03第三講函數(shù)的連續(xù)性與導數(shù)、微分概念

1、Mathtriones同方教育Teacher Xialim f x A第三講：函數(shù)的連續(xù)性與導Axaf x數(shù)、微分的概念一、單項選擇題（每小題 4 分，共 24 分）1若 f x 為是連續(xù)函數(shù)，limABxalim f x ACxa Alimf (x)Dxaf 0 1, f 1 0 ，且 u連續(xù)f xf x解：limlimA1 xaxa則lim fx sin (x )B0 x選 B f xA -1 C1解： 原式, x 0D 不存在4設 F x x f 0, x 01 sinlim f 連續(xù)x f lim x sin 1 f x 在 x 0 處可導， f 0 0,f且x x x 1xf 0 0

2、 ,則 x 0 是 F x 的()f 1 0 ，選 BA 可去間斷點 B 跳躍間斷點C 無窮間斷點 D 連續(xù)點mf x ln 1 kx x 在點 x 0 處連2 要使解：lim F x lim f x f 0 f 0,f 0 補充定義的數(shù)值是(續(xù)，應給)x 0 x0 x0k mekmf 0 f 0 F 0 ，A kmBx 0故 x 0 是 F x 的第一類可去間斷點。選 AC ln kmDm 1解： lim f x ln lim(1 kx) x 0 在 x 0 處5f()x0 x00, x 0lim kx m ln ex0 ln ekm kmxA 極限不存在B極限存在但不連續(xù)D可導但不連續(xù)C連

3、續(xù)但不可導 f 0 km選 Af 0 0 0 ，且解：lim ff (x) 3 若 limA，則下列正確的是 xa f x 在 x 0 連續(xù)，又 f 0（）1Mathtriones同方教育Teacher Xiax sin 1 08若 f x 為可導的偶函數(shù)，則 f 0 解：（1） f x 為偶函數(shù)， f x f x lim x 不存在， f x 在 x 0 x 0 x0不可導選 C(2) f x 可導， f x f x f 0 f 0 x2 1, x 1故f x 在 x 1 可導，則6設ax b, x 1a, b 為（）2 f 0 0f 0 0即A a 2, b 2B a 0, b 29設 y

4、 6x k 是曲線 y 3x2 6x 13 的一條切線，則 k C a 2, b 0D a 1, b 1解：（1） f x 在 x 1 連續(xù)，解：（1）y 6, y 6x 2 lim x2 1 2, lim ax b a b（2）62k 346213,12k 121213,故 k 1x1故 a b 21x1f 0 x10 若 y f (x) 滿足： f (x) x 12 （2） f1 lim 2, f1 x xx 1x1 x ，且lim 0 x0 lim ax b 2 1 lim a x 1 af 0 =則x 1x 1x1x1 a 2 ，代入1 得b 0 ，選 C二、 填空題（每小題 4 分，

5、共 24 分）f 0 lim f x f 0解：x 0 x0f 0 = lim x x 1 0 17設 f (x) 為連續(xù)奇函數(shù)，則xx0解：（1） f x 為奇函數(shù)，f x f x11 設 f (x) 在 x 2 連續(xù)，且 f (2) =4， lim f x lim f x （2）4 則lim f (x0 x0 x 4 2x2又 f x 在 x 0 連續(xù)x 2 4解： 原式= f (2) limx 42 f 0 f 0f 0 0 x2故2Mathtriones同方教育Teacher Xia1 4 1 14 f x 在 x 0 處連續(xù) 4 limx2 x 2 x 1（2）在 x 1 處， li

6、m 0 0,x112 f的間斷點個數(shù)為ln 1 t ln x x 1 tx 1 0 lim 1lim2解： 令x 1tx1x0 f x 在 x 1 不連續(xù)x 1為間斷點，f x 有三個間斷點設 f (x) 有連續(xù)的 導函數(shù)， 且故15 三 、計算題（每小題 8 分，共 64 分） f x asinx,x0Fx sin 2x e2ax 1b 若x, x 0A,x013 已知 f (x) xa, x 0在 x 0 連續(xù)，求常數(shù) A。在, 上連續(xù)，求 a 的值解： f x 在 x 0 連續(xù)f x f 0 asin x解：lim F x limxx0 x0 lim f x f 0 lim a sin

7、xsin 2x e2ax 1x 0 xlim f x limx0 x0 xx0 x0f 0 a 1sin 2xe2ax limlim 2 2a且 F 0 A ， a b A答 A a bxxx0 x0f 0 a, 2 2a a ex 1且, x 016 設 f (x) 在 x 0 可導，x故 a 2kx b, x 0 1ex , x 0求 k, b 的值。f (x) 0, 0 x 1 在 x 0, x 114ex 1解：（1） f x 在 x 0 連續(xù)，lim1 1xx0連續(xù)性lim (kx b) b 故有 b 1x01解：（1）在 x 0 處， lim ex 0, lim 0 0（2） f

