【金版學(xué)案】高中數(shù)學(xué)選修2-2（人教A版）：2.3 同步輔導(dǎo)與檢測課件

1、2.3數(shù)學(xué)歸納法推理與證明1了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)問題2重點是數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用；難點是對數(shù)學(xué)歸納法的原理的理解；關(guān)鍵是弄清數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟及其作用根底梳理1數(shù)學(xué)歸納法：設(shè)p(n)是一個與自然數(shù)相關(guān)的命題集合，如果：證明起始命題(_)成立；在假設(shè)_成立的前提下，推出_也成立，那么可以斷定，p(n)對一切自然數(shù)成立p1或p0pkpk12用數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟：(1)證明當(dāng)n取第一個值_(例如_或_)時，命題p(n)正確；(2)假設(shè)_(kn0，kN*)時命題正確，證明當(dāng)n_ 時命題也正確，即p(k1)為真；(3)根據(jù)(1)(2)知，當(dāng)nn0且nN*時，p(n)正

2、確n0n00n01nkk1自測自評1用數(shù)學(xué)歸納法證明 1)時，第一步應(yīng)驗證不等式()解析：nN*，n1，n取第一個自然數(shù)為2，左端分母最大的項為答案：B2某個與正整數(shù)有關(guān)的命題：如果當(dāng)nk(kN*)時命題成立，那么可以推出當(dāng)nk1時該命題也成立現(xiàn)n5時命題不成立，那么可以推得()A當(dāng)n4時命題不成立 B當(dāng)n6時命題不成立C當(dāng)n4時命題成立 D當(dāng)n6時命題成立解析：因為當(dāng)nk(kN*)時命題成立，那么可以推出當(dāng)nk1時該命題也成立，所以假設(shè)當(dāng)n4時命題成立，那么n5時命題也成立，這與矛盾，所以當(dāng)n4時命題不成立答案：A3用數(shù)學(xué)歸納法證明：“(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)從“k到k1左

3、端需增乘的代數(shù)式為()解析：當(dāng)nk時左端的第一項為(k1)，最后一項為(kk)當(dāng)nk1時，左端的第一項為(k2)，最后一項為(2k2)左邊乘以(2k1)(2k2)，同時還要除以(k1)答案：B用數(shù)學(xué)歸納法證明等式分析：要證明等式的左邊共2n項，右邊共n項，f(k)與f(k1)相比左邊增兩項，右邊增一項，而且左、右兩邊的首項不同因此，由“nk到“nk1時要注意項的合并上式說明當(dāng)nk1時命題也成立由(1)(2)知，命題對一切自然數(shù)均成立點評：用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的一些等式命題關(guān)鍵在于“先看項，弄清等式兩邊的結(jié)構(gòu)規(guī)律，等式的兩邊各有多少項，項的多少與n的取值是否有關(guān)系由“nk到“nk1時，等

4、式的兩邊會增加多少項，增加怎樣的項跟蹤訓(xùn)練用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 分析：由nk到nk1，不等式左邊增加后3項減少第1項，而不等式右邊的值不變，因此，只需證明左邊這四項的代數(shù)和非負(fù)即可跟蹤訓(xùn)練2用數(shù)學(xué)歸納法證明：147(3n2) n(3n1)證明：(1)當(dāng)n1時，左邊1，右邊 1(31)1，左邊右邊，等式成立用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題 求證：an1(a1)2n1(nN*)能被a2a1整除 分析：對于多項式A，B，如果ABC，C也是多項式，那么A能被B整除證明：(1)當(dāng)n1時，a11(a1)211a2a1，命題顯然成立(2)設(shè)nk(k1，kN*)時，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，則當(dāng)nk1時

5、，ak2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1a (a1)2(a1)2k1a(a1)2k1 a (a2a1)(a1)2k1.由歸納假設(shè)，上式中的兩項均能被a2a1整除，故nk1時命題成立由(1)(2)知，對nN*，命題成立點評：在推證“nk1時，為了湊出歸納假設(shè)，采用了“加零分項技巧：a(a1)2k1a(a1)2k1.另外，在推證“nk1時，還可以用整除的定義，將歸納假設(shè)表示出來，假設(shè)nk時成立，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，那么ak1(a1)2k1(a2a1)q(x)(q(x)為多項式)，所以，(a1)2k1(a2a1)q(x)ak1，故當(dāng)nk1時，ak2(a1)2k1ak2

