高中數(shù)學(xué)題型全面歸納（教師版）：6.1數(shù)列23

1、第六章 數(shù) 列本章知識結(jié)構(gòu)圖數(shù)列常見遞推類型及方法逐差累加法逐商累積法構(gòu)造等比數(shù)列aneq f(q,p1)構(gòu)造等差數(shù)列an1anf (n)eq f(an + 1,an)f (n)an1panqpan1ananan1化為eq f(an1,qn)=eq f(p,q)eq f(an,qn1)1轉(zhuǎn)為an + 1panqn公式法：應(yīng)用等差、等比數(shù)列的前n項和公式分組求和法倒序相加法裂項求和法錯位相加法常見求和方法概念表示等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比解析法：anf (n)通項公式圖象法列表法遞推公式等差數(shù)列通項公式求和公式性質(zhì)判斷ana1(n1)dana1qn1anamaparanamapar前n項和Sneq

2、 f(n(a1an),2)前n項積(an0)Tneq r(a1an)n)等比數(shù)列an0，q0Sneq blc(aal(na1，q1,f(a1(1qn),1q)，q1)數(shù)列是特殊的函數(shù)第一節(jié) 等差數(shù)列與等比數(shù)列考綱解讀理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念.掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式.能在具體的問題情境中，識別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列的性質(zhì)以及函數(shù)的關(guān)系一直是高考中的熱點.命題趨勢探究從內(nèi)容上看，等差、等比數(shù)列的性質(zhì)以及與函數(shù)的關(guān)系一直是高考中的熱點.2. 在能力方面，要求學(xué)生具備一定的創(chuàng)新能力和抽象概括能力.3. 從命題

3、形式上看,以選擇、填空題為主,難度不大.知識點精講一、基本概念1.數(shù)列(1)定義.按照一定順序排列的一列數(shù)就叫做數(shù)列.(2)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系.從函數(shù)的角度來看,數(shù)列是特殊的函數(shù).在中,當自變量時,所對應(yīng)的函數(shù)值就構(gòu)成一數(shù)列,通常記為,所以數(shù)列有些問題可用函數(shù)方法來解決.2.等差數(shù)列(1)定義.一般地,如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它前一項的差等于同一常數(shù),則該數(shù)列叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做公差,常用字母表示,即.(2)等差數(shù)列的通項公式.若等差數(shù)列的首項是,公差是,則其通項公式為,是關(guān)于的一次型函數(shù).或,公差(直線的斜率)().(3)等差中項.若成等差數(shù)列,那么叫做與的等差中項,即或,.在一

4、個等差數(shù)列中,從第2項起(有窮等差數(shù)列的末項除外),每一項都是它的前一項與后一項的等差中項;事實上,等差數(shù)列中每一項都是與其等距離的前后兩項的等差中項.(4)等差數(shù)列的前項和(類似于),是關(guān)于的二次型函數(shù)(二次項系數(shù)為且常數(shù)項為0).的圖像在過原點的直線上或在過原點的拋物線上.3.等比數(shù)列(1)定義.一般地,如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它前一項的比等于同一個非零常數(shù),則該數(shù)列叫做等比數(shù)列,這個常數(shù)叫做公比,常用字母表示,即.(2)等比數(shù)列的通項公式.等比數(shù)列的通項,是不含常數(shù)項的指數(shù)型函數(shù).(3).(4)等比中項如果成等比數(shù)列,那么叫做與的等比中項,即或(兩個同號實數(shù)的等比中項有兩個).(

