幾何課題3-復(fù)數(shù)的概念課件

1、項目3.1復(fù)數(shù)的概念案例導(dǎo)入遇到問題,調(diào)整好狀態(tài)應(yīng)對吧!1.j的引入方程x2=-1在實數(shù)集R內(nèi)無解,為了解決這樣的方程,人們引進一個新數(shù)j.j叫做虛數(shù)單位,它具有如下性質(zhì)(1)j2=-1;(2)j和實數(shù)一起,可以按照通常的四則運算法則進行運算.例如:4j,-0.5j,4+3j,-j,(1+2j)(-3-2j),等.2.j和實數(shù)b的乘積bj(1)當(dāng)b0時,bj叫做純虛數(shù);(2)當(dāng)b=0時,bj=0j=0,此時bj就是實數(shù)0.3.復(fù)數(shù)形如a+bj的數(shù)叫做復(fù)數(shù),其中a、b都是實數(shù).a叫做復(fù)數(shù)的實部,記作a=Rez;b叫做復(fù)數(shù)的虛部,記作b=Imz.例如:復(fù)數(shù)-j的實部是,虛部是-;復(fù)數(shù)4j的實部是0

2、,虛部是4;實數(shù)5的實部是5,虛部是0.4.復(fù)數(shù)集合全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合,叫做復(fù)數(shù)集.復(fù)數(shù)集通常用C表示,即C=.復(fù)數(shù)z=a+bj中 5.復(fù)數(shù)相等 (1)a+bj=c+dja=c且b=d;(2)a+bj=0a=0且b=0.6.共軛復(fù)數(shù)若z=a+bj,=a-bj,則稱z和互為共軛復(fù)數(shù).它們的實部相等,虛部互為相反數(shù).例1解方程x2+4=0.【解】移項得x2=-4,因為(2j)2=-4,所以x1=2j,x2=-2j.例2解方程x2+6x+10=0.【解】方程可變形為x2+6x+9=-1,即(x+3)2=-1,因為(j)2=-1,則x+3=j或x+3=-j,所以x1=-3+j,x2=-3-j. 例3

3、求適合下列方程的x和y(x,yR)的值:(1)(x+2y)-j=6x+(x-y)j;(2)(x+y-1)-(x-y+3)j=0.【解】(1)根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義,得方程組,解這個方程組,得x=,y=.(2)由復(fù)數(shù)等于零的充要條件,得,解這個方程組,得x=-1,y=2. 1.將下列各數(shù)分類:2-,0.168,2j,0j,j,j2,j3,4+5j,-j,(1-)j.實數(shù):;虛數(shù):;純虛數(shù):;復(fù)數(shù):.2.寫出下列各復(fù)數(shù)的實部和虛部:-4+2j,3+7j,(3+)j,-8,j3.3.解方程(1)x2+4x+5=0;(2)x2-5x+10=0. 項目3.2復(fù)數(shù)的幾何意義案例導(dǎo)入遇到問題,調(diào)整好狀態(tài)應(yīng)對吧!

4、1.復(fù)平面建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面稱為復(fù)平面,也叫高斯(Gauss)平面.圖3-1在復(fù)平面內(nèi),x軸通常叫做實軸,y軸叫做虛軸.復(fù)數(shù)z=a+bj被有序?qū)崝?shù)對(a,b)所唯一確定,而每一個有序?qū)崝?shù)對(a,b)在平面直角坐標(biāo)系中又唯一確定一點Z(a,b)或一個向量.因此,復(fù)數(shù)z=a+bj,點Z(a,b)和向量之間可以建立起一一對應(yīng)的關(guān)系.Z(a,b)或向量叫做復(fù)數(shù)的集合表示.2.復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù)z=a+bj所對應(yīng)向量的長度叫做復(fù)數(shù)的模或絕對值.記作=.復(fù)數(shù)的幾何表示的發(fā)現(xiàn),使虛幻的復(fù)數(shù)與實際緊密地聯(lián)系了起來.現(xiàn)在,復(fù)數(shù)不僅在數(shù)學(xué)理論中不可缺少,也成了研究物理學(xué)及其他科學(xué)的重要工具. 例1(1)寫出

5、圖3-2a中各點表示的復(fù)數(shù);(2)在復(fù)平面(圖3-2b)內(nèi)作出表示下列復(fù)數(shù)的點和向量:3+j,2+3j, -1+4j,-2+j,-1-2j,2-2j.圖3-2【解】(1)O:0,A:3+2j,B:2+4j,C: -1+3j,D: -2+2j,E:-2-j,F:2-3j;(2)如圖3-2b所示,A:3+j,B:2+3j,C:-1+4j,D:-2+j,E:-1-2j,F:2-2j.所對應(yīng)向量分別是:,.不等式4的解集是以原點O為圓心,4為半徑的圓及其內(nèi)部所有的點構(gòu)成的集合. 圖3-3圖3-4不等式2的解集是以原點O為圓心,2為半徑的圓及其外部所有的點構(gòu)成的集合.所以,24的解集就是這兩個集合的共同

