離心率教學(xué)設(shè)計(jì)1

1、“圓錐曲線的離心率”教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)校：瀘源中學(xué)學(xué)科：鰲匕主備人：錢秋艷備課組長：趙永聰集體備課：2016年6月13日教學(xué)：g月曳日至色月絲日一、內(nèi)容及其解析(一)內(nèi)容1.歷年來平面幾何和解析幾何部分是高考的“重頭戲”，而圓錐曲線內(nèi)容又是解析幾何部分的重中之中，其中圓錐曲線的離心率問題是高考中?？嫉膯栴}，通常有兩類題型：一/求橢圓和雙曲線的離心率的值；二是求橢圓和雙曲線離心率的取值范圍圓錐曲線的內(nèi)容如下：雙曲線雙曲線定義標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系2、近三年圓錐曲線離心率內(nèi)容主要考查的問題考點(diǎn)問題一：利用橢圓、雙曲線的定義式和基本量間的關(guān)系求值考點(diǎn)問題二：利用三角函數(shù)、正

2、余弦定理、勾股定理、三角形面積公式、向量的計(jì)算和 性質(zhì)等來求值.考點(diǎn)問題三：利用平面幾何的相關(guān)性質(zhì)以及圓錐曲線的性質(zhì)，通過轉(zhuǎn)化與化歸與方程等思想方法，解離心率有關(guān)問題 .(二)解析離心率是圓錐曲線的一個(gè)重要的基本量， 求離心率的題目是高考常見的題型， 這類問題 涉及到的知識點(diǎn)比較多， 綜合性比較強(qiáng)，對學(xué)生的思維能力和運(yùn)算能力有較高的要求，所以學(xué)生在解決這類問題時(shí)，往往會感到無從下手 .其實(shí)解決這類問題就是想方設(shè)法找到 a,b,c三c 者N間的關(guān)系，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e=-的問題，其關(guān)鍵是如何分析題意，深人挖掘出a題目所隱含的條件.本文結(jié)合近三年的高考題，總結(jié)出了幾個(gè)求圓錐曲線離心率的常用方法

3、.(2015年新課標(biāo)H理第11題)已知A,B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，？ABM 為等腰三角形，且頂角為 120。，則E的離心率為( D )(A)8(B) 2(C) 73(D) &第1頁共6頁本題主要考查的問題是，利用三角函數(shù)、平面幾何和方程思想求離心率.主要是能過 M點(diǎn)作X軸 的垂線，然后利用三角函數(shù)計(jì)算出M點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù) M點(diǎn)在雙曲線上則把 M點(diǎn)坐標(biāo)帶入雙曲線方程，結(jié)合 a、b、c三者的關(guān)系求出離心率.解析：過M作X軸的垂線交X軸于N點(diǎn)，連接MN,則NMBN=60口，ZBMN=301BN=-BM=a,MN = J3a即M坐標(biāo)為(2a,73a )且M點(diǎn)在雙曲線上帶入雙曲線萬程可得:

4、a2 =b2 =c2 -a2. e =、. 2(2015新課標(biāo)n文第20題)已知橢圓C： +2r =i(ab0)的離心率為點(diǎn)(2, 衣)在C上.a2 b22(1)求C的方程.(2)直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A, B,線段AB的中點(diǎn)為M.直線OM勺斜率與直線l的斜率的乘積為定值.(2014新課標(biāo)n理第20題)設(shè)F1,F2分別是橢圓x2r+y_=1(abA0)的左右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直，直線 MF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為 N.(I )若直線 MN的斜率為3 ,求C的離心率；4(n)若直線 MNB y軸上的截距為 2,且 MN =5F1N ,求a,b .22(20

