虛功原理和結(jié)構(gòu)位移的計算課件(PPT 86頁)

1、9-1 結(jié)構(gòu)位移計算概述一、結(jié)構(gòu)位移的概念 結(jié)構(gòu)變形時，結(jié)構(gòu)上某個點的移動或某個截面產(chǎn)生的移動或轉(zhuǎn)動，稱為結(jié)構(gòu)的位移。 結(jié)構(gòu)的位移有兩大類。一類是線位移，指結(jié)構(gòu)上某點沿直線方向移動的距離。另一類是角位移，指結(jié)構(gòu)上某截面轉(zhuǎn)動的角度。絕對位移：線位移和角位移桿件結(jié)構(gòu)中某一截面位置或方向的改變。相對位移：相對線位移和相對角位移兩個截面位移的差值或和。廣義位移：絕對位移和相對位移的統(tǒng)稱。第1頁，共86頁。FPCDDABCCHCVCCDDVCD第2頁，共86頁。二、產(chǎn)生位移的原因 （2）溫度變化、材料脹縮（3）支座沉降、制造誤差以上都是絕對位移以上都是相對位移廣義位移位移計算雖是幾何問題，但是用虛功原理

2、解決最方便（1）荷載第3頁，共86頁。三、計算位移的目的（1）剛度驗算；（2）超靜定結(jié)構(gòu)分析的基礎(chǔ)；（3）施工措施、建筑起拱、預(yù)應(yīng)力等。四、體系（結(jié)構(gòu)）的物理特性 本章只討論線性變形體系的位移計算，計算的理論基礎(chǔ)是虛功原理，計算的方法是單位荷載法。線性變形體系是指位移與荷載成線性關(guān)系的體系，當(dāng)荷載全部撤除后，位移將完全消失。第4頁，共86頁。非線性體系：（1） 物理非線性；（2）幾何非線性（大變形）。此體系的應(yīng)用條件是：（1）應(yīng)力、應(yīng)變滿足虎克定律；（2）變形微?。鹤冃吻昂蠼Y(jié)構(gòu)尺寸、諸力作用位置不變，位移計算可用疊加原理；（3）體系幾何不變，約束為理想約束。第5頁，共86頁。9-2 虛功和虛功

3、原理一、虛功一個不變的力所做的功是以該力的大小與其作用點沿力方向相應(yīng)位移的乘積來衡量。W=PW 功，單位是NmP力 與力相應(yīng)的位移把此式的定義擴大： 實功是力在自身引起的位移上所作的功。 虛功是力在虛位移上作的功。如力與位移同向，虛功為正，反向時，虛功為負。（9-1）第6頁，共86頁。1、廣義力與廣義位移作功的兩方面因素：力、位移。與力有關(guān)的因素，稱為廣義力S。與位移有關(guān)的因素，稱為廣義位移。 廣義力與廣義位移的關(guān)系是：它們的乘積是虛功。即：W=P1）廣義力是單個力，則廣義位移是沿此力作用線方向的線位移。2）廣義力是一個力偶，則廣義位移是它所作用的截面的轉(zhuǎn)角，即角位移。第7頁，共86頁。3）若

4、廣義力是等值、反向的一對力P這里是與廣義力相應(yīng)的廣義位移。表示AB兩點間距的改變，即AB兩點的相對位移。4）若廣義力是一對等值、反向的力偶 m這里是與廣義力相應(yīng)的廣義位移。表示AB兩截面的相對轉(zhuǎn)角。PPABABmmAB第8頁，共86頁。2、虛功 為了與實功相區(qū)別，虛功的虛是指力作功的位移不是由該力本身引起的，則： 作功的力與相應(yīng)于力的位移彼此獨立無關(guān)。虛功 = 力 相應(yīng)于力的位移獨立無關(guān)第9頁，共86頁。二、剛體體系虛功原理的兩種應(yīng)用 對于具有理想約束的剛體體系，其虛功原理為：設(shè)體系上作用任意的平衡力系，又設(shè)體系發(fā)生符合約束條件的無限小剛體體系位移，則主動力在位移上所作的虛功總和恒等于零。即：