5、5)等比數(shù)列的前項和注等比數(shù)列的前項和公式有兩種形式,在求等比數(shù)列的前項和時,首先要判斷公比是否為1,再由的情況選擇相應(yīng)的求和公式,當不能判斷公比是否為1時,要分與兩種情況討論求解.已知(項數(shù)),則利用求解;已知,則利用求解.,為關(guān)于的指數(shù)型函數(shù),且系數(shù)與常數(shù)互為相反數(shù).例如等比數(shù)列,前項和為,則.解:等比數(shù)列前項和,則.二、基本性質(zhì)1.等差數(shù)列的性質(zhì)(1)等差中項的推廣.當時,則有,特別地,當時,則有.(2)等差數(shù)列線性組合.設(shè)是等差數(shù)列,則也是等差數(shù)列.設(shè)是等差數(shù)列,則也是等差數(shù)列.(3)有限數(shù)列.對于項數(shù)為的等差數(shù)列,有:().().對于項數(shù)為的等差數(shù)列,有;().().(4)等差數(shù)列的

6、單調(diào)性及前項和的最值.公差為遞增等差數(shù)列,有最小值;公差為遞減等差數(shù)列,有最大值;公差為常數(shù)列.特別地若,則有最大值(所有正項或非負項之和);若,則有最小值(所有負項或非正項之和).(5)其他衍生等差數(shù)列.若已知等差數(shù)列,公差為,前項和為,則:等間距抽取為等差數(shù)列,公差為.等長度截取為等差數(shù)列,公差為.算術(shù)平均值為等差數(shù)列,公差為.2.等差數(shù)列的幾個重要結(jié)論(1)等差數(shù)列中,若,則.(2)等差數(shù)列中,若,則.(3)等差數(shù)列中,若,則.(4)若與為等差數(shù)列,且前項和為與,則.3.等比數(shù)列的性質(zhì)(1)等比中項的推廣.若時,則,特別地,當時,.(2)設(shè)為等比數(shù)列,則(為非零常數(shù)),仍為等比數(shù)列.設(shè)與

7、為等比數(shù)列,則也為等比數(shù)列.(3)等比數(shù)列的單調(diào)性(等比數(shù)列的單調(diào)性由首項與公比決定).當或時,為遞增數(shù)列;當或時,為遞減數(shù)列.(4)其他衍生等比數(shù)列.若已知等比數(shù)列,公比為,前項和為,則:等間距抽取為等比數(shù)列,公比為.等長度截取為等比數(shù)列,公比為(當時,不為偶數(shù)).4.等差數(shù)列與等比數(shù)列的轉(zhuǎn)化(1)若為正項等比數(shù)列,則為等差數(shù)列.(2)若為等差數(shù)列,則為等比數(shù)列.(3)若既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列是非零常數(shù)列.題型歸納及思路提示題型 等差、等比數(shù)列的通項及基本量的求解思路提示利用等差(比)數(shù)列的通項公式或前項和公式,列出關(guān)于基本量的方程或不等式從而求出所求的量.一、求等差數(shù)列的公差及公差的取值

8、范圍例6.1 記等差數(shù)列的前項和為,若,則該數(shù)列的公差( ).A.7 B.6 C.3 D.2解析 由式可解得,故選C.評注 求解基本量用的是方程思想.變式1 （2017全國1理4）記為等差數(shù)列的前項和若，則的公差為（ ）.A1 B2 C4 D8解析 ，聯(lián)立，得，即，所以.故選C.變式2 已知等差數(shù)列首項為31,從第16項起小于1,則此數(shù)列公差的取值范圍是( ).A. B. C. D.解析 由已知心有，故排除C；又由得解出故選B.二、求等比數(shù)列的公比例6.2（1）（2018北京卷文） “十二平均律” 是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻.十二平

9、均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于.若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因為每一個單音與前一個單音頻率比為，所以，又，則故選D.（2）在等比數(shù)列中,則公比的值為( ).A.2 B.3 C.4 D.8解析 因為,所以則,故選A.變式1 等比數(shù)列的前項和為,且成等差數(shù)列,若,則( ).A.7 B.8 C.15 D.16解析 設(shè)an的公比為q，由成等差數(shù)列知，即，且，故得.所以.故選C.變式2 等比數(shù)列的前項和為,若成等差數(shù)列,則的公比為.解析 解法一：等比數(shù)列a

