高中數(shù)學(xué)題型全面歸納（教師版）：8.7空間角與距離37

1、第七節(jié) 空間角與距離考綱解讀掌握各種角的定義，弄清異面直線所成的角與兩直線所成的角，二面角與二面角的平面角，直線與平面所成的角和斜線與平面所成的角，二面角與兩平面所成的角的聯(lián)系與區(qū)別 ，弄清他們各自的取值范圍 。細(xì)心體會求空間角的轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合思想，熟練掌握平移，射影等方法。命題趨勢探究 異面直線所成角，線面角，二面角時高考中考查的熱點(diǎn)，解答與空間角有關(guān)的問題時既可用傳統(tǒng)法，又可用向量法。在新課程標(biāo)準(zhǔn)下，對立體幾何的基本理論知識要求有所降低，因此應(yīng)用向量這一工具解題更為重要，特別是要熟練掌握利用空間圖形的特殊性，構(gòu)造適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系解決問題的方法，并能靈活應(yīng)用?？臻g角是立體幾何中的一個重要

2、概念，它是空間圖形的一個突出量化指標(biāo)，是空間圖形位置關(guān)系的具體體現(xiàn)，故以高頻的考點(diǎn)出現(xiàn)在歷屆高考試題中，在選擇題，填空題及解答題中均有出現(xiàn)。知識點(diǎn)精講空間角的定義和范圍兩條異面直線所成角的范圍是，當(dāng)=時，這兩條異面直線互相垂直。斜線AO與它在平面內(nèi)的射影AB所成角叫做直線與平面所成的角。 平面的斜線和平面所成的角，是這條斜線和這個平面內(nèi)的任一直線所成角中最小的角，如果直線和平面垂直，那么直線與平面所成的角為；如果直線和平面平行或直線在平面內(nèi)，那么就是直線和平面所成的角為0.直線和平面所成的角的范圍為；斜線和平面所成的角的范圍為從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的角叫做二面角，這條直線叫做二面角的

3、棱，這兩個半平面叫做二面角的面，棱為，兩個平面分別為，的二面角記做- -，二面角的范圍是一個平面垂直于二面角的公共棱，且與兩個半平面的交線分別是射線OA，OB，則AOB叫做二面角的平面角，平面角是直角的二面角叫做直二面角，相交成直二面角的兩個平面垂直。點(diǎn)到平面距離的定義點(diǎn)到平面的距離即點(diǎn)到它在平面內(nèi)的正射影的距離。題型歸納及思路提示題型118 空間角的計算思路提示求解空間角如異面直線所成角，直線與平面所成角，二面角的平面角的大小；常用的方法有：（1）定義法；（2）選點(diǎn)平移法；（3）垂線法：（4）垂面法；（5）向量法。一、異面直線所成的角 方法一：通過選點(diǎn)平移法將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為共面相交的

4、兩直線的夾角來求解，但要注意兩條異面直線所成角的范圍是。 方法二：向量法，設(shè)異面直線a和b的方向向量為和，利用夾角余弦公式可求得a和b的夾角大小，且。例8.59 【2016高考新課標(biāo)理】平面過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點(diǎn)A，/平面CB1D1，平面ABCD=m，平面ABB1 A1=n，則m，n所成角的正弦值為A B C D解析:本題主要考查點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系。如圖所示，因?yàn)?平面CB1D1，若設(shè)平面平面，則，又因?yàn)槠矫嫫矫鍭1B1C1D1，結(jié)合平面CB1D1平面，所以，即，同理可得：，所以m，n所成角的大小與，所成角的大小相等，即的大小，因?yàn)?，所以，即。故本題正確答案為A。變式1