5、 W e = 0 理想約束約束力在可能位移上所作的功恒等于零的約束，如：光滑鉸鏈、剛性鏈桿等。 剛體 具有理想約束的質(zhì)點系。剛體內(nèi)力在剛體的可能位移上所作的功恒為零。（9-2）第10頁，共86頁。 虛功原理（又稱虛位移原理、虛力原理）用于討論靜力學(xué)問題非常方便，是分析力學(xué)的基礎(chǔ)。 因為虛功原理中平衡力系與可能位移無關(guān)，所以既可把位移視為虛設(shè)的，也可把力系視為虛設(shè)的。 根據(jù)虛設(shè)的對象不同，虛功原理有兩種應(yīng)用形式，解決兩類不同的問題。 虛功原理的兩種不同應(yīng)用，不但適用于剛體體系，也適用于變形體體系。第11頁，共86頁。1、求靜定結(jié)構(gòu)的未知約束力 應(yīng)用虛功原理計算靜定結(jié)構(gòu)某一約束力X（包括支座反力或

6、任一截面的內(nèi)力）步驟如下： （1）撤除與X相應(yīng)的約束，代以相應(yīng)的約束力X，使原來的靜定結(jié)構(gòu)變?yōu)榫哂幸粋€自由度的機構(gòu)，約束力X變成主動力X，X與原來的力系維持平衡。 （2）令機構(gòu)發(fā)生一剛體體系的可能位移，沿X正方向相應(yīng)的位移為單位位移，即x=1，這時，與荷載P相應(yīng)的位移為p，得到一個虛位移狀態(tài)。第12頁，共86頁。（3）在平衡力系和虛位移之間建立虛功方程X1+P p=0（4）求出單位位移x=1與p之間的集合關(guān)系，代入虛功方程，得到X=-P p這種求約束力和內(nèi)力的方法，稱單位位移法。見教材P137例9.1第13頁，共86頁。2、求靜定結(jié)構(gòu)的未知位移例1： 圖示簡支梁，支座A向上移動一已知距離c1

7、,現(xiàn)在擬求B點的豎向線位移B。解：已給位移狀態(tài);虛設(shè)力狀態(tài)，在擬求位移B方向上加一單位荷載FP=1，形成平衡力系。c1BFP=1FR1= - b/a第14頁，共86頁。虛功方程：B 1+c1FR1 =0 由平衡方程求出：FR1 = - b/a B=FPc1=b/a c1注： a、虛設(shè)力系，應(yīng)用虛功原理，稱為虛力原理。若設(shè)FP=1，稱為虛單位荷載法。 b、虛功方程在此實質(zhì)上是幾何方程。即利用靜力平衡求解幾何問題。 c、方程求解的關(guān)鍵，在于擬求方向虛設(shè)單位荷載，利用力系平衡求出與c1相應(yīng)的R1,即利用平衡方程求解幾何問題。 上述方法也可稱為“單位荷載法” c1BFP=1FR1= - b/a第15頁

8、，共86頁。 d、通過上例可推出靜定結(jié)構(gòu)支座移動時，位移計算的一般公式。 注：因為靜定結(jié)構(gòu)在支座移動作用下，不產(chǎn)生反力、內(nèi)力，也不引起應(yīng)變；所以屬于剛體體系的位移問題，可用剛體虛功原理求解。第16頁，共86頁。3、支座移動時靜定結(jié)構(gòu)的位移計算（屬剛體體系的位移計算問題） 當(dāng)支座有給定位移ck時（可能不止一個）， （a）沿擬求位移方向虛設(shè)相應(yīng)單位荷載，并求出單位荷載作用下的支座反力FRK。 （b）令虛擬力系在實際位移上作虛功，寫虛功方程：（c）由虛功方程，解出所求位移：（9-3）（9-4）第17頁，共86頁。 例1: 圖示三鉸剛架，支座B下沉c1，向右移動c2。求鉸 C的豎向位移CV和鉸左右截面

9、的相對角位移C。l/2l/2lc1 c2 CV C第18頁，共86頁。l/2l/2lc1 c2 CV C實際狀態(tài)FP=11/21/21/41/4虛擬狀態(tài) CV =-FRKcK=- -1/2c1 1/4c2 =c1/2+ c2/4 ()第19頁，共86頁。l/2l/2lc1 c2 CV C實際狀態(tài)C=-FRK cK=- -1/lc2=c2 /l ( )MP=11 /l1 /l第20頁，共86頁。BABA1AB虛功方程： 例2、懸臂梁在截面B處由于某種原因產(chǎn)生相對轉(zhuǎn)角d，試求A點在ii方向的位移 。 解：在B處加鉸（將實際位移狀態(tài)明確地表示為剛體體系的位移狀態(tài)）。 A點加單位荷載FP=1，在鉸B處

