最全最詳細(xì)抽象函數(shù)的對稱性、奇偶性及周期性常用結(jié)論

1、-. z.抽象函數(shù)的對稱性、奇偶性與周期性常用結(jié)論一.概念: 抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式或圖像,只給出一些函數(shù)符號及其滿足的條件的函數(shù),如函數(shù)的定義域,解析遞推式,特定點(diǎn)的函數(shù)值,特定的運(yùn)算性質(zhì)等,它是高中函數(shù)局部的難點(diǎn),也是大學(xué)高等數(shù)學(xué)函數(shù)局部的一個銜接點(diǎn),由于抽象函數(shù)沒有具體的解析表達(dá)式作為載體,因此理解研究起來比擬困難，所以做抽象函數(shù)的題目需要有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力、豐富的想象力以及函數(shù)知識靈活運(yùn)用的能力 1、周期函數(shù)的定義：對于定義域的每一個，都存在非零常數(shù)，使得恒成立，則稱函數(shù)具有周期性，叫做的一個周期，則也是的周期，所有周期中的最小正數(shù)叫的最小正周期。分段函數(shù)的周期：設(shè)是周

2、期函數(shù)，在任意一個周期的圖像為C:。把個單位即按向量在其他周期的圖像：。2、奇偶函數(shù)：設(shè)= 1 * GB3假設(shè)= 2 * GB3假設(shè)。分段函數(shù)的奇偶性3、函數(shù)的對稱性：1中心對稱即點(diǎn)對稱：= 1 * GB3點(diǎn)= 2 * GB3= 3 * GB3= 4 * GB3= 5 * GB32軸對稱：對稱軸方程為：。= 1 * GB3關(guān)于直線= 2 * GB3函數(shù)關(guān)于直線成軸對稱。= 3 * GB3關(guān)于直線成軸對稱。二、函數(shù)對稱性的幾個重要結(jié)論一函數(shù)圖象本身的對稱性自身對稱假設(shè)，則具有周期性；假設(shè)，則具有對稱性：同表示周期性，反表示對稱性。1、圖象關(guān)于直線對稱推論1：的圖象關(guān)于直線對稱推論2、的圖象關(guān)于直

3、線對稱推論3、的圖象關(guān)于直線對稱2、的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱推論1、的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱推論2、的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱推論3、的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱二兩個函數(shù)的圖象對稱性相互對稱利用解析幾何中的對稱曲線軌跡方程理解1、偶函數(shù)與圖象關(guān)于Y軸對稱2、奇函數(shù)與圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱函數(shù)3、函數(shù)與圖象關(guān)于*軸對稱4、互為反函數(shù)與函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱5.函數(shù)與圖象關(guān)于直線對稱 推論1:函數(shù)與圖象關(guān)于直線對稱推論2:函數(shù)與圖象關(guān)于直線對稱推論3:函數(shù)與圖象關(guān)于直線對稱三抽象函數(shù)的對稱性與周期性1、抽象函數(shù)的對稱性性質(zhì)1 假設(shè)函數(shù)yf(*)關(guān)于直線*a軸對稱，則以下三個式子成立且等價：1f(a*)f(a*) 2f(2a*)f(*) 3f

4、(2a*)f(*)性質(zhì)2 假設(shè)函數(shù)yf(*)關(guān)于點(diǎn)a，0中心對稱，則以下三個式子成立且等價：f(a*)f(a*)f(2a*)f(*)3f(2a*)f(*)易知，yf(*)為偶或奇函數(shù)分別為性質(zhì)1或2當(dāng)a0時的特例。2、復(fù)合函數(shù)的奇偶性定義1、 假設(shè)對于定義域的任一變量*，均有fg(*)fg(*)，則復(fù)數(shù)函數(shù)yfg(*)為偶函數(shù)。定義2、 假設(shè)對于定義域的任一變量*，均有fg(*)fg(*)，則復(fù)合函數(shù)yfg(*)為奇函數(shù)。說明：1復(fù)數(shù)函數(shù)fg(*)為偶函數(shù)，則fg(*)fg(*)而不是fg(*)fg(*)，復(fù)合函數(shù)yfg(*)為奇函數(shù)，則fg(*)fg(*)而不是fg(*)fg(*)。2兩個特

