7.1.2　復數(shù)的幾何意義

1、復數(shù)的幾何意義學習目標核心素養(yǎng).理解可以用復平面內(nèi)的點或以原點為起點的向量 來表示復數(shù)及它們之間的 對應關(guān)系.（重點、難 點）.掌握實軸、虛軸、模等概念.（易混點）.掌握用向量的模來表示復數(shù)的模的方法.（重點）.通過復數(shù)的幾何意義，體 會直觀想象的素養(yǎng).借助復數(shù)的幾何意義解 題，培養(yǎng)數(shù)學運算的素養(yǎng).自主預習。探新Mlu新知初探二u新知初探二ZIZHLJYCJXI TAZXIZNHI1.復平面思考：實軸上的點表示實數(shù)，虛軸上的點表示虛數(shù)，這句話對嗎？提示不正確.實軸上的點都表示實數(shù)；除了原點外，虛軸上的點都表示 純虛數(shù)，原點對應的有序?qū)崝?shù)對為（0,0）,它所確定的復數(shù)是z=0+0i = 0,表示

2、 的是實數(shù).復數(shù)的幾何意義復數(shù)z=a+6i_對應/ 對應/對復平面內(nèi)的點Z（q,6）絲J復平面的向量OZ.復數(shù)的模定義：向量OZ的模叫做復數(shù)z=+0i的模.（2）記法：復數(shù)z=o+Z?i的模記為|z|或|+0i|且|2|=、/層+.共聊復數(shù)當兩個復數(shù)的實部相等,虛部互為相反數(shù)時，這兩個復數(shù)叫做互為共數(shù)復數(shù).復數(shù)z的共軟復數(shù)用5表示，即如果z=a+bi,那么分=a一歷.G初斌身手G.復數(shù)2=-i,復平面內(nèi)對應點Z的坐標為( )A. (0, -1)B. (-1,0)C. (0,0)D. (-1, -1)A 復數(shù)z=-i的實部為0,虛部為一1,故復平面內(nèi)對應點Z的坐標為(0, -1).向量。=(一2

3、,1)所對應的復數(shù)是()A. z=l+2iB. z=l2iC. z 1 +2iD. z=-2 + iD 向量 = ( 21)所對應的復數(shù)是z=2 + i.復數(shù)z=l+2i(i是虛數(shù)單位)，那么|z|=.y5 /z=l +2i,|z| =d 12 + 22=4.合作探究。提素養(yǎng)HEZUOTANJIU TISUYANC金型：復數(shù)與復平面內(nèi)的點的關(guān)系* - a-6【例1】 求實數(shù)分別取何值時，復數(shù)z=+(2 2-15)i(R)對應的點Z滿足以下條件：(1)在復平面的第二象限內(nèi)；(2)在復平面內(nèi)的光軸上方.思路探究：|確定z的實部、虛部|一|列方程(不等式組)解(1)點Z在復平面的第二象限內(nèi)，a2a6

4、0,那么4十32。一 150,解得a0,解得a5或a 求向量。4 + 05和AC對應的復數(shù)；求平行四邊形ABCD的頂點D對應的復數(shù). - 解(1)由得。4, OB, OC所對應的復數(shù)分別為l+4i, -3i,2,那么OA=(1,4), 05=(0, -3), OC=(2,0), 因此04 + 03=(1/)，AC=0C-0A = (l9 -4),故04 + 03對應的復數(shù)為1+i, AC對應的復數(shù)為14i.(2)法一：由得點A, B, C的坐標分別為(1,4), (0, -3), (2,0),那么AC 的中點為停，2),由平行四邊形的性質(zhì)知BD的中點也是(|, 2),假設(shè)設(shè)Z)(xo, yo)