5、如圖8-219所示,在長方體中,是棱的中點(diǎn),求異面直線和所成的角的正切值. 分析因?yàn)镃DAB,所以異面直線AM和CD所成的角為BAM. 解析依題意，異面直線AM和CD所成的角為BAM.，在長方體ABCD-ABCD中，ABBM,故ABM為直角三角形，tanBAM=.所以AM和 CD所成角的正切值為 變式2 如圖8-220所示,在三棱柱中,是正方形的中心,平面,求異面直線AC與所成角的余弦值.變式2 解析如圖8-379所示，點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系B-,則A(，0，0),B(0，0，0),C(,.),則=(,),=(,0.0),所以異面直線AC,AB所成角的余弦值為例8.60（2017全

6、國卷理）已知直三棱柱中，則異面直線與所成角的余弦值為( )A. B. C. D. 【解析】，分別為，中點(diǎn)，則，夾角為和夾角或其補(bǔ)角（異面線所成角為）可知，作中點(diǎn)，則可知為直角三角形，中，則，則中，則中，又異面線所成角為，則余弦值為變式如圖所示，已知正方體，點(diǎn)是正方形的中心，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，設(shè)分別是，在平面內(nèi)的正投影。求異面直線與所成角的正弦值。變式1 解析解法一由題意知EGAB，所以EAB即為EG,與EA所成的角，連接EB設(shè)正方形的棱長為由題意知EB=，因?yàn)锳B平面BCCB，所以EBA為直角三角形，所以EA=，所以，即異面直線EG與EA所成角的正弦值為。解法二：如圖8-380所示，以D為原點(diǎn)，建

7、立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為，則A（，0,0），E(，)，E（0.，），G(0，0，),=(,),=(0，,0),所以cos=,所以sin=,故異面直線EG與EA所成角的正弦值為變式2 如圖8-225所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD,E是PC的中點(diǎn)。已知AB=2,AD=,PA=2.求異面直線BC與AE所成的角的大小.解析如圖8-381所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0,0,0），B(2，0，0,),C(2，,0),P(0，0,),E(1，,1),=(1，,1),=(0，,0),設(shè)與的夾角為，（0，則cos=，所以異面直線BC與AE 所成角的大小是二、直線

8、與平面所成的角方法一:(垂線法)直線與平面所成的角就是直線與此直線在平面內(nèi)的射影直線所成的角.過直線上一點(diǎn)作出平面的垂線,得到垂足,而射影直線就通過斜足與垂足,因此作出平面的垂線是必要的一步.具體步驟是:先作出該角;在直角三角形中求解.方法二:(向量法)直線與平面所成的角為直線的方向向量與平面的法向量所成的銳角的余角.如圖8-226所示，設(shè)直線l的方向向量為，平面的法向量為，直線l和平面所成的角為，則+=,或-=,因?yàn)榈娜≈捣秶?，所?方法三：（點(diǎn)面距法）利用相關(guān)方法求出直線上一點(diǎn)到平面的距離d，再求出此點(diǎn)與斜足間的距離l,設(shè)直線和平面所成角的大小為，則. 例8.61 （2017天津文17）

9、如圖，在四棱錐中，平面，（）求異面直線與所成的角的余弦值（）求證：平面（）求直線與平面所成角的正弦值【考點(diǎn)】空間中點(diǎn)線面位置關(guān)系、異面直線夾角、線面垂直判定、直線與平面所成的角【解析】（）因?yàn)?，所以等于異面直線與所成的角因?yàn)槠矫?，所以，（）證明：因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)?，所以因?yàn)?，且，所以平面（）取上三分點(diǎn)，平面，所以等于直線與平面所成角，變式1 如圖8-229所示，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)E是的中點(diǎn).求DE與平面ABCD所成角的正切值. 解析如圖8-382 所示，去BC D 中點(diǎn)O，連接EO，因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，故EOCC,又CC平面ABCD,則EO平面ABCD,EDO為DE與平面ABCD所成