5、例：yf(*a)為偶函數(shù)，則f(*a)f(*a)；yf(*a)為奇函數(shù)，則f(*a)f(a*)3yf(*a)為偶或奇函數(shù)，等價于單層函數(shù)yf(*)關(guān)于直線*a軸對稱或關(guān)于點(diǎn)a，0中心對稱3、復(fù)合函數(shù)的對稱性性質(zhì)3復(fù)合函數(shù)yf(a*)與yf(b*)關(guān)于直線*ba/2軸對稱性質(zhì)4、復(fù)合函數(shù)yf(a*)與yf(b*)關(guān)于點(diǎn)ba/2，0中心對稱推論1、 復(fù)合函數(shù)yf(a*)與yf(a*)關(guān)于y軸軸對稱推論2、 復(fù)合函數(shù)yf(a*)與yf(a*)關(guān)于原點(diǎn)中心對稱4、函數(shù)的周期性假設(shè)a是非零常數(shù)，假設(shè)對于函數(shù)yf(*)定義域的任一變量*點(diǎn)有以下條件之一成立，則函數(shù)yf(*)是周期函數(shù)，且2|a|是它的一個

6、周期。f(*a)f(*a) f(*a)f(*)f(*a)1/f(*)f(*a)1/f(*)5、函數(shù)的對稱性與周期性性質(zhì)5假設(shè)函數(shù)yf(*)同時關(guān)于直線*a與*b軸對稱，則函數(shù)f(*)必為周期函數(shù)，且T2|ab|性質(zhì)6、假設(shè)函數(shù)yf(*)同時關(guān)于點(diǎn)a，0與點(diǎn)b，0中心對稱，則函數(shù)f(*)必為周期函數(shù)，且T2|ab|性質(zhì)7、假設(shè)函數(shù)yf(*)既關(guān)于點(diǎn)a，0中心對稱，又關(guān)于直線*b軸對稱，則函數(shù)f(*)必為周期函數(shù)，且T4|ab| 6、函數(shù)對稱性的應(yīng)用 1假設(shè),即 2例題 1、; 2、奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)0，0對稱：。 3、假設(shè)的圖像關(guān)于直線對稱。設(shè).四常用函數(shù)的對稱性三、函數(shù)周期性的幾個重要結(jié)論1

7、、( ) 的周期為，()也是函數(shù)的周期2、的周期為3、的周期為4、的周期為5、的周期為6、的周期為7、的周期為8、的周期為9、的周期為10、假設(shè)11、有兩條對稱軸和周期推論：偶函數(shù)滿足周期12、有兩個對稱中心和周期推論：奇函數(shù)滿足周期13、有一條對稱軸和一個對稱中心的四、用函數(shù)奇偶性、周期性與對稱性解題的常見類型靈活應(yīng)用函數(shù)奇偶性、周期性與對稱性，可巧妙的解答*些數(shù)學(xué)問題，它對訓(xùn)練學(xué)生分析問題與解決問題的能力有重要作用.下面通過實(shí)例說明其應(yīng)用類型。1.求函數(shù)值例1.1996年高考題設(shè)是上的奇函數(shù)，當(dāng)時，則等于-0.5A0.5;B-0.5; C1.5; D-1.5.例21989年市中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽

8、題是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，且，求的值.。2、比擬函數(shù)值大小例3.假設(shè)是以2為周期的偶函數(shù)，當(dāng)時，試比擬、的大小.解：是以2為周期的偶函數(shù)，又在上是增函數(shù)，且，3、求函數(shù)解析式例4.1989年高考題設(shè)是定義在區(qū)間上且以2為周期的函數(shù)，對，用表示區(qū)間當(dāng)時，求在上的解析式.解：設(shè)時，有是以2 為周期的函數(shù)，.例5設(shè)是定義在上以2為周期的周期函數(shù)，且是偶函數(shù)，在區(qū)間上，求時，的解析式.解：當(dāng)，即，又是以2為周期的周期函數(shù)，于是當(dāng)，即時，4、判斷函數(shù)奇偶性例6.的周期為4，且等式對任意均成立，判斷函數(shù)的奇偶性.解：由的周期為4，得，由得，故為偶函數(shù).5、確定函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的個數(shù)例7.設(shè)函數(shù)對任意實(shí)數(shù)滿

9、足，判斷函數(shù)圖象在區(qū)間上與軸至少有多少個交點(diǎn).解：由題設(shè)知函數(shù)圖象關(guān)于直線和對稱，又由函數(shù)的性質(zhì)得是以10為周期的函數(shù).在一個周期區(qū)間上，故圖象與軸至少有2個交點(diǎn).而區(qū)間有6個周期，故在閉區(qū)間上圖象與軸至少有13個交點(diǎn).6、在數(shù)列中的應(yīng)用例8.在數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并計(jì)算分析：此題的思路與例2思路類似.解：令則不難用歸納法證明數(shù)列的通項(xiàng)為：，且以4為周期.于是有1，5，9 1997是以4為公差的等差數(shù)列，由得總項(xiàng)數(shù)為500項(xiàng)，7、在二項(xiàng)式中的應(yīng)用例9.今天是星期三，試求今天后的第天是星期幾？分析：轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式的展開式后，利用一周為七天這個循環(huán)數(shù)來進(jìn)展計(jì)算即可.解：因?yàn)檎归_式中前92項(xiàng)中均

