知識講解立體幾何中的向量方法基礎

1、立體幾何中的向量編稿：趙雷審稿：李霞【學習目標】1理解直線的方向向量與平面的法向量。能用向量方法證明有關直線和平面的平行與垂直。能用向量方法解決直線與直線、直線與平而、平而與平面的夾角的計算問題。能用向量方法計算兩點、點線、點面、面面距離?！疽c梳理】要點一、直線的方向向量和平面的法向量1直線的方向向量：若A、B是直線1上的任意兩點，則rAB為直線1的一個方向向量：與TAB平行的任意非零向量也是直線丄的方向向量。要點詮釋：在直線上取有向線段表示的向量，或在與它平行的直線上取有向線段表示的向量， 均為直線的方向向量。在解具體立體幾何題時，直線的方向向量一般不再敘述而直接應用，可以參與向 量運算或

2、向量的坐標運算。平面的法向量定義：已知平面？，直線1?,取丄的方向向量a有？?a,則稱為M為平面？的法向量。要點詮釋：一個平面的法向量不是唯一的，在應用時，可適當取半面的一個法向量。已 知一平面內兩條相交直線的方向向量，可求出該平面的一個法向量。平面的法向量確定通常有兩種方法：兒何體中有具體的直線與平面垂直，只需證明線面垂直，取該垂線的方向向量即 得平面的法向量：幾何體中沒有具體的直線，一般要建立空間直角坐標系，然后用待定系數(shù)法求解， 一般步驟如下：設出平面的法向量為n= (x, y, z)：找出(求出)平面內的兩個不共線的向量的坐標a= (an bi, ci), b= (a2, b2, C2

3、)：根據(jù)法向量的定義建立關于X、y、Z的方程OOnanb?:解方程組，取其中的一個解，即得法向量.由于一個平面的法向量有無數(shù)個, 故可在代入方程組的解中取一個最簡單的作為平面的法向量.要點二、用向量方法判定空間中的平行關系空間中的半行關系主要是指：線線平行、線面半行、面面平行。線線平行設直線l. =1的方向向量分別是a, b則要證明-ll,只需證明/ab,即()kk?RabO線面平行線面半行的判定方法一般有三種：設直線丄的方向向量是a,平面？的向量是u,則要證明/1?,只需證明?au,即0?auo根據(jù)線面平行的判定定理：要證明一條直線和一個平面平行，可以在平而內找一個向 量與已知直線的方向向量

4、是共線向量。根據(jù)共面向量定理可知，耍證明一條直線和一個平面平行，只要證明這條直線的方向 向量能夠用平面內兩個不共線向量線性表示即可。(3)面面平行由面面半行的判定定理，要證明面面半行，只要轉化為相應的線面平行、線線平行即 可。若能求出平面？，？的法向量U, V,則要證明/?,只需證明/UV。要點三、用向屋方法判定空間的垂直關系空間中的垂直關系主要是指：線線垂直、線面垂直、面面垂直。線線垂直設直線J, J的方向向量分別為a, b,則要證明I=Il?,只需證明？ab,即0?ab.線面垂宜設直線丄的方向向量是a,平面？的向量是u,則要證明1?,只需證明/au0根據(jù)線面垂直的判定定理轉化為直線與半面內

5、的兩條相交直線垂直。面面垂直根據(jù)面面垂直的判定定理轉化為證相應的線面垂直、線線垂直。證明兩個平面的法向量互相垂直。要點四、用向量方法求空間角(1)求異面直線所成的角 已知a, b為兩異面直線，A, C與B, D分別是a, b上的任意兩點，a, b所成的角為？,y則T TITTI I IACBDACBD?O 要點詮釋：兩異而直線所成的角的范圍為（0o,90oo兩異面直線所成的角可以通過這兩 直線的方向向量的夾角來求得，但二者不完全相等，當兩方向向量的夾角是鈍角時，應 取其補角作為兩異面直線所成的角。（2）求直線和平面所成的角設直線丄的方向向量為a,平面？的法向量為u,直線與平面所成的角為？，a