10、角，在RtDEO中，EO=CC=1，DO=,所以tanEDO=，即DE與平面ABCD所稱的角為評注這里取BC的中點(diǎn)O，連接EO，其本質(zhì)就是構(gòu)造平面ABCD的垂線變式2 如圖8-230所示，在三棱錐V-ABC中，VC底面ABC，ACBC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，且AC=BC=，VDC=.當(dāng)變化時,求直線BC與平面VAB所成角的取值范圍. 分析求直線BC與平面VAB所成的角的關(guān)鍵是找出直線BC在平面VAB的射影解析如圖8-383所示，過點(diǎn)C在平面VAB內(nèi)作CHVD于H,由VCAB,CDAB,VCCD=CAB平面VCD,AB平面VAB,所以平面VAB平面VCD，平面VAB平面VCD=VD，所以CH平面VA

11、B，連接BH,于是CBH就是直線BC與平面VAB所成的角。在RTCDH中，CH=，設(shè)CBH=，在RTBHC中，CH=,所以=因?yàn)?,所以，即，又，故，即直線SC與平面VAB所成的角取值范圍為（0，）。變式3 如圖8-231所示,在RtAOB中，AOB=,斜邊AB=4,RtAOC可以通過RtAOB以AO為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角B-AO-C是直二面角，動點(diǎn)D在斜邊AB上，求CD與平面AOB所成角正切的最大值. 分析 CD在平面AOB上的射影為CD，CD與平面AOB所成的角即為CDO，解析依題意平面AOB所以CDO為直線CD與平面AOB所成的角，tanCDO=.當(dāng)OD最小時，CDO最大，此時ODAB，

12、垂足為D，OD=,tanCDO=,所以CD與平面AOB所成的最大角的正切值為評注直線CD與平面AOB所成的角為銳角，所以tanCDO的值隨CDO的增大而增大，故當(dāng)tanCDO取最大值是CDO取得最大值三、二面角的平面角求二面角的平面角的方法有：(1)根據(jù)定義，即在公共棱上取一點(diǎn)分別在兩個半平面內(nèi)作棱的垂線，兩條垂線所成的角即為二面角的平面角；（2）利用三垂線定理及其逆定理；（3）當(dāng)二面角由兩個等腰三角形構(gòu)成時，利用底邊的額兩條中線；（4）求正棱錐側(cè)面夾角時利用三角形全等；（5）在直棱柱中求截面與底面夾角時，用二面角的面積射影定理，其中為二面角的大小;(6)利用空間向量求解二面角，轉(zhuǎn)化為兩個平面

13、的法向量夾角，公共棱不明顯的二面角常用此法來求，但應(yīng)注意法向量，的夾角與二面角的大小是相等或互補(bǔ)的（需要根據(jù)具體情況判斷想等或互補(bǔ)）。例8.62 .（2017全國卷理）如圖，四棱錐中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，E是PD的中點(diǎn)。（1）證明：直線CE平面PAB；（2）點(diǎn)M在棱PC上，且直接BM與底面ABCD所成角為450，求二面角的余弦值.分析：（1）先找線線平行，證先線面平行；（2）利用法向量求二面角。解析（1）令中點(diǎn)為，連結(jié)，為，中點(diǎn)，為的中位線，又，又，四邊形為平行四邊形，又，（2）以中點(diǎn)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)，則，在底面上的投影為，為等腰直角三角形為直角三角形，

14、設(shè)，設(shè)平面的法向量，設(shè)平面的法向量為，二面角的余弦值為變式1 如圖8-234所示,在四面體OABC中，OCOA, OCOB,AOB=120，且OA=OB=OC=1,求二面角O-AC-B的平面角的余弦值. 分析利用三垂線定理作出二面角的平面角解析如圖8-384所示，過點(diǎn)O作ONOA,交AB與點(diǎn)N，過O作OHAC與點(diǎn)H,連接NH,因?yàn)镺COB,，OCOA,的OC平面OAB，OCON,ONOA,OAOC=O,因此ON平面OAC,ONAC,OHAC,故OHN為二面角O-AC-B的平面角，在RTOHN中，ON=,OH=,得tanOHN=，所以cosOHN=，即二面角O-AC-B的平面角的余弦值為。變式2

