第二章流體靜力學(xué)-流體力學(xué)

1、第二章流體靜力學(xué)第一節(jié)、靜止流體中應(yīng)力的特性第二節(jié)、流體平衡微分方程第三節(jié)、重力場中流體靜壓強(qiáng)的分布規(guī)律第四節(jié)、流體的相對平衡第五節(jié)、液體作用在平面上的總壓力第六節(jié)、液體作用在曲面上的總壓力第七節(jié)、潛體和浮體的平衡與穩(wěn)定 本章學(xué)習(xí)要點：作用在流體上的力、靜止流體中應(yīng)力的特性、 流體平衡微分方程、等壓面、靜止液體和相對靜止液體壓強(qiáng)的分布、壓強(qiáng)的表示方法、液體作用在平面及曲面壁上的靜水總壓力、壓力中心。 第一節(jié)、 靜止流體中應(yīng)力的特性一、基本概念 （一）靜壓力 靜止流體對受壓面所作用的全部壓力。 （二）靜壓強(qiáng) 受壓面單位面積上所受的靜壓力。 靜止流體表面應(yīng)力只能是壓強(qiáng)（壓應(yīng)力），流體不能承受拉力，

2、且具有易流動性。二、靜止流體中應(yīng)力的特性 （一）壓強(qiáng)的基本特性: 靜壓強(qiáng)的方向垂直指向受壓面?；蛘哒f靜壓強(qiáng)的方向沿著受壓面的內(nèi)法線方向。 為了論證這一特性，在靜止流體中任取截面NN將其分為、兩部分，取為隔離體，對的作用由NN外面上連續(xù)分布的應(yīng)力代替(圖21)。（二）靜壓強(qiáng)的特性 靜壓強(qiáng)的大小與作用面的方位無關(guān)，即在僅受重力作用的靜水中，任意一點處各個方向的靜壓強(qiáng)均相等。即有： （2-1） 證明：從平衡狀態(tài)下的流體中取一微元四面體OABC，如圖所示取坐標(biāo)軸（如圖22）。 由于液體處于平衡狀態(tài)，則有 ，即各向分力投影之和亦為零，則： （22）x方向受力分析:表面力： （23） 當(dāng)四面體無限地趨于O

3、點時，則dxO，因此， 類似地有： 而 是任意選取的，所以同一點靜壓強(qiáng)大小相等，與作用面的方位無關(guān)。 說明:（1）靜止流體中不同點的壓強(qiáng)一般是不等的，同一點各個方向的靜壓強(qiáng)大小相等。 n為斜面ABC的法線方向質(zhì)量力： （2-4） （2-5） （3）.理想流體運(yùn)動流體時，由于=0，不會產(chǎn)生切應(yīng)力，所以理想流體動壓強(qiáng)呈靜壓強(qiáng)分布特性。（2）.運(yùn)動狀態(tài)下的實際流體，流體層間若有相對運(yùn)動，則由于粘性會產(chǎn)生切應(yīng)力，這時同一點上各向的壓強(qiáng)不再相等。流體動壓強(qiáng)定義為三個互相垂直的壓應(yīng)力的算術(shù)平均值， 即 （2-6） 第二節(jié)、 流體平衡微分方程 一、流體平衡微分方程歐拉方程 1.歐拉方程 在平衡流體中取一微元

4、六面體，邊長分別為dx, dy, dz, 設(shè)中心點的壓強(qiáng)為p(x, y, z)=p，對其進(jìn)行受力分析（如圖23）： y向受力: 表面力： 質(zhì)量力： 根據(jù)平衡條件，在y方向有Fy=0，即： 整理得： (2-8) (2-7) 流體平衡微分方程（即歐拉平衡微分方程，簡稱為歐拉歐拉方程）：(2-9) 2.物理意義 處于平衡狀態(tài)的流體，單位質(zhì)量流體所受的表面力分量與質(zhì)量力分量彼此相等。壓強(qiáng)沿軸向的變化率（ ）等于該方向上單位體積內(nèi)的質(zhì)量力的分量 （ 、 、 ）。 二、平衡微分方程的全微分式 為對式(29)進(jìn)行積分，將各分式分別乘以 、 、 然后相加，得（2-10） 壓強(qiáng) 是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，由全微分定理，

