MATLAB的根軌跡分析法及重點(diǎn)習(xí)題上課講義

1、Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。MATLAB的根軌跡分析法及重點(diǎn)習(xí)題-4.1某系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如題4-1圖所示，試求單位階躍響應(yīng)的調(diào)節(jié)時(shí)間ts，若要求ts=0.1秒，系統(tǒng)的反饋系數(shù)應(yīng)調(diào)整為多少？解:(1)由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可知系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為:在單位階躍函數(shù)作用下系統(tǒng)輸出為：為求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)，對(duì)C(s)進(jìn)行拉斯反變換：根據(jù)定義調(diào)節(jié)時(shí)間等于響應(yīng)曲線進(jìn)入5%誤差帶，并保持在此誤差帶內(nèi)所需要的最短時(shí)間，且根據(jù)響應(yīng)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式可以看出系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值為,因此:(2)若要求ts=0.1秒,則有:即:若要求調(diào)節(jié)時(shí)間縮小為0.1秒

2、,則需將反饋環(huán)節(jié)的反饋系數(shù)調(diào)整為0.3。4.2已知二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線如題4.2圖所示，該系統(tǒng)為單位負(fù)反饋系統(tǒng)，試確定其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。解：根據(jù)系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線可以看出：峰值時(shí)間，超調(diào)量；根據(jù)課本中對(duì)典型二階系統(tǒng)暫態(tài)性能指標(biāo)的推導(dǎo)計(jì)算可知：結(jié)合本題已知階躍響應(yīng)曲線可知：由式(2)可知：將帶入式(1)中可得：回顧題意對(duì)于典型二階系統(tǒng)其閉環(huán)傳遞函數(shù)為，且系統(tǒng)為單位負(fù)反饋系統(tǒng)，所以系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)和閉環(huán)傳遞函數(shù)之間滿足如下關(guān)系：4.3單位反饋控制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為,若,試求(1)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo).(2)欲使,當(dāng)T不變時(shí)，K應(yīng)取何值。解：(1)對(duì)于單位反饋控制系統(tǒng)，已知開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可求出其閉環(huán)傳遞函數(shù)，并

3、將其化為標(biāo)準(zhǔn)形式為：所以根據(jù)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的計(jì)算公式將上述兩參數(shù)帶入后可得：(2)由于T=0.25s,所以可知:,將阻尼比帶入超調(diào)量的計(jì)算公式中:4.4設(shè)控制系統(tǒng)如題4-4圖所示，其中圖(a)為無(wú)速度反饋系統(tǒng)，圖(b)為帶速度反饋系統(tǒng)，試確定系統(tǒng)阻尼比為0.5時(shí)Kt的值，并比較圖(a)和圖(b)系統(tǒng)階躍響應(yīng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。解:(1)根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可求得兩系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為:(2)根據(jù)已經(jīng)求得的兩系統(tǒng)的阻尼比和無(wú)阻尼自然振蕩角頻率可分別計(jì)算兩系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo):經(jīng)對(duì)比可看出:采用速度反饋的b系統(tǒng)雖然上升時(shí)間和峰值時(shí)間稍有延長(zhǎng),但超調(diào)量存在明顯下降,系統(tǒng)振蕩劇烈程度下降,另外調(diào)節(jié)時(shí)間也顯著降低,即

4、使說(shuō)系統(tǒng)能夠在較快的時(shí)間內(nèi)達(dá)到穩(wěn)定,系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能得到了提高。4.5某系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如題4-5圖所示，試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可利用梅森公式求解其傳遞函數(shù)，結(jié)構(gòu)圖中前向通道有一條，回路有兩個(gè)，且兩回路相關(guān)，因此有：因此可得系統(tǒng)特征方程為：列寫(xiě)其勞斯表為：根據(jù)勞斯判據(jù)可知，勞斯表第一列系數(shù)符號(hào)均未發(fā)生變化，因此系統(tǒng)穩(wěn)定。4.6已知系統(tǒng)特征方程如下，用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，如不穩(wěn)定求在s右半平面的根數(shù)及虛根值。另外用MATLAB軟件直接求其特征跟加以驗(yàn)證。(1)通過(guò)分析勞斯表中第一列系數(shù)可知并沒(méi)有符號(hào)變化，所以不存在位于s右半平面的特征根，另外由于系統(tǒng)勞斯表中出現(xiàn)全零行,所以系統(tǒng)不穩(wěn)定，

5、存在對(duì)稱于原點(diǎn)的根為用MATLAB軟件中函數(shù)roots求特征方程根可得，系統(tǒng)特征方程根為如下所示，進(jìn)一步驗(yàn)證了上述求解結(jié)果的正確性。(2)通過(guò)分析勞斯表中第一列系數(shù)可知并沒(méi)有符號(hào)變化，所以不存在位于s右半平面的特征根，另外由于系統(tǒng)勞斯表中出現(xiàn)全零行,所以系統(tǒng)不穩(wěn)定，存在對(duì)稱于原點(diǎn)的根為用MATLAB軟件中函數(shù)roots求特征方程根可得，系統(tǒng)特征方程根為如下所示，進(jìn)一步驗(yàn)證了上述求解結(jié)果的正確性。(3)通過(guò)分析勞斯表中第一列系數(shù)符號(hào)變化兩次，所以有兩個(gè)位于s右半平面的特征根，另外由于系統(tǒng)勞斯表中出現(xiàn)全零行,所以系統(tǒng)不穩(wěn)定，存在對(duì)稱于原點(diǎn)的根為用MATLAB軟件中函數(shù)roots求特征方程根可得，系