15、 如圖8-235所示,四棱錐S-ABCD的底面是正方形,SD平面ABCD，SD=，AD=。點(diǎn)E是SD上的點(diǎn)，且DE=。設(shè)二面角C-AE-D的大小為，直線BE與平面ABCD所成角為，若，求 值。分析利用三垂線定理作出二面角的平面角解析如圖8-385所示，過點(diǎn)D作在平面SAD內(nèi)，作DFAE于點(diǎn)F,連接CFAE，故CFD=，由SD平面ABCD知，DBE=.在RTBDE中，因?yàn)锽D=，DE=，所以=,在RTADE中，因?yàn)锳D=，DE=，所以AE=，從而DF=在RTCDE中，=,由，解得，即為所求變式3 如圖8-236所示，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC，EFAC,AB,CE

16、,二面角A-BE-D的大小.分析將幾何體逐一還原成簡單的形式，再求二面角的大小解析如圖8-386所示，過點(diǎn)C作CHBE于點(diǎn)H,連接DH,由三垂線定理得BEDH,故DHC為二面角D-BE-C的平面角，由BC=,CE=1，CH=,在RTCDH中，tanCHD =,所以CHD=60，又二面角A-BE-D的大小與二面角D-BE-C的大小和為90，所以二面角A-BE-D的大小30.評注對于比較復(fù)雜的幾何體，要善于抓住核心要素，逐步思考，變?yōu)楹唵蔚男问剑Ｐ停┣蠼饫?.63（2017天津理）如圖，在三棱錐中，平面，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，（）求證：平面 （）求二面角的正弦值（）已知點(diǎn)在棱上，且直線

17、與直線所成的角的余弦值為，求線段的長【考點(diǎn)】空間中點(diǎn)線面位置關(guān)系；線面平行的判定；二面角；異面直線所成的角【解析】因?yàn)槠矫?，所以兩兩垂直，所以可以以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸建立空間坐標(biāo)系，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，各點(diǎn)坐標(biāo)分別為， ，（）證明：，所以平面的法向量為，所以平面（），平面的法向量為，平面的法向量為，（）設(shè)，解之得：變式1 如圖8-239所示，四棱錐S-ABCD中，SD平面ABCD,ABDC,ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E為棱SD上的一點(diǎn)，平面EDC平面SBC，求二面角A-DE-C的大小。解析如圖8-387所示，連接BD，取DC的中點(diǎn)G，連接BG，由已知DG=G

18、C=BG=1，即DBC為直角三角形，故BCBD,又SD平面ABCD，故BCSD,所以BC平面BDS.BCDE.作BKEC,K為垂足，因?yàn)槠矫鍱DC平面SBC,故BK平面EDC,BKDE,DE與平面BCE內(nèi)兩條相交直線BK,BC都垂直，DE平面SBC, DEEC, DESB, SB=,DE=EB=SE=SB-EB=,SE=2BE,知AE=1，YOU 按到，故ADE為等腰三角形，取DE中點(diǎn)F，連接AF,則AFDE,AF=連接FG，則FGEC,FGDE，所以AFG為二面角A-DE-CD的平面角，連接AG,AG=,FG=,所以二面角A-DE-C的大小為120變式2 如圖8-240所示，已知正三棱柱的各