5、14新課標(biāo)I理第 20題)已知點(diǎn) A (0,-2),橢圓E： 1+* =1(a AbA0)的離a b心率為二一，F(xiàn)是橢圓的焦點(diǎn)，直線22.3AF的斜率為今3 ,3O為坐標(biāo)原點(diǎn)(I )求E的方程；(n )設(shè)過點(diǎn) A的直線l與E相交于P,Q兩點(diǎn)，當(dāng)AOPQ的面積最大時(shí)，求l的方程.第2頁共6頁 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark6 o Current Document 22(2013年新課標(biāo)n文第5題)設(shè)橢圓C:。+22=1(aAbA0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2, a bP是C上的點(diǎn)PF2 1 F1F2，/PF1F2 =30,則C的離心率為()(A)顯(B)

6、1(C) 1(D)也6323本題考查的問題是橢圓的幾何性質(zhì)和離心率的計(jì)算，主要是能利用幾何性質(zhì)和橢圓的定義式集合橢圓中基本量間的關(guān)系進(jìn)而求出離心率b2解析；由PF2 _L Fi F2可知，P橫坐標(biāo)為c,帶入橢圓方程求得 P帶坐標(biāo)為(c, 一),在a直角 LPF1F2 中，NPFE =30。，故 |PFi|=2|PF2 結(jié)合橢圓性質(zhì)可得 |PF；+|PF2=2a,故支=2a,e； TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark20 o Current Document a32.對上述高考題的歸納總結(jié)求離心率的問題主要考查的是圓錐曲線的幾何性質(zhì)以及平面幾何的應(yīng)用.會涉及到勾股

7、定理、三角函數(shù)、圓、正余弦定理、三角形的面積公式以及向量的有關(guān)性質(zhì)和計(jì)算等問題.其中會應(yīng)用到的數(shù)學(xué)思想方法有方程思想方法，利用圓錐曲線的相關(guān)性質(zhì)和滿足題意的幾何圖形的等量關(guān)系和已知等式，列出關(guān)于a、b、c三者中某兩個(gè)或三個(gè)元素的方程；再結(jié)合轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法，結(jié)合 a、b、c三者間的關(guān)系式，將所列的方程進(jìn)行變形、化簡求值.二、目標(biāo)及其解析(一)目標(biāo).掌握橢圓、雙曲線的定義式、離心率的定義及求離心率的基本方法；.能有意識的應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想和方程思想方法，通過分析橢圓、雙曲線的基本量“a、b, c”之間的關(guān)系，幾何圖形的等量關(guān)系和已知等式列出某個(gè)關(guān)于a、b、c三個(gè)中任意兩個(gè)或三個(gè)間的等量關(guān)系式；

8、3.能應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想方法，并結(jié)合a、b、c三者的關(guān)系，將所列的方程進(jìn)行有目的的變形、化簡，從而求值；(二)解析高考圓錐曲線試題主要靠圓錐曲線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)；“掌握橢圓、雙曲線的定義式、離心率的定義及求離心率的基本方法”就是要求在解決這一問題時(shí)，首先要掌握橢圓和雙曲線中基本量之間的等量關(guān)系式，并能根據(jù)這些關(guān)系及已知條件列出相關(guān)的等量關(guān)系式；“能有意識的應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想和方程思想方法”要求在解決圓錐曲線的問題時(shí)， 首先要能夠依據(jù)題意準(zhǔn)確畫出圖像，并根據(jù)題意列出所求量的方程或表達(dá)式，并知道根據(jù)a、b、c三者的關(guān)系、圖形的等量關(guān)系式和已知等式來具體列出方程；并采用數(shù)形結(jié)合的