6、與U的角為？,則有 I I Sin I COS IlllI ?auau角，ZAEB+ZAPB= 180。（3）求二面角 如圖，若PA?Ta, PB? B, PAB交丄T E,則ZAEB為二面角1?的平面若z2nn分別為面？，？的法向量，TT TT TTci2i2, arccos | I | I nnnnnn?則二面角的平面角x,AEB?rm或x,?rm,即二面角？等于它的兩個面的法向量 的夾角或夾角的補角。當法向量Ln與m的方向分別指向二面角的內側與外側時，二面角？的大小等于m,：n的夾角iz,?nn的大小。當法向量m的方向同時指向二而角的內側或外側時，二面角？的大小等丁m, m的夾角的補角i

7、2z?nn的大小。要點五、用向量方法求空間距離1.求點面距的一般步驟：4求出該平面的一個法向量；4找出從該點出發(fā)的平面的任一條斜線段對應的向量：求出法向量與斜線段向量的數(shù)量積的絕對值再除以法向量的模，即可求出點到平面的 距離。即：點川到平面？的距離I I ABndn?_1 ?,其中B?, T n是平面4?的法向量。42.線面距、面面距均可轉化為點面距離，用求點面距的方法進行求解。直線a與平面?4之間的距離：I IABndn?,其中，AaB?T?4, n4是平面?的法向量。之間的距離:IIABndn?,其中，AB?, n是平面？的法向量?！镜湫屠}】類型一、求平面的法向量 例1已知點(1z0,1

8、)A732z0)B5z52)C,求平面ABC的一個法向量?！舅悸伏c撥】利用待定系數(shù)法，列方程組求面ABC的法向量。nABjI【解析】(2,2,：L)AET?, (4,5,3)AC-1?設面ABC的法向量(,z ) nxyz4_F 丄 AC,即 OOnABnAC?I2204530XyZXyz?,解得 2, zxzyz?, 令 Ix?,則(I,2,2)n7f?向量(l,2z2)nT4?為平而ABC的一個法向量：【總結升華】一般情況下求法向量用待定系數(shù)法。由丁法向量沒規(guī)定長度，僅規(guī)定了方向，所以有一個口由度，可把4n的某個坐標設為再求另兩個坐標。平面法向量是垂直丁平而的向量，故法向量的相反向量也是法

9、向量。舉一反三：【變式1】在棱長為1的正方體ABCD-AlBICIDI中，如圖建立空間直角坐標系，則平面ABIC的一個法向1：為(A(1, 0, 1) B(1, -1, 0) C(1, 1, -1) D(1, 1, -2) 【答案】C分別寫出T AC、1AB的坐標，去驗證四個向量中的哪個向量與AC、AB均垂直即可?！咀兪?】如圖，在長方體ABCD-AiBiCiDi中，AB=AAi=I, AB=2,點E為AB的中點,【答案】如圖,求平面CDlE的一個法向量。建立空間直角坐標系D-xyz,則 A (1, O, O), B (1, 2, O), C (0, 2、O), DI (O, 0, 1), 所

10、以 E (1, 1, 0)所以(IZIZO) CE? ?, 1 (0z 2,1) CD?-?o設平面CDIE的法向n= (x, y, z),貝IhOCET ?n, 0CD?-1?no所以 02Oxyyz?,所以 2xyzy?O令 y=l,則 X= 1, z=2所以平面CDIE的一個法向量為（1, 1, 2）。類型二、利用向量研究平行問題例2、如圖，在四棱錐OABCD?中，底面ABCD為矩形，OA?底面ABCD,2OA?,22ADAB?, M為OA的中點，N為BC的中點，求證：直線MN Il平面OCDO【思路點撥】證明直線MN的方向向量和平面OCD的法向量垂直?！窘馕觥咳鐖D,分別以ABADAo所