10、n的公比（因為不成等差數(shù)列），由成等差數(shù)列，得，即，解得.解法二：由成等差數(shù)列， 得，.評注 等比數(shù)列an的前n項和為，若成等差數(shù)列，則得三、求數(shù)列的通項例6.3 (1)2016全國甲文17）等差數(shù)列中，.求的通項公式； (2)（2017全國1文17）記為等比數(shù)列的前項和.已知，.求的通項公式；解析 (1)解析 ，解得，所以（）.(2)解析 由題意設(shè)等比數(shù)列的首項為，公比為，則，從而，即，整理得，因此，所以，數(shù)列的通項公式為變式1 為等差數(shù)列的前項和,則.解析 利用等差數(shù)列的性質(zhì)及通項公式求解.因為等差數(shù)列an中，即，又，所以，則變式2 已知兩個等比數(shù)列,滿足,求數(shù)列的通項公式.解析 設(shè)的公比

11、為q，則，由成等比數(shù)列得，即解得所以的通項公式為.例6.4 在等差數(shù)列中,且為和的等比中項,求數(shù)列的前項和為.解析 設(shè)該數(shù)列的公差為,前項和為.由已知,得,所以,解得或,即數(shù)列的首項為4,公差為0,或首項為1,公差為3.所以數(shù)列的前項和為或.變式1 已知數(shù)列的前項和,則其通項;若它的第項滿足,則.解析 當n=1時，由，求得此式對于也成立.要滿足只需從而有而因此變式2 已知數(shù)列的前項和為非零實數(shù)),那么( ).A.一定是等差數(shù)列 B.一定是等比數(shù)列C.或者是等差數(shù)列,或者是等比數(shù)列D.既不可能是等差數(shù)列,也不可能是等比數(shù)列解析 當n=1時，得當時，（時也成立）當時， ，為等差數(shù)列；當時，為等比數(shù)

12、列，首項為公比為a.故選C.評注 本題還可以使用結(jié)論法，當時， 為等差數(shù)列，當時，因為系?；シ吹闹笖?shù)函數(shù)，故為等比數(shù)列.題型81 等差、等比數(shù)列的求和思路提示求解等差或等比數(shù)列的前項和,要準確地記住求和公式,并合理選取公式,尤其是要注意其項數(shù)的值;對于奇偶項通項不統(tǒng)一和含絕對值的數(shù)列的求和問題要注意分類討論.主要是從為奇數(shù)、偶數(shù),項的正、負進行分類.一、公式法(準確記憶公式,合理選取公式)例6.5 在等比數(shù)列中,若,則該數(shù)列的前10項和為( ).解析 由,所以,故選B.變式1 是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,為前項和,已知,則.解析 由數(shù)列為等比數(shù)列，得=1， ，又為正項數(shù)列，所以，設(shè)等比數(shù)列的公比為

13、q，得，即，得（舍）或.=變式2 設(shè),則.解析 解法一：利用公式解法二：利用，（指數(shù)成等差數(shù)列，故一共有項）.解法三：當時，只有D符合.故選D.評注 等比數(shù)列的求和公式利用時，要特別注意項數(shù)的問題，本題中的項共有項（指數(shù)成等差數(shù)列，得）但使用即解法一不必考慮項數(shù)，只需知首項、末項及公比即可，這樣計算等比數(shù)列的前項和會更加簡捷.二、關(guān)于等比數(shù)列求和公式中的討論例6.6 設(shè)等比數(shù)列的前項和為,若成等差數(shù)列,求數(shù)列的公比.解析 若,則,因為,所以,與成等差數(shù)列矛盾,故. 由題意可得,即有,整理得,又,故,即.因為,所以,所以.變式1 設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列,其前項和為,且,則其公比.解析 當時，符合題目條

