《水力學(xué)》(課件)講稿3

1、第三章 流體運(yùn)動及分類 本章將研究流體運(yùn)動的基本規(guī)律。描述流體運(yùn)動的方法 拉格朗日法 歐拉法流體運(yùn)動的若干基本概念 恒定流和非恒定流、流線和跡線、流管和流量、總流等流體微團(tuán)運(yùn)動的分析 微團(tuán)運(yùn)動的基本形式、有旋流動和無旋流動 第一節(jié) 描述流體運(yùn)動的方法流體可看作是由無限多個質(zhì)點(diǎn)組成的連續(xù)介質(zhì)，而流體的流動就是流體質(zhì)點(diǎn)隨時間和空間的運(yùn)動過程。這樣在研究流體運(yùn)動時就存在一個如何描述其運(yùn)動規(guī)律的問題。有兩類描述流體運(yùn)動的方法 拉格朗日法 歐拉法 一、拉格朗日法拉格朗日法是以流體質(zhì)點(diǎn)為研究對象，通過觀察每一個流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律，來得到整個流體運(yùn)動的規(guī)律。這種方法類似于理論力學(xué)中研究質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動的方法，也稱

2、質(zhì)點(diǎn)系法。數(shù)學(xué)表述了解流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律，就是要了解流體質(zhì)點(diǎn)在不同時間的運(yùn)動軌跡和運(yùn)動要素的變化規(guī)律。為描述某一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動，就必須給每一質(zhì)點(diǎn)加以標(biāo)識。也就是給質(zhì)點(diǎn)取個名字 一般以質(zhì)點(diǎn)在初始時刻所處位置的空間坐標(biāo) 作為流體質(zhì)點(diǎn)的標(biāo)識(標(biāo)記)。不同的流體質(zhì)點(diǎn)有不同的 值。對于一流體質(zhì)點(diǎn)在 時刻所處某位置的空間坐標(biāo)為式中 和 統(tǒng)稱為拉格朗日變數(shù)或拉格朗日變量 此式給出了流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律，也稱流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程。當(dāng)固定 時，此式則表示某指定質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡； 固定 時，該式則表示 時刻各流體質(zhì)點(diǎn)所處的位置。 關(guān)于速度、加速度根據(jù)拉格朗日變數(shù)的定義，任一流體質(zhì)點(diǎn)在任意時刻的速度 ，可取對時間的導(dǎo)數(shù)同理，

3、對于任一流體質(zhì)點(diǎn)的加速度 ，有式中 為速度、加速度在 坐標(biāo)方向的分量 全導(dǎo)數(shù)變?yōu)槠珜?dǎo)數(shù)是因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)標(biāo)記（a, b, c）與時間無關(guān) 拉格朗日法以流體質(zhì)點(diǎn)為中心，描述流體的運(yùn)動，其物理概念明確。但由于每一個流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是復(fù)雜的，要全面跟蹤眾多的流體質(zhì)點(diǎn)來描述整個流體的運(yùn)動狀態(tài)，在數(shù)學(xué)上是困難的。在流體力學(xué)的數(shù)學(xué)表述中，除個別運(yùn)動狀態(tài)(如波浪運(yùn)動)外，一般不采用拉格朗日法，而是采用歐拉法來描述流體的運(yùn)動。但拉格朗日法作為描述流體運(yùn)動的方法，將體現(xiàn)在流體力學(xué)方程的敘述和推導(dǎo)中。 二、歐拉法歐拉法是以觀察不同的流體質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過各固定的空間點(diǎn)時的運(yùn)動狀況，來了解流體在整個空間的運(yùn)動規(guī)律。歐拉法關(guān)注的是流

4、場中流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動狀況和有關(guān)運(yùn)動要素的分布狀況。也叫空間點(diǎn)法、流場法。流場：流體的運(yùn)動是在一定的空間中進(jìn)行的，這個被流體質(zhì)點(diǎn)所占據(jù)的空間叫流場。歐拉法觀測分析流場，首先觀測的是某具體空間點(diǎn) (x,y,z)上的流速、壓強(qiáng)等運(yùn)動要素，這些運(yùn)動要素隨時間、空間連續(xù)變化。 如流速以及壓強(qiáng)、密度、溫度等可表述為 式中 和 統(tǒng)稱為歐拉變數(shù)，或歐拉變量 ，也就是數(shù)學(xué)中的自變量在上式中: 如令 不變， 變化，則為流體質(zhì)點(diǎn)在不同的時刻經(jīng)過某一固定空間點(diǎn)所表現(xiàn)的流速、壓強(qiáng)等運(yùn)動要素變化情況； 如令 不變， 變化，則為同一時刻流體質(zhì)點(diǎn)通過不同空間點(diǎn)時流速、壓強(qiáng)等運(yùn)動要素分布情況，也就是此時刻的流速場、壓強(qiáng)場等。 關(guān)

