(lián)考】已知 sin(?+ 4) = 5,則sin2?=【解析】: sin（?+?j=I，. . sin2x=- cos（2x+?）=2sin2（x+?）-1=18-1=-鼻,故答案為：-7-.4524252525兀35 兀sin2a+ sin 2 a6、（ 一題兩空）已知 0 VoeV 2，且 sin a= 5 ,則 tan a+ 4=, cos2a+ cos 2 a=133【答案】：7 2353

8、 4sin a 3【解析】因為 0v a 2,且 sin a= 5,所以 cos a= 1 sin2 a= 3，所以 tan a= cos a = 4，5_k工 tan a+1則 tan “+ 4 = tan “+ 4 =1 _ tan 7.9 6sin2 a+ sin 2 s sin2 a+ 2sin ocos a tan2a+ 2tan a 16 + 4 33cos2 a+ cos 2 a= 2cos2 a sin2 a =2 tan2 a =_9_= 23.163c典”剖析考向一利用兩角和（差）公式運用式出1例 1、已知 0 V 萬 a Tt ,且 cos a- 2 = - 9，a. 2

9、sin 2 3 = 3，求 cos（升 3 ）式工/ 工工 于【解析】0V 3V 2 V n， 4 2一 M 2， 4 V a 2V n，aa5cos 2- 3 = ： 1-sin2 2 - 3 = 3 ,J2J 端sin a 2 = 1 cos2 a 2 = 9 ,a+ 3J3 _a- cos 2 = cos a 223 =J3 _aJ3 _acos a 2 cos 2- 3 + sin a 2 sin 2- 3 =15 4 5 2 7 59 X 3 + 9 X 3= 27，cos（時 4a+ 349 X 52392cos2 2 T = 2X 729 1 = 729.變式1、(2020江蘇梁

10、陽上學(xué)期期中考試)如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xoy中，以0X軸為始邊做兩個銳角,它們的終邊分別與單位圓相交于A, B兩點，已知A, B的橫坐標(biāo)分別為叵，費，則sin( 105【解析】由三角函數(shù)的定義得:cos所以sin()sin coscossin變式2、【2020屆江蘇省啟東市高三下學(xué)期期初考】,cos遮,所以sin3 .而,sin2.551053、.記-102.5巨.故答案為10510522已知是f象臨角，且sin,tain510102,則tan是第二象PM角，且sin ,可得cos2x55由tan2,tan tan可得1 tan tan2,代入tan可得tan故答案為:4變式 3、在 AB

11、C 中，若 tan Atan B = tan A+tan B + 1,則 cos C =(1)由 tan Atan B = tan A+ tan B + 1,tan A+ tan B可得 1 tan Atan B= 【答案】(1)4 (2)-1，即 tan(A+B) = 1,又因為 A+ B C (0 ,兀)3 it兀J2所以 A+B=4，則 C=4，cos C = 2 .方法總結(jié)：考查兩角和差的三角函數(shù).公式的結(jié)構(gòu)特征要記牢，在求值、化簡時，注意觀察角度、函數(shù)名、所求角與已知角之間的差異 ，再選擇適當(dāng)?shù)娜枪胶愕茸冃?求角問題的關(guān)鍵在于選擇恰當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)選擇的標(biāo)準(zhǔn)是，在角的范圍內(nèi)根據(jù)函數(shù)值

12、，角有唯一解.本題考查邏輯思維能力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想.考向二二倍角公式的運用例 2、(1)已知 cos( x)=5，貝U sin2x=.4一，3 冗冗1.一(2)已知 sin(x )cos(x -) 一，則 cos4x 的值為.444717【答案】:(1) -25 (2) -32JTJTJT【解析】：(1)因為 sin2x= cos 萬一2x = cos2 % x = 2cossin 10 sin 10 cos 10【斛析】1 #3tan 10 =cos 10 3sin 10 %x 1,所以 sin2x= 2X5 -1 = 25-1 = -25,(2)由已知得sin x兀 1cos x_ 4

13、 = 一 4,至 1cos2 x-4 =4.1 sin2x= cos 2 2x = 2cos2 4 x 1 = 2.1 1 cos4x= 1 2sin22x= 1-2=2-變式 1、(1)1_*tan 10 =.1sin235 - 2(2)化簡 cos 10 cos 802sin 10 cos 10 sin 20 1短10梟10 =411 cos 70 11sin235。 22 2 2cos 70 (2)cos 10 cos 80 c Os 10 sin 1R 1 =一1.2sin 20 工jt1_n：%變式 2、已知 cos 6+a cos 3-a = - 4，a 3，2.(1)求sin 2

14、 a的值；1 (2)求tan a而7的值.【解析】(1)cos 6+ a cos 3 a = cos g+ s sin 6 + a = 2sin 2a+ 3 = 4,51即 sin 2 a+ 3 = - 2.3, 2 ,2 葉 A . 4f ,多33.cos 2 a+ 3 = - 2 ，_5 jtsin 2 a= sin 2a+ 3 3jt jt工 工=sin 2 a+ 3 cos3 cos 2 a+ 3 sin31133 1=-2*2 2 X 2 =2.(2) : 氐 3，2 , 1 2 a 萬，兀，13又由(1)知 sin 2 a= 2， cos 2a= 2 .1 sin a cos a

