探究鱸魚的質(zhì)量估計(jì)的方法與應(yīng)用

1、探究魚的質(zhì)量估計(jì)的方法及應(yīng)用摘要此研究課題旨在探究按照測(cè)量魚的長度估計(jì)魚的質(zhì)量的方法，在已知8組魚的身長、質(zhì)量、胸圍數(shù)據(jù)的情況下，我們應(yīng)用機(jī)理分析的基本數(shù)學(xué)建模方法建立了三類合理模型，并應(yīng)用最小二乘擬合法進(jìn)行模型參數(shù)估計(jì)，最后用誤差分析法對(duì)估計(jì)的準(zhǔn)確程度進(jìn)行檢驗(yàn)，進(jìn)而對(duì)三類模型的精確度進(jìn)行評(píng)價(jià)校正并選出魚的身長和胸圍對(duì)其質(zhì)量影響描繪最準(zhǔn)確的模型二的加權(quán)系數(shù)法模型作為最終推薦模型。以下是我們建立的描繪魚的身長與胸圍對(duì)其質(zhì)量的影響的三類模型：模型一：分別研究身長和胸圍對(duì)質(zhì)量的影響。在此我們建立了三種身長對(duì)質(zhì)量以及胸圍對(duì)質(zhì)量影響的關(guān)系分別為一次函數(shù)、二次函數(shù)和三次函數(shù)，如上述方法分別對(duì)模型進(jìn)行參數(shù)估

2、計(jì)，誤差分析，估計(jì)準(zhǔn)確度檢驗(yàn)。將三種函數(shù)的誤差進(jìn)行比較再尋找出對(duì)質(zhì)量影響描繪最準(zhǔn)確的函數(shù)；模型二：研究身長和胸圍共同對(duì)質(zhì)量的影響。在此我們采用了兩種方法研究二者對(duì)質(zhì)量產(chǎn)生的共同影響：其一，利用加權(quán)系數(shù)法在模型一已得函數(shù)中加權(quán)重衍生出一種新函數(shù)關(guān)系；其二，建立質(zhì)量=f(身長,胸圍)模型，數(shù)形結(jié)合建立三維空間基本曲線進(jìn)行描繪。分別進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，誤差分析，準(zhǔn)確度評(píng)價(jià)；模型三：根據(jù)幾何的相關(guān)知識(shí)，將鱸魚化為兩個(gè)圓錐體底部對(duì)接的幾何體，建立體積對(duì)質(zhì)量影響的模型，進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，誤差分析，準(zhǔn)確度評(píng)價(jià)。關(guān)鍵詞：最小二乘法加權(quán)平均法方差準(zhǔn)確率對(duì)比測(cè)評(píng)長一、分別作用度估計(jì)生物學(xué)進(jìn)化論應(yīng)二、共同作用魚流體力學(xué)用的檢

3、驗(yàn)，比較，價(jià)胸質(zhì)評(píng)價(jià)，校正值圍三、體積作用量1問題重述垂釣俱樂部鼓勵(lì)垂釣者放生，獎(jiǎng)勵(lì)是按照魚的質(zhì)量分配的，由于要保持鱸魚的生命活性同時(shí)保證測(cè)量準(zhǔn)確公平，直接稱重顯然不合理不可行，于是只提供了一把軟尺用于測(cè)量，題中要求應(yīng)用機(jī)理分析建立模型，用給出的8組數(shù)據(jù)確定參數(shù)，設(shè)計(jì)較為準(zhǔn)確合理的方法來用長度估計(jì)魚的質(zhì)量。1問題分析本課題旨在根據(jù)幾組已知身長、質(zhì)量、胸圍數(shù)據(jù)以及生物學(xué)原理設(shè)計(jì)按照測(cè)量的長度估計(jì)魚的質(zhì)量的方法，但是在垂釣者眼里魚是有肥瘦之分，即使長度相同，也不能同等看待，為公平起見，我們必須將胸圍這一影響因素加入討論中。根據(jù)生物學(xué)原理，在一定X圍內(nèi)，質(zhì)量一定與身長或胸圍成正相關(guān)關(guān)系，我們不妨假設(shè)