6、(a1)2(a1)2k1ak2(a1)2ak2(a1)2(a2a1)q(x)(a1)2ak1(a1)2(a2a1)q(x)ak1(a2a1)顯然，上式能被a2a1整除，即nk1時，命題亦成立跟蹤訓(xùn)練3求證：f(n)(2n7)3n9能被36整除證明：(1)當(dāng)n1時，f(1)(217)3936能被36整除(2)假設(shè)nk(k1，kN*)時，f(k)(2k7)3k9能被36整除，當(dāng)nk1時，f(k1)2(k1)73k193(2k7)3k918(3k11)，而3k11是偶數(shù)，18(3k11)能被36整除所以nk1時，f(n)能被36整除由(1)(2)知，對nN*命題都成立歸納結(jié)果再用數(shù)學(xué)歸納法證明 (證

7、明幾何問題)平面上有n個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，并且三個圓都不相交于同一點求證：這n個圓把平面分成f(n)n2n2個局部分析：證明第二步時，通常需要借助于圖形的直觀性，說清楚在滿足條件的k個圓的根底上，增加了一個圓(第k1個圓)后，第k1個圓與前k個圓相交，被分成多少段弧，進而說明增加了多少個區(qū)域，從而建立起f(k)與f(k1)之間的遞推關(guān)系證明：(1)當(dāng)n1時，一個圓把平面分成兩個局部，而f(1)1122，因此，n1命題成立(2)假設(shè)nk(k1，kN*)時命題成立，即k個圓把平面分成f(k)k2k2個局部如果增加一個滿足條件的任一個圓，那么這個圓必與前k個圓相交于2k個點這2k個點把圓

8、分成2k段弧，每段弧把它所在的原有平面分成兩個局部因此，這是平面被分割的總數(shù)在原來的根底上又增加了2k局部，即有f(k1)f(k)2kk2k22k(k1)2(k1)2.即當(dāng)nk1時，f(n)n2n2也成立根據(jù)(1)(2)可知n個圓把平面分成f(n)n2n2個局部點評：利用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的幾何問題，關(guān)鍵要寫清楚從“nk到“nk1時的變化規(guī)律4證明：凸n邊形的對角線條數(shù)f(n) n(n3)(n4)跟蹤訓(xùn)練證明：(1)當(dāng)n4時，f(4) 4(43)2，四邊形有兩條對角線，命題成立(2)設(shè)當(dāng)nk(k4，kN*)時，命題成立，即凸k邊形的對角線的條數(shù)f(k) k(k3)當(dāng)nk1時，凸k1邊形

9、是在凸k邊形的基礎(chǔ)上加上了一個邊，增加了一個頂點Ak1，增加的對角線數(shù)是定點Ak1與不相鄰的頂點連線再加上原來凸k邊形的一邊A1Ak，共增加的對角線條數(shù)為：(k13)1k1，f(k1) k(k3)k1 (k2k2) (k1)(k2) (k1)故nk1時，命題也成立由(1)(2)知，對n4，nN*命題成立先求值再用數(shù)學(xué)歸納法證明 是否存在常數(shù)a，b，c使得等式122232n(n1)2 (an2bnc)對一切nN*都成立?并證明你的結(jié)論分析：此題是探索性問題，應(yīng)先探索a，b，c，再證明解析：假設(shè)存在a，b，c使等式成立，這時令n1，得4 (abc)；令n2，得22 (4a2bc)；令n3，得709

10、a3bc.整理，得方程組解得，a3，b11，c10.于是，n1,2,3時，下面等式成立：122232n(n1)2， (3n211n10)設(shè)Sn122232n(n1)2，假設(shè)nk(k1，kN*)時上式成立，即Sk (3k211k10)，則當(dāng)nk1時，Sk1Sk(k1)(k2)2 (3k211k10)(k1)(k2)2 (3k25k12k24) .這就是說nk1時也成立綜上所述，當(dāng)a3，b11，c10時，等式對一切nN*成立點評：數(shù)學(xué)研究與發(fā)現(xiàn)往往包括兩個要素發(fā)現(xiàn)結(jié)論與證明結(jié)論，發(fā)現(xiàn)結(jié)論往往通過合情推理，結(jié)論的正確性需要通過邏輯證明來確認(rèn)5試比較n2與2n的大小(nN*)跟蹤訓(xùn)練證明：當(dāng)n1時，2