5、上式等號左邊是壓強(qiáng)力的全微分。 （2-11） 上式是歐拉方程的全微分表達(dá)式，也稱為平衡微分方程的綜合式。通常作用于流體的單位質(zhì)量力是已知的，將其代入式(211)進(jìn)行積分，便可求得流體靜壓強(qiáng)的分布規(guī)律。 三、等壓面 1.等壓面 壓強(qiáng)相等的空間點構(gòu)成的面(平面或曲面)稱為等壓面，例如靜止液體的自由表面。 2.等壓面的性質(zhì)：平衡流體等壓面上任一點的質(zhì)量力恒正交于等壓面。（2-12） 運(yùn)用平衡微分方程的綜合式，證明等壓面的這一重要性質(zhì),即等壓面與質(zhì)量力正交。證明：如圖24，設(shè)等壓面如圖，因面上各點的壓強(qiáng)相等（pC), 即 ，代入式(211)，得：式中 ，則等壓面方程為 以X、Y、Z為等壓面上某點M的單

6、位質(zhì)量力 在坐標(biāo)x、y、z方向的投影，dx、dy、dz為該點處微小有向線段 在坐標(biāo)x、y、z方向的投影，于是：即 和 正交。這里 在等壓面上有任意方向，由此證明，等壓面與質(zhì)量力正交。 由等壓面的這一性質(zhì)，便可根據(jù)質(zhì)量力的方向來判斷等壓面的形狀。例如，質(zhì)量力只有重力時，因重力的方向鉛垂向下，可知等壓面是水平面。若重力之外還有其它質(zhì)量力作用時，等壓面是與質(zhì)量力的合力正交的非水平面。常見的等壓面有：自由液面和平衡流體中互不混合的兩種流體的交界面等。 第三節(jié) 重力場中流體靜壓強(qiáng)的分布規(guī)律 一、液體靜力學(xué)的基本方程 1.基本方程的兩種表達(dá)式 在同一種均質(zhì)的靜止液體中，任意點的靜壓強(qiáng)，與其淹沒深度成正比，

7、與液體的重度成正比，且任一點的靜壓強(qiáng)的變化，將等值地傳遞到液體的其它各點 重力作用下靜止流體質(zhì)量力：代入流體平衡微分方程的綜合式： （2-14）1、在重力作用下的靜止流體，選直角坐標(biāo)系為Oxyz，自由液面的位置高度為z0，壓強(qiáng)為p0， 液體中任意一點的壓強(qiáng)為質(zhì)量力只有重力，X0，Y0，Zg代入公式： 得到 由邊界條件z=z0，p=p0可得：在自由液面上有： ， ， 由此可得水靜力學(xué)基本方程： 或 2. 連通器原理 帕斯卡連通器原理簡單稱為連通器原理：在僅受重力作用下的均質(zhì)、連通、靜止的液體中，水平面就是等壓面。 僅受重力作用下，靜止流體中某一點的靜壓強(qiáng)隨深度按線性規(guī)律變化。 僅受重力作用下，靜