4、這種關(guān)系為一次函數(shù)、二次函數(shù)或三次函數(shù)關(guān)系，有已知數(shù)據(jù)我們可以由最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。進(jìn)一步分析身長和胸圍共同對(duì)質(zhì)量的影響可以考慮兩種方法，一種是將身長和胸圍對(duì)質(zhì)量的影響關(guān)系用加權(quán)系數(shù)法表現(xiàn)出，還可假設(shè)一種二元函數(shù)求參數(shù)進(jìn)行估計(jì)?？紤]到身長和胸圍對(duì)質(zhì)量的影響皆是影響到了魚的體積，可進(jìn)一步分析魚的體積對(duì)質(zhì)量的影響。2模型假設(shè)與符號(hào)說明3.1模型假設(shè)池塘里的魚體型都是鱸魚，每條魚被釣上的幾率是相等的；魚的胸圍指魚身的最大周長；魚肉的質(zhì)量均勻，密度相等；不區(qū)別魚的雌雄且魚的肥瘦均勻；魚的橫截面相似且為圓，體型近似為兩個(gè)圓錐體底部對(duì)接。3.2符號(hào)說明符號(hào)說明單位x1魚的身長cm2魚的胸圍cmxgy魚

5、的質(zhì)量V魚的體積cm3R魚的最大周長所對(duì)應(yīng)半徑cm同時(shí)將題中所給的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)由左向右依次標(biāo)號(hào)，魚的身長依次為：x1112x18，魚的質(zhì)量依次為：y12y8，魚的胸圍依次為：x2122x28。,x,y,x3模型建立模型一機(jī)理分析法分別探究身長和胸圍對(duì)魚質(zhì)量的影響4.1.1一次函數(shù)模型2假設(shè)魚質(zhì)量和身長以及魚質(zhì)量和胸圍的關(guān)系都為一次函數(shù)關(guān)系，具體記為：y=a1x1+b1y=a2x2+b2其中：a1，b1，a2，b2都是參數(shù)。參數(shù)可以用題中所給的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)應(yīng)用最小二乘法擬合得到，具體操作如下：求a1,b1,a2,b2使目標(biāo)函數(shù)滿足條件,目標(biāo)函數(shù)為：miny(xk)-yk2(n=1,28)其中y(xk)是

6、魚質(zhì)量的估計(jì)值。通過matlab對(duì)模型的參數(shù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，求解模型得：a1=65.3b1=-1637.3a2=92b2=-1497.5程序詳見附表1。身長與質(zhì)量的關(guān)系一次函數(shù)胸圍與質(zhì)量的關(guān)系一次函數(shù)140016001300120014001100120010009001000800700800600600500400323436384042444640022242628303230204.1.2二次函數(shù)模型假設(shè)魚質(zhì)量和身長以及魚質(zhì)量和胸圍的關(guān)系都為二次函數(shù)關(guān)系，具體記為：2y=a1x1+b1x2+c12y=a2x2+b2x2+c2其中：a1,b1,c1,a2,b2,c2都是參數(shù)。參數(shù)估計(jì)方法同

7、一次函數(shù)模型。通過matlab對(duì)模型的參數(shù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，可得：a1=1.6247b1=-59.3124c1=709.7392a2=1.3b2=157.9c2=-2344.8程序詳見附表2。3身長與質(zhì)量的關(guān)系二次函數(shù)14001600胸圍與質(zhì)量的關(guān)系二次函數(shù)1300120014001100100012009001000800700800600600500400323436384042444640022242628303230204.1.3三次函數(shù)模型假設(shè)魚質(zhì)量和身長以及魚質(zhì)量和胸圍的關(guān)系都為三次函數(shù)關(guān)系，具體記為：y=a1x13+b1x12+c1x1+d132y=a2x2+b2x2+c2x2+d2

8、其中：a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2都是參數(shù)。參數(shù)估計(jì)方法同上，可得：a1=1b1=-80c1=3008d1=-37262a2=-12b=90c2=-2228程序詳見附表3。d2=18113身體與質(zhì)量的關(guān)系三次函數(shù)1400胸圍與質(zhì)量的關(guān)系三次函數(shù)140013001300120012001100110010001000900900800800700700600600500500400323436384042444640022242628303230204誤差分析利用方差對(duì)上述結(jié)果進(jìn)行誤差分析，其實(shí)質(zhì)上就是比較三種函數(shù)模型的目標(biāo)函數(shù)值的大小，目標(biāo)函數(shù)數(shù)值小的誤差小。由此可得:方法身

