拉普拉斯方程在簡(jiǎn)單靜電場(chǎng)問(wèn)題中的應(yīng)用-中山大學(xué)精品課程

1、-. z.拉普拉斯方程在簡(jiǎn)單靜電場(chǎng)問(wèn)題中的應(yīng)用*斯特物理科學(xué)與工程技術(shù)學(xué)院光信息專業(yè)指導(dǎo)教師: 方奕忠摘要：Laplace方程在簡(jiǎn)單靜電場(chǎng)問(wèn)題中的應(yīng)用一文主要闡述了Laplace方程這一經(jīng)典方程在求解經(jīng)電場(chǎng)問(wèn)題中的使用方法。首先簡(jiǎn)單介紹了Laplace使用方程的原理和適用的*疇，接下來(lái)給出較為常用的坐標(biāo)系內(nèi)Laplace方程的解的形式，最后介紹典型的應(yīng)用舉例，這也是本文較為重點(diǎn)的局部，分別從幾個(gè)例子中由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的介紹了Laplace方程在求解過(guò)程中的使用方法、邊值關(guān)系確實(shí)定以及求得解所反映的局部物理意義。關(guān)鍵詞：Laplace方程 球?qū)ΨQ解 軸對(duì)稱解 邊值關(guān)系 物理意義一、Laplace方程

2、的使用原理和適用*圍眾所周知，電磁場(chǎng)的一般特性都是可以由ma*well方程反映出來(lái)，如下所示：而在本文所要講述的靜電場(chǎng)問(wèn)題之中，我們緊緊需要方程組1之中的前兩式即可。對(duì)于靜止的情況而言，電場(chǎng)和磁場(chǎng)無(wú)關(guān)，此時(shí)有所以上述用來(lái)描述電場(chǎng)特性的方程可以寫成：其中，2式中的代表的含義是空間中自由電荷的分布，為了表示方便省去了下標(biāo)。而從式3看來(lái)，靜電場(chǎng)是一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)，所以其特性可以引入一個(gè)標(biāo)勢(shì)來(lái)表示，這類似于在保守力場(chǎng)中引入的勢(shì)函數(shù)。類似重力場(chǎng)中的勢(shì)能函數(shù)一樣，單獨(dú)一點(diǎn)上的電勢(shì)的絕對(duì)大小是沒(méi)有意義的，只有兩點(diǎn)之間的電勢(shì)差才是有意義的。在電場(chǎng)中電勢(shì)差的定義方法是：把單位正電荷由一點(diǎn)移動(dòng)到另一點(diǎn)電廠對(duì)其所做的功。

3、當(dāng)電場(chǎng)做正功時(shí)電勢(shì)下降具體的定義方式可以參考電動(dòng)力學(xué)第二章，高等教育。進(jìn)而可以得出電場(chǎng)和電勢(shì)之間的關(guān)系：這樣一來(lái)，只要知道了用來(lái)描述電場(chǎng)的勢(shì)函數(shù)即可通過(guò)它求解出該電場(chǎng)的分布不過(guò)反過(guò)來(lái)，當(dāng)空間電場(chǎng)分布確定之后，與之對(duì)應(yīng)的勢(shì)函數(shù)卻可能不只一個(gè)；這是由于電勢(shì)鈴點(diǎn)選取不同造成的，這一點(diǎn)不同只是反映在不同的電勢(shì)和之間可能會(huì)相差一個(gè)常數(shù)，但是這并不影響它所描述的電場(chǎng)的性質(zhì)。對(duì)于均勻的各項(xiàng)同性介質(zhì)，、之間有如下關(guān)系：現(xiàn)在只需要結(jié)合式2、4和式5就可以得出如下方程：式6是靜電場(chǎng)電勢(shì)滿足的根本微分方程，成為Poisson方程。當(dāng)給出必要的邊界條件之后，相應(yīng)的電勢(shì)即可確定，當(dāng)然可以進(jìn)而得出電場(chǎng)的空間分布，該靜電場(chǎng)