8、止流體中某一點的靜壓強(qiáng)等于表面壓強(qiáng)加上流體的容重與該點淹沒深度的乘積。 自由表面下深度h相等的各點壓強(qiáng)均相等只有重力作用下的同一連續(xù)連通的靜止流體的等壓面是水平面。 推廣：已知某點的壓強(qiáng)和兩點間的深度差，即可求另外一點的壓強(qiáng)值。 （215） 二、重力作用下靜流體力學(xué)基本方程 1.重力作用下靜流體力學(xué)基本方程因為 所以，靜流體力學(xué)基本方程又可寫為： 或 （216） 2.靜流體力學(xué)基本方程的意義： .位置水頭z：任一點在基準(zhǔn)面以上的位置高度，表示單位重量流體從某一基準(zhǔn)面算起所具有的位置勢能，簡稱比位能，或單位位能或位置水頭。 .測壓管水頭p/：表示單位重量流體從壓強(qiáng)為大氣壓算起所具有的壓強(qiáng)勢能，簡

9、稱比壓能或單位壓能或壓強(qiáng)水頭。 .測壓管水頭（ ）：單位重量流體的比勢能，或單位勢能或測壓管水頭。 僅受重力作用處于靜止?fàn)顟B(tài)的流體中，任意點對同一基準(zhǔn)面的單位勢能為一常數(shù)，即各點測壓管水頭相等，位頭增高，壓頭減低。在均質(zhì)（=常數(shù)）、連通的液體中，水平面（z1 = z2=常數(shù)）必然是等壓面（ p1 = p2 =常數(shù)）。二、氣體靜壓強(qiáng)的計算 在不考慮壓縮性時，式(214)也適用于氣體。但由于氣體的密度很小，在高差不很大時，氣柱所產(chǎn)生的壓強(qiáng)很小可以忽略。式(214)，簡化為 。例如儲氣罐內(nèi)各點的壓強(qiáng)都相等。三、壓強(qiáng)的表示方法及單位 1.壓強(qiáng)的表示方法 .絕對壓強(qiáng)：是以絕對真空狀態(tài)下的壓強(qiáng)（絕對零壓強(qiáng)

10、）為基準(zhǔn)計量的壓強(qiáng)，用 表示， 0 。 .相對壓強(qiáng)：又稱“表壓強(qiáng)”，是以當(dāng)?shù)毓こ檀髿鈮簽榛鶞?zhǔn)計量的壓強(qiáng)。用p表示，p= ， p可正可負(fù)，也可為零（圖26）。 圖28壓強(qiáng)的測量錄像 .真空度：是指Pabc小于一個大氣壓的受壓狀態(tài)， 相對壓強(qiáng)的負(fù)值時，如（圖210）。真空值 （220） 真空高度 （218）圖210真空高度 （219） （二）壓強(qiáng)的單位及其換算 1.國際單位制：國際單位制中壓強(qiáng)的單位主要有pa（或atm）、Pa（或N/m2）、Kpa（或kN/m2）、Mpa等。 2.工程單位制：工程單位制中壓強(qiáng)的單位主要有kgf/m2、m（H2O）、mmHg和at等。 3.單位換算：1pa =0.1

11、013 MPa =101.3 Kpa =1.103105 Pa =1.033 kgf/m2=10.33 m（H2O）=760 mm（Hg） 1at=1 kgf/m2=10 m（H2O）=736 mmHg=0.098 MPa =98 Kpa =98000 Pa說明：計算時無特殊說明時液體均采用相對壓強(qiáng)計算，氣體一般選用絕對壓強(qiáng)。 例21 求淡水自由表面下2m深處的絕對壓強(qiáng)和相對壓強(qiáng)（認(rèn)為自由表面的絕對壓強(qiáng)為1at） 解：絕對壓強(qiáng) 相對壓強(qiáng)： 例22 密閉容器(圖28)，測壁上方裝有U形管水銀測壓計，該值hp20cm。試求安裝在水面下3.5m處的壓力表讀值。 解: U形管測壓計的左支管開口通大氣，