14、件；當時，由，因為，所以，解得.綜上，公比為或.變式2 求和.解析 當時，；當時，；當且時，所以兩式相減得，所以.又當時，符合上式，綜上，.三、關(guān)于奇偶項求和問題的討論例6.7 已知數(shù)列的通項公式為,求其前項和為.解析 (1)當為偶數(shù)時,.(2)當為奇數(shù)時,則為偶數(shù),所以.綜上,.評注：本題中，將為奇數(shù)的情形轉(zhuǎn)化為為偶數(shù)的情形，可以避免 不必要的計算，此技巧值得同學(xué)們借鑒和應(yīng)用。變式1 已知數(shù)列中，通項，求其前項和.解析（1）當為偶數(shù)時，所以.（2）當為奇數(shù)時，則為偶數(shù)，所以.綜上，四、對于含絕對值的數(shù)列求和例6.8 已知數(shù)列的前項和，數(shù)列的每一項都有 ，求數(shù)列的前項和解析：由，當時，當時，滿

15、足，故（）由，當時，此時當時，此時故數(shù)列的前項和評注：由正項開始的遞減等差數(shù)列的絕對值求和的計算題解題步驟如下：(1)首先找出零值或者符號由正變負的項(2)在對進行討論，當時，當時，變式1 在等差數(shù)列中，其前項和為(1)求使的最小正整數(shù)(2)求的表達式解析 （1）由為等差數(shù)列，得，則，得，故最小正整數(shù)為.（2），當時，；當時，.故題型82 等差、等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用思路提示利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，主要是利用: = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 等差中項和等比中項 = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 等差數(shù)列中成等差數(shù)列；等比數(shù)列中(當時不為偶數(shù))成等比數(shù)列. = 3

16、* GB3 * MERGEFORMAT 等差數(shù)列 = 4 * GB3 * MERGEFORMAT 等差數(shù)列的單調(diào)性利用以上性質(zhì)，對巧解數(shù)列的選擇題和填空題大有裨益。利用性質(zhì):當時，在等差數(shù)列中，有；在等比數(shù)列中，有求解。例6.9 已知等差數(shù)列的前項和為，若，則等于（ ）A、18 B、36 C、54 D、72解析：由得，72故選D變式1 （2015重慶理2）在等差數(shù)列中，若，則（ ）.A. B. 0 C. 1 D. 6解析 由等差中項知：，所以.故選B.變式2 在等差數(shù)列中，則該數(shù)列的前13項和等于（ ）A、13 B、26 C、52 D、156解析 由，得，.故選B.變式3在等差數(shù)列中，則該數(shù)列

17、的前9項和等于（ ）A、66 B、99 C、144 D、297解析 解法一：設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，則.解法二：由于為等差數(shù)列，得二、利用等差數(shù)列中成等差數(shù)列；等比數(shù)列中（當時不為偶數(shù)成等比數(shù)列求解。例6.10 等差數(shù)列的前項和為，若,則等于（ ）A、12 B、18 C、24 D、42解析：由成等差數(shù)列且，知，可得=14+=24 故選C評注：本題除了使用本法求解之外，還有幾種求解方法，如（1）基本量法；（2）使用為等差數(shù)列求解；（3）使用求解變式1 等差數(shù)列的前項和為，若，則（ ）A、 B、 C、 D、解析 由等差數(shù)列的性質(zhì)知，成等差數(shù)列，令，則，則，所以.故選A.變式2 等比數(shù)列的前項和

18、為，若，則（ ）A、2 B、 C、 D、3解析 由等差數(shù)列的前項和為，可知成等差數(shù)列，則可設(shè)，則得，故.故選B.用有限等差數(shù)列的性質(zhì)求解例6.11 已知某等差數(shù)列共有10項，其奇數(shù)項之和為15，偶數(shù)項之和為30，則其公差為（ ）A、5 B、4 C、3 D、2解析：依題意有， 可知，得，故選C變式1 已知等差數(shù)列的前項和為377，項數(shù)為奇數(shù)，且奇數(shù)項的和與偶數(shù)項的和之比為7:6，求中項解析 設(shè)，則的中間項為，解得即中間項為.變式2 已知數(shù)列與都是等差數(shù)列，且前項和為與，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)的個數(shù)是（ ）A、2 B、3 C、4 D、5解析 ，因此，故，共個數(shù).故選D.利用等差、等比數(shù)列的單調(diào)性