10、虛設(shè)一對彎矩M（為保持平衡）第21頁，共86頁。BABA1A 例3、懸臂梁在截面B處由于某種原因產(chǎn)生相對剪位移d，試求A點在ii方向的位移 。 解：、在B截面處加機構(gòu)如圖（將實際位移狀態(tài)明確地表示為剛體體系的位移狀態(tài)）。 、A點加單位荷載FP=1，在鉸B處虛設(shè)一對剪力Q（為保持平衡）第22頁，共86頁。 例4、懸臂梁在截面B處由于某種原因產(chǎn)生軸向位移d 試求A點在方向的位移 。BABABA1由平衡條件：虛功方程： 當(dāng)截面B同時產(chǎn)生三種相對位移時，在ii方向所產(chǎn)生的位移，即是三者的疊加，有：第23頁，共86頁。9-3 結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式變形體的位移計算 結(jié)構(gòu)屬于變形體，在一般情況下，結(jié)構(gòu)內(nèi)部

11、產(chǎn)生應(yīng)變。結(jié)構(gòu)的位移計算問題，屬于變形體體系的位移計算問題。采用方法仍以虛功法最為普遍。 推導(dǎo)位移計算一般公式有幾種途徑： 1、根據(jù)變形體體系的虛功方程，導(dǎo)出位移計算的一般公式。 2、應(yīng)用剛體體系的虛功原理，導(dǎo)出局部變形的位移公式；然后應(yīng)用疊加原理，導(dǎo)出變形體體系的位移計算公式。 第24頁，共86頁。一、局部變形時的位移計算公式基本思路：dsRdsdsRds（1）三種應(yīng)變：設(shè)靜定結(jié)構(gòu)中的某個微段ds出現(xiàn)局部變形，微段兩端相鄰截面出現(xiàn)相對位移。而結(jié)構(gòu)的其他部分沒有變形，仍然是剛體，分析局部變形所引起的位移。軸線曲率R為桿件軸向變形后的曲率半徑B彎曲應(yīng)變A第25頁，共86頁。dsRdsdsRds1

12、（2）微段兩端相對位移：軸向伸長應(yīng)變平均剪切應(yīng)變BA第26頁，共86頁。續(xù)基本思路：設(shè) 三種相對位移還存在，相當(dāng)于整個結(jié)構(gòu)除B截面發(fā)生集中變形外，其他部分都是剛體未變形，即剛體位移，于是可以利用剛體虛功原理求局部變形位移。（3）應(yīng)用剛體虛功原理求出點A的位移d即前例的結(jié)論?；颍?-5）第27頁，共86頁。二、結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式如果結(jié)構(gòu)由多個桿件組成，則整個結(jié)構(gòu)變形引起某點的位移為：若結(jié)構(gòu)的支座還有給定位移，則總的位移為：由疊加原理： 總位移=疊加每個微段變形在該點(A)處引起的微小 位移d（9-6）第28頁，共86頁。單位荷載虛功 = 所求位移其中包含：彎曲變形對位移的影響（9-7）軸向變

13、形對位移的影響（9-8）剪切變形對位移的影響（9-9）支座移動對位移的影響（9-10）第29頁，共86頁。 變形體虛功原理 各微段內(nèi)力在應(yīng)變上所作的內(nèi)虛功總和Wi ，等于荷載在位移上以及支座反力在支座位移上所作的外虛功總和We 。即：（9-11）（9-12）第30頁，共86頁。適用范圍與特點：2） 形式上是虛功方程，實質(zhì)是幾何方程?！窘o出已知變形（內(nèi)部變形、0 和支座位移ck），與擬求位移之間的關(guān)系。】關(guān)于公式普遍性的討論：（1）變形類型：軸向變形、剪切變形、彎曲變形。（2）產(chǎn)生變形的因素：荷載、溫度改變、支座移動等。（3）結(jié)構(gòu)類型：梁、剛架、拱、桁架等靜定、超靜定。（4）材料種類：彈性與非彈