9、思想， 要滲透的是用代數(shù)的方法研究幾何問題的思想一一即解析的思想，因此要重點(diǎn)掌握方程的思想和曲線與方程的關(guān)系， 淡化數(shù)值計(jì)算，所以，要重視方程與函數(shù)的思想、數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用，這是解析幾何復(fù)習(xí)的本源；“能應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想方法”在這里是指，當(dāng)列出一系列的方程后，要有目的地第3頁共6頁去變形、化簡、求值，所謂有目的是指圍繞所求量，消去、代換或減少其他無關(guān)的量，從而 求出所求量的值；三、教學(xué)問題診斷分析高考中對于圓錐曲線的幾何性質(zhì)基本是圍繞著“離心率、范圍” 考查，根據(jù)對高考試 題分析可知：離心率問題是高考對圓錐曲線考查的又一個(gè)重點(diǎn)，求離心率及取值范圍問題是 解析幾何中常見的問題，其歸根結(jié)底是利

10、用定義尋求關(guān)于a、b、c的相應(yīng)等式，并把等式中的a、b、c轉(zhuǎn)化為只含有a,c的式子，再轉(zhuǎn)化為含 的等式，最后求出e ,該類題型較為基a礎(chǔ)，一般以選擇題或解答題的第一問的形式出現(xiàn)，而對于選擇題中常?？山Y(jié)合圖形或者定義來解決，這樣就可以有效地避免了復(fù)雜的運(yùn)算.學(xué)生最大的問題就是不能準(zhǔn)確的列出所需要的等量關(guān)系式，對于這一問題通過引導(dǎo)提問激發(fā)學(xué)生的思考，并跟學(xué)生講清楚如何根據(jù)具體題意準(zhǔn)確的構(gòu)造出所需要的等量關(guān)系式；歷年來平面幾何和解析幾何部分是高考的“重頭戲”，而圓錐曲線內(nèi)容又是解析幾何部分的重中之中，但這卻是考生的“軟肋”，考生對圓錐曲線部分“又愛又恨”，“愛”是因?yàn)檫@是高考的重點(diǎn)，在備考復(fù)習(xí)的過程

11、中不敢掉以輕心；“恨”是因?yàn)閳A錐曲線這部分內(nèi)容對考生來說比較難，常以“壓軸題”的面目呈現(xiàn)，且常考常新、綜合性強(qiáng)、字母符號多，運(yùn)算 量過程復(fù)雜，考生在解題中經(jīng)常會“卡殼” ，往往會出現(xiàn)“想得到、算不出、做不對”的現(xiàn) 象.綜觀近三年的圓錐曲線考題可知 ：在高考中重點(diǎn)考查的知識內(nèi)容是軌跡問題、最值問題（尤其是與距離有關(guān)的最值問題 卜定點(diǎn)或定值、切線問題（或切點(diǎn)弦）和曲線特征（性質(zhì)）探究性問 題，在注重考查圖形直觀的同時(shí)，不再刻意回避韋達(dá)定理在代數(shù)運(yùn)算中的作用，在本質(zhì)上更加突出“用代數(shù)方法解決幾何問題”這一核心，即兼顧考查韋達(dá)定理與圖形探究，在能力上 TOC o 1-5 h z 注重圖形探究能力的考查

12、， 突出用“數(shù)”研究“形”的方法，同時(shí)通過“形”的特征簡化“數(shù)” 的運(yùn)算，體現(xiàn)多思巧算的思想及減少運(yùn)算量的技巧，而在考查的過程中貫穿函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、特殊與一般的思想考查和關(guān)注對整體處理問題策略的方法四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）課前測試 HYPERLINK l bookmark24 o Current Document 22（2013年新課標(biāo)n文第5題）設(shè)橢圓C：+A=1（abA0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2, a bP是C上的點(diǎn)PF2 1 F1F2，/PF1F2 =30，則C的離心率為（）(D),33, 人、31(A)二(B)-63設(shè)計(jì)意圖：通過測試，了解學(xué)生對橢圓和雙曲線的定義式及相關(guān)量