9、長誤差胸圍誤差一次函數(shù)關(guān)系1.6543e+0041.6258e+004二次函數(shù)關(guān)系9.8461e+0032.1530e+007三次函數(shù)關(guān)系2.0881e+0095.0456e+007程序詳見附表4。顯然，二次函數(shù)關(guān)系模型對(duì)魚質(zhì)量和身長的關(guān)系估計(jì)的更準(zhǔn)確，一次函數(shù)關(guān)系對(duì)魚質(zhì)量和胸圍的關(guān)系估計(jì)的更準(zhǔn)確。模型二機(jī)理分析法探究身長和胸圍共同對(duì)魚質(zhì)量的影響由模型一知胸圍和身長對(duì)質(zhì)量都有影響，因此在模型二中考慮二者共同對(duì)質(zhì)量的影響，采用兩種方法。4.2.1加權(quán)平均法對(duì)模型一的進(jìn)一步處理對(duì)模型一中胸圍和身長分別對(duì)質(zhì)量的影響加權(quán)平均。加權(quán)平均法是一種根據(jù)各種因素對(duì)結(jié)果影響大小對(duì)因素加不同權(quán)重的方法。公式：y=

10、am+bn(其中a,b分別為權(quán)重且滿足a+b=1，m,n分別為影響因素，若影響因素不止兩個(gè)，可以按此格式繼續(xù)擴(kuò)展)對(duì)于此研究課題影響因素分別為身長和胸圍，在模型一中已得出身長對(duì)質(zhì)量的影響函數(shù)為：2Y1=y=1.6247x1-59.3124x1+709.7392胸圍對(duì)質(zhì)量的影響函數(shù)為：Y2=y=92x2-1497.5對(duì)兩種因素加權(quán)重，此課題不妨取權(quán)重分別為0.5（根據(jù)需要也可取權(quán)重分別為0.4,0.6或0.6,0.4等）得出加權(quán)模型：Y=0.5Y1+0.5Y2誤差分析在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中我們已經(jīng)學(xué)過，方差具有一定的計(jì)算法則，例如：D（ax+b）=a2D(x)。我們很容易得到該模型的誤差，誤差為：

11、6.5260e+0034.2.2三維空間基本曲線模型假設(shè)魚質(zhì)量和魚身長、魚胸圍的關(guān)系為三維空間基本曲線函數(shù)關(guān)系，具體記為：22y=ax1+bx2+cx1x2+dx1+ex2+f其中a,b,c,d,e,f均為參數(shù)。參數(shù)估計(jì)方法同模型一，模型求解得：a=-0.0001b=0.7686c=1.1436d=0.0432e=0.02895f=0.0011程序詳見附表5。誤差分析利用方差對(duì)上述結(jié)果進(jìn)行誤差分析，誤差結(jié)果為：8.1896e+007身長、胸圍與質(zhì)量的關(guān)系6000500040003000200010000353050452540352030模型三機(jī)理分析法探究體積對(duì)魚質(zhì)量的影響關(guān)于魚的最大周長到

12、底處于魚體的何位置，在我們所建立的魚的近似幾何體（如圖）中，x2=2R;R=V1=R2l1;V2=R2l2;6=R2l1+R2l2R2(l1+l2)R2l;所以魚的體積和魚的胸圍處于魚體何處無關(guān)。則：V=;我們已假設(shè)魚的質(zhì)量均勻，則設(shè)：m=aV+b其中：a，b為正參數(shù)。參數(shù)估計(jì)方法同上，模型求解得：a=1.1587b=42.4279程序詳見附表6。誤差分析利用方差對(duì)上述結(jié)果進(jìn)行誤差分析，誤差分析結(jié)果為：7.0276e+004體積與質(zhì)量的關(guān)系160014001200100080060040040050060070080090010001100120013003004模型評(píng)價(jià)75.1模型比較模型誤

13、差模型一9.8461e+0031.6258e+004加權(quán)平均模型6.5260e+003三維空間基本曲線模型8.1896e+007體積質(zhì)量模型7.0276e+004由上表可知，加權(quán)平均模型是最優(yōu)之選。5.2優(yōu)點(diǎn)評(píng)述模型不僅可以應(yīng)用于本題的背景，其實(shí)，在魚苗魚種的生產(chǎn)中，需要對(duì)魚體的成長情況觀察了解，隨著望向培育魚種工藝的應(yīng)用及有關(guān)的實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目的展開，對(duì)魚體長度和重量的測(cè)定更成為一種經(jīng)常性的工作內(nèi)容。在工作量較大數(shù)量較多時(shí)，適用常規(guī)測(cè)量和稱重法，不過那難度大，而且容易導(dǎo)致被測(cè)由于受傷，甚至死亡。我們一估計(jì)出魚體長度胸圍質(zhì)量之間存在著某種程度的統(tǒng)計(jì)關(guān)系，大大方便了研究工作，減少不必要的損失。本文提出的