19、棱長都是4，E是BC的中點(diǎn)，動點(diǎn)F在側(cè)棱上，且不與點(diǎn)重合，設(shè)二面角C-AF-E的大小為，求的最小值。變式2 解析解法一：過E作ENAC與N，連接EF，如圖8-388（）所示，連接AC，過N作NMAF于M，連接ME，由正三棱柱ABC-ABC，知EN側(cè)面AC,根據(jù)三垂線定理得EMAF，所以EMN是二面角C-AF-E的平面角，即EMN=,設(shè)FAC=,，在RTCNE中，NE=ECsin60=,CN=1，在RTAMN中，MN=ANsin=3sin,故=，又，所以，故當(dāng)，即當(dāng)時，達(dá)到最小值，=，此時F與C重合解法二：建立如圖8-388（b）所示的空間直角坐標(biāo)系，則由已知可得A(0，0，0)，B(,2，0)

20、,C(0，4，0),E(,3，0),設(shè)CF=,(0),.則F（0,4，），平面AEF的一個法向量為=（），=(,3，0),（0,4，），于是由，可得,即，取=4，得=（，-，4），又由直三棱柱的性質(zhì)可取側(cè)面AC的一個法向量為=（1，0，0），于是由為銳角可得=，所以，由0，得，即故當(dāng)=4時，即點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時，取得最小值變式3 如圖8-241所示，在三棱錐P-ABC中，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，PO平面ABC，垂足O落在線段AD上.若BC=8,PO=4,AO=3,OD=2,求二面角B-AP-C的大小.解析如圖8-389所示，在平面PAB內(nèi)，作BMPA于M，連接CM,因?yàn)锳B=AC，D為BC的

21、中點(diǎn)，所以ADBC,又因?yàn)镻O平面CAB，所以POBC，又POAD=O,所以BC平面PAD，又AP平面PAD，所以APBC，因?yàn)镸BBC=B，所以AP平面BMC，所以APCM，故BMC為二面角B-AP-C的平面角，在RtADB中，=41，得AB=,在RtPOD中,PD=PO+OD，在RtPDB中，PB= PD+BD，所以PB= PO+OD+ BD=36，得PB=6，RtPOA中,PA=AO+OP=25,得PA=5，從而故BM=PB=4因?yàn)锽M+MC=BC,所以BMC=90，即二面角B-AP-C的大小為90例8.64（2016年新課標(biāo)I理18）如圖，在已A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，面

22、ABEF為正方形，AF=2FD，且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是（= 1 * ROMANI）證明平面ABEFEFDC；（= 2 * ROMANII）求二面角E-BC-A的余弦值解： = 1 * GB2 為正方形面面平面平面 = 2 * GB2 由 = 1 * GB2 知平面平面平面平面面面四邊形為等腰梯形以為原點(diǎn)，如圖建立坐標(biāo)系，設(shè) ，設(shè)面法向量為.，即設(shè)面法向量為.即設(shè)二面角的大小為.二面角的余弦值為變式1 如圖8-244所示，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，DAB=60，AB=2AD,PD底面ABCD。若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值.解析因?yàn)锳B=2

23、AD,DAB=60，由余弦定理可得BD=AD,所以AD+BD=AB,即ADBD，如圖8-390所示,以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AD長為單位長度，射線DA為軸正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，D-,則A(1，0，0),B(0，,0)，C(,0)，P(0，0，1)，=(,0)，=(0，,)，=(,0，0)，設(shè)平面PAB的法向量為=（），則即，令=，則=（，1，），設(shè)平面PBC的法向量為=（），則即令=，則=（0，-），cos=,由圖可知二面角A-PB-C為鈍角，故二面角A-PB-C的余弦值為變式2 如圖8-245所示，在四棱錐P-ABCD中，平面ABCD，底面ABCD為棱形，AB=2，,當(dāng)平面PBC與平面PDC

24、垂直時，求PA的長。解析如圖8-391所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系O-，A(0，,0)，B(1，0，0)，C(0，,0)，D(,0，0)，知=(,0)，設(shè)P（0，），則=(,)，設(shè)平面PBC的法向量為=（），則所以，令=，則=3，=，所以=（3，），同理，平面PDC的法向量=（-3，），因?yàn)槠矫鍼BC平面PDC，所以=0，即6+=0，解得=，所以PA=時，平面PBC與平面PDC垂直變式3 如圖8-246所示，四棱錐P-ABCD中，平面ABCD，BC=CD=2,AC=4,F為PC的中點(diǎn)，.求PA的長；求二面角B-AF-D的正弦值。分析先建立空間直角坐標(biāo)系，再利用點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)求