6、部分,即以原點O為圓心,2及4為半徑的兩圓所夾的圓環(huán),并包括圓環(huán)的邊界. 1.在復(fù)平面內(nèi)描出表示下列復(fù)數(shù)的點和向量:(1)3+5j;(2)-2+3j;(3)4-j;(4)-2j-1;(5)2;(6)-4j;(7)(-2j)2;(8) 2j.2.求下列復(fù)數(shù)的模:(1) -4+3j;(2) 5-12j;(3) -5j;(4) 1+j.3.設(shè)zC,請問滿足下列條件的點Z的集合是什么圖形?(1)=1;(2)34.項目3.3復(fù)數(shù)的代數(shù)形式運算1.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運算復(fù)數(shù)的代數(shù)形式加減時,只需將實部和虛部分別加減,即(a+bj)+(c+dj)=(a+c)+(b+d)j;(a+bj)-(c+dj)=(a-

7、c)+(b-d)j.2.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算復(fù)數(shù)的代數(shù)形式相乘時,類似多項式相乘,只是jn要用具體數(shù)值代替,即(a+bj)(c+dj)=ac+adj+bcj+bdj2 =(ac-bd)+(bc+ad)j. 由上述乘法公式不難求得(a+bj)(a-bj)=a2+b2,說明互為共軛的兩個復(fù)數(shù)相乘,積為實數(shù).因此,復(fù)數(shù)的代數(shù)形式相除時,為便于計算,常常用分子、分母同時乘以分母的共軛復(fù)數(shù),將分母化為實數(shù),再根據(jù)乘法公式計算.方法如下(a+bj)(c+dj)= =+j.=+j即為復(fù)數(shù)的除法公式.例1已知z1=2+3j,z2=5-2j,計算z1+z2,z1-z2.【解】z1+z2=(2+3j)+(5-2

8、j)=(2+5)+(3-2)j=7+j.z1-z2=(2+3j)-(5-2j)=(2-5)+j=-3+5j.例2已知z1=2+j,z2=3-4j,計算z1z2.【解】z1z2=(2+j)(3-4j)=23+2(-4j)+j3+j(-4j)=6-8j+3j+4=10-5j.例3已知z1=2+3j,z2=3+4j,計算z1z2.【解】z1z2= = =+j.想一想(a+bj)(a-bj)=? 1.計算:(1)(3+2j)+(7+j);(2)(5+j)+(5-j);(3)(4-2j)-(-3+6j);(4)(3j-4)-(-4-3j).2.計算:(1)(-3+4j)(5+j);(2)(5+3j)(5

9、-3j);(3)(3-2j)(-3+4j);(4)(3j-5)(2j)(2+2j).圖3-6項目3.4復(fù)數(shù)的指數(shù)形式運算案例導(dǎo)入遇到問題,調(diào)整好狀態(tài)應(yīng)對吧!1.復(fù)數(shù)的輻角設(shè)z=a+bj,=r=,以x軸的正半軸為始邊,向量所在的射線OZ為終邊的角,叫做復(fù)數(shù)z=a+bj的輻角,記作=Argz,如圖3-7所示.(r=)圖3-7不等于零的復(fù)數(shù)z=a+bj的輻角值有無數(shù)多個,這些值相差2的整數(shù)倍.如復(fù)數(shù)j的輻角可以是集合中的任意角.如果復(fù)數(shù)等于零,那么和它對應(yīng)的向量是零向量.由于零向量沒有確定的方向,因而復(fù)數(shù)0+0j沒有確定的輻角.適合于02的輻角的值,叫做輻角的主值,通常記作Argz.例如:Arg3=;Arg(-5)=;Arg(-j)=. 要確定任意復(fù)數(shù)z=a+bj的輻角,可以利用公式 2.復(fù)數(shù)的表達形式復(fù)數(shù)的常用表達形式,如(1)z=a+bj稱為代數(shù)形式或直交形式;(2)z=r(cos+jsin)稱為三角形式;(3)z=rej稱為指數(shù)形式.數(shù)學(xué)家歐拉證明:cos+jsin=ej,公式把復(fù)數(shù)的三角形式和指數(shù)形式聯(lián)系起來,這就是著名的歐拉公式.本課題主要學(xué)習(xí)指數(shù)形式在 乘除運算中的運用.設(shè)z1=r1(cos1+jsin1)=r1,z2=r2(cos2+jsin2)=r2,則z1z2=r1r2=r1r2;例1化2j為指數(shù)形式.【解】因為r=2,主值是,所以2j=2=2.例2化1-j為