11、在直線為ZZXyZ軸建立空間直角坐標系Axyz?,V(IZIZ I) MN?J (IZOrO) DC?J (0f 2,2) DO?法一：V 12MNDCDO?, MNDCDO 共面乂 MN?平而 OCD, DC?平面 OCDD0?平面 OCDDCDO=DMN? Il 平面 OCD法二：設平面 OCD 的法向量為(，,)nxyz?,貝 NABCDOMyxzNABCM. TOC o 1-5 h z OOnDOnDC?1! T4 T ?,即2200yzx?,取 Iz?,得(0,1,1)M?(IZIZl) (OZIZI) OMNn?H 4匚？， T乂 MN?平面 OCD, MN? Il Ynn OCD

12、O【總結升華】立體幾何中的證明線面平行(/I?), 一般先求出平面？的法向量是U，再證明？Iu,即 0?IUo舉一反三：【變式1】在棱長為3的正方體ABCD-AiBiCiDigNLN分別為AIB和AC廠一上的點，23AMANa??！敬鸢浮咳鐖D，建立空間直角坐標系，則 AI (a a, 0), B (a 0, a), C (O, O a ) A ( a, 3t 3)t貝J 21 (z z ) 33Maaa, 22 (ZZ) 33Naaa, _ TOC o 1-5 h z 所以 2 (z0, ) 33aMNa?1?。而平面BBlClC的一個法向量為(0,l,0)7no所以 OMN7i4?n ,所以

13、?n0所以MN平面BBlCICO【變式2 (2015鄒城市校級模擬)設平面？的一個法向量為1(lz2z2)n7H?,平面？的一個法向量為2(2z4z)nk?W?,若/?,則k=()A. 2B. -4 C一2 D. 4【答案】D【解析】平面?的一個法向量為i(12z2)?-!?,平面?的一個法向量為z(2f4f )nk?T?,V/?.由題意可得24122k?,： k=4oFyEDICIBIAICDBA故選：DO 例3.已知棱長為1的正方體ABCD-AIBICIDl中，E、F、M分別是AiCi AID 和BlA 上任一點，求證：平面AIEF平面BiMC.【解析】如圖建立空間直角坐標系，貝IJ Il

14、CA= (-1, 1, 0) , CBI= (-1, 0, -1) DAI= (1, 0, 1),. ABl= (Ot -1, -1)設 IlICAEA? DAFAI1?,ABMBl1? (?、?、？R?,且均不為0)設m一 . 2分別是平面AlEF與平面BIMC的法向量,T T0亠？CAr?On?FAn0n?DAn?O in?CAnOn?DAn解得：In= (1, 1, 1)由 0?MBn 可得 Ox?ABr? 即0匸?ABnOx：?CBnO-?CBn0?CBn解得=n= (1, 1, 1),所以 m=-2,Iri：n,所以平面AIEF平面BiMC.【總結升華】證兩個面？、？平行，只需求出平

15、面？、？的法向量u, V.再證出/UV即可。舉一反三：【變式】如圖所示，在直三棱柱ABC-AiBiCi中，ZABC=90 , BC=2, CC=4,點E在線段BBI 上，HEBi=I, D. F、G 分別為 CCn CiBi. ClAl 的中點。求證：平面EGF平面ABDo【答案】如圖所示，由條件，知BA, BC, BBi兩兩互相垂直，以B為坐標原點，BA、 BC、BB所在直線分別為X軸、y軸、Z軸建立直角坐標。由條件知 B (0, 0, 0)、D (0, 2、2), BI (0, 0, 4),設 BAF則 A (a, O, 0)o所以(ZOZO) BAa?, (0z2r2)BD?, (0,2