25、解距離和二面角的正弦值解析（1）如圖8-392所示，連接BD交AC于點(diǎn)O，因?yàn)锽C=CD，即BCD為等腰三角形，又AC平分BCD,故ACBD，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，,的方向分別為軸軸軸建立空間直角坐標(biāo)系O-，則OC=CD=1，而AC=4，所以AO=AC-OC=3，又OD=CD=，故A(0，,0)，B(,0，0)，C(0.1.0)，D(0，0)，因?yàn)镻A底面ABCD可設(shè)P(0，,).由點(diǎn)F為PC邊中點(diǎn)，得F（0，），則=（0,2，）=(,3，-),因?yàn)锳FPB，故=0，即6-=0，=2，（=舍），所以2，所以PA的長為2（2）由（1）知，=(,3，0)，=(,0，0)，=(0,2，).設(shè)平面PAD的法

26、向量為=（），平面FAB的法向量為=（），由=0,=0得,因此可取=(3,),由=0,=0,得,故可取=(3,2),從而法向量,的夾角余弦值為cos=,故二面角的正弦值變式4 如圖8-247所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O為底面中心，平面ABCD，,證明：;求平面與平面的夾角的大小。分析 (1)根據(jù)題目條件建立空間直角坐標(biāo)系, 并用坐標(biāo)來表示點(diǎn)和向量,再利用直線的方向向量與平面?zhèn)€內(nèi)的向量垂直證明線面垂直;（2）先求出法向量，再進(jìn)一步求解兩個平面所成的角，要注意角的范圍解析（1）解法一：由題設(shè)知OA,OB,OA兩兩垂直，以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖8-393所示的空間直角坐

27、標(biāo)系，因?yàn)锳B=AA=,所以O(shè)A=OB=OA=1，所以A(1，0，0),B(0，1，0)，C(,0，0),D(0，,0),A(0，0，1),由=,易得B(,1，1)因?yàn)?(,0，),=(0，-2，0),=(,1，0),所以=0，=0所以ACBD, ACBB，BD BB=B,所以AC平面BBDD.解法二：因?yàn)锳O平面ABCD,所以AOBD,又四邊形ABCD是正方形，所以BDAC，AOAC=O，AO、AC平面AOC，所以BD平面AOC，所以BDAC,又OA是AC的中垂線，所以AA=AC=,且AC=2，所以AC=AA+AC，所以AAC是直角三角形，所以AA AC，又AABB,所以AC BB，又BBB

28、D=B所以平面.設(shè)平面的法向量因?yàn)樗运匀?，由?）知，是平面的法向量，由于平面與平面所成的二面角為銳角，所以又所以.評注本題中的坐標(biāo)不易表示，可通過求出點(diǎn)的坐標(biāo)，或者運(yùn)用向量的線性運(yùn)算表示=.題型119 點(diǎn)到平面距離的計算思路提示 求解點(diǎn)到平面的距離，常用方法有:定義法，作出點(diǎn)到免的垂線，垂線段的長度就是點(diǎn)到平面的距離，通常是借助某個直角三角形來求解。轉(zhuǎn)化法，利用等體積法或者線面平行的位置關(guān)系，將點(diǎn)A到平面的距離轉(zhuǎn)化為與其相關(guān)的點(diǎn)B到平面的距離。向量法，點(diǎn)P為平面外一點(diǎn)，點(diǎn)Q為平面上的任一點(diǎn)，為平面的法向量，點(diǎn)P到平面的距離。例8.65 如圖8-248所示，在三棱錐P-ABC中，AC=BC

