江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市2022屆高三下學(xué)期5月教學(xué)情況調(diào)研（二）數(shù)學(xué)試題及解析

1、試卷第 =page 6 6頁，共 =sectionpages 6 6頁試卷第 =page 1 1頁，共 =sectionpages 3 3頁江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市2022屆高三下學(xué)期5月教學(xué)情況調(diào)研（二）數(shù)學(xué)試題學(xué)校:_姓名：_班級：_考號：_一、單選題1已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿足，則（）A1BC2D2已知集合，則（）ABCD3已知向量，滿足，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A2BC4D4已知函數(shù)為偶函數(shù)，則不等式的解集為（）ABCD5已知，則（）ABCD6如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：與雙曲線：有相同的焦點(diǎn)，的漸近線分別交于A，C和B，D四點(diǎn)，若多邊形為正六邊形，則與的離心率之和為（）AB2CD7已

2、知實(shí)數(shù)，滿足，則下列關(guān)系式中不可能成立的是（）ABCD8隨著北京冬奧會的舉辦，中國冰雪運(yùn)動的參與人數(shù)有了突飛猛進(jìn)的提升.某校為提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)、大力推廣冰雪運(yùn)動，號召青少年成為“三億人參與冰雪運(yùn)動的主力軍”，開設(shè)了“陸地冰壺”“陸地冰球”“滑冰”“模擬滑雪”四類冰雪運(yùn)動體驗(yàn)課程.甲、乙兩名同學(xué)各自從中任意挑選兩門課程學(xué)習(xí)，設(shè)事件“甲乙兩人所選課程恰有一門相同”，事件“甲乙兩人所選課程完全不同”，事件“甲乙兩人均未選擇陸地冰壺課程”，則（）AA與B為對立事件BA與C互斥CA與C相互獨(dú)立DB與C相互獨(dú)立二、多選題9已知函數(shù)，則下列說法中正確的有（）A函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱B函數(shù)圖象的一條對稱軸是C

3、若，則函數(shù)的最小值為D若，則的最小值為10已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，其數(shù)學(xué)期望，隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（）ABCD11已知定義在上的函數(shù)，則（）A任意，均能作為一個三角形的三條邊長B存在，使得，不能作為一個三角形的三條邊長C任意，均不能成為一個直角三角形的三條邊長D存在，使得，能成為一個直角三角形的三條邊長12已知正四棱柱中，為的中點(diǎn)，為棱上的動點(diǎn)，平面過，三點(diǎn)，則（）A平面平面B平面與正四棱柱表面的交線圍成的圖形一定是四邊形C當(dāng)與A重合時，截此四棱柱的外接球所得的截面面積為D存在點(diǎn)，使得與平面所成角的大小為三、填空題13展開式中常數(shù)項(xiàng)是_14已知圓錐同時滿足條件：側(cè)面展開圖為半圓；底面

4、半徑為正整數(shù)，請寫出一個這樣的圓錐的體積_.15在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，直線：與圓：交于A，B兩點(diǎn)，若為正三角形，則實(shí)數(shù)的值是_.四、雙空題16第十四屆國際數(shù)學(xué)教育大會（簡稱ICME-14）于2021年7月在上海舉辦，會徽的主題圖案（如圖）有著豐富的數(shù)學(xué)元素，展現(xiàn)了中國古代數(shù)學(xué)的燦爛文明，其右下方的“卦”是用中國古代的計數(shù)符號寫出的八進(jìn)制數(shù)字3745.八進(jìn)制有07共8個數(shù)字，基數(shù)為8，加法運(yùn)算時逢八進(jìn)一，減法運(yùn)算時借一當(dāng)八.八進(jìn)制數(shù)字3745換算成十進(jìn)制是，表示的舉辦年份.設(shè)正整數(shù)，其中，.記，則_；當(dāng)時，用含的代數(shù)式表示_.五、解答題17已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(

5、1)求A；(2)若，求的面積.18在，；，；，三個條件中選擇合適的一個，補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答.已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列是公比大于1的等比數(shù)列，且_.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)記，求使取得最大值時的值.19如圖，在四棱錐中，已知四邊形為菱形，為正三角形，平面平面.(1)求二面角的大小；(2)在線段SC（端點(diǎn)S，C除外）上是否存在一點(diǎn)M，使得？若存在，指出點(diǎn)M的位置；若不存在，請說明理由.20某食品企業(yè)與甲、乙兩超市簽訂了長期供應(yīng)某種海鮮罐頭的合同，每月供應(yīng)一次，經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：每家超市的月需求量都只有兩種：400件或600件，且互相不受影響；甲、乙兩超市的月需求量為400件的概率