5、于速度、壓強(qiáng)等物理量對時間的導(dǎo)數(shù)以加速度為例對于流場中某空間點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)加速度 ，按照定義加速度 應(yīng)是流體質(zhì)點(diǎn)沿其運(yùn)動軌跡在 時間內(nèi)流速產(chǎn) 生的增量 ，即 。按歐拉法，對于某空間點(diǎn)A，在 時刻時恰好有一流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動到此空間點(diǎn)，又在 時段內(nèi)離開此空間點(diǎn)A沿其軌跡運(yùn)動著，同時另有其他流體質(zhì)點(diǎn)沿運(yùn)動軌跡運(yùn)動到空間點(diǎn)A。上述分析有兩點(diǎn)啟示： 時段內(nèi)空間點(diǎn)A處的流速隨時間 在變化； 經(jīng)過A點(diǎn)運(yùn)動著的質(zhì)點(diǎn)本身所處的坐標(biāo)是隨著時間 在變化的。 或者，流速 在隨時間t 變化時，坐標(biāo) 并不是常數(shù)，是時間t 的函數(shù)，即流速 是一個復(fù)合函數(shù)?？砂磸?fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求加速度 ，即式中 ， ， 為流體質(zhì)點(diǎn)在 時段內(nèi)沿其

6、運(yùn)動軌跡的微小位移在Ox、Oy、Oz坐標(biāo)軸上的投影，有故得由歐拉法表述的加速度表達(dá)式為 沿Ox、Oy、Oz坐標(biāo)軸的分量為加速度由兩部分組成 及其對應(yīng)投影項(xiàng)，反映同一空間點(diǎn)上流體質(zhì)點(diǎn)速度隨時間變化率的當(dāng)?shù)丶铀俣?或稱時變加速度) 及其對應(yīng)投影項(xiàng)，為同一時刻由于相鄰空間點(diǎn)上流速差所引起的遷移加速度(或稱位變加速度)同理對于如壓強(qiáng)、溫度、密度等對時間的變化率為 綜合上述表達(dá)式，可見均為流速 、壓強(qiáng) 等運(yùn)動要素對時間 的全導(dǎo)數(shù)，其中 或 ( )可見 類似于數(shù)學(xué)中的算子。在流體力學(xué)中，一般將某運(yùn)動要素受算子 作用的導(dǎo)數(shù)式稱為此運(yùn)動要素的隨體導(dǎo)數(shù)、質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)。 其中稱為哈密頓算子，它是一個對場求梯度的運(yùn)算

7、第二節(jié) 流體運(yùn)動的若干基本概念 人們對流體力學(xué)的研究同人類對客觀世界的認(rèn)識規(guī)律一樣，由簡到繁，由易到難，是隨著生產(chǎn)力的發(fā)展而向前發(fā)展的。 縱觀流體力學(xué)的發(fā)展歷史和目前流體力學(xué)的研究現(xiàn)狀，可以看到研究具體流體力學(xué)問題的過程，就是在分析各種復(fù)雜因素的基礎(chǔ)上，在保證精度的范圍內(nèi)忽略次要因素，抓住主要因素，使問題簡化求解的過程。不同的流體力學(xué)問題，有著不同的分類，也對應(yīng)著不同的研究方法。 一般來說，可分成如下幾種類型：1)根據(jù)流體的性質(zhì)。按照粘滯性可分為理想流體流動和粘性流體流動，按照壓縮性可分為可壓縮流體流動和不可壓縮流體流動等；2)根據(jù)運(yùn)動狀態(tài)?？煞譃楹愣鲃雍头呛愣鲃?，均勻流流動和非均勻流流動