29、=2,AP=BP=AB,求點(diǎn)C到平面PAB的距離。分析 利用定義法直接作出點(diǎn)C到平面PAB的距離。解析 如圖8-249所示，取AB的中點(diǎn)D，連接CD,PD。因?yàn)锳P=BP，所以，又因?yàn)锳C=BC,所以。又,所以平面PCD，面APB，所以平面PAB面PCD。過C作CHPD，垂足為H。因?yàn)槠矫?所以CH平面APB。所以CH的長即為點(diǎn)C到平面PAB的距離。由于平面PCD，面PCD，所以PCAB。又PCAC,故PC平面APB,又面ABC.所以PCCD，在直角三角形PCD中，CD=.所以.所以.評注 這里直接作出點(diǎn)C到平面APB的垂線CH（H為垂足），CH的長即為所求點(diǎn)面距離。變式1 如圖8-250所示

30、，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的棱形，,OA=2,求點(diǎn)B到平面OCD的距離。分析利用AB/平面OCD，將點(diǎn)B到平面OCD的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A到平面OCD的距離來求解.解析因?yàn)锳B/平面OCD，所以點(diǎn)A和點(diǎn)B到平面OCD的AP相等.如圖8-394所示，過點(diǎn)A作APCD于點(diǎn)P，連接OP，因?yàn)锳PCD,OA底面ABCDOACD，OAAP=A,所以CD平面OAP.過點(diǎn)A作AQOP于點(diǎn)Q，則線段AQ的長度就是點(diǎn)A到平面OCD的距離，因?yàn)锳P=DP=,所以O(shè)P=，所以AQ=,所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為.變式2 如圖8-251所示，四棱錐P-ABCD為矩形，求直線AD與平面PBC的距離。解析

31、如圖8-395所示，在矩形ABCD中，AD/BC,從而AD/平面PBC，故直線AD與平面PBC的距離為點(diǎn)A到平面PBC的距離，因?yàn)镻A平面ABCD,所以PAAD，又在矩形ABCD中，ADAB，所以AD平面PAB，所以BC平面PAB,又BC平面PBC，所以平面PAB平面PBC.取PB中點(diǎn)E，連接AE，因?yàn)镻A=AB=,所以AEPB,且AE=.例8.66 如圖8-252所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點(diǎn)，求點(diǎn)C到平面A1BD的距離。分析 利用等體積轉(zhuǎn)化法求點(diǎn)C到平面A1BD的距離。解析 在三角形A1BD中，BD=A1D=。在三棱柱中，A1到平面BCC1B1的距離為。

32、設(shè)點(diǎn)C到平面A1BD的距離為d。由得,解得，所以點(diǎn)C到平面A1BD的距離為。評注 本題利用了等體積法轉(zhuǎn)化，該方法是求解點(diǎn)到面距離的重要方法。變式1如圖8-253所示，在四棱錐P-ABCD中，,點(diǎn)A到平面PBC的距離.分析利用等體積轉(zhuǎn)化法求點(diǎn)A到平面PBC的距離.解析由得得因?yàn)锽CD=90，AB/DC,所以ABC=90，故則PBC為直角三角形，,則故點(diǎn)A到平面PBC的距離為.變式2 如圖8-254所示，三角形BCD與三角形MCD都市邊長為2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB面BCD，求點(diǎn)A到平面MBC的距離。解析如圖8-396所示，取CD的中點(diǎn)O，連接OB，OM=,又平面MCD平面BCD,則