14、性，各種變形固體材料。1） 適于小變形，可用疊加原理。第31頁，共86頁。位移計算公式也是變形體虛功原理的一種表達式。dsdsK 1dsdsdsdsdsdsds外虛功：內(nèi)虛功：第32頁，共86頁。三、結(jié)構(gòu)位移計算的一般步驟 已知結(jié)構(gòu)桿件各微段的應(yīng)變、0（根據(jù)引起變形的原因而定），支座移動ck，求結(jié)構(gòu)某點沿某方向的位移。1、沿欲求方向設(shè)FP=1。 2、根據(jù)平衡條件求出FP=1作用下的M、FN、FQ、FR。3、根據(jù)公式 可求出。注意正負號： 位移計算公式中各乘積表示，力與變形方向一致，乘積為正，反之為負。 求得為正，表明位移的實際方向與所設(shè)單位荷載方向一致。第33頁，共86頁。9-4 荷載作用下的

15、位移計算一、荷載作用下的結(jié)構(gòu)位移計算公式 根據(jù)公式 本節(jié)討論中，設(shè)材料是線彈性的。在此，微段應(yīng)變 、 、 0 是由荷載引起的（實際位移狀態(tài)），由荷載內(nèi)力應(yīng)力應(yīng)變順序求出。（9-6）第34頁，共86頁。由材料力學(xué)公式可知： 荷載作用下相應(yīng)的彎曲、拉伸、剪切應(yīng)變可表示為： 彎曲應(yīng)變： = MP /EI 軸向應(yīng)變： = NP /EA (9-13) 平均剪切應(yīng)變： 0= k QP /GA第35頁，共86頁。式中： NP， QP ， MP是荷載作用下，結(jié)構(gòu)各截面上的軸力，剪力，彎矩。注意這是在實際狀態(tài)下的內(nèi)力。E，G材料的彈性模量和剪切彈性模量。A，I桿件截面的面積和慣性矩。EA，GA ， EI桿件截面

16、的抗拉，抗剪，抗彎剛度。k是與截面形狀有關(guān)的系數(shù)（剪應(yīng)力分布不均勻系數(shù)） 計算公式 （9-14）第36頁，共86頁。 將（9-14）代入（9-6）可得荷載作用下平面桿件結(jié)構(gòu)彈性位移計算的一般公式：（9-15）將位移計算問題轉(zhuǎn)化為兩種狀態(tài)下的內(nèi)力計算問題。正負號規(guī)定：N 、 NP 拉力為正；Q 、 QP 同材料力學(xué)M、 MP使桿件同側(cè)纖維受拉時，乘積為正。第37頁，共86頁。二、各類結(jié)構(gòu)的位移計算公式（1）梁和剛架：位移主要由彎曲變形引起。 （2）桁架：各桿只有軸力，且各桿截面和各桿軸力沿桿長一般為常數(shù)。（9-16）（9-17）第38頁，共86頁。（3）組合結(jié)構(gòu)：一些桿件主要受彎，一些桿件只有軸

17、力。（4）拱： 扁平拱及拱的合理軸線與拱軸相近時： 通常情況： （9-18）（9-19）（9-20）第39頁，共86頁。例: 簡支梁的位移計算。 求圖示簡支梁中點C的豎向位移CV 和截面B的轉(zhuǎn)角B。解：求C點的豎向位移。 虛擬狀態(tài)如圖；FP=11/2 實際狀態(tài) 虛擬狀態(tài)MP=q(lx-x2)/2M=x/2QP=q(l-2x)/2Q=1/2 因?qū)ΨQ性，只計算一半。三、 荷載作用下的位移計算舉例第40頁，共86頁。 討論剪切變形和彎曲變形對位移的影響： 設(shè)簡支梁為矩形截面，k=1.2, I /A= h2 / 12, 橫向變形系數(shù) =1/3, E/G=2(1+ )=8/3。 Q / M = ( kq