6、分別為，.(1)求兩超市的月需求總量為1000件的概率；(2)已知企業(yè)對此罐頭的供貨價格為30元件，生產(chǎn)此罐頭的成本為：800件內(nèi)（含800）為20元件，超過800件但不超過1000件的部分為15元件，超過1000件的部分為10元件.企業(yè)擬將月生產(chǎn)量X（單位：件）定為800或1000或1200.若兩超市的月需求總量超過企業(yè)的月生產(chǎn)量，則企業(yè)每月按月生產(chǎn)量供貨，若兩超市的月需求總量不超過企業(yè)的月生產(chǎn)量，則企業(yè)每月按月需求總量供貨.為保障食品安全，若有多余罐頭企業(yè)每月自行銷毀，損失自負(fù).請你確定的值，使該企業(yè)的生產(chǎn)方案最佳，即企業(yè)每月生產(chǎn)此罐頭的利潤的數(shù)學(xué)期望最大，并說明理由.21已知函數(shù)，函數(shù)，

7、其中.(1)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并說明理由；(2)證明：曲線與曲線有且只有一個公共點(diǎn).22如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F且斜率大于0的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，過線段AB的中點(diǎn)M且與x軸平行的直線依次交直線OA，OB，l于點(diǎn)P，Q，N.(1)判斷線段PM與NQ長度的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)若線段NP上的任意一點(diǎn)均在以點(diǎn)Q為圓心、線段QO長為半徑的圓內(nèi)或圓上，求直線AB斜率的取值范圍.答案第 = page 17 17頁，共 = sectionpages 17 17頁答案第 = page 1 1頁，共 = sectionpages 2 2頁參考答案

8、：1B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義求出，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計算公式即可得解.【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，所?故選：B.2A【解析】【分析】求解對數(shù)不等式得到集合，進(jìn)而結(jié)合補(bǔ)集和交集的概念即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，故選：A.3C【解析】【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，依題意，則，故選：C.4B【解析】【分析】先求得參數(shù)a的值，再去求不等式的解集【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即解之得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.則由，可得故的解集為，故選：B.5A【解析】【分析】利用兩角差的余弦公式化簡，然后再化弦為切即可得解.【詳解】解：由得，,所以

9、,解得.故選：A.6C【解析】【分析】結(jié)合正六邊形的幾何性質(zhì)以及離心率即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槎噙呅螢檎呅?，設(shè)正六邊形的邊長為，所以，故選：C.7D【解析】【分析】設(shè)，則，在同一坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)，的圖象，由此判斷答案【詳解】設(shè)，則， 在同一坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)，的圖象，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，由此可以看出，不可能出現(xiàn)這種情況，故選：8C【解析】【分析】根據(jù)互斥事件、對立事件的概念即可判斷A、B，再根據(jù)古典概型的概率公式求出、，根據(jù)相互獨(dú)立事件的定義判斷C、D；【詳解】解：依題意甲、乙兩人所選課程有如下情形有一門相同，兩門都相同，兩門都不相同；故與互斥不對立，與不互斥，所以，且，所以，即與相

10、互獨(dú)立，與不相互獨(dú)立.故選：C9BCD【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)不在函數(shù)圖象上，判斷A不正確；根據(jù)判斷B正確；求出函數(shù)在上的值域可判斷C正確；根據(jù)函數(shù)的最大值，結(jié)合推出，再根據(jù)的最小正周期為可得的最小值為，可得D正確.【詳解】在的圖象上取一點(diǎn)，其關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)不在的圖象上，所以函數(shù)的圖象不關(guān)于點(diǎn)對稱，故A不正確；因?yàn)?，所以函?shù)圖象的一條對稱軸是，故B正確；若，則，所以，故C正確；因?yàn)?，所以，所以，故D正確.故選：BCD10BD【解析】【分析】由二項(xiàng)分布的均值知求得，即可判斷A，B，進(jìn)一步求出，又根據(jù)服從正態(tài)分布可求得，,即可判斷C，D.【詳解】因?yàn)?，所以，即A錯誤，B正確；易知，因?yàn)?/p>

11、，所以，所以，即C錯誤，D正確.故選：BD.11AD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)在定義區(qū)間上的最值，再結(jié)合構(gòu)成三角形、直角三角形的條件判斷作答.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，任意，不妨令，則，即，均能作為一個三角形的三條邊長，A正確，B錯誤；取，滿足，則，顯然有，即，為邊的三角形是直角三角形，C錯誤，D正確.故選：AD12AC【解析】【分析】A選項(xiàng)，證明，從而證明出平面，進(jìn)而證明面面垂直；B選項(xiàng)，當(dāng)時，畫出平面與正四棱柱表面的交線圍成的圖形是五邊形；C選項(xiàng)，作出與A重合時的平面，求出外接球半徑，得到截面面積；D選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解線面角的大小.【詳解】

12、因?yàn)?，為的中點(diǎn)，底面ABCD為正方形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)椋云矫?，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?，即A正確；當(dāng)時，畫出平面與正四棱柱表面的交線圍成的圖形如下圖：其中F在線段上，G在上，BPEG，BEPF，可知交線圍成的圖形為五邊形，即B錯誤；如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AB所在直線為，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面ABEF的法向量為，則有，令，則，則球心到平面的距離，此正四棱柱的外接球半徑為，所以截面半徑，則截面積，即C正確；設(shè)，則平面的法向量為，則，令，則，所以，設(shè)與平面所成角為，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以不存在點(diǎn)，使得與平面所成角的大小為，即D錯誤.故選：AC【點(diǎn)睛】