12、液面相對壓強(qiáng)加pN=0，容器內(nèi)水面壓強(qiáng)壓力表讀值圖28測壓計算第四節(jié)、流體的相對平衡 前面導(dǎo)出了慣性坐標(biāo)系中，液體的平衡微分方程及其綜合式(29)、式(211)。在工程實踐中，還會遇到液體相對于地球運(yùn)動，而液體和容器之間，以及液體各部分質(zhì)點之間沒有相對運(yùn)動的情況，這種情況稱為相對平衡。根據(jù)達(dá)蘭貝爾（DAlembert, Jean le Rond法國數(shù)學(xué)家，1717.11.161783.10）原理，在質(zhì)量力中計入慣性力，使流體運(yùn)動的問題，簡化為靜力平衡問題，可直接用式(29)計算。例如水車沿直線等加速行駛，水箱內(nèi)的水相對地球來說，隨水車一起運(yùn)動，水和水箱，以及各部分水質(zhì)點之間沒有相對運(yùn)動，相對平

13、衡的液體質(zhì)點之間無相對運(yùn)動，也無切應(yīng)力，只有壓強(qiáng)。相對平衡指各流體質(zhì)點彼此之間及流體與器皿之間無相對運(yùn)動的相對靜止或相對平衡狀。因為質(zhì)點間無相對運(yùn)動，所以流體內(nèi)部或流體與邊壁之間都不存在切應(yīng)力。相對平衡流體中，質(zhì)量力除重力外，還受到慣性力的作用。一、等角速度旋轉(zhuǎn)容器內(nèi)液體的相對平衡盛有液體的圓柱形容器，靜止時液體深度為H，該容器繞垂直軸以角速度旋轉(zhuǎn)。由于液體的粘滯作用，經(jīng)過一段時間后容器內(nèi)液體質(zhì)點以同樣角速度旋轉(zhuǎn)，液體均容器，以及液體質(zhì)點之間無相對運(yùn)動，液面形成拋物面。壓強(qiáng)分布規(guī)律， （220） 等壓面：p=p0+（2r2/2g-z） （221）錄像例23：求如圖29所示等角速度旋轉(zhuǎn)器皿中液體

14、的相對平衡的壓強(qiáng)分布規(guī)律。解：則 （222） （223）在原點（x=0，y=0，z=0）： 因為圖29等角速旋轉(zhuǎn)等角速度旋轉(zhuǎn)的直立容器中，液體相對平衡時壓強(qiáng)分布規(guī)律的一般表達(dá)式： （224）等壓面簇（包括自由表面，即 p=常數(shù)的曲面）方程 （225）等壓面簇是一簇具有中心軸的旋轉(zhuǎn)拋物面。具有自由表面的旋轉(zhuǎn)器皿中液體的自由表面方程：在自由液面上：用相對壓強(qiáng)表示自由表面方程： （226）任一點壓強(qiáng)：二、等角速度旋轉(zhuǎn)球體內(nèi)液體的相對平衡壓強(qiáng)分布規(guī)律 （227）設(shè)球心處： 則球壁上：； （228）由得， 故最大壓強(qiáng)作用點在，的圓周線上。圖210等角旋轉(zhuǎn)球體三、勻速直線運(yùn)動容器內(nèi)液體的相對平衡壓強(qiáng)分布規(guī)

15、律 ;質(zhì)量力除重力外，計入慣性力，慣性力的方向與加速度的方向相反， 即：（229）令，得自由面方程： （230）使水不溢出：， 錄像 例24 如圖211所示，一灑水車等加速度a=0.98m/s2向前平駛，求水車內(nèi)自由表面與水平面間的夾角；若B點在運(yùn)動前位于水面下深為h=1.0m，距z軸為xB= -.5m，求灑水車加速運(yùn)動后該點的靜壓強(qiáng)。解：考慮慣性力與重力在內(nèi)的單位質(zhì)量力為（取原液面中點為坐標(biāo)原點） x= -a ； y=0 ；z= -g ，即：dp= （-adx -gdz） 積分得： p= -（ax+gz）+c，在自由液面上： x=z=0 ； p=p0 得： c= p0 =0 ，代入上式得：