18、l2/8GA)/(5ql4/384EI) =9.6/l2kE/G I /A = 2.56(h/l)2l/20第41頁，共86頁。當(dāng) h/l =1/10時, 則：Q / M =2.56 對一般梁來說，可略去剪切變形對位移的影響。 但當(dāng)梁h/l1/5時, 則：Q / M =10.2則對于深梁，剪切變形對位移的影響不可忽略。第42頁，共86頁。求截面B的轉(zhuǎn)角B 。 虛擬狀態(tài)如圖所示。M=11/l實際狀態(tài) 虛擬狀態(tài)MP=q(lx-x2)/2M= - x/l 計算結(jié)果為負，說明實際位移與虛擬力方向相反。1/l第43頁，共86頁。例: 圖示一屋架，屋架的上弦桿和其他壓桿采用鋼筋混凝土桿，下弦桿和其他拉桿采

19、用鋼桿。 試求頂點C的豎向位移。解： （1）求NP先將均布荷載q化為結(jié)點荷載FP=ql/4 。求結(jié)點荷載作用下的FNP 。第44頁，共86頁。0.278l0.263l0.263l0.088l0.278l0.444l1111/21/2FNP3.002.02.0- 4.74- 4.42- 0.951.504.500.278l0.263l0.263l0.088l0.278l0.444l10.50.5FN（2） 求-1.58-1.58001.51.5第45頁，共86頁。第46頁，共86頁。9-5 圖乘法一、圖乘法的適用條件 計算彎曲變形引起的位移時，要求下列積分：符合下列條件時，積分運算可轉(zhuǎn)化為圖乘運

20、算，比較簡便。適用條件為：（1）桿軸為直線；（2）桿段 EI = 常數(shù)；（3）M和MP中至少有一個是直線圖形。第47頁，共86頁。二、圖乘公式 圖示為AB桿的兩個彎矩圖。 M為直線圖形， MP 為任意圖形。 該桿截面抗彎剛度EI=常數(shù)。OOMP圖 M圖由M圖可知：M= y= x tandxdA=MPdxyxCxCyCAB第48頁，共86頁。= xC tana=yC=(M MP /EI)ds= 由此可見，當(dāng)滿足上述三個條件時，積分式的值就等于MP圖的面積A乘其形心所對應(yīng)M圖上的豎標(biāo)yC，再除以EI。 正負號規(guī)定： A與yC在基線的同一側(cè)時為正，反之為負。A xC tana1EIAyC1EI（9-

21、21）第49頁，共86頁。三、應(yīng)用圖乘法計算位移時的幾點注意1、應(yīng)用條件： 桿段必須是分段等截面（直桿）；EI不能是x的函數(shù)；兩圖形中必有一個是直線圖形，yC取自直線圖形中。2、正負號規(guī)定： A與yC同側(cè)，乘積 A yC取正； A與yC不同側(cè)，則乘積A yC取負。3、幾種常用圖形的面積和形心位置： 見書P.146,圖9.13，注意正面積和斜面積是相同的。 曲線圖形要注意圖形頂點位置。 第50頁，共86頁。 4、如果兩個圖形均為直線圖形，則標(biāo)距yC可取自任何一個圖形。 5、當(dāng)yC所屬圖形是由幾段直線組成的折線圖形，則圖乘應(yīng)分段進行。在折點處分段圖乘，然后疊加。（為什么？）A1y1A2y2A3y3

22、 當(dāng)桿件為階段變化桿件時（各段EI=常數(shù)），應(yīng)在突變處分段圖乘，然后疊加。（為什么？）第51頁，共86頁。6、把復(fù)雜圖形分為簡單圖形 （使其易于計算面積和判斷形心位置） 取作面積的圖形有時是不規(guī)則圖形，面積的大小或形心的位置不好確定?？煽紤]把圖形分解為簡單圖形（規(guī)則圖形）分別圖乘后再疊加。 第52頁，共86頁。 （1）、如兩圖形均為梯形，不必求梯形形心，可將其分解為兩個標(biāo)準(zhǔn)三角形進行計算。ABCDabMPlcdMC1yC1C2yC2ACDMPC1aADBbMPC2MP=MP+MP=(1/EI)MMPds =(1/EI) M(MP+MP)ds=(1/EI)(al/2)yC1+(bl/2) yC2