6、統(tǒng)特征方程根為如下所示，進(jìn)一步驗(yàn)證了上述求解結(jié)果的正確性。(4)通過(guò)分析勞斯表中第一列系數(shù)符號(hào)變化1次，所以有1個(gè)位于s右半平面的特征根，另外由于系統(tǒng)勞斯表中出現(xiàn)全零行,所以系統(tǒng)不穩(wěn)定，存在對(duì)稱于原點(diǎn)的根為用MATLAB軟件中函數(shù)roots求特征方程根可得，系統(tǒng)特征方程根為如下所示，進(jìn)一步驗(yàn)證了上述求解結(jié)果的正確性。4.7已知單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為，試確定系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的K值范圍。解：根據(jù)已知單位反饋系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可知系統(tǒng)特征方程為：，對(duì)系統(tǒng)列寫(xiě)勞斯表可得：欲使系統(tǒng)穩(wěn)定則需滿足：匯總得：4.8已知系統(tǒng)的特征方程為，試確定系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的K值范圍，若要求閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)均位于s=-1垂線之左，K值該

7、如何調(diào)整。解：(1)對(duì)系統(tǒng)列寫(xiě)勞斯表為：欲使系統(tǒng)穩(wěn)定則需滿足：，即：。(2)將帶入系統(tǒng)原特征方程中得：欲使系統(tǒng)穩(wěn)定則需滿足：；即4.9已知系統(tǒng)穩(wěn)定，求的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差。解：由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為:，即系統(tǒng)為=2*ROMANII型系統(tǒng)；系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù)，靜態(tài)速度誤差系數(shù)和靜態(tài)加速度誤差系數(shù)分別為：；由此可知系統(tǒng)在單位階躍信號(hào)、單位斜坡信號(hào)和單位加速度信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差分別為：，根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理可得，在信號(hào)r(t)作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為：4.10已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，求作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。解：由于系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為:，即系統(tǒng)為=1*ROMANI型系統(tǒng)；系統(tǒng)的靜態(tài)位置

8、誤差系數(shù)，靜態(tài)速度誤差系數(shù)和靜態(tài)加速度誤差系數(shù)分別為：；由此可知系統(tǒng)在單位階躍信號(hào)、5t信號(hào)和單位加速度信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差分別為：，根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理可得，在信號(hào)r(t)作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為：4.11一直單位負(fù)反饋系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為，求作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。解：由于系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為:，即系統(tǒng)為=2*ROMANII型系統(tǒng)；系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù)，靜態(tài)速度誤差系數(shù)和靜態(tài)加速度誤差系數(shù)分別為：；由此可知系統(tǒng)在單位階躍信號(hào)、單位斜坡信號(hào)和作用下的穩(wěn)態(tài)誤差分別為：，根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理可得，在信號(hào)r(t)作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為：5.3基于MATLAB的根軌跡分析法5.3.1利用MATLAB繪制根

9、軌跡利用伊凡斯給出的繪制根軌跡的基本規(guī)則，可以粗略地畫(huà)出當(dāng)系統(tǒng)某一參數(shù)變化時(shí)的根軌跡，但需要花費(fèi)較多時(shí)間，且結(jié)果并不精確。而使用MATLAB的相關(guān)指令，繪制較為精確的根軌跡就非常方便。繪制根軌跡的常用指令為：rlocus(num,den);或rlocus(num,den,K);繪制例5-2給定單位負(fù)反饋控制系統(tǒng)的根軌跡圖。clccleark=1;z=;p=0-1-2;num,den=zp2tf(z,p,k);%將傳遞函數(shù)由零極點(diǎn)形式轉(zhuǎn)換為多項(xiàng)式形式rlocus(num,den);V=-32-33;axis(V);title(root-locusplotofG(s)=K/s(s+1)(s+2);

10、xlabel(Re);ylabel(Im);返回的給定控制系統(tǒng)根軌跡圖為：對(duì)例5-3給定的自動(dòng)控制系統(tǒng)繪制其根軌跡圖。clcclear%k(s+1)/s(s+2)(s+3)k=1;z=-1;p=0,-2,-3;n,d=zp2tf(z,p,k);rlocus(n,d)執(zhí)行本程序后可得給定系統(tǒng)根軌跡圖為：對(duì)例5-4所給定的自動(dòng)控制系統(tǒng)繪制根軌跡圖clcclear%k/s(s+3)(s2+2s+2)g=tf(1,conv(1,3,1,2,2)0);rlocus(g)執(zhí)行本程序后返回給定自動(dòng)控制系統(tǒng)根軌跡圖為：對(duì)例5-5所示系統(tǒng)繪制根軌跡。clcclearG1=tf(1,18);G2=tf(11,150);H=tf(1,12);rlocus(G1*G2*H);V=-102-55;axis(V);gridon;xlabel(Re);ylabel(Im);執(zhí)行本程序后得到系統(tǒng)根軌跡為5.3.2基于根軌跡的系統(tǒng)性能分析當(dāng)做出控制系統(tǒng)根軌跡圖之后，就可以根據(jù)根軌跡對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行定性的分析和定量的計(jì)算。因?yàn)橄到y(tǒng)的暫態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能與系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)位置密切相關(guān)，實(shí)際工程中對(duì)系統(tǒng)性能的要求往往可以轉(zhuǎn)化為對(duì)閉環(huán)極點(diǎn)位置的要求。1、分析1：在對(duì)系統(tǒng)的分析中，一般需要確定根軌跡上某一點(diǎn)的根軌跡增益及其對(duì)應(yīng)