13、間的關(guān)系、三角形的相關(guān)應(yīng)用、根據(jù)轉(zhuǎn)化與與化歸思想方法化簡求值以及分類討論思想的掌握情況分析：求離心率就是要想辦法求出 a和c的值，或者是列出關(guān)于 a、b、c的方程，很多 離心率問題是以平面圖形為載體出現(xiàn)的， 平面圖形背后有一些隱含的性質(zhì)， 比如三角形面積 的等價(jià)轉(zhuǎn)化、勾股定理、三角函數(shù)、正余弦定理等 師生活動(dòng)：1.學(xué)生先分析解題思路；2.討論將第一題中的橢圓變?yōu)殡p曲線其它條件不變之后改變的是哪個(gè)表達(dá)式？若將pf2 _LF1F2改為，4F2Fi=120，其它條件不變，則離心率為 第4頁共6頁（二）鞏固練習(xí)1.（2015年新課標(biāo)H理第11題）已知A,B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，？ABM

14、為等腰三角形，且頂角為120。，則E的離心率為（）（A）褥（B） 2（C）率 （D） &2. （2016全國I文第5題）直線離為其短軸長的11 ,則該橢圓的離心率為多少（l經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓中心到 l的距4A.3B.本題主要考查的問題是,點(diǎn)作x軸的垂線，然后利用三2設(shè)計(jì)意圖：熟練利用平面幾何和圓錐曲線的集合性質(zhì)來解題利用三角函數(shù)、平面幾何和方程思想求離心率.主要是能過M 角函數(shù)計(jì)算出 M點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù) M點(diǎn)在雙曲線上則把 M點(diǎn)坐標(biāo)帶入雙曲線方程，結(jié)合 a、b、c三者的關(guān)系求出離心率.課堂小結(jié)：.本堂課解決圓錐曲線的離心率的問題，屬于圓錐曲線的幾何性質(zhì)的問題，在高考中一 般考

15、查：利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)及方程和基本量間的關(guān)系，通過轉(zhuǎn)化與化歸、方程等思想方法，經(jīng)過代換及運(yùn)算解有關(guān)問題.解決求圓錐曲線的離心率的問題一般需要利用正余弦定理、三角函數(shù)、勾股定理、三 角形面積公式、向量的數(shù)量及運(yùn)算、所給圖形的等量關(guān)系式和已知等式，列出關(guān)于a、b c三者中任意兩個(gè)或三個(gè)元素間的等量關(guān)系式，再次利用基本量a、b、c的等量關(guān)系式代換出含有a和c的表達(dá)式，進(jìn)而求出離心率 .解決焦三角形的問題一般步驟：1.作圖；2.標(biāo)出已知條件；3.結(jié)合有關(guān)條件和性質(zhì)列出等量關(guān)系式：目標(biāo)檢測:22x y（2016全國n理第11題）已知51，52是雙曲線E:馬=1的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在Ea b1 上，MFi

16、與x軸垂直，若sin /MF2F1 =，則E的離心率為（ 3A. .2 B.3C. 3D.22五、作業(yè)設(shè)計(jì)A組22.過橢圓與=1（ a Ab0）的左焦點(diǎn)Fi作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn) P, F2為右焦點(diǎn)，若 a2 b2. F1PF2 =60、則橢圓的離心率為（）A,昱 B .近 C , - D . 12323第5頁共6頁.設(shè)橢圓的焦點(diǎn)為F1 ,F2 ,以F1F2為直徑的圓與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為.P ,若F1F2 =2PF2， TOC o 1-5 h z 則橢圓的離心率為. 22.設(shè)Fi和F2為雙曲線x _y _i（a0,b0）的兩個(gè)焦點(diǎn),若Fi, F2，P（0,2b）是正二角形的二個(gè) b頂點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（）A. 3B. 2C. 5D. 3 HYPERLINK l bookmark34 o Current Document 22B組.設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F;虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為B,如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為 .已知橢圓+匚占伊獨(dú)網(wǎng)的左焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,點(diǎn)B在橢圓上，且BF_Lx軸，直 a2 b2 TOC o 1-5 h z 線A