14、三種估計(jì)模型具有普遍適用性。本文通過對(duì)估計(jì)模型一精確率的探索提出新的加權(quán)平均估計(jì)模型，具有創(chuàng)新性。對(duì)于用長度估計(jì)魚的質(zhì)量的要求，我們提出三種不同的模型并作了對(duì)比和評(píng)述，使公平性得到了更好的體現(xiàn)。5.3模型改進(jìn)理論上講，模型三的截距應(yīng)為零，因?yàn)槲覀円呀?jīng)假設(shè)魚的質(zhì)量是均勻的，密度是一定的，質(zhì)量等于體積和密度乘積?？梢詮娜矫娓倪M(jìn)：將該截距看成是殘差，通過數(shù)據(jù)代入我們可以發(fā)現(xiàn)在魚體積不太小的情況下估計(jì)還是可靠的。模型三之所以誤差稍大，可能因?yàn)槲覀儗?duì)魚的幾何體模型構(gòu)造的不準(zhǔn)確，可以通過對(duì)生物學(xué)相關(guān)書籍的查閱來完善，進(jìn)而構(gòu)造出更精確的立體幾何模型。如果條件允許，可以用排水法測(cè)定體積，是用一般具有刻度的玻

15、璃量筒，先置水于量筒容量三分之一或二分之一的某一刻度，然后將魚逐尾投入，并分別從頁面上升程度幾下增加的毫升讀數(shù)，此讀數(shù)記為該魚的體積值。再用經(jīng)驗(yàn)獲得的魚的密度值根據(jù)公式計(jì)算魚的質(zhì)量。該種改進(jìn)方法，魚不離水，操作便捷，可行性實(shí)用性強(qiáng)。x1/x2是魚身長與最大胸圍之比，如果x1/x2太大，流體力學(xué)角度來講魚在水中遇到的阻力增大；如果x1/x2太小，其自身的生長不能達(dá)到一種自然吻合，無疑是不利于生存，因此在查閱生物學(xué)的有關(guān)書籍以及從達(dá)爾文進(jìn)化論角度來講,可以假定，經(jīng)過長期進(jìn)化，對(duì)于每一種動(dòng)物而言x1/x2已經(jīng)達(dá)到其最適合的數(shù)值，換句話說，x1/x2應(yīng)視為與這種魚的尺寸無關(guān)的常數(shù)，于是可得到：x1x2

16、由于池塘里的鱸魚體形都是相似的，對(duì)于兩條魚而言，由數(shù)學(xué)中相似原理得：sx22其中s為魚的橫截面積，又由于：ss1其中s1為魚的平均橫截面積，則有：8sx12由體積公式：Vs1*x1可得：Vs*x1綜上比例關(guān)系可得:Vx13即得模型：mx13為了檢驗(yàn)我們?cè)O(shè)：m=alb，其中a,b為待定參數(shù)，又：log10m=a+blog10l利用最小二乘法根據(jù)所給數(shù)據(jù)擬合上式得到m=0.01322l3.0265可以看出模型與這個(gè)結(jié)果吻合的相當(dāng)好。詳細(xì)圖表：9參考文獻(xiàn)姜啟源謝金星葉俊編，數(shù)學(xué)模型（第四版），：高等教育，20111月季之源戴俊杰顧嘉賓周XX，計(jì)算幼魚長度和重量的體積測(cè)量法及其應(yīng)用，XX省興化縣水產(chǎn)科

17、學(xué)研究所，1989年10附錄附錄1一次函數(shù)參數(shù)估計(jì)程序x=31.8,32.1,32.1,35.9,36.8,36.8,43.8,45.1;y=482,482,454,652,765,737,1162,1389;p=polyfit(x,y,1)x1=31.8:0.1:45.1;y1=polyval(p,x1);plot(x,y,o,x1,y1);title(3?1?a?a?o)yx=21.3,21.6,21.6,22.9,24.8,24.8,27.9,31.8;y=482,482,454,652,765,737,1162,1389;p=polyfit(x,y,1)x1=21.3:0.1:31.8

18、;y1=polyval(p,x1);plot(x,y,o,x1,y1);title(D?1?a?a?o)y程序的運(yùn)行結(jié)果：p=1.0e+003*0.0653-1.6373p=1.0e+003*0.0920-1.4975附錄2二次函數(shù)參數(shù)估計(jì)程序x=31.8,32.1,32.1,35.9,36.8,36.8,43.8,45.1;y=482,482,454,652,765,737,1162,1389;p=polyfit(x,y,2)x1=31.8:0.1:45.1;y1=polyval(p,x1);plot(x,y,o,x1,y1);title(3?1?a?a?t?o)yx=21.3,21.6,2