4、的一切特性都可隨之解出。而對(duì)于更加特殊的情況，即需要求解的區(qū)域內(nèi)部沒(méi)有電荷分布，即的時(shí)候，Poisson方程化為更簡(jiǎn)單的形式：這就是本文主要闡述的Laplace方程的形式。這雖然是一種特殊的Poisson方程，但是可以適用的*圍還是有很多的，比方說(shuō)在很多情況下，導(dǎo)體上面所代電荷只是分布在其外表，此時(shí)就可以選擇導(dǎo)體的內(nèi)部作為求解區(qū)域，這是一種完全滿足Laplace方程形式的情況。處此之外，還可以對(duì)一些空間電荷分布較為簡(jiǎn)單的情況進(jìn)展求解。因?yàn)閷?duì)于方程6而言，它的解實(shí)際上可以寫成兩局部之和，即：其中，對(duì)應(yīng)laplace方程的通解；對(duì)應(yīng)Poisson方程的特解。而當(dāng)電荷分布較為簡(jiǎn)單，比方僅是在一個(gè)介質(zhì)

5、球的中心放置一個(gè)點(diǎn)電荷時(shí)，這一個(gè)特解的形式是很容易根據(jù)物理特性寫出來(lái)的。所以在一定的應(yīng)用*圍之內(nèi)Laplace方程對(duì)于求解靜電場(chǎng)問(wèn)題還是有一定作用的。Laplace方程的一般形式及其一般解如上文所述，Laplace方程的形式如式7所示。對(duì)于不同的坐標(biāo)系，Laplace方程的解也會(huì)有所不同，但是都可以通過(guò)別離變量的方式求出來(lái)。在此直接給出Laplace方程在較為常用的球坐標(biāo)系中的通解形式具體的求解過(guò)程可以參考：上式中，是任意常數(shù)，將在具體問(wèn)題的求解中確定。是締合Legendre函數(shù)。對(duì)于式9所示的Laplace方程一般解，如果所選問(wèn)題具有軸對(duì)稱性，我們不妨選取球坐標(biāo)系的極軸為對(duì)稱軸，則此時(shí)的解應(yīng)

6、該和方位角是無(wú)關(guān)的，解的形式得到簡(jiǎn)化，如下所示：其中，為任意常數(shù)，視具體問(wèn)題而定。是Legendre函數(shù)。進(jìn)一步考慮更為特殊的球?qū)ΨQ情況，此時(shí)Laplace方程的解將是僅僅與有關(guān)的函數(shù)，其形式如下：其中和是任意常數(shù)，視具體問(wèn)題而定。 以上已經(jīng)給出了三種情況下，在球坐標(biāo)系中Laplace方程的解，接下來(lái)需要做的就是對(duì)應(yīng)實(shí)際問(wèn)題找到恰當(dāng)?shù)姆匠痰慕獾男问絹?lái)標(biāo)示相應(yīng)的電勢(shì)，并利用邊界條件確定之。下面將舉例說(shuō)明。Laplace方程的應(yīng)用舉例本文的重點(diǎn)在于應(yīng)用舉例，即在于習(xí)題的解法說(shuō)明。故本文中的數(shù)學(xué)過(guò)程可能并不夠嚴(yán)密，很多時(shí)候的做法可能會(huì)從實(shí)際的物理意義出發(fā)，先在此說(shuō)明。先從最為簡(jiǎn)單的情況入手，考慮如下

