拋物線及圓的綜合

1、-. z.拔高專題 拋物線與圓的綜合一、根本模型構(gòu)建常見模型思考圓與拋物線以及與坐標系相交，根據(jù)拋物線的解析式可求交點 坐標 ，根據(jù)交點可求三角形的 邊長 ，由于圓的位置不同，三角形的形狀也不同。再根據(jù)三角形的形狀，再解決其它問題。二、拔高精講精練探究點一：拋物線、圓和直線相切的問題例1: 2015崇左如圖，在平面直角坐標系中，點M的坐標是5，4，M與y軸相切于點C，與*軸相交于A，B兩點1則點A，B，C的坐標分別是A 2，0 ，B 8，0 ，C 0，4 ；2設(shè)經(jīng)過A，B兩點的拋物線解析式為y=*-52+k，它的頂點為E，求證：直線EA與M相切；3在拋物線的對稱軸上，是否存在點P，且點P在*軸

2、的上方，使PBC是等腰三角形？如果存在，請求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由1解：連接MC、MA，如圖1所示：M與y軸相切于點C，MCy軸，M5，4，MC=MA=5，OC=MD=4，C0，4，MDAB，DA=DB，MDA=90，AD=3，BD=3，OA=5-3=2，OB=5+3=8，A2，0，B8，0；2證明：把點A2，0代入拋物線y=*-52+k，得：k=-，E5，-，DE=，ME=MD+DE=4+=，EA2=32+2=，MA2+EA2=52+=，ME2=，MA2+EA2=ME2，MAE=90，即EAMA，EA與M相切；3解：存在；點P坐標為5，4，或5，或5，4+；理由如下：由勾股定理

3、得：BC=4，分三種情況：當(dāng)PB=PC時，點P在BC的垂直平分線上，點P與M重合， P5，4；當(dāng)BP=BC=4時，如圖2所示：PD=，P5，；當(dāng)PC=BC=4時，連接MC，如圖3所示：則PMC=90，根據(jù)勾股定理得：PM=，PD=4+，P5，4+；綜上所述：存在點P，且點P在*軸的上方，使PBC是等腰三角形，點P的坐標為5，4，或5，或5，4+【變式訓(xùn)練】2015*如圖，拋物線y=-*2-7*+6的頂點坐標為M，與*軸相交于A，B兩點點B在點A的右側(cè)，與y軸相交于點C1用配方法將拋物線的解析式化為頂點式：y=a*-h2+ka0，并指出頂點M的坐標；2在拋物線的對稱軸上找點R，使得CR+AR的值

4、最小，并求出其最小值和點R的坐標；3以AB為直徑作N交拋物線于點P點P在對稱軸的左側(cè)，求證：直線MP是N的切線1解：y=-*2-7*+6=-*2-7*-3=-*-2+，拋物線的解析式化為頂點式為：y=-*-2+，頂點M的坐標是，；2解：y=-*2-7*+6，當(dāng)y=0時，-*2-7*+6=0，解得*=1或6，A1，0，B6，0，*=0時，y=-3，C0，-3連接BC，則BC與對稱軸*=的交點為R，連接AR，則CR+AR=CR+BR=BC，根據(jù)兩點之間線段最短可知此時CR+AR的值最小，最小值為BC=3設(shè)直線BC的解析式為y=k*+b，B6，0，C0，-3，解得，直線BC的解析式為：y=*-3，令

5、*=，得y=-3=-，R點坐標為，-；3證明：設(shè)點P坐標為*，-*2+*-3A1，0，B6，0，N，0，以AB為直徑的N的半徑為AB=，NP=，即*-2+-*2+*-32=2，化簡整理得，*4-14*3+65*2-112*+60=0，*-1*-2*-5*-6=0，解得*1=1與A重合，舍去，*2=2，*3=5在對稱軸的右側(cè)，舍去，*4=6與B重合，舍去，點P坐標為2，2M，N，0，PM2=2-2+2-2=，PN2=2-2+22=，MN2=2=，PM2+PN2=MN2，MPN=90，點P在N上，直線MP是N的切線【教師總結(jié)】此題是二次函數(shù)綜合題目，考察了坐標與圖形性質(zhì)、垂徑定理、二次函數(shù)解析式的