8、；層流流動和紊流流動，有旋流動和無旋流動，亞音速流動和超音速流動等；3)根據(jù)坐標(biāo)數(shù)量，可分為一維流動、二維流動和三維流動，還有元流流動和總流流動等。下面將敘述一些流動類型和一些有關(guān)的基本概念 一、恒定流動和非恒定流動 用歐拉法描述流體運(yùn)動時，對于流場中通過每一空間點(diǎn)的各流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動要素，在不同的時間都保持不變，也就是與時間無關(guān)，這樣的流動稱為恒定流或定常流。與時間有關(guān)的流動為非恒定流或非定常流。恒定流的數(shù)學(xué)表達(dá)式為： 非恒定流的數(shù)學(xué)表達(dá)式為： 式中 表示任一運(yùn)動要素，如 、 、 、 等 在恒定流情況下，運(yùn)動要素 僅僅是空間位置坐標(biāo)的函數(shù)，與時間 無關(guān)。這時與本地加速度有關(guān)的項(xiàng)為零 。 舉例二

9、、跡線、流線和流函數(shù)1. 定義1) 跡線跡線就是流體質(zhì)點(diǎn)在空間運(yùn)動時留下的軌跡所連成的曲線。 它是同一流體質(zhì)點(diǎn)在不同時間的位置形成的曲線 2) 流線流線是指在某一瞬時空間的一條曲線，在此曲線上任一點(diǎn)的流速方向和該點(diǎn)的曲線切線方向重合。 或者說流線是同一時刻由不同流體質(zhì)點(diǎn)所組成的空間曲線，這個曲線給出了該時刻不同流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方向。2. 流線的基本特性 1) 在恒定流中，流線的形狀和位置不隨時間而改變。 流體質(zhì)點(diǎn)的跡線和流線相重合。在非恒定流中 2) 對同一時刻，流線不可能相交，也不可能分叉或轉(zhuǎn)折，流線是光滑的曲線。 3. 跡線與流線的區(qū)別 舉例： 流星 煙拉格朗日法的中心是流體質(zhì)點(diǎn)，可見跡線是

10、與拉格朗日法相連的歐拉法的中心是空間點(diǎn)，可見流線是與歐拉法相連的跡線是指連續(xù)的時間段，一般指單個質(zhì)點(diǎn)的軌跡；流線是指某 一瞬時或同一時刻，指多個速度矢量相切的、不同的質(zhì)點(diǎn)。4. 跡線與流線方程根據(jù)推導(dǎo)歐拉法加速度時，給出的流體質(zhì)點(diǎn)在 時段內(nèi)沿其運(yùn)動軌跡的微小位移與速度的關(guān)系式，可得跡線微分方程或注意，坐標(biāo) 是時間 的函數(shù)，對上式積分時，是以時間 為自變量，以坐標(biāo) 為參量進(jìn)行的。積分后在所得的表達(dá)式中消去時間 后即得跡線方程 (3-2)由流線定義，流線上的微元 與流速有此為流線微分方程，其中t是參數(shù)而不是自變量，求解時可作為常數(shù)。 方程（3-17）實(shí)際為兩個獨(dú)立的微分方程，可以求出兩個解： f1

11、(x, y, z, t) = 0 f2(x, y, z, t) = 0這是兩個曲面，它們的交線即為流線。 (3-17) 5.平面流動的流函數(shù) 平面流動只有兩個流速分量（uz = 0），且均與z無關(guān)，即 ux = ux (x, y, t )， uy = uy (x, y, t ) （3-18） 為了求出比較復(fù)雜的平面流動的流線，可以引入流函數(shù)的概念。由流線微分方程式(3-17) 對于表達(dá)式 ，如果存在充分必要條件則函數(shù)表達(dá)式 可寫成函數(shù) 的全微分 或 其中這個函數(shù)稱為流函數(shù)對上式積分為平面流動的流線方程、流線的曲線方程 ；或者說，流函數(shù)值相同的曲線是一條流線。 流函數(shù)存在的充分必要條件正是不可壓

12、縮流體平面流動所應(yīng)滿足的連續(xù)性微分方程(見第四章) 流函數(shù)的應(yīng)用（見例3-2，還見第四章）三、流管、元流、總流 1流管在流場中任取一條不是流線的封閉曲線，在同一瞬時，過此封閉曲線上的每一點(diǎn)作流線，由這些流線所構(gòu)成的管狀封閉曲面稱為流管。如所取的封閉曲線為微小的封閉曲線，這時所構(gòu)成的流管為微元流管。注意：由流線構(gòu)成的管壁是虛構(gòu)的；但在流動中好像是真正的管壁； 流體質(zhì)點(diǎn)只能在流管內(nèi)部流動；流體質(zhì)點(diǎn)不能穿越管壁流進(jìn)流出流管。 2元流充滿流管內(nèi)的流動流體稱為元流或微小流束。當(dāng)元流直徑趨于零時，元流則達(dá)到其極限流線。在一般的情況下，元流和流線的概念是相通的。恒定流時元流的形狀和位置是不隨時間而變化的由于