19、1.6,22.9,24.8,24.8,27.9,31.8;y=482,482,454,652,765,737,1162,1389;p=polyfit(x,y,2)x1=21.3:0.1:31.8;y1=polyval(p,x1);plot(x,y,o,x1,y1);title(D?1?a?a?t?o)y程序的運(yùn)行結(jié)果：11p=1.6247-59.3124709.7392p=1.0e+003*-0.00130.1579-2.3448附錄3三次函數(shù)參數(shù)估計(jì)程序x=31.8,32.1,32.1,35.9,36.8,36.8,43.8,45.1;y=482,482,454,652,765,737,11

20、62,1389;p=polyfit(x,y,3)x1=31.8:0.1:45.1;y1=polyval(p,x1);plot(x,y,o,x1,y1);title(?1?a?ay?o)yx=21.3,21.6,21.6,22.9,24.8,24.8,27.9,31.8;y=482,482,454,652,765,737,1162,1389;p=polyfit(x,y,3)x1=21.3:0.1:31.8;y1=polyval(p,x1);plot(x,y,o,x1,y1);title(D?1?a?ay?o)y程序的運(yùn)行結(jié)果：p=1.0e+004*0.0001-0.00800.3008-3.72

21、62p=1.0e+004*-0.00010.0090-0.22281.8113附錄4模型一誤差分析程序x1=31.8,32.1,32.1,35.9,36.8,36.8,43.8,45.1;y=482,482,454,652,765,737,1162,1389;y1=65.3*x1-1637.3;k=sum(y1-y).2)x1=31.8,32.1,32.1,35.9,36.8,36.8,43.8,45.1;y=482,482,454,652,765,737,1162,1389;y1=1.6247*(x1.2)-59.3124*x1+709.7392;k=sum(y1-y).2)x1=31.8,

22、32.1,32.1,35.9,36.8,36.8,43.8,45.1;y=482,482,454,652,765,737,1162,1389;y1=x1.3-80*(x1.2)+3008*x1-37262;k=sum(y1-y).2)x2=21.3,21.6,21.6,22.9,24.8,24.8,27.9,31.8;y=482,482,454,652,765,737,1162,1389;y1=92*x2-1497.5;12k=sum(y1-y).2)x2=21.3,21.6,21.6,22.9,24.8,24.8,27.9,31.8;y=482,482,454,652,765,737,116

23、2,1389;y1=1.3*(x2.2)+157.9*x2-2344.8;k=sum(y1-y).2)x2=21.3,21.6,21.6,22.9,24.8,24.8,27.9,31.8;y=482,482,454,652,765,737,1162,1389;y1=-1*(x2.3)+90*(x2.2)-2228*x2+18113;k=sum(y1-y).2)附錄5三維空間曲線基本函數(shù)參數(shù)估計(jì)程序x1=31.8,32.1,32.1,35.9,36.8,36.8,43.8,45.1;x2=21.3,21.6,21.6,22.9,24.8,24.8,27.9,31.8;y=482,482,454,

24、652,765,737,1162,1389;plot3(x1,x2,y,o-)holdony1=1.7044*(x1.2)+0.7686*(x2.2)+1.1436*(x1.*x2)+0.0432*x1+0.0289*x2+0.0011plot3(x1,x2,y1,rp-);title(3?D?1?)x1=31.8,32.1,32.1,35.9,36.8,36.8,43.8,45.1;x2=21.3,21.6,21.6,22.9,24.8,24.8,27.9,31.8;y=482,482,454,652,765,737,1162,1389;a=1,1,1,1,1,1,1,1;wei=x1.2;

25、x2.2;x1.*x2;x1;x2;a;wei/y程序的運(yùn)行結(jié)果：ans=1.70440.76861.14360.04320.02890.0011附錄6三維空間基本曲線誤差分析程序x1=31.8,32.1,32.1,35.9,36.8,36.8,43.8,45.1;x2=21.3,21.6,21.6,22.9,24.8,24.8,27.9,31.8;y=482,482,454,652,765,737,1162,1389;y1=1.7044*(x1.2)+0.7686*(x2.2)+1.1436*(x1.*x2)+0.0432*x1+0.0289*x2+0.0011k=sum(y1-y).2)13附錄6體積與質(zhì)量關(guān)系參數(shù)估計(jì)程序x1=31.8,32.1,32.1,35.9,36.8,36.8,4