23、=l6EI(2ac+2bd+ab+bc)yC1=c+1/3(d-c)=1/3d+2/3cyC2=c+2/3(d-c)=2/3d+1/3c第53頁，共86頁。 (2)、左圖也可分為兩個標(biāo)準(zhǔn)三角形，進行圖乘運算。ABCDabMPcdMlC1yC1yC2C2C1abC2MPMP=(1/EI)(al/2)yC1+(bl/2) yC2其中: yC1=2c/3 - d/3 yC2= (2d/3 - c/3)=l6EI(2ac+2bd-ab-bc)O第54頁，共86頁。（3）、一般情況 右圖所示為某一段桿(AB)的MP圖?？蓪⒋藞D分解為三個圖形，均為標(biāo)準(zhǔn)圖形，然后與M圖圖乘，圖乘后疊加。第55頁，共86頁。

24、四、示例例1、求懸臂梁中點C的撓度CV，EI=常數(shù)。解： （1）、設(shè)虛擬力狀態(tài)如圖，作M和MP。由于均為直線圖形，故AP可任取。FPl/2l/2CVFPMPFP l1l/2MA5FP l/6 M: A=1/2l/2l/2=l2/8MP: yC=5/6FP lCV=AyC /EI =(l2/85/6FP l)/EI =5FP l3/48EI () 第56頁，共86頁。(2)、討論若： AP=1/2FPll=Pl2/2 yC=1/3l/2=l/6CV=APyC /EI =(FPl2/2l/6)/EI =FP l3/12EI()對否？錯在哪里？FPl/2l/2CVFPMPFP lAP1l/2Ml/6

25、第57頁，共86頁。FPl/2l/2CVFPAP1l/23、正確的作法AP1=1/2FP ll/2=FP l2/4 y1=l/3AP2=1/2FP l/2l/2=FP l2/8 y2=l/6AP3=1/2FP l/2l/2=FP l2/8 y3=0FP lCV=APyC/EI =(FP l2/4l/3+ FP l2/8 l/6+FP l2/8 0)/EI =5FP l3/48EI ()第58頁，共86頁。60kN12kN例: 圖示剛架，用圖乘法求B端轉(zhuǎn)角B ; CB桿中點D的豎向線位移DV。各桿EI=常數(shù)。EI=常數(shù) 解: 1、作荷載作用下結(jié)構(gòu)的彎矩圖。72kN72kN12kN第59頁，共86

26、頁。25245=1/8106290MP圖 (kNm)2、作虛擬力狀態(tài)下的圖M。M=11M3、求B。圖乘時注意圖形分塊。C1C2y1y2C3C4y3y412*6+1/2*10*62=25212*6+60*3=2521/4*60*6=901/2*90*1/2*6*2/3+ 1/2*90*1/2*6*1/3=1/2*90*6 * (1/2)第60頁，共86頁。2524590MP圖 (kNm)14、作虛擬力狀態(tài)下的圖 M。5、求CV，圖乘時注意圖形分塊。3M (m)81C1C2C3C4C5y1y2y3y4y545/4=1/32ql2第61頁，共86頁。例：q=16kN/m64kNm64kNm16kNm

27、16kNm 求鉸C左右截面相對轉(zhuǎn)角C。 各桿EI=5104 kNm2 。解： 作荷載作用下的彎矩圖；虛擬力作用下的彎矩圖。 （注意：斜桿彎矩圖的做法；各彎矩圖的單位。）第62頁，共86頁。32=1/8164232C=2(1/2805)(2/35/8)+(1/2805)(2/35/8+1/31) -(2/3325)(1/25/8+1/21)/EI kNm m kN/m2 =0.005867 （弧度） 方向與虛擬力方向一致。第63頁，共86頁。9-6 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時的位移計算 平面桿件結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式在此：， 由溫度作用引起。注意靜定結(jié)構(gòu)特征： 組成：無多余約束的幾何不變體系； 靜力：溫

28、度作用下靜定結(jié)構(gòu)無反力、內(nèi)力；桿件有變形，結(jié)構(gòu)有位移。 溫度作用時由于材料熱脹冷縮，使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生變形和位移。第64頁，共86頁。1、溫度變化時靜定結(jié)構(gòu)的特點：（1）有變形（熱脹冷縮） 均勻溫度改變（軸向變形）； 不均勻溫度改變（彎曲、軸向變形）； 無剪切變形。（2）無反力、內(nèi)力。第65頁，共86頁。2、微段由于溫度改變產(chǎn)生的變形計算設(shè)溫度沿截面厚度h直線變化。（1）軸向伸長（縮短）變形： 設(shè)桿件上邊緣溫度升高t10，下邊緣升高t20。形心處軸線溫度： t0 =(h1t2+h2t1)/h （截面不對稱于形心軸時） t0 =(t2+t1)/2 （截面對稱于形心軸時） du = ds = t0 ds