16、 z 2) BD?oIOBDBA?, 044OBDBD?o所以BID丄BA, BID丄BDo因此BID丄平面ABD (1)由 E、F、G 的定義，知 E(0, 0, 3)、(fl,4)2aG.F(0, 1, 4)。_ 所以(，1,1) 2aEG?, (0丄I)ELl?,10220BDEG? T ?, iO22OBDEF?4 T所以BID丄EG, BID丄EF。所以BlD丄平面EFGo結合(1),可知平面EGF平面ABD。類型三、利用向量研處垂直問題例4如右圖，在四棱錐P-ABCD ,底面ABCD是正方形,側棱PD丄底面ABCD. PD=DC, E是PC的中點，作EFPB交PB于F,證明：直線P

17、A平面EDB：直線PB丄平面EFD【思路點撥】線面的平行、垂直的問題，建立恰當?shù)目臻g直角坐標系來解，不僅容易找 到解題方向，而Il坐標也簡單，本題的“垂直”問題轉化為“兩向量數(shù)量積為0”的問 題?！窘馕觥?以DA、DC、DP所在的直線分別為X軸、y軸、Z軸建立如圖所示的空間直 角坐標系.設 PD=DC=2,貝I得下列各點的坐標 D (0, 0, 0), A (2, 0, 0), B (2, 2, 0), C (0, 2, 0),P (0, 0, 2)TE 是 PC 的中點，E (0, 1, 1), - T (2,0,2) AP?T?,(0丄 I)DET?,(2, Iz DBE?M?,AAPDE

18、BETeM T T ?乂 PA?平面 EDB, PA 平面 EDB.V (2 2z 2) BP?,乂 (2,2,2) (0z1D0BPDE?M T ?,BPDE-T?，BPDE乂 BP丄EF, H EF DE=E.所以直線 PB丄K EFD.【總結升華】證明線面垂直，霊耍證明這條直線對應的向量和平面內兩條相交直線對應 的向量的數(shù)量積均為0舉一反三：【變式】在正方體ABCD-AIBIClDl中，E、F分別為BB- DC的中點，求證：DlF丄平 面ADE.【答案】如圖所示，不妨設正方體的棱長為1_ ,且設DA = i_ ,DC = j， DD = k,以i、j、k的坐標向量建立空間直角坐標系Dxy

19、z, _.貝IJ AD= (1,0,0 ) , FDi=- (0f21rl), 一 FD = (-l, 0 0) (0 , 21, -1)=0,AD丄AD.F. , 乂 AE = (0, 1 , 21)FDI = (O- , 21, HYPERLINK file:/.AE /.AEK FDI = (0, 1 , 21) (0 , 21, -1) =21 21 = 0.AE丄DiF, 乂 AErlAD=A, ADiF丄平面 ADE例5在正方體ABCD-AIBlCID中,AB=2, E. F分別是BBi, CD的中點。求證：半面AED?平而IIADF【解析】如圖建立空間直角坐標系，貝IJA000)

20、,D(Ozo),A(0O2), Dl022), E(2Q1),F(12O) (2X),1)AET?,1 (1,0z 2) DF?-)?, 11 (0z 2 O)ADH ?7210 01 (2) OAEDF?I T ?, n20 0210OAEAD?AEDZxAEAdT?即二AEDF?, IIAEAD?乂 VlllIDFADD?, ?AE?平面-ADF,TEA?半面 AED,?平面 AED?平而 ilADF.【總結升華】(I)用向量法證明面面垂直，就是證兩個面的法向量的數(shù)量積為0： 設 in (, , ) xyz?a, 222 (f , ) xyz?b,則 IHXOXXyyZz?ab(2)建立恰

21、當?shù)闹苯亲鴺讼悼梢院喕蛄糠ń鉀Q問題時的計算量。 舉一反三：【變式】平面ABCD丄平而ABEF ABCD是正方形，ABEF是矩形，Jlz 2IaADAF?G是EF的中點,求證:平面AGC丄平面BGC；則A (Of 09 0), B (0, 2a, 0), C (0 2a, 2a), G ( Cl s 0), F (a, 0, 0) TOC o 1-5 h z (z 0) (0,2z 2) AGaaACaa?T?,(0) , (0,0,2) BGaaBCa?TT?,設平面AGC的法向量為 in (z , 1) nxyil?9IiimiOlO (IrIZ 1)2201OaXayXAGnnayayA