13、元流的橫斷面面積很小，可以認(rèn)為橫斷面上各點(diǎn)的流速、壓強(qiáng)均相等。 3總流總流就是實(shí)際流體在具有一定尺寸的有限規(guī)模邊界內(nèi)的流動。（過流面積有限大）總流也可看作是無數(shù)元流的總和。如自然界的管道流動和河渠流動都可看作為總流流動問題。將流動問題看作元流和總流，就是按照一維流動分析法的思路解決實(shí)際流動問題。 四、過水?dāng)嗝妗⒘髁?、斷面平均流?過水?dāng)嗝媾c元流或總流中的流線相垂直的橫斷面稱為過水?dāng)嗝??；蛘哒f過水?dāng)嗝嫔细鼽c(diǎn)的流速方向與此斷面的法線方向相同。注意，過水?dāng)嗝娌灰欢槠矫?。元流或總流的橫斷面也稱截面，過水?dāng)嗝嬉卜Q有效截面。 2211圖3-7 過水?dāng)嗝媸疽鈭D2流量單位時間內(nèi)通過過水?dāng)嗝娴牧黧w體積稱為體積

14、流量Q，一般簡稱為流量，其單位為m3/s。元流，設(shè)過水?dāng)嗝婷娣e ，斷面上各點(diǎn)的流速u在同一時刻是相同的，元流流量 為總流流量 則可通過將經(jīng)過總流過水?dāng)嗝娴乃性髁髁肯嗉忧蟮?，即通過流場中某橫斷面或某表面的流體的流量，如果橫斷面或表面的法線方向與流速方向不相同，這時流量為 如單位時間內(nèi)通過過水?dāng)嗝娴牧黧w數(shù)量為質(zhì)量或重量，則稱為質(zhì)量流量(kg/s)和重量流量(N/s)，動量流量(kgm/s2)。有 質(zhì)量流量 重量流量 動量流量實(shí)際應(yīng)用中，仍可用 表示質(zhì)量流量 和重量流量 從上述流量定義可歸納：單位時間通過流管橫斷面的流體所具有的某物理量的大小稱為物理量的流量，用符號 表示。令 為單位體積流體內(nèi)具

15、有的物理量的大小 實(shí)際應(yīng)用中，仍可用 表示質(zhì)量流量 和重量流量 3平均流速 關(guān)于平均流速：認(rèn)為總流過水?dāng)嗝嫔细鼽c(diǎn)的流速大小都是相同的，并且都等于平均流速 。若已知斷面平均流速，則 Q = vA若忽略斷面上的密度變化，則質(zhì)量流量為 Qm = Q = vA 五、一維流動、二維流動和三維流動 根據(jù)歐拉法，描述流體流動的流速、壓強(qiáng)等運(yùn)動要素都是空間坐標(biāo) 的函數(shù)。如果描述某種流動的運(yùn)動要素只是一個坐標(biāo)的函數(shù)，則稱為一維流動；只是二個坐標(biāo)的函數(shù)，則為二維流動；只是三個坐標(biāo)的函數(shù)，則為三維流動。一般來說，所有的流體流動過程，都是三維流動。然而在實(shí)際工程中，常根據(jù)問題的需要，可化簡為二維流動或一維流動。將流動

16、作為一維流動來分析的方法，可稱為一維流動分析法。如前面已講授的元流和總流 就屬于這種分析法。 舉例六、總流的分類1均勻流流線均為相互平行直線的流動則為均勻流。 均勻流有下列特性：1)均勻流的過水?dāng)嗝鏋槠矫妫⑶疫^水?dāng)嗝娴男螤詈统叽缪亓鞒滩蛔儯?)均勻流中同一流線上各點(diǎn)的流速相等，各過水?dāng)嗝嫔系牧魉俜植枷嗤?、平均流速相同?)均勻流過水?dāng)嗝嫔系膭铀畨簭?qiáng)分布規(guī)律與水靜力學(xué)中的靜水壓強(qiáng)分布規(guī)律相同，也就是在均勻流過水?dāng)嗝嫔贤瑯哟嬖诟鼽c(diǎn)的測壓管水頭等于一常數(shù)的特性，即證明在均勻流過水?dāng)嗝嫔先我鈨上噜徚骶€間取一微小圓柱體。設(shè)圓柱體高 ，底面積 ，柱體 n 軸線與流線正交，并與坐標(biāo)軸 成夾角 。由于均勻流

