高中數(shù)學(xué)題型全面歸納（學(xué)生版）：12.4 二項(xiàng)式定理52

1、 二項(xiàng)式定理考綱解讀能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理.會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)式展開(kāi)式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題.命題趨勢(shì)探究高考對(duì)本節(jié)內(nèi)容的考查常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，并且高于中等偏易試題.主要考查內(nèi)容是： = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 利用通項(xiàng)求解展開(kāi)式中的某指定項(xiàng)； = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 利用二項(xiàng)式特別是的展開(kāi)式求解系數(shù)或求某些類(lèi)似于二項(xiàng)展開(kāi)式的式子的值； = 3 * GB3 * MERGEFORMAT 二項(xiàng)式系數(shù)的有關(guān)問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)精講一、二項(xiàng)式定理 .展開(kāi)式具有以下特點(diǎn)：（1）項(xiàng)數(shù)：共項(xiàng).（2）二項(xiàng)式系數(shù)：依次為組合數(shù).（3）每一項(xiàng)的次數(shù)是一樣的，都為次

2、，展開(kāi)式依的降冪、的升冪排列展開(kāi).特別地，.二、二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)（第項(xiàng)） 二項(xiàng)式展開(kāi)的通項(xiàng)為.其中的二項(xiàng)式系數(shù).令變量（常用）取1，可得的系數(shù).注 通項(xiàng)公式主要用于求二項(xiàng)式展開(kāi)式的指數(shù)、滿足條件的項(xiàng)數(shù)或系數(shù)、展開(kāi)式的某一項(xiàng)或系數(shù).在應(yīng)用通項(xiàng)公式時(shí)要注意以下幾點(diǎn)： = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 分清是第項(xiàng)，而不是第項(xiàng)； = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 在通項(xiàng)公式中，含這6個(gè)參數(shù)，只有是獨(dú)立的，在未知的情況下利用通項(xiàng)公式解題，一般都需要先將通項(xiàng)公式轉(zhuǎn)化為方程組求和.二項(xiàng)式展開(kāi)式中的系數(shù) （1）二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù) 二項(xiàng)式系數(shù)僅指而言，不包括字母所表示的式子中的系

3、數(shù).例如：的展開(kāi)式中，含有的項(xiàng)應(yīng)該是，其中叫做該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，而的系數(shù)應(yīng)該是（即含項(xiàng)的系數(shù)）.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 在二項(xiàng)式展開(kāi)式中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，即，. = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 二項(xiàng)展開(kāi)式中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大. 如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)，中間項(xiàng)是第項(xiàng)，其二項(xiàng)式系數(shù)最大；如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)，中間項(xiàng)有兩項(xiàng)，即為第項(xiàng)和第項(xiàng)，它們的二項(xiàng)式系數(shù)和相等并且最大.（3）二項(xiàng)式系數(shù)和與系數(shù)和 = 1 * GB3 二項(xiàng)式系數(shù)和 .奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和， . = 2 * GB3 系數(shù)和

4、求所有項(xiàng)系數(shù)和，令；求變號(hào)系數(shù)和，令；求常數(shù)項(xiàng)，令。題型歸納及思路提示題型172 二項(xiàng)式定理展開(kāi)式的應(yīng)用思路提示 對(duì)二項(xiàng)展開(kāi)式的認(rèn)識(shí)不僅要關(guān)注展開(kāi)式中對(duì)各項(xiàng)的特點(diǎn)，更重要的是要理解等式兩邊的關(guān)系，右邊是左邊個(gè)因式積的結(jié)果，而左邊是右邊各項(xiàng)和的結(jié)果，這就為此類(lèi)問(wèn)題的解決提供了思考的方向和解決的思路。例12.30 用計(jì)數(shù)原理證明： .解析: ，其展開(kāi)式的通項(xiàng)為，是由個(gè)中的個(gè)中每一個(gè)取，個(gè)中每一個(gè)取相乘取得的，這樣的取法（只需從個(gè)中取，自然剩余個(gè)中?。┕灿蟹N，即 .故 變式1 在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（ ）A. B. C. D. 變式2 在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為_(kāi)（用數(shù)字作答）.變式3 的展開(kāi)式中整理后