7、情況：均勻介質(zhì)球的中心置一點(diǎn)電荷，球的電容率為，球外為真空，如何求解空間電勢(shì)分布呢？首先想象一下上述問(wèn)題的物理圖象，因?yàn)榻橘|(zhì)球本身為球?qū)ΨQ空間，而置入的電荷又處于介質(zhì)球的中心，所以可以推斷全空間之內(nèi)的電勢(shì)分布也是球?qū)ΨQ的，直接選曲介質(zhì)球的球心作為坐標(biāo)空間的原點(diǎn)即可。電勢(shì)函數(shù)滿足Poisson方程：圖1這是對(duì)于整個(gè)空間之內(nèi)而言，如果我們把整個(gè)空間劃分為球內(nèi)部和外部?jī)蓚€(gè)局部呢？不妨設(shè)球外空間的電勢(shì)函數(shù)為，球內(nèi)局部的電勢(shì)函數(shù)設(shè)為。這樣一來(lái)，對(duì)于而言，所對(duì)應(yīng)的區(qū)域之內(nèi)并沒(méi)有自由電荷的分布，所以實(shí)際上是滿足Laplace方程的，即：對(duì)于完全的球?qū)ΨQ情形而言，其適宜的解可以寫成：其中表示介質(zhì)球的半徑，和是

8、任意常數(shù)。而對(duì)于球內(nèi)的局部，由于包含了自由電荷，所以其形式并不能化為較為簡(jiǎn)單的Laplace方程。但是卻可以很容易的找到一個(gè)滿足式的特解，這個(gè)解就是單一點(diǎn)電荷在其周圍激發(fā)電場(chǎng)的勢(shì)函數(shù)：而滿足它的通解就是滿足方程的通解，即：所以球內(nèi)部的電勢(shì)可以寫成如下形式：其中的和是任意常數(shù)，將在下面的計(jì)算中確定。首先可以從上面表示電勢(shì)的函數(shù)A-1和A-4表達(dá)式本身的含義出發(fā)。表示的是球外部空間的電勢(shì)，現(xiàn)在考慮無(wú)窮遠(yuǎn)的情況。一般情況下在實(shí)際問(wèn)題中常常會(huì)令無(wú)窮遠(yuǎn)處的電勢(shì)值定為零，以方便解題，按照這樣的規(guī)定即可得到：則式A-1現(xiàn)在可以表示為：對(duì)于，它有兩局部組成。所表示的是置于中心的點(diǎn)電荷電勢(shì)，表示的是介質(zhì)球面上產(chǎn)

9、生的極化電荷的電勢(shì)。現(xiàn)在考慮球心一點(diǎn)的電勢(shì)。由于點(diǎn)電荷的存在，球心處的電勢(shì)應(yīng)為無(wú)窮大。但是對(duì)于位于介質(zhì)球上的感應(yīng)電荷在此處產(chǎn)生的電勢(shì)而言，必為以有限值，這要求：這樣便有的結(jié)論，于是式A-4可以寫成：現(xiàn)在在表示空間電勢(shì)的兩個(gè)式子中僅僅包含兩個(gè)尚未確定的常數(shù)和。接下來(lái)利用電勢(shì)的邊值關(guān)系確定之：其中式A-8的值為零是因?yàn)樵趦煞N絕緣介質(zhì)的交接面上是沒(méi)有自由電荷分布的。接下來(lái)就可以把式A-5和A-6分別代入到上面的邊界條件表達(dá)式之中。可以得到：由以上二式聯(lián)立即可解出：再將其代回至式A-5和A-6，即可得到空間內(nèi)的電勢(shì)分布：既然已經(jīng)得出空間中的電勢(shì)分布，電場(chǎng)分布則可以通過(guò)來(lái)求解對(duì)于完全的球?qū)ΨQ問(wèn)題，算符的