22、Cn?-!設平面BGC的法向量為2C2(1, Z ) nyz7 001 (1,1, 0) 201 OBGnaayynaZzBCn?-1AizOnn4M 4?即 ICnniI 4?平IHl AGC丄平面 BGC；類型四、利用向量求空間角【高清課堂：立體兒何中的向量方法399112例題1】例6如圖，在正方體IllIABCDABCD7,點E, IF分別是AB,CD的一個四等分點，求IBE與IDF所成的角的余弦值.【思路點撥】EE與】DF所成的角就是LTBE, IDF所成的角或它的補角.因此，我們可以通過】IBE, :DF的坐標表示，計算出它們的數(shù)量積與模，進而求出它們所成角的余弦值.【解析】不妨設正

23、方體的棱長為1，分別以1, , DADC-I I IDD為單位正交基底建立空間直角坐標系Oxyz,則 h31(110),(l,zDr (0zz0), (OZZI) 44BEDF.所以,31(l,1) (1,1,0) (0,l)44BE?!?,ill (0, , 1) (0,0,0) (Oz , 1) 44DF?H?j_ ,:T174BE?J_ ,T174DF7,lll500 () 114416BEDF777-4 T ?999 16.171717 4 4BEDFBEDFBEDF?因此,IBE與二DF所成的角的余弦值是1517.【總結升華】用空間向量法來研究兩條異面直線所成的角的一般步驟是：建立適

24、當?shù)目?間坐標系f確定相應的點的坐標一確定相應的點的向量的坐標一用夾角公式確定兩條 異面直線所成的角.舉一反三：【變式】長方體ABCD-A 1 BlCIDI中，E、F分別為AB、BICI中點，若AB = BC =2, AA=4,試用向量法求：CFEA與1的夾角的余弦值.【答案】如圖，建立空間坐標系，則D(0, 0, 0)、A(2, 0, 0),B(2, 2、0) C(0, 2, 0)、A(2, 0 , 一 4)、B(2, 2, 4)、CI(0, 一 2一 , 4).由題設可知E(2,l, II I I0)_ ,F(1,2,4).(1)令CFEA與丄的夾角為0則COSO =1716?CFEACF

25、EA. CFEA與1的夾角的余弦值為1617?.【高清課堂: 立體幾何中的向量方法399112例題2】例7.已知正方體IlllABCDABCD?,點F是BC的中點，點E在IICD上,且m4CDED?, 求直線EF與平面LACD所成角的正弦值.【解析】設正方體棱長為4,建立空間直角坐標系D-yz,則知 A(400),C(T,4,0), D(0,0,4) , (0 1,4) (2,4,0) .EF,)nxyzACD?是平面的法向量11, Z (4z4z0), (4,0,4) nACnADACAD?1! I得 44044OnAClXynADXZ?199? 令 IZ (IZ IZ 1) xn?得(2,

26、 3, 4) EF? =T匚+23487COSZ 87 I | | 329 _ EFnEFnEFn?直線EF與平面IACD所成角的正弦值為8787.【總結升華】用傳統(tǒng)幾何法求直線與半面所成的角，關鍵是找出與已知平面垂直的直線，從而確定斜 線在面內的射影，得到斜線和平面所成的角，計算在三角形中進行.用向量法求直線與半面所成的角，關鍵是建立恰當?shù)淖鴺讼担蟪鲂本€對應向量的坐標 和平面的法向量坐標，由夾角公式及線面角與線線角的關系得到結果.舉一反三：【變式1】如圖，直三棱柱ABC-AIBlCI中，底面是等腰直角三角形，ZACB = 90。，側 棱AA = 2, D、E分別是CCI與AIB的中點，點E