16、圖211錄像1錄像2點的壓強(qiáng)為自由液面方程為（液面上p0=0）： ax+gz說明：在相對平衡的旋轉(zhuǎn)液體中，各點的壓強(qiáng)隨水深的變化仍是線性關(guān)系。在旋轉(zhuǎn)液體中各點的測壓管水頭不等于常數(shù)。第五節(jié)、液體作用在平面上的總壓力 液體作用在平面上的總壓力，計算方法有解析法和圖算法。 1.解析法 圖218為任意形狀的平面，傾斜放置于水中，與水面成角，面積為A，其形心C的坐標(biāo)為xc ，yc ，形心C在水面下的深度為hc 圖212平面上的總壓力 .作用力的大小微小面積dA的作用力：靜矩 : （229） 結(jié)論：潛沒于液體中的任意形狀平面的靜水總壓力F，大小 等于受壓面面積A與其形心點的靜壓強(qiáng)pc之積。 .總壓力作用

17、點（壓力中心） 面積慣性矩： 式中：Ix面積A繞ox軸的慣性矩。 由慣性矩的平行移軸 （236） Ic面積A繞其與ox軸平行的形心軸的慣性矩。結(jié)論：.當(dāng)平面面積與形心深度不變時，平面上的總壓力大小與平面傾角無關(guān)； .壓心的位置與受壓面傾角無關(guān)，并且壓心總是在形心之下。只有當(dāng)受壓面 位置為水平放置時，壓心與形心才重合。總壓力方向、 垂直指向受壓面。圖 形 面 積 yc Ic Ib 矩形 bh 三角 形 梯形 h3/36(a2+4ab+b2)/(a+b) 圓 r2 r r4/4 半圓 r2/2 4r/3 (92-64)r4/72 r4/8 表2-1 例25 一鉛直矩形閘門，已知h1=1m，h2=2

18、m，b=1.5m求總壓力及其作用點。解： 例26 有一鉛直半圓壁（如圖213）直徑位于液面上，求F值大小及其作用點。 解：由式 得總壓力 由式 得:Fdcp圖213 2.圖解法 壓強(qiáng)分布圖：壓強(qiáng)分布圖是在受壓面承壓的一側(cè)，以一定比例尺的矢量線段表示壓強(qiáng)大小和方向的圖形，是液體靜壓強(qiáng)分布規(guī)律的幾何圖示。 .適用范圍：作用在規(guī)則平面上的靜水總壓力及其作用點的求解。 .原理：靜水總壓力大小等于壓強(qiáng)分布圖的體積，其作用線通過壓強(qiáng)分布圖的形心，該作用線與受壓面的交點便是壓心（壓力中心D）。 (1).大?。?（237）(2).方向：垂直指向受壓面；(3).作用點： （238） 圖214壓強(qiáng)的分布 圖算法的

19、步驟是：先繪出壓強(qiáng)分布圖，總壓力的大小等于壓強(qiáng)分布圖的面積，乘以受壓面的寬度b，即，總壓力的作用線通過壓強(qiáng)分布圖的形心，作用線與受壓面的交點就是壓心。 例27 如圖215，矩形平板一側(cè)擋水，與水平面夾角300，平板上邊與水面齊平，水深h3m，平板寬b5m。試求作用在平板上的靜水總壓力。圖215平面總壓力計算 解： (1).解析法 總壓力的大小 方向受壓面內(nèi)法線方向。作用點由式(235) (2).圖算法繪出壓強(qiáng)分布圖ABC，由式(231)總壓力的大小：總壓力方向為受壓面內(nèi)法線方向。 總壓力作用線通過壓強(qiáng)分布圖的形心 可見兩種方法所得計算結(jié)果相同（圖216）。 例28：用圖解法計算圖217的靜水總