10、作用可以化簡(jiǎn)為:觀察上述的結(jié)果，可以看出當(dāng)在介質(zhì)中置入點(diǎn)電荷之后，介質(zhì)內(nèi)會(huì)出現(xiàn)相應(yīng)的極化電荷，但是這一局部的極化電荷僅僅會(huì)對(duì)介質(zhì)球內(nèi)部的電勢(shì)分布產(chǎn)生影響；對(duì)介質(zhì)球外的電勢(shì)以及整個(gè)空間之內(nèi)的電場(chǎng)分布都沒(méi)有影響。再考慮一下空間中極化電荷的分布情況：既然電場(chǎng)分布現(xiàn)在，則可以根據(jù)在均勻線性介質(zhì)中的性質(zhì)得到如下的關(guān)系：于是可以得出電場(chǎng)強(qiáng)度矢量和極化強(qiáng)度矢量之間的關(guān)系，即：直接把式A-11和A-12所示的電場(chǎng)強(qiáng)度函數(shù)帶入到式13中即可得到方案強(qiáng)度。在此先不必帶入，因?yàn)樽罱K感興趣的是介質(zhì)球內(nèi)的極化電荷分布。所以由極化電荷體密度與極化強(qiáng)度矢量之間的關(guān)系就可以得到相應(yīng)局部的方案電荷體密度。對(duì)于球內(nèi)局部：而算符在

11、完全的球?qū)ΨQ問(wèn)題當(dāng)中的作用即為：則球內(nèi)的極化電荷體密度：注意到，上述計(jì)算均是在的條件之下得出的，這意味著在球內(nèi)除去球心和球面之外的局部是沒(méi)有極化電荷分布的。如此看來(lái)極化電荷可能存在的區(qū)域是球心處以及球面上?，F(xiàn)在再次利用式13所示的關(guān)系，在等式的兩邊同時(shí)乘，即得：在對(duì)上式兩邊同時(shí)求散度，有：同時(shí)利用和這兩個(gè)關(guān)系，則上式可以化為：即：以上的推導(dǎo)過(guò)程并沒(méi)有用到與此題目已經(jīng)求出的結(jié)論相關(guān)的結(jié)論，即這是一個(gè)在均勻介質(zhì)中普遍存在的規(guī)律，當(dāng)然也是適用于此題目中球心這一點(diǎn)的。而現(xiàn)在球心處放置了單個(gè)的點(diǎn)電荷，故在球心處應(yīng)該產(chǎn)生一個(gè)相應(yīng)的方案點(diǎn)電荷，其帶電量為：再來(lái)考慮球面上的極化電荷體密度。這一點(diǎn)可基于絕緣介質(zhì)

12、的電中性來(lái)考慮。由于介質(zhì)球是不帶電的，但是可以肯定的是在球心處存在極化點(diǎn)電荷；而且在球心與球面之間又是沒(méi)有極化電荷的存在的，所以在球面上必然存在與球心極化電荷電量大小一樣符號(hào)相反的方案電荷。而且由于球?qū)ΨQ性的存在，這些極化電荷一定是均勻分布在球體外表的，所以球面上的極化電荷面密度為：現(xiàn)在將上述問(wèn)題稍微復(fù)雜化一點(diǎn)，將置入介質(zhì)球中心的單個(gè)點(diǎn)電荷改為單個(gè)的電偶極子。解決方法是類似的，首先整體考慮以下該問(wèn)題的電勢(shì)分布：由于置入介質(zhì)球中心的是一個(gè)電偶極子，可以想象此時(shí)的空間電勢(shì)分布將不再具有完全的球?qū)ΨQ性。不過(guò)假設(shè)此時(shí)以電偶極矩矢量的方向作為球坐標(biāo)系的極軸方向，則該問(wèn)題還是具有軸對(duì)稱性的，其對(duì)稱軸就是坐

13、標(biāo)系的極軸。整個(gè)空間的電勢(shì)分布函數(shù)仍然滿足Poisson方程，因此方程的通解局部仍然可以參照式10得出。接下來(lái)可以模仿上面一個(gè)例子的做法，將空間區(qū)域劃分為介質(zhì)球內(nèi)部和外部?jī)蓚€(gè)局部。對(duì)于球外，即的情況下，此空間中依然沒(méi)有電荷分布，因此這局部的電勢(shì)分布函數(shù)可以寫成：對(duì)于球內(nèi)的局部，可以將Poisson方程的解分為特解和通解兩局部的合成，方法與上例中的做法類似。不同點(diǎn)在于此時(shí)特解對(duì)應(yīng)的電勢(shì)分布函數(shù)應(yīng)該是有居于球心的電偶極子產(chǎn)生的，可以表示為：進(jìn)而球內(nèi)區(qū)域的電勢(shì)分布函數(shù)可以表示為：再根據(jù)無(wú)窮遠(yuǎn)處電勢(shì)為零以及極化電荷在球心處產(chǎn)生的電勢(shì)應(yīng)為有限值這兩個(gè)條件，可以得出具體的論證過(guò)程可以參考上文：則此后表示空