5、,0+xo 3那么有-3+yo2xo=3, 解得1 故0(3,7).州=7,法二：由得。4 = (1,4), 03=(0, -3), 0c=(2,0),所以A4 = (l,7), BC = (2,3),-A-A -A由平行四邊形的性質(zhì)得區(qū)4+5C=(30),- -A -所以00=03+30=(3,7),于是 0(3,7).規(guī)律方法復數(shù)與向量的對應和轉(zhuǎn)化-A對應：復數(shù)Z與向量0Z是一一對應關(guān)系.轉(zhuǎn)化：復數(shù)的有關(guān)問題轉(zhuǎn)化為向量問題求解.解決復數(shù)問題的主要思想方法有：(一)轉(zhuǎn)化思想：復數(shù)問題實數(shù)化；(二)數(shù) 形結(jié)合思想：利用復數(shù)的幾何意義數(shù)形結(jié)合解決；(三)整體化思想：利用復數(shù)的 特征整體處理.頷跟

6、匾訓練,.在復平面內(nèi)，A, B, C三點對應的復數(shù)分別為1,2+i, -l+2i. (1)求向量A3, AC, BC對應的復數(shù)；(2)判定ABC的形狀. TOC o 1-5 h z 解(1)由復數(shù)的幾何意義知： -A04 = (1,0), 05=(2/)，0。=(一1,2), -A- 所以AB=0804 = (1,1), AC=0CQA = (2,2), 3C=0C03=( 一3/),-A -A所以AB, AC, 8。對應的復數(shù)分別為1+i, -2+2i, -3 + i. (2)因為|A3|=啦，AC = 2y29 BC=y109 A-A所以 |A3|2+|AC|2 = |8C12,所以ABC

7、是以為斜邊的直角三角形.、類型3復數(shù)的模及其應用、一 一，探究問題.設(shè)復數(shù)z=x+yi(x, yR),那么|z|等于多少？其幾何意義是什么？提示|z|=df+y2,其表示復平面內(nèi)的點(x, y)到原點(0,0)的距離.復數(shù)z滿足|zi| = l,其幾何意義是什么？提示由Izi| = l可知點z到點(01)的距離為1.【例3】(1)設(shè)(l+i)x=l+yi,其中x, y是實數(shù),那么|%+yi|=()A. 1B.也C.y3D. 2(2)復數(shù)z滿足z+|z|=2+8i,求復數(shù)z.(1)B 因為(l+i)x=x+xi=l+yi,所以 x=y=l, x+yi = 11 + i| =/l2+l2 = 也，

8、應選B.(2)解 設(shè) z=+歷m, Z?eR),那么因=2+廬,代入方程得 a+Z?i+q?P = 2+8i,a+y+b2 = 29a= -15,A 解得0=8,b=S.z= -15 + 8i.規(guī)律方法.復數(shù) z=a+bi 模的計算：z=ya+P.復數(shù)的模的幾何意義：復數(shù)的模的幾何意義是復數(shù)所對應的點到原點的 距離.轉(zhuǎn)化思想：利用模的定義將復數(shù)模的條件轉(zhuǎn)化為其實虛部滿足的條件、 是一種復數(shù)問題實數(shù)化思想.2.假設(shè)復數(shù)z=f+（-一是實數(shù),那么 Z1 = (-1) + (12)i 的模為.29 為實數(shù)，屋一一6=0,:=2 或 3.丁=2 時，z 無意義,，q=3,Z.zi=2-5i, .|zi

9、|=V29.復數(shù)z=3+i,且|z|4,求實數(shù)。的取值范圍.解 法一：z=3+ai(aR), /.|z|=/32 + 6z2,由得 32+。242,(木,3).法二：利用復數(shù)的幾何意義，由|z|v4知，z在復平面內(nèi)對應的點在以原點為 圓心，以4為半徑的圓內(nèi)（不包括邊界），由z=3 + i知z對應的點在直線x=3上， 所以線段AB（除去端點）為動點Z的集合.由圖可知：一巾 2.設(shè)。為原點,向量。4, 08對應的復數(shù)分別為2+3i, 3 2i,那么向量84對應的復數(shù)為(B. 1-iD. 5 + 5iA. - 1 +iC. -5-5iD 由題意知，。4 = (2,3), 0B=( 3, -2),：.BA = OA-OB=(5,5，對應的復數(shù)為5+5i,應選D.復數(shù)z=O3) + (ml)i的模等于2,那么實數(shù)”的值為()A. 1 或3 B. 1 C. 3 D. 2A 依題意可得國(加一3p+(加一1)2 = 2,解得2=1或3,應選