17、流線為相互平行的直線，則圓柱體在 n 軸向無慣性力存在。只是在圓柱體兩端有受流體動水壓強(qiáng)作用而產(chǎn)生的總壓力，以及重力。這些力應(yīng)滿足 n 軸向力的平衡方程從圖可見 代入并化簡得 積分得 2非均勻流流體流動的流線如果不是相互平行的直線，則稱為非均勻流如流線平行但不是直線、或流線是直線但不平行的流動 非均勻流過水?dāng)嗝嫔狭黧w動壓強(qiáng)分布不滿足流體靜壓強(qiáng)規(guī)律 根據(jù)非均勻流中流線平行和彎曲的急劇程度，又可分為漸變流和急變流。如果某流動的流線曲率很小可近似為直線，或流線間的夾角很小，這種流動稱為漸變流，也稱為緩變流。如果某流動的流線曲率很大完全不為直線，或流線間的夾角很大，這種流動稱為急變流。3. 管流和明槽

18、流總流還分管流和明槽流兩種情況。管流為沒有自由液面的流動，也稱有壓流。如自來水管道流動。第七章明槽流為有自由液面的流動，也稱無壓流。如河渠中的流動。第八章七、濕周、水力半徑 (P104)總流的過水?dāng)嗝嫔?，流體與固體邊界接觸部分的周長稱為濕周，以 表示，如圖所示 ?？偭鞯倪^水?dāng)嗝婷娣e 與濕周 之比稱為水力半徑，以 表示即 具有長度量綱的量但須注意水力半徑與一般的圓斷面的半徑是完全不同的概念，不能混淆。例如以半徑為、直徑為并充滿流動流體的圓管，其水力半徑為 第三節(jié) 流體微團(tuán)運(yùn)動的基本形式 由一維總流分析法可以求得漸變流斷面上的平均流速、壓強(qiáng)以及作用在固壁上的作用力等，可以滿足一般工程需要。如需要求

19、得流場中的水力要素分布，需要用流場分析法。流場分析法的特點(diǎn)是用一系列用物理及理論力學(xué)定律推得的微分方程組成微分方程組，通過分析和求解這些微分方程組解決水力學(xué)問題。因此學(xué)習(xí)和掌握流場分析法是水力學(xué)中的重要一環(huán)。本節(jié)將介紹有關(guān)流場分析法的概念和術(shù)語。一、流體微團(tuán)運(yùn)動的基本形式流體的流動非常復(fù)雜，要討論流體的流動，首先要分析和研究流體微團(tuán)的運(yùn)動過程。在理論力學(xué)中，剛體的一般運(yùn)動可以分解為平動和轉(zhuǎn)動兩部分。流體具有易流動性、極易變形的特點(diǎn)，使得流體微團(tuán)在運(yùn)動過程中不但與剛體一樣可能有平動和轉(zhuǎn)動，而且還可能發(fā)生變形運(yùn)動。在一般情況下流體微團(tuán)的運(yùn)動可以分解為平動，轉(zhuǎn)動和變形運(yùn)動三部分，其中變形運(yùn)動還可進(jìn)一

20、步分為線變形運(yùn)動和角變形運(yùn)動。為討論流體微團(tuán)運(yùn)動中可分解成幾種運(yùn)動的數(shù)學(xué)表達(dá)式，首先討論流場中某一點(diǎn)鄰域內(nèi)速度的變化。如圖，在某瞬時 ，已知點(diǎn) 的流速為 ，對 點(diǎn)鄰域內(nèi)的流速場進(jìn)行討論。對流體點(diǎn) 的鄰域內(nèi)任意一點(diǎn) ，其坐標(biāo)為 ，流速為 。點(diǎn) 處流速 與點(diǎn) 處的流速 的關(guān)系可用泰勒級數(shù)表示，在略去高階無窮小項(xiàng)后，得 、 現(xiàn)設(shè)在某瞬時 流場中有一邊長為 、 、 的平行六面體的流體微團(tuán)，已知其形心M0處的流速為 ，這時八個頂點(diǎn)的流速分量可用前述的展開式求得。如 從上式可見此微團(tuán)上各點(diǎn)速度不同。在經(jīng)過微小時段之后，該微團(tuán)將運(yùn)動到新位置其形狀和大小都將發(fā)生變化即該正交的平行六面體流體微團(tuán)將變成任意斜六面