14、間電勢(shì)分布的函數(shù)式B-1和B-3可以寫成如下形式：接下來(lái)應(yīng)用電勢(shì)在處連續(xù)的特點(diǎn)可以得到如下的關(guān)系：即：并且應(yīng)用在介質(zhì)的交界面上的另一邊值關(guān)系以及絕緣介質(zhì)外表無(wú)自由電荷的特點(diǎn)，可以得到：即：通過(guò)式B-7和B-6的比擬即可得出相應(yīng)的與的數(shù)值。現(xiàn)在以此題為例說(shuō)明比擬的方法。先觀察式B-6本身，發(fā)現(xiàn)等式的右邊第一項(xiàng)包含，即項(xiàng)；式B-7也是如此，便可以得到時(shí)的關(guān)系：由此可以解出：同樣的，可以通過(guò)比擬得出時(shí)各系數(shù)的關(guān)系如下：即：而對(duì)于的時(shí)候，亦可類似地得出。至此，用以描述空間電勢(shì)分布的函數(shù)可以寫成：既然已經(jīng)得到空間電勢(shì)分布函數(shù)，就可以通過(guò)來(lái)求解空間電勢(shì)。在這個(gè)軸對(duì)稱的問(wèn)題中，算符的作用可以表示為：利用以上

15、關(guān)系即可得出空間內(nèi)的電場(chǎng)分布情況：一旦知曉了空間內(nèi)的電場(chǎng)分布函數(shù)，其他關(guān)于該問(wèn)題的性質(zhì)都將可以一一求出。如上一例中所說(shuō)的方案電荷密度等，都可以解出。最后在上一例子的根底上稍作變化?，F(xiàn)將上例中的介質(zhì)球改為有一定厚度的導(dǎo)體球殼，并且球殼帶電量為，其他條件不變。畫(huà)出一幅截面的示意圖，如圖2所示。圖2與上面的做法類似，一樣以的方向?yàn)闃O軸的方向建立球左表系，可見(jiàn)此問(wèn)題一樣是具有軸對(duì)稱性的。設(shè)導(dǎo)體外殼之外的空間中的電勢(shì)分布為，而導(dǎo)體內(nèi)殼以內(nèi)空間的電勢(shì)表示為。類似的利用無(wú)窮遠(yuǎn)處以及球心處的條件可以將上述函數(shù)表示為：接下來(lái)利用在兩種介質(zhì)交界面上電勢(shì)值的連續(xù)性，同時(shí)注意到對(duì)于導(dǎo)體而言，上面每一點(diǎn)的電勢(shì)值都是相等

16、的，即導(dǎo)體是等勢(shì)體。所以，導(dǎo)體球殼外外表和內(nèi)外表上的電勢(shì)也是一樣的，即可得：將C-1和C-2兩個(gè)表達(dá)式代入可得：而對(duì)于另一個(gè)條件，整個(gè)導(dǎo)體球殼上帶電總量是，應(yīng)該如何利用？可以先初步的分析一下該問(wèn)題下的條件：因?yàn)榍驓な菍?dǎo)體，基于這個(gè)特點(diǎn)我們可以知道自由電荷一定是分布在導(dǎo)體外表，即只可能在或者兩處有自由電荷分布，而對(duì)于的這一區(qū)域內(nèi)是不可能有自由電荷分布的。但是接下來(lái)如何確定自由電荷是僅僅分布在內(nèi)外外表還是在內(nèi)外外表上均有分布呢？先從物理的角度作一下分析：如果導(dǎo)體球殼的內(nèi)外表上帶電，不妨使用高斯定理來(lái)考察空間的電場(chǎng)分布，對(duì)這樣的一個(gè)球面，它剛好處于球殼的內(nèi)外外表之間，假設(shè)球殼的內(nèi)外表上帶電量為，而球

