人教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué) 18.2.3 第1課時(shí) 正方形的性質(zhì) 教案

1、18.2.3正方形第1課時(shí)正方形的性質(zhì)1掌握正方形的概念、性質(zhì)，并會(huì)用它們進(jìn)行有關(guān)的論證和計(jì)算；(重點(diǎn))2理解正方形與平行四邊形、矩形、菱形的聯(lián)系和區(qū)別(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入做一做：用一張長(zhǎng)方形的紙片(如圖所示)折出一個(gè)正方形學(xué)生在動(dòng)手中對(duì)正方形產(chǎn)生感性認(rèn)識(shí)，并感知正方形與矩形的關(guān)系問(wèn)題：什么樣的四邊形是正方形？二、合作探究探究點(diǎn)一：正方形的性質(zhì)【類型一】 特殊平行四邊形的性質(zhì)的綜合 菱形，矩形，正方形都具有的性質(zhì)是()A對(duì)角線相等且互相平分B對(duì)角線相等且互相垂直平分C對(duì)角線互相平分D四條邊相等，四個(gè)角相等解析：選項(xiàng)A不正確，菱形的對(duì)角線不相等；選項(xiàng)B不正確，菱形的對(duì)角線不相等，矩形的對(duì)角線不互

2、相垂直；選項(xiàng)C正確，三者均具有此性質(zhì)；選項(xiàng)D不正確，矩形的四條邊不相等，菱形的四個(gè)角不相等故選C.方法總結(jié)：正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì)【類型二】 利用正方形的性質(zhì)解決線段的計(jì)算或證明問(wèn)題 如圖所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，AC是對(duì)角線，AE平分BAC，EFAC于點(diǎn)F.(1)求證：BECF；(2)求BE的長(zhǎng)解析：(1)由角平分線的性質(zhì)可得到BEEF，再證明CEF為等腰直角三角形，即可證BECF；(2)設(shè)BEx，在CEF中可表示出CE.由BC1，可列出方程，即可求得BE.(1)證明：四邊形ABCD為正方形，B90.EFAC，EFA90.AE平分BAC，BEEF.又AC是正

3、方形ABCD的對(duì)角線，AC平分BCD，ACB45，F(xiàn)ECFCE45，EFFC，BECF；(2)解：設(shè)BEx，則EFCFx，CE1x.在RtCEF中，由勾股定理可得CEeq r(2)x.eq r(2)x1x，解得xeq r(2)1，即BE的長(zhǎng)為eq r(2)1.方法總結(jié)：正方形被每條對(duì)角線分成兩個(gè)直角三角形，被兩條對(duì)角線分成四個(gè)等腰直角三角形，因此正方形的計(jì)算問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化到直角三角形和等腰直角三角形中去解決【類型三】 利用正方形的性質(zhì)解決角的計(jì)算或證明問(wèn)題 在正方形ABCD中，點(diǎn)F是邊AB上一點(diǎn)，連接DF，點(diǎn)E為DF的中點(diǎn)連接BE、CE、AE.(1)求證：AEBDEC；(2)當(dāng)EBBC時(shí)，求AF

4、D的度數(shù)解析：(1)根據(jù)“正方形的四條邊都相等”可得ABCD，根據(jù)“正方形每一個(gè)角都是直角”可得BADADC90，再根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可得AEEFDEeq f(1,2)DF，根據(jù)“等邊對(duì)等角”可得EADEDA，再得出BAECDE，然后利用“SAS”證明即可；(2)根據(jù)“全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等”可得EBEC，再得出BCE是等邊三角形根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得EBC60，然后求出ABE30.再根據(jù)“等腰三角形兩底角相等”求出BAE，然后根據(jù)“等邊對(duì)等角”可得AFDBAE.(1)證明：在正方形ABCD中，ABCD，BADADC90.點(diǎn)E為DF中點(diǎn)，AEEFDEeq f(1,2)

5、DF，EADEDA.BAEBADEAD，CDEADCEDA，BAECDE.在AEB和DEC中，eq blc(avs4alco1(ABCD，,BAECDE，,AEDE，)AEBDEC(SAS)；(2)解：AEBDEC，EBEC.EBBC，EBBCEC，BCE是等邊三角形，EBC60，ABE906030.EBBCAB，BAEeq f(1,2)(18030)75.又AEEF，AFDBAE75.方法總結(jié)：正方形是最特殊的平行四邊形，在正方形中進(jìn)行計(jì)算時(shí)，要注意計(jì)算出相關(guān)的角的度數(shù)，要注意分析圖形中有哪些相等的線段等探究點(diǎn)二：正方形性質(zhì)的綜合應(yīng)用【類型一】 利用正方形的性質(zhì)解決線段的倍、分、和、差關(guān)系

6、如圖，AE是正方形ABCD中BAC的平分線，AE分別交BD、BC于F、E，AC、BD相交于O.求證：(1)BEBF；(2)OFeq f(1,2)CE.解析：(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)可求得ABEAOF90.由于AE是正方形ABCD中BAC的平分線，根據(jù)“等角的余角相等”即可求得AFOAEB.根據(jù)“對(duì)頂角相等”即可求得BFEAEB，BEBF；(2)連接O和AE的中點(diǎn)G.根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)即可證得OGBC，OGeq f(1,2)CE.根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求得OGFFEB，從而證得OGFAFO，OGOF，進(jìn)而證得OFeq f(1,2)CE.證明：(1)四邊形ABCD是正方形，ACBD，ABEAOF

7、90，BAEAEBCAEAFO90.AE是BAC的平分線，CAEBAE，AFOAEB.又AFOBFE，BFEAEB，BEBF；(2)連接O和AE的中點(diǎn)G.AOCO，AGEG，OGBC，OGeq f(1,2)CE，OGFFEB.AFOAEB，OGFAFO，OGOF，OFeq f(1,2)CE.方法總結(jié)：在正方形的條件下證明線段的關(guān)系，通常的方法是連接對(duì)角線構(gòu)造垂直平分線，利用垂直平分線的性質(zhì)、中位線定理、角平分線、等腰三角形等知識(shí)來(lái)證明，有時(shí)也利用全等三角形來(lái)解決【類型二】 有關(guān)正方形性質(zhì)的綜合應(yīng)用題 如圖，正方形AFCE中，D是邊CE上一點(diǎn)，B是CF延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且ABAD，若四邊形ABCD的

8、面積是24cm2.則AC長(zhǎng)是_cm.解析：四邊形AFCE是正方形，AFAE，EAFCAFB90.在RtAED和RtAFB中，eq blc(avs4alco1(ADAB，,AEAF，)RtAEDRtAFB(HL)，SAEDSAFB.S四邊形ABCD24cm2，S正方形AFCE24cm2，AEEC2eq r(6)cm.根據(jù)勾股定理得ACeq r(（2r(6)）2（2r(6)）2)4eq r(3)(cm)故答案為4eq r(,3).方法總結(jié)：在解決與面積相關(guān)的問(wèn)題時(shí)，可通過(guò)證三角形全等實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，使不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)變成我們熟悉的圖形面積，從而解決問(wèn)題三、板書設(shè)計(jì)1正方形的定義和性質(zhì)四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形是正方形對(duì)邊平行，四條邊都相等；四個(gè)角都是直角；對(duì)角線互相垂直、平分且相等，并且每一條對(duì)角線平分