15、tan tan a= cos 廠 sin a3 sin2 a cos2 a 2cos 2 n 2 = sin acos a = sin 2a =-2X 1 =2*.2方法總結(jié)：本題考查二倍角公式的簡單應(yīng)用.三角函數(shù)式的化簡要注意以下3點：看角之間的差別與聯(lián)系，把角進行合理的拆分，正確使用公式；看函數(shù)名稱之間的差異，確定使用的公式，常見的有“切化弦”；看結(jié)構(gòu)特征，找到變形的方向，常見的有“遇到分式要通分” “遇到根式一般要升哥”等.本題 考查運算求解能力，邏輯思維能力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想.考向三公式的綜合運用_0 J（1 + sin 0+ cos 0） sin co.例=22、2 2 cos 5

16、 2 sin 5 4cos 50 _=，5cos 50 = 2m.、化簡：及2+2COS。（0長兀）0兀0【解析】：由。（0,兀）得020., / j J因此2 + 2cos 9= V 4cos22= 2cos2.J _0_0_00 J _0又（1 + sin 0+ cos 0） sin2 cos，= 2sin2cos2 + 2cos22 sin2 cos2_0=2cos2 sin22 cos22 = 2cos2cos 0._02cos2cos0故原式=0= cos 0.2cos244兀變式1、設(shè)a是銳角，且cos（計6）= 5,則sin（2時12）的值為.17 2【答案】50【解析】 : ”

17、是銳角，1- 6 a+ 6 V 3，; cos（時 6 ）= 5，sin（時 6 ） = 5$in2（時 6 ）=2sin（計 6 ）cos（計 6 ） = 25, cos2（計 6）=1 2sin2（計 6 ） = 25, sin（2 a+ 12）= 汽汽汽汽sin 2 （ a+ 6）-4 =sin2（計 6 ）cos 4 一2 工 24 血工退 17亞cos2（時 6 ）sin 4 =25x 2 -25x 2 = 50 .2cos 10 : 2v3cos 100變式2、計算1 ；訪10 0=.【答案】2 22cos 10 二 2，3cos 100 2cos 10 4 2捷sin 10 【解

18、析】；1 sin 10 =$ sin 10 4 2cos 10 + sin 10 4cos 50 =，12sin 5 cos 5 = cos 5 : sin 5 4cos 50 兀變式3、已知sin a+ 4二=10，求：（1）cos a的值;(2)sin 2 a 4 的值.【解析】（1）由sin兀a+ 42=10，71712得 sin ocos+ cos osin= 10,1化簡得sin a+ cos a= 5,又 sin2cos2 a= 1 ,且工2，兀3由解得cos a= 5.兀324-5 =25,(2) : 氏 2，兀，cos a=cos 2 a= 1 2sin2 a= 25, sin

19、 2 a= 2sin acos a= 2 x 5 x_K_K_k 2sin 2 a 4 = sin 2 acos4 cos 2sin4= 224717 2X 25 + 25 = 50 .方法總結(jié)：（1）三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則:看角，二看名，三看式子結(jié)構(gòu)與特征（2）三角函數(shù)式的化簡要注意觀察條件中角之間的聯(lián)系（和、差、倍、互余、互補等），尋找式子和三角函數(shù)公式之間的共同點.學(xué)優(yōu)化提升*實戰(zhàn)演練1、（ 2020全國I理9）已知0,冗，且 3cos28cos 5 ,貝U sinB.C.cos3cos28cos5,得 6cos28cos0，即 3cos24cos 4 0，解得2一或 cos

20、 32 （舍去），又；0,sin1 cos22、（ 2020 全國 n 理 2）若為第四象限角，則A cos 20cos2C.sin 2D sin 20【解析】當(dāng)cos 2cosB錯誤；當(dāng)一時，cos2 3cos選項A錯誤；由在第四象限可得:sin0,cos2sincos選項C錯誤，選D正確，故選D.3、（2020全國出文5)已知sinsinA.B 3B.3從而有:由題意可得:sin1 . sin2則sin2。3D.sin cos cos6sin 64、（ 2020全國出理9）已知2 tanA.2B.理得t2.2tantan4t 4 0 ,解得t5、（2019?新課標(biāo) n ,理 10）B.3c

21、os2 31 ,則:-sin23cos21sin21一 cos2tan7,C. 12tan已知（0,-）【解析】T2sin2 cos 21 , 4sin cos理.故選B.3則tantan1 tan2 .故選D.D. 2,t1,7,2sin 2 cos 2cT32cos2則sinD.2.552sin.22. 22_ . 2sincos sin (2sin ) 5sin 1 , sin6、【2020屆江蘇省南通市海安高級中學(xué)高三第二次模擬】已知0,sin(1)求 sin的值;(2)求tan+ 的值.所以sin(1)(1)1(2)35x22因為2 cos0,-，故所以cos()1sin 2(所以sinsin()sin(714.22 293933)(2)1)得，sin所以cos,1 sin213所以tansi