6、求法、勾股定理、勾股定理的逆定理、切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)等知識；綜合性強探究點二：拋物線、圓和三角形的最值問題例2:2015*如圖，在平面直角坐標系中，A與*軸相交于C-2，0，D-8，0兩點，與y軸相切于點B0，41求經(jīng)過B，C，D三點的拋物線的函數(shù)表達式；2設(shè)拋物線的頂點為E，證明：直線CE與A相切；3在*軸下方的拋物線上，是否存在一點F，使BDF面積最大，最大值是多少？并求出點F的坐標。解：1設(shè)拋物線的解析式為：y=a*2+b*+c，把B0，4，C-2，0，D-8，0代入得：，解得經(jīng)過B，C，D三點的拋物線的函數(shù)表達式為：y=*2+*+4；2y=*2+*+4=*+52-，E-5，-

7、，設(shè)直線CE的函數(shù)解析式為y=m*+n，直線CE與y軸交于點G，則，解得：，y=*+，在y=*+中，令*=0，y=，G0，如圖1，連接AB，AC，AG，則BG=OB-OG=4-=，CG=，BG=CG，AB=AC，在ABG與ACG中，ABGACG，ACG=ABG，A與y軸相切于點B0，4，ABG=90，ACG=ABG=90點C在A上，直線CE與A相切；3存在點F，使BDF面積最大， 如圖2連接BD，BF，DF，設(shè)Ft，t2+t+4，過F作FNy軸交BD于點N，設(shè)直線BD的解析式為y=k*+d，則，解得直線BD的解析式為y=*+4，點N的坐標為t，t+4，F(xiàn)N=t+4-t2+t+4=-t2-2t，

8、SDBF=SDNF+SBNF=ODFN=8-t2-2t=-t2-8t=-t+42+16，當(dāng)t=-4時，SBDF最大，最大值是16，當(dāng)t=-4時，t2+t+4=-2，F(xiàn)-4，-2【變式訓(xùn)練】如圖，拋物線y=a*2+b*+ca0，c0交*軸于點A，B，交y軸于點C，設(shè)過點A，B，C的圓與y軸的另一個交點為D點A，B，C的坐標分別為-2，0，8，0，0，-41求此拋物線的表達式與點D的坐標；2假設(shè)點M為拋物線上的一動點，且位于第四象限，求BDM面積的最大值。解：1拋物線y=a*2+b*+c過點A-2，0，B8，0，C0，-4，解得，拋物線的解析式為：y=*2-*-4；OA=2，OB=8，OC=4，A

9、B=10如答圖1，連接AC、BC，由勾股定理得：AC=，BC=AC2+BC2=AB2=100，ACB=90，AB為圓的直徑由垂徑定理可知，點C、D關(guān)于直徑AB對稱，D0，4；2解法一：設(shè)直線BD的解析式為y=k*+b，B8，0，D0，4，解得， 直線BD解析式為：y=-*+4設(shè)M*，*2-*-4，如答圖2-1，過點M作MEy軸，交BD于點E，則E*，-*+4ME=-*+4-*2-*-4=-*2+*+8SBDM=SMED+SMEB=ME*E-*D+ME*B-*E=ME*B-*D=4ME，SBDM=4-*2+*+8=-*2+4*+32=-*-22+36當(dāng)*=2時，BDM的面積有最大值為36；解法二：如答圖2-2，過M作MNy軸于點N設(shè)Mm，m2-m-4，SOBD=OBOD=16，S梯形OBMN=MN+OBON=m+8-m2-m-4=-mm2-m-4-4m2-m-4，SMND=MNDN=m4-m2-m-4=2m-mm2-m-4，SBDM=SOBD+S梯形OBMN-SMND=