8、x 在 x 0 可導x0 x0f 0 0且3Mathtriones同方教育Teacher Xiax a x 在 x a 是否可f (x) ex 1 181f 0 lim x導，其中 x 在 x a 連續(xù)。x 0 x0 x a x 0lim 0 f a 1 x 0 解：（1） lim1exexx a12xa limx22xx0 x0 x a xlimkx 11xf 0 lim k,x axax0 k 1 ，答k 1 , b 1連續(xù) lim x a22xaln(1 ax) , x 017設 f (x) x a x 0 x a在 x 0 可xf a lim（2）1, x 0 xaf 0 x a xl

9、imlim x 連續(xù) a導，求 a 與x axaxa解：（1） f x 在 x 0 連續(xù)，當 a 0 時， f x 在 x a 連續(xù)，答：f x lim ln 1 ax lim ax a limx0當 a 0 時， f x 在 x a 不連續(xù)xxx0 x0f 0 1，故有a 11且19 求 f (x) 的間斷點，并間斷（2） f x 在 x 0 可導ln(1 x) 1點類型x 1解：（1）間斷點：f 0 lim xxx01（2） 在 x 0 處： lim 0 0 x01 1 1ln 1x2 limf x 的第一類間斷點。 x 0 是2xx0 x01 x 1121 lim （3） 在 x 1 處

10、： lim x0 2x x 1x1f 0 1f x 的第二類無窮間斷點。答： a 1, x 1為24lnxlnxlnxMathtriones同方教育Teacher Xiax 1（4）在 x 1 處： lim 1 x1 x 1e, x 0 x120 設 f (x) ln 1 x, 1 x 0f x 的第二類無窮間斷點 x 1是x 0f (x) 的間斷點，并判斷間斷點的類型。解：（1） x 1 為間斷點， x 0 可能是間斷點。（2）在 x 1 處：22已知 f (x) ax bx cx d,0 x 1，32x 1在, 可導，求 a, b, c, d 之值解：（1） f x 在 x 0 連續(xù)，11

11、 lim ex1 e 0, lim ex1 x1 x 1是x1f x 的第二類無窮間斷點 lim ax3 bx2 cx d d（3）在 x 0 處：1x0lim x x 0, f 0 021, lim ln 1 x 0 lim ex1 ex0故 d 01（2） f x 在 x 0 可導x0 x 0 是x0f x 的第一類跳躍間斷點四、 綜合題（每小題 10 分，共 20 分）1 121 求 f (x) x 1 的間斷點，并判別x1x2 xf 0 lim1 1,x0 xx 1x間斷點的類型。ax3 bx2 cxf 0 lim c, x 1解： （1）間斷點：（2）在 x 0 處：xx0故有c 1

12、2（3） f x 在 x 1 連續(xù)，1x 1flim f x lim x 1 1 lim ax3 bx2 x f 1x0 x 1f x 的第一類可去間斷點x1x0f 1 0 x 0 是即 a b 1 x 1 處： lim f x lim x 1 0 a b 1 03（4） f x 在 x 0 可導：（3）在x1 x 1x1f x 的第一類可去間斷點 x 1是5Mathtriones同方教育Teacher Xiax2 x x 11 f 1 limusin, x 0 x，證明（1）f x x 124 設x10, x 0ax3 bx2 x f1 limf x 在 x 0 連續(xù)，當u 1 時，當u 0

13、 時x 1x1f x 在 x 0 可導 0 0 lim 3ax2 2bx 11 u 0時x1解：（1） lim x sinu0 xx0 3a 2b 1故有 3a 2b 04由（3）（4）解得 a 2, b 3 sin 1u 0 0 1, lim xuxx0f x 在 x 0 連續(xù)當u 0 時，答： a 2, b 3, c 1, d 0五、證明題（每小題 9 分，共 18 分）23 證明 x4 2x 4 0 在區(qū)間2, 2 內(nèi)至少有兩個實根。證：（1） f (x) 在2, 0連續(xù)，xu sin 1u1 sin 1 u 1時0(2)limx0u1 u 1 1x 1, lim x sin0 x0f x 在 x 0 可導當u 1 時，f 0 4 0, f 2 16 0且f x 在 x 0 連續(xù)總之，當u 0 時，由零點定理知，f (x) =0 在2, 0 上至少有一個實根。（2） f (x) 在0, 2 連續(xù),且f 0 4 0, f 2 16 4 8 0由零點定理知，f (x) =0 在0, 2 上至少有一