21、體微團(tuán)，如圖所示 ，可見，正交的平行六面體流體微團(tuán)變成任意斜六面體微團(tuán)，其中包含著平移運(yùn)動、線變形運(yùn)動、角變形運(yùn)動和轉(zhuǎn)動等四部分?，F(xiàn)以下圖所示的二維流體微團(tuán)即流體平面為例，描述和分析這幾種運(yùn)動，然后再將表達(dá)式推演到三維立體中。 1）平移運(yùn)動 形心點(diǎn)M0的流速分量 、 是流體微團(tuán)中各點(diǎn)流速分量的組成部分，即整個微團(tuán)每個點(diǎn)的流速中都含有 、 項(xiàng)。如對A、B 、C、D等各點(diǎn)，只考慮這些點(diǎn)流速分量中的 、 兩項(xiàng)，則在經(jīng)過時間 后，矩形平面體 ABCD向右移動 距離， 向上移動 距離，平移 到新的位置，矩形平面體 形狀不變。 2）線變形運(yùn)動 從圖中可知，點(diǎn)D和點(diǎn)C在 軸方向上的流速分量分別 比點(diǎn)A和點(diǎn)B

22、快(或慢) (如 為正或?yàn)樨?fù))，故邊 長AD和BC在 時間內(nèi)沿 方向都將相應(yīng)地伸長(或縮 短) ，即流體微團(tuán)在 軸方向產(chǎn)生了線變形，或 者說存在線變形運(yùn)動。 線變形的大小可用線變形速率即單位時間單位長度的伸長(或縮短)量來計(jì)量。 如Ox軸向即得 軸方向的線變形速率為同理，可得 軸方向的 線變形速率為總的來說運(yùn)動過程中平行六面體三條正交的棱邊 的伸長或縮短，以及與之相應(yīng)的平行六面體流體微團(tuán)的體積膨脹和壓縮，就是流體微團(tuán)線變形運(yùn)動的反映。注意到不可壓縮流體連續(xù)性方程(4-17) 可以寫成(3-33) 整個流體微團(tuán)經(jīng)過 時段后，其體積的改變量為這表明對于不可壓縮流體，三個方向的線變形速率之和(也就是

23、體積改變量)為零。 3）角變形運(yùn)動和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動首先考慮邊線偏轉(zhuǎn)，如圖所示，若只考慮AD邊和BC邊 可見，點(diǎn)A在 軸向的流速為 ， 點(diǎn)D在 軸向的流速為 。由于A點(diǎn)和D點(diǎn)在 軸向的流速不同，在 時段后，A點(diǎn)移至A點(diǎn)，D點(diǎn)移至D點(diǎn)，從圖可見，D點(diǎn)較A點(diǎn)在 方向上多移動的距離 ，即邊線 發(fā)生了邊線偏轉(zhuǎn)，其轉(zhuǎn)角量 為 同理對于AB邊和DC邊，由于A點(diǎn)和B點(diǎn)在 軸向的流速不同，在 時段后，B點(diǎn)較A點(diǎn)在 方向上多移動的距離 ，即 發(fā)生了邊線偏轉(zhuǎn)，其轉(zhuǎn)角量 為如果兩條邊線的轉(zhuǎn)角量與數(shù)值相等而方向相同，則原矩形形狀保持不變，整個矩形將發(fā)生轉(zhuǎn)動。如果兩條邊線的轉(zhuǎn)角量與數(shù)值相等而方向相反，則原矩形變?yōu)榱庑危瓕蔷€方位不變，即只有單純的角變形而無轉(zhuǎn)動。 如果兩條邊線的轉(zhuǎn)角量 與 數(shù)值不等，則微團(tuán)除了有角變形外還有轉(zhuǎn)動，微團(tuán)將由矩形變?yōu)槿我馑倪呅?。如圖所示，矩形 變?yōu)槿我馑倪呅?的過程，可以分成以下兩步完成。首先，矩形 旋轉(zhuǎn)到 的位置，旋轉(zhuǎn)角量為 然后再發(fā)生角變形，由矩形