29、材料線膨脹系數(shù)。ds形心軸 +t1 +t2 t0 h h1 h2t1dst2dsdud第66頁，共86頁。 (2) 由上下邊緣溫差產(chǎn)生的彎曲變形： 上下邊緣溫差 t = t2 t1 d= ds = (t2-t1)/h ds=t /h ds（3）溫度作用不產(chǎn)生剪切變形 ds =03、溫度作用時位移計算公式（9-22）第67頁，共86頁。如t0，t和h沿每桿桿長為常數(shù)，則：（9-23） 正負號：軸力FN以拉力為正，t0以溫度升高為正。彎矩M和溫差t用其乘積定正負號，比較虛擬狀態(tài)的變形與實際狀態(tài)中由于溫度變化引起的變形，若使桿同側(cè)產(chǎn)生拉伸變形時，則取正號，反之，則取負號。 剛架（梁）中由溫度變化引起

30、的軸向變形不可忽略。第68頁，共86頁。例： 圖示剛架，施工時溫度為200C，試求冬季當(dāng)外側(cè)溫度為-100C，內(nèi)側(cè)溫度為00C時，點A的豎向位移AV，已知=10-5，h=40cm（矩形截面）。l=4ml=4mA00C-100C外側(cè)溫度改變：t1= - 10 20 = - 300內(nèi)側(cè)溫度改變：t2 = 0 20 = - 200-300C-200C第69頁，共86頁。l=4ml=4mA-300C-200CFP=1FNFN=0FN= -1FP=1lMt0=(t1+t2)/2=（ -3020）/2= - 250t= t2 - t1= - 20 -（- 30）=100AV= (-25) (-1) l+(

31、-)10/h (1/2ll+ll) = - 0.5 cm ( )第70頁，共86頁。提問：（1）、若當(dāng)結(jié)構(gòu)某些桿件發(fā)生尺寸制造誤差，要求結(jié)構(gòu)的位移，應(yīng)如何處理？ 應(yīng)根據(jù)位移計算的一般公式進行討論。 特點：除有初應(yīng)變（制造誤差）的桿件外，其余桿件不產(chǎn)生任何應(yīng)變。在有初應(yīng)變的桿件中找、即可。第71頁，共86頁。（2）、靜定結(jié)構(gòu)由荷載、溫度改變、支座移動、尺寸誤差、材料漲縮等因素共同作用下，產(chǎn)生的位移應(yīng)如何計算？ 可先分開計算，在進行疊加第72頁，共86頁。9-7 線性變形體系的互等定理狀態(tài)狀態(tài)一、功的互等定理 貝蒂（ E. Betti 意 18231892）定理FP1FP1FR1FP2211212

32、dsds 令狀態(tài)上的力系在狀態(tài)的位移上作虛功第73頁，共86頁。 令狀態(tài)上的力系在狀態(tài)的位移上作虛功 比較（a）、（b）兩式，知： W12=W 21 （9-24）FP112= FP221或?qū)憺椋?虛功W有兩個下標(biāo)，第一個下標(biāo)表示做功的力系狀態(tài)，第二個下標(biāo)表示相應(yīng)的變形狀態(tài)。第74頁，共86頁。功的互等定理： 在任一線性變形體系中，第一狀態(tài)外力在第二狀態(tài)位移上作的虛功W12，等于第二狀態(tài)上的外力在第一狀態(tài)上作的虛功W21。功的互等定理應(yīng)用條件：（1）材料彈性，應(yīng)力與應(yīng)變成正比。 （2）小變形，不影響力的作用。即 為線性彈性體系。第75頁，共86頁。應(yīng)用時注意： 廣義力 廣義位移對應(yīng) 由：W12=FP112 ， W21=FP221 有：W12=W21， FP112=FP212 FP1122M2M212112第76頁，共86頁。 二、位移互等定理 （位移影響系數(shù)互等）位移互等