33、MO平面BCD，又AB平面BCD，故OM/AB,AB平面ABC,則點(diǎn)M,O到平面ABC的距離相等，過點(diǎn)O作OHBC于點(diǎn)H,連接MH，則MHBC,OH=OC設(shè)點(diǎn)A到平面MBC的距離為,由得故點(diǎn)A到平面MBC的距離為例8.67 如圖8-255所示，在直三棱柱ABCA1B1C1 中，底面是等腰直角三角形，且AC=2，,側(cè)棱AA1=2,D,E分別是CC1與A1B的中點(diǎn)。求點(diǎn)A1到平面AED的距離。分析 利用向量法求解點(diǎn)到平面的距離。解析 以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz。如圖8-256所示，A(2,0,0),B(0,2,0),D(0,0,1),E(1,1,1),A1(2,0,2).所以,

34、設(shè)平面的法向量為由得，所以點(diǎn)A1到平面AED的距離.變式1 如圖8-257所示，已知ABCDA1B1C1D1是底面邊長為1的正四棱柱，O1為A1C1與B1D1 的交點(diǎn)，若點(diǎn)C到平面AB1D1的距離為，求正四棱柱ABCDA1B1C1D1的高。解析解法一：如圖8-397所示，連接AC,過點(diǎn)C作于.因?yàn)槠矫嫠云矫?，所以平?故又,在中，所以所以，即正四棱柱的高為2.解法二：建立如圖8-398所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的一個法向量為由取得所以點(diǎn)到平面的距離為，則.變式2 如圖8-258所示，四棱錐P-ABCD中四邊形ABCD中，ADAB,AB+AD=4,AB=AP。若直線PB與平面PCD所成的

35、角為，求線段AB的長；在線段AD上是否存在一個點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P,B,C,D的距離相等？說明理由。解析解法一：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖8-399所示）.在平面內(nèi)作交于點(diǎn)，則.在中，設(shè)，則，由得，所以,設(shè)平面的法向量為，由得取，得平面的一個法向量，又，故由直線與平面所成的角為30得,即，解得或4（舍去，因?yàn)椋?，所?（2）假設(shè)在線段上存在一點(diǎn)，使得點(diǎn)到點(diǎn)的距離都相等（如圖8-400所示）.設(shè)（其中），則由得，即，由得，即，由消去，化簡得.由于方程沒有實(shí)數(shù)根，所以在線段上不存在一個點(diǎn)，使得點(diǎn)到點(diǎn)的距離都相等.解法二：（1）同解法一.假設(shè)在線段上存在一點(diǎn)，使得點(diǎn)到點(diǎn)的距離都相等（如

36、圖8-401所示）.由,得,從而,即,所以.設(shè)，則,在中，這與矛盾.所以在線段上不存在一個點(diǎn)一點(diǎn)，使得點(diǎn)到點(diǎn)的距離都相等.最有效訓(xùn)練題37（限時45分鐘）正方體ABCDA1B1C1D1中AB=A1A=2,AD=1,E為CC1 的中點(diǎn)，則異面直線BC1 與AE所成角的余弦值為（ ） 如圖8-259所示，在正三棱柱ABCA1B1C1 中，AB=A1A，則AC1 與平面BCC1 B1所成角的正弦值為（ ） 已知兩平面的法向量分別為，則兩平面所成的二面角為（ ） 二面角的棱上有A,B兩點(diǎn)，直線AC,BD分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，且都垂直與AB，已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2,則該二面角的

37、大小為（ ） 如圖8-260所示，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，O為底面A1B1C1D1的中心，則點(diǎn)O到平面ABC1D1 的距離為（ ） 6.正四棱錐P-ABCD的底面邊長為2，高為3，E,F分別為PC,PD的中點(diǎn)，則異面直線AC與 EF的距離為（ ） 7.如圖8-261所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M,N分別為CD,CC1的中點(diǎn)，則異面直線A1M與DN所成角的大小為 8.如圖8-262所示，已知正三棱柱ABCA1B1C1 的所有棱長都相等，D是A1C1的中點(diǎn)，則直線AD與平面B1CD所成角的正弦值為 9.在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，G為A1A的中點(diǎn)，則直線BD與平面GB1D1的距離為 .10.如圖8-263，三棱柱ABCA1B