17、心處的電偶極子對(duì)于球面之所包含的電荷總量是沒(méi)有奉獻(xiàn)的，故由高斯定律得到：而導(dǎo)體之內(nèi)部是沒(méi)有電場(chǎng)的，即在之內(nèi)處處有。則上面等式的左邊幾分結(jié)果必然是零，這將導(dǎo)致等式的右邊，也就是說(shuō)導(dǎo)體球殼的內(nèi)外表是不帶電的。這樣的一種推算方法計(jì)算簡(jiǎn)單，但是需要對(duì)導(dǎo)體的性質(zhì)比擬熟悉才能做到?；蛘咭部梢韵燃僭O(shè)內(nèi)外兩個(gè)外表上均有自由電荷分布，然后直接利用上面已經(jīng)做過(guò)的結(jié)果直接從數(shù)學(xué)上推算。此方法可能在計(jì)算上比擬繁瑣，但是原理很容易理解。既然只有外表上才有電荷分布，則可以先計(jì)算外表上的面電荷密度。下面以球殼外外表的自由電荷面密度為例求解。由上面的式C-1可以算得在球外空間的電場(chǎng)分布：則電場(chǎng)沿著球面法向分量就是沿著坐標(biāo)系的

18、方向的分量：又根據(jù)均勻介質(zhì)中這一關(guān)系即可得到：注意到導(dǎo)體內(nèi)部的電場(chǎng)是零，自然可以得到導(dǎo)體內(nèi)部的電位移矢量滿足:不妨作出如下規(guī)定：以下標(biāo)0表示導(dǎo)體內(nèi)部，下標(biāo)2表示球殼外殼之外，下標(biāo)1表示球殼內(nèi)殼的內(nèi)部。接下來(lái)就可以得到球殼外外表的自由電荷面密度：可見(jiàn)到體外表的面電荷密度可以直接由相應(yīng)區(qū)域的電勢(shì)分布函數(shù)的法向方向?qū)?shù)來(lái)表示。同理可以得到球殼內(nèi)外表的自由電荷面密度注意此時(shí)內(nèi)球殼外表的法向方向變?yōu)?方向：現(xiàn)在球殼內(nèi)外外表的面電荷密度已經(jīng)表示出，觀察式C-6和C-7，可見(jiàn)面電荷密度也是呈現(xiàn)軸對(duì)稱特性的，即與有關(guān)。現(xiàn)在計(jì)算球殼所帶的電荷總量，僅需要將電荷面密度對(duì)相應(yīng)的面積積分，如下所示：可見(jiàn)上述積分的計(jì)算確實(shí)是比擬困難的，因此不妨在開(kāi)場(chǎng)計(jì)算之前先觀察一下，因?yàn)楹偷谋磉_(dá)式中都是不含有的，所以上述積分實(shí)際上就是對(duì)的但積分而已，所以現(xiàn)在先觀察以下含有的局部即可。Legendre函數(shù)的表達(dá)式可以寫成：則有：而且可以證明下面的積分結(jié)果：所以積分式C-8就可以寫成是：所以：而球殼內(nèi)外表所帶的電荷數(shù)表示為：此時(shí)也同樣證明了球殼內(nèi)外表不帶自由電荷這一結(jié)論，而且利用球殼帶電總量為這一條件求出了的值。不過(guò)此種方法需要做大量積分的計(jì)算和驗(yàn)證，耗時(shí)較多?？梢?jiàn)無(wú)