27、在平面ABD上的射影是AABD的重 心G。求AIB與平面ABD所成角的大小(結果用正弦值表示)；【答案】如圖所示，建立坐標系，坐標原點為C,設CA=2a,則A(2a, 一 0一，0), B(0,2a, 0), D(0, 0, 1), A(2a, 0, 2), E(a, a, 1), G(?T 21, z333aa) , 4.9? 2 Z 333aaGE?- I?0?,?0,2r IBDa?,a?,c22033GEBE-)112,333GE?,?_ 7i2,2z2AB?T GE為平面ABDT T的法向量,中點證明MN平而PAB：IL Hi2cos, 3 AB GEABGEABGE?O AIB與平

28、面ABD所成角的正弦值是32o【變式2】（2016新課標全國III）如圖,四棱錐P-ABCD中，PA丄底面ABCD,M為線段AD 一點，AM = 2MD. N為PC的BXyZAII）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.【答案】(I)證明：由已知得223AMAD?,取BF的中點T,連接AT, TN,由N為PC中點知TN/7 BC, 122TNBC?, 乂 ADBC,故Z TNAM,四邊形AMNT為平行四邊形，于是MN/7AT因為AT?平面PAB, MN?平面PAB,所以MN平面PAB.(II)取BC的中點E,連接AE,由AB=AC得AE丄ADJAE的方向為J 且 222252BCAEABBEA

29、B?以 A 為坐標原點，T520(122C5T5(02z4) zlz2) ,lz2)2-l2 PMPNAN?.yz?_為平HnPMN的法向量,則廠=0一 =OnPMnPN?, 即 24 = 052 = 024yzxyz?, 可得(0 XC 21)11?,85cos25I IX軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz,由題意知，P(0, 0. 4), M(0, 2,I I IiANnANnAN? 例8己知棱長為1的正方體ABCD -AiBiCiDi,求平面AIB 與平面ABCD所成的二面角的余弦值。【思路點撥】可建立空間直角坐標系，求出兩個半面的法向量，通過法向量的夾角進行 求解.【解析

30、】如圖建立空間直角坐標系，IlCA= (-1, 1 一，0) 一，BAL= (0, 1, 一1)設1f n、山分別是平面AIBCl與平面ABCD的法向量，On?BAn可解得m= (1, 1 1)Oiii?CAnZyXDIAlDBICIIrlCBA 一易知 m= (0, 0, 1),所以，212121 Z COSnnnnnn?v =33 所以平面AIBCl與平面ABCD廠一所成的二面角的余弦值為33廠一或一33.【總結升華】用法向量的夾角求二面角時應注意：平面的法向量有兩個相反的方向，取 的方向不同求出來的角度當然就不同，所以最后還應該根據(jù)這個二面角的實際形態(tài)確定其大小.舉一反三：【變式】如圖，

31、三棱錐 PABC?中，90ABC?, 1PA7, 3AB?, 2AC?, PA?面ABC,求二面角APCB?的余弦值。【答案】在直角ABC?中廠，3AB?, 2AC?, AlBC?,如圖所示，以A為坐標原點，過AIL平行于BC的直線為X軸，AB、AP所在直線為y 軸、Z軸，建立空間直角坐標系FrT T 廠 T T T*IT H -H 嗎 T 嗎 T rJT(0 3,0)B, (1,3, O)C, (Oz O, 1) P.AAP(OZOZ 1)?, AC(13z0)?, PB(0z31)?, BC(IrOZO)?,設平面 PAC 的法向量(ZZ) mabc?,則 APm?t ACm?,AAPOACOmm?,即 03Ocab?, 令 Ib?,貝IJ 3a?, (3, 1,0)m?, ZyXABCPBCP.設平面PBC 的法向量(,z ) nxyz?,則 PBn4 T?, BCn4 T ?,?T 即 30Oyzx?,(0zlz3)n?, I I I 310013PB0BC0mm?M T 令 ly? J ,則 3z2,!OIOICOs,4呻 dH 4 mnmnmn?, 故二面角APCB?的余弦值為41.類型五、利用向量求空間距離例 9長方體 ABCD-IILIDCBA 中，AB=4, A