20、壓力大小與壓心位置。 解：作出矩形閘門上的壓強(qiáng)分布圖：底為受壓面面積，高度是各點的壓強(qiáng) 圖216平面總壓力計算 bh2h1h2B 圖217 總壓力為壓強(qiáng)分布圖的體積，梯形形心坐標(biāo)： ，a上底，b下底 作用線通過壓強(qiáng)分布圖的重心： 例29：如圖218已知矩形平面h=1m，H=3m，b=5m，求F的大小及作用點。 解：(1).解析法 Hhp230p1圖218 (2)圖解法 壓力圖分為二部分（三角形+矩形） 例210 如圖219所示，一直徑d=2000mm的涵洞，其圓形閘門AB在頂部A處鉸接，如圖。若門重3000N，試求： （1）作用于閘門上的靜水總壓力P；（2）P的作用點 （3）阻止閘門開啟的水平

21、力F。 解：（1）圓形閘門受壓面形心到水面的距離為h0=1.5+1.0=2.5m；閘門的直徑D為2.83m （D=2/sin45）； 閘門面積為： 作用于圓形閘門上的總壓力為： 作用于圓形閘門上的總壓力為： P=hcA=98002.5 6.28=153860N （2）圓形閘門中心至ox軸的距離為 dPoxACGACyDyc涵洞B1.5m鉸點45圖219圓形閘門面積A對經(jīng)閘門中心且平行于ox軸之慣性矩Ixc為： 故總壓力作用點在閘門中心正下方0.14m處 （3）因鉸點在A處，則作用于閘門的所有外力對此點之力矩總和必為0，即得阻止閘門的開啟力第六節(jié)、液體作用在曲面上的總壓力 一、曲面上的靜壓力 曲

22、面上的靜壓力有：水平分力、垂直分力、靜水總壓（圖220）。 在曲面上沿母線方向任取條形微元EF，因各條形微元上的壓力dP方向不同，而不能直接積分求作用在曲面上的總壓力。為此將dP分解為水平分力 和鉛垂分力。圖223曲面上的總壓力 1.水平分力Px 結(jié)論：作用于曲面上的靜水總壓力F的水平分力Px等于作用于該曲面的垂直投影面（矩形平面）上的靜水總壓力，方向水平指向受力面，作用線通過面積Az的壓強(qiáng)分布圖體積的重心。2.鉛直分力Pz 式中：Vp 壓力體體積結(jié)論：作用于曲面上的靜水總壓力F的鉛垂分力Pz等于該曲面上的壓力體所包含的液體重，其作用線通過壓力體的重心，方向鉛垂指向受力面。 3.靜水總壓力 作

23、用在曲面上的靜水總壓力：F與水平面的夾角： (236) 作用線：必通過Px ， Pz的交點，但這個交點不一定位于曲面上。對于圓弧面，P作用線必通過圓心。P的作用點作用在P作用線與曲面的交點。 二、壓力體（圖221） 1.壓力體體積的組成: .受壓曲面本身； .通過曲面周圍邊緣所作的鉛垂面； .自由液面或自由液面的延長線。 2.壓力體的種類： 壓力體可分為實壓力體和虛壓力體。圖 221壓力體 實壓力體：壓力體和液體在曲面AB的同側(cè)，如同壓力體內(nèi)實有液體，習(xí)慣上稱為實壓力體，實壓力體Pz方向向下。 虛壓力體：壓力體和液體在曲面AB的異側(cè)，其上底面為自由液的延伸面，壓力體內(nèi)虛空，習(xí)慣上稱虛壓力體，虛壓力體 Pz方向向上。 3.曲面壁的壓力體圖與壓力體剖面圖的繪制： .壓力體圖的繪制：大小：pz= V；方向：水在上方向向下，水在下向上。 .壓力體圖剖面圖的繪制：大小：pz= b；方向：水在上方向向下，水在下向上。 注：壓力體圖剖面圖的組成：曲線、過曲線兩端點的鉛垂線和水