11、112，即2nn2；當(dāng)n2時，2222，即2nn2；當(dāng)n3時，2332，即2n52，即2nn2；當(dāng)n6時，2662，即2nn2.猜測：當(dāng)n5時，2nn2 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜測成立(1)當(dāng)n5時，由上可知猜測成立(2)設(shè)nk(k5，kN*)時，猜測成立，即2kk2那么，2k122k2k2k2k2k2(2k1)(k1)2，即nk1時猜測也成立根據(jù)(1)(2)知，n5時，2nn2. 已知數(shù)列an中，a1 ，其前n項和Sn滿足anSn 2(n2)，計算S1，S2，S3，S4，猜想Sn的表達式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明歸納、猜測與證明6數(shù)列an滿足an1an4，a12.試猜測數(shù)列an的通項公式，并用數(shù)

12、學(xué)歸納法證明跟蹤訓(xùn)練解析：由an1an4，a12得a12412，a26422，a310432，.猜測數(shù)列an的通項公式為an4n2.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)當(dāng)n1時，a12，由上知猜測成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時猜測成立，即ak4k2.那么，當(dāng)nk1時，ak1ak4(4k2)44k24(k1)2.即當(dāng)nk1時猜測也成立根據(jù)(1)(2)可知，猜測對任何nN*都成立1用數(shù)學(xué)歸納法證明“2nn21對于nn0的自然數(shù)n都成立時，第一步證明中的起始值n0應(yīng)取()A2B3C5D6C解析：要注意末項與首項，所以f(n1)f(n) .答案：DC4用數(shù)學(xué)歸納法證明“1aa2an1 (a1)，在驗證n1時

13、，左邊計算所得的項為()A1 B1aC1aa2 D1aa2a3C5n是正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明時，假設(shè)已假設(shè)nk(k2且為偶數(shù))時命題為真，那么還需證明()Ank1時命題成立 Bnk2時命題成立Cn2k2時命題成立 Dn2(k2)時命題成立解析：因n是正偶數(shù)，故只需證等式對所有偶數(shù)都成立因k的下一個偶數(shù)是k2，應(yīng)選B.答案：B6利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 時，由k遞推到k1時，左邊應(yīng)添加的因式是()C7用數(shù)學(xué)歸納法證明等式12222n12n1(nN*)的過程如下：當(dāng)n1時，左邊201，右邊2111，等式成立假設(shè)nk(k1，且kN*)時，等式成立，即12222k12k1.那么當(dāng)nk1時，12222

14、k12k 2k11，所以當(dāng)nk1時，等式也成立由知，對任意nN*，等式成立上述證明中的錯誤是_沒用上歸納假設(shè)8在數(shù)列an中，a1a21，當(dāng)nN*時，滿足an2 an1an，且bna4n.求證：bn的各項均為3的倍數(shù)證明：(1)a1a21，故a3a1a22，a4a2a33，b1a43，當(dāng)n1時，b1是3的倍數(shù)(2)假設(shè)nk(k1，kN*)時，即bka4k是3的倍數(shù)，那么當(dāng)nk1時，bk1a4(k1)a4k4a4k3a4k2a4k2a4k1a4k1a4ka4k1a4ka4k1a4k1a4k3a4k12a4k，3a4k1，a4k都是3的倍數(shù)，(3a4k12a4k)是3的倍數(shù)nk1時，命題成立由(1)(2)可知，對于nN*，bn的各項都是3的倍數(shù)9用數(shù)學(xué)歸納法證明：122232n2 .(1)證明：當(dāng)n1時，左邊121，右邊 1，等式成立10在數(shù)列an中，a11，an1 (nN*)(1)試求a2，a3，a4；(2)由此猜想數(shù)列an的通項公式an；(3)用數(shù)學(xué)歸納法加以證明1數(shù)學(xué)歸納法是一種證明某些與自然數(shù)有關(guān)