5、的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)（用數(shù)字作答）.題型173 二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)的應(yīng)用思路提示二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)從微觀角度反映了二項(xiàng)展開(kāi)式的全貌，是展開(kāi)式的縮影，它可以用于求二項(xiàng)展開(kāi)式的任意指定項(xiàng)及其系數(shù)等。例12.31 （1）的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是（ ）A. B. C. D. (2)展開(kāi)式中的系數(shù)為（ ） A. B. C. D. 變式1 展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)。變式2 展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)。變式3 已知的展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)，且，=_.例12.32 （1）求證： .（2）求證：.變式1 ，.求證：.變式2 求證： .變式3 對(duì)于，求證：. 例12.33 (1)展開(kāi)式中的系數(shù)為，=_.(2) （2017新課標(biāo)理數(shù)）(+)(2-)5

6、的展開(kāi)式中33的系數(shù)為A-80B-40C40D80變式1 的展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)(用數(shù)字作答)。變式 2 設(shè)二項(xiàng)式()的展開(kāi)式中的系數(shù)為A，常數(shù)項(xiàng)為B，若B=4A，則的值為_(kāi)。變式 3 展開(kāi)式中與的系數(shù)和為_(kāi)(用數(shù)字作答)。例12.34 展開(kāi)式中系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有_項(xiàng)。變式1 的第三項(xiàng)和第二項(xiàng)系數(shù)之比為11：2，求展開(kāi)式中有理項(xiàng)有多少個(gè)？變式2 (為有理數(shù))，則=（ ） A. 45 B. 55 C. 70 D. 80變式3 展開(kāi)式中存在常數(shù)項(xiàng)，正整數(shù)的最小值為_(kāi).題型174 二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)和問(wèn)題思路提示有關(guān)系數(shù)和的問(wèn)題不僅要注意二項(xiàng)式系數(shù)和的結(jié)果，重要的是研究二項(xiàng)式系數(shù)所用的方法即賦值

7、法，這里就需要讀者根據(jù)題目結(jié)合已知條件進(jìn)行賦值。例12.35 已知=.求（1）；（2）；（3）；（4）.變式1 已知二項(xiàng)展開(kāi)式，則=_.變式2 的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2，則該展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（ ）A. -40 B. -20 C. 20 D. 40例12.36 若=（），則的值為（ ）A. 2 B. 0 C. -1 D. -2變式1 已知=.若，那么自然數(shù)的值為（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6變式2 若，則=_.題型175 二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)或項(xiàng)的最大、最小問(wèn)題思路提示 二項(xiàng)式系數(shù)最大（小）問(wèn)題按前述“知識(shí)點(diǎn)精講”原理求解.系數(shù)或項(xiàng)的最大、最小問(wèn)題需按該項(xiàng)大于（或小于）等于相鄰兩項(xiàng)，

8、列不等式組求解。例12.37 展開(kāi)式中：（1）只有第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則=_;（2）第7項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)取最大值，= _.變式1 求展開(kāi)式的系數(shù)最大項(xiàng)和最小項(xiàng)。變式2 求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)數(shù)和系數(shù)最大項(xiàng)數(shù)。最有效訓(xùn)練題52（限時(shí)30分鐘）1.的二項(xiàng)展開(kāi)式中，的系數(shù)為（ ）A. 10 B.-10 C.40 D. -402. (其中且)展開(kāi)式中，與的系數(shù)相等，則=（ ）A. 6 B. 7 C.8 D. 93的展開(kāi)式中，的系數(shù)為10，則實(shí)數(shù)等于（ ）A. B. C. 1 D. 24. （2017新課標(biāo)理數(shù)）展開(kāi)式中的系數(shù)為A15B20C30D355.若展開(kāi)式中的所有二項(xiàng)式系數(shù)和為512，則該展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（ ）A. -84 B. 84 C. -36 D. 366. 設(shè)=，則的值為（ ）A. 2 B. -1 C. -2 D. 1 7. 若的展開(kāi)式中第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則該展開(kāi)式中