10、有7這個因子，最后一項(xiàng)為1，即為余數(shù)，故天為星期四.8、復(fù)數(shù)中的應(yīng)用例10.市1994年高考題設(shè)，則滿足等式且大于1的正整數(shù)中最小的是A 3 ； B4 ； C6 ； D7.分析：運(yùn)用方冪的周期性求值即可.解：，9、解立幾題例11.ABCD是單位長方體，黑白二蟻都從點(diǎn)A出發(fā)，沿棱向前爬行，每走一條棱稱為走完一段。白蟻爬行的路線是黑蟻爬行的路線是它們都遵循如下規(guī)則：所爬行的第段所在直線與第段所在直線必須是異面直線其中.設(shè)黑白二蟻?zhàn)咄甑?990段后，各停頓在正方體的*個頂點(diǎn)處，這時黑白蟻的距離是A1； B；C ； D0.解：依條件列出白蟻的路線立即可以發(fā)現(xiàn)白蟻?zhàn)咄炅魏笥只氐搅薃點(diǎn).可驗(yàn)證知：黑白二

11、蟻?zhàn)咄炅魏蟊鼗氐狡瘘c(diǎn)，可以判斷每六段是一個周期.1990=6，因此原問題就轉(zhuǎn)化為考慮黑白二蟻?zhàn)咄晁亩魏蟮奈恢?，不難計(jì)算出在走完四段后黑蟻在點(diǎn)，白蟻在C點(diǎn)，故所求距離是例題與應(yīng)用例1：f(*) 是R上的奇函數(shù)f(*)= f(*+4) ，*0，2時f(*)=*，求f(2007) 的值 例2：f(*)是定義在R上的函數(shù)，且滿足f(*+2)1f(*)=1+f(*)，f(1)=2，求f(2009) 的值 。故f(2009)= f(2518+1)=f(1)=2例3：f(*)是定義在R上的偶函數(shù)，f(*)= f(4-*)，且當(dāng)時，f(*)=2*+1，則當(dāng)時求f(*)的解析式例4：f(*)是定義在R上的函數(shù)

12、，且滿足f(*+999)=，f(999+*)=f(999*)， 試判斷函數(shù)f(*)的奇偶性.例5：f(*)是定義在R上的偶函數(shù)，f(*)= f(4-*)，且當(dāng)時，f(*)是減函數(shù)，求證當(dāng)時f(*)為增函數(shù)例6：f(*)滿足f(*) =-f(6-*)，f(*)= f(2-*)，假設(shè)f(a) =-f(2000)，a5，9且f(*)在5，9上單調(diào).求a的值. 例7：f(*)是定義在R上的函數(shù)，f(*)= f(4*)，f(7+*)= f(7*),f(0)=0，求在區(qū)間1000，1000上f(*)=0至少有幾個根？ 解：依題意f(*)關(guān)于*=2，*=7對稱，類比命題22可知f(*)的一個周期是10 故f

13、(*+10)=f(*) f(10)=f(0)=0 又f(4)=f(0)=0 即在區(qū)間(0，10上，方程f(*)=0至少兩個根 又f(*)是周期為10的函數(shù)，每個周期上至少有兩個根， 因此方程f(*)=0在區(qū)間1000，1000上至少有1+=401個根.例1、 函數(shù)yf(*)是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，則yf(*4)與yf(6*)的圖象之間D A關(guān)于直線*5對稱 B關(guān)于直線*1對稱C關(guān)于點(diǎn)5，0對稱 D關(guān)于點(diǎn)1，0對稱解：據(jù)復(fù)合函數(shù)的對稱性知函數(shù)yf(*4)與yf(6*)之間關(guān)于點(diǎn)64/2，0即1，0中心對稱，應(yīng)選D。原卷錯選為C例2、 設(shè)f(*)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于*1對稱，證明f(*)是周期函數(shù)。2001年理工類第22題例3、 設(shè)f(*)是，上的奇函數(shù)，f(*2)f(*)，當(dāng)0*1時f(*)*，則f(7.5)等于-0.51996年理工類第15題例4、 設(shè)f(*)是定義在R上的函數(shù)，且滿足f(10*)f(10*)，f(20*)f(20*)，則f(*)是C A偶函數(shù)，又是周期函數(shù) B偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)C奇函數(shù)，又是周期函數(shù) D奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)六、穩(wěn)固練習(xí)1、函數(shù)yf(*)是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，則yf(*4)與yf(6*)的圖象 。A關(guān)于直線*5對稱 B關(guān)于直線*1對稱C關(guān)于點(diǎn)5，0對稱 D關(guān)于點(diǎn)1，0對稱2、設(shè)f(*)是，