13、求解直線與平面夾角的取值范圍或平面之間夾角的取值范圍問題，建立空間直角坐標(biāo)系可以很好的將抽象的立體幾何問題轉(zhuǎn)化為運(yùn)算問題進(jìn)行解決.13-40【解析】【詳解】解析過程略14（其它合理答案也行）【解析】【分析】設(shè)底面半徑，母線長為，側(cè)面展開圖是半圓，必須滿足，即，故，即可滿足題意，據(jù)此在求體積.【詳解】設(shè)底面半徑，母線長為，由展開圖為半圓，可知，所以，所以高，則體積.故答案為：（其它合理答案也行）15#-1.25【解析】【分析】結(jié)合作圖，可求得直線的斜率，以及原點(diǎn)到直線的距離，利用點(diǎn)到直線的距離公式，求得答案.【詳解】由題意可知在圓上， 如圖，設(shè)AB中點(diǎn)為H，連接PH,則PH過點(diǎn)O,且 ,設(shè)直線l

14、的斜率為k, 則 ,故即為，因?yàn)闉檎切?，則O點(diǎn)為的中心，則，故 ，解得 ，結(jié)合在圓上，是圓的內(nèi)接正三角形，可知 ，即.故答案為：16 2； .【解析】【分析】結(jié)合進(jìn)制轉(zhuǎn)換即可求出，進(jìn)而求出，再結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以；易知，且，所?故答案為：2；.17(1)(2)【解析】【分析】（1）利用正弦定理，角化邊，得到，利用余弦定理，求得答案；（2）利用余弦定理結(jié)合求得，利用三角形面積公式，求得答案.(1)因?yàn)?，在中，由正弦定理可得，化簡得，所?又因?yàn)椋?(2)由余弦定理，得因?yàn)椋詫⒋肷鲜?，解得，所以的面積.18(1)，(2)的值為3或4【解析】【分析】

15、（1）由，得到，再根據(jù)求解；選，根據(jù)，兩式相除得到q求解；選，由，得到，再結(jié)合求解；選，由，得，再結(jié)合求解.（2）由（1）得到，再利用作差法，由其單調(diào)性求解.(1)解：由，又因?yàn)?，所以，所以，設(shè)數(shù)列的公比為，則，選，因?yàn)椋?，又，所以，所以，若選，所以，即，所以或，因?yàn)?，所以，則.若選，由，得，又，解得，因?yàn)?，所以，所?(2)由（1）得，所以，因?yàn)椋援?dāng)或2時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，所以，所以使得取得最大值時的值為3或4.19(1)45(2)不存在，理由見解析【解析】【分析】（1）取AD中點(diǎn)O，連接SO，BO，由分析知，再由面面垂直的性質(zhì)定理知，平面，所以進(jìn)一步可得，OA，OB，OS兩兩垂直，

16、以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，分別求出平面和平面的法向量，由此計算出面面角的余弦值，進(jìn)而求得二面角的大小.（2）求出的坐標(biāo)，表示出，由知，代入解得，矛盾，故不存在.(1)取AD中點(diǎn)O，連接SO，BO，因?yàn)椋?，又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫?平面，平面，因?yàn)槠矫妫?，則，因?yàn)?，所以，所以O(shè)A，OB，OS兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，由，可得，設(shè)二面角為，則，易知二面角為銳角，則.(2)設(shè)，則，由，解得，矛盾，故不存在.20(1)(2)時，該企業(yè)每月生產(chǎn)此罐頭的利潤的數(shù)學(xué)期望最大，理由見解析【解析】【分析】（1）確定兩超

17、市需求量為400件或600件的概率，根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率計算，可求答案；（2）分別計算企業(yè)生產(chǎn)量為800,1000,1200件時的利潤的期望值，比較可得答案.(1)由題意得，甲超市需求量為400件或600件的概率分別為，乙超市需求量為400件或600件的概率分別為，故兩超市的月需求總量為1000件的概率；(2)記兩超市月需求總量為，則，當(dāng)時，此時800件沒有剩余，故（元）；當(dāng)時，（元）；當(dāng)時，（元）；則當(dāng)時，該企業(yè)每月生產(chǎn)此罐頭的利潤的數(shù)學(xué)期望最大.21(1)函數(shù)在上單調(diào)遞增，理由見解析(2)證明見解析【解析】【分析】（1）對求導(dǎo)知，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.（2）設(shè)，題設(shè)等價于證明函數(shù)有且僅有一個零點(diǎn)，對求導(dǎo)得，設(shè)，對求導(dǎo)知，當(dāng)時，當(dāng)時，再討論，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，即可證明.(1)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增.(2)設(shè)，題設(shè)等價于證明函數(shù)有且僅有一個零點(diǎn)，設(shè)，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，則當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，故此時函數(shù)有且僅有一個零點(diǎn)；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時，恒成立；當(dāng)且時，則，函數(shù)在上存在一個零點(diǎn)，此時函數(shù)有且僅有一個零點(diǎn)；綜上即證.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及了利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性問題，以及證明曲線