19、求解例6.12 已知數(shù)列是遞增數(shù)列，且對，都有，則實數(shù)的取值范圍是（ ）A、 B、 C、 D、解析：由遞增數(shù)列的定義，（），得，即，恒成立，則，故選D評注：（1）【錯解】因為=，由題意知是遞增數(shù)列，所以在上是單調(diào)遞增函數(shù)。因此可得，即所求的取值范圍是.以上解答由是遞增數(shù)列斷定在上是單調(diào)遞增函數(shù)，這是錯誤的，因為數(shù)列通項公式中的是正整數(shù)，而不是取上的任意實數(shù)。如圖6-1所示的數(shù)列顯然是遞增數(shù)列，但不滿足，事實上，.上述錯解是由于忽略的取值范圍而導(dǎo)致錯誤。在處理數(shù)列的單調(diào)性問題時應(yīng)利用數(shù)列的單調(diào)性定義，即“若數(shù)列是遞增數(shù)列，恒成立”。數(shù)列的單調(diào)性與，的單調(diào)性不完全一致。一般情況下我們不應(yīng)把數(shù)列的單

20、調(diào)性轉(zhuǎn)化為相應(yīng)連續(xù)函數(shù)的單調(diào)性來處理。但若數(shù)列對應(yīng)的連續(xù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，則可以借助其單調(diào)性來求解數(shù)列的單調(diào)性問題。即“離散函數(shù)有單調(diào)性連續(xù)函數(shù)由單調(diào)性；連續(xù)函數(shù)有單調(diào)性離散函數(shù)有單調(diào)性”。變式1 已知函數(shù)，若數(shù)列滿足 (),且是遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是（ ）A、 B、 C、 D、解析 因為數(shù)列為遞增數(shù)列，所以在上單調(diào)遞增，故在與上分別遞增，且，故，即，故的取值范圍是，故選C.例6.13 在等差數(shù)列中，已知，前項和為，且，求當為何值時，取最大值，并求此最大值。分析：由及，可求出，進而求出通項，由通項得到此數(shù)列前多少項為正，或利用是關(guān)于的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求最值的方法求解。解析 解法一：因

21、為，所以，得，所以，故，當時，；當時，；所以當時，取最大值，最大值為=130解法二：依題意，,如圖6-2所示。由得時取最大值，得到，=130解法三： 由知，故，得，故當時取最大值，最大值為=130.評注：求等差數(shù)列前項和的最值的常用方法如下：（1）利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負轉(zhuǎn)折項。（2）利用性質(zhì)求出其正負轉(zhuǎn)折項，便可以求得和的最值。（3）利用等差數(shù)列前項和為二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值。變式1 數(shù)列是等差數(shù)列，若，且其前項和有最小值，那么當取最小值時，等于（ ）A、11 B、17 C、19 D、20解析 由，為等差數(shù)列且其前項和有最小值，故，因此，故，如圖6-5所示，因此當取得最小

22、正值時，故選D.變式2 設(shè)等比數(shù)列的首項為，公比為，則“”是“對于任意都有”的（ ）A、充分不必要條件 B、必要不充分條件 C、充分必要條件 D、既不充分也不必要條件解析由或可得為遞增數(shù)列，即，反之不一定得到，故“且”是“對于任意都有”的充分不必要條件.變式3 已知（），則在數(shù)列的前50項中最小項和最大項分別是（ ）A、 B、 C、 D、解析 ，當時，單調(diào)遞增，且；當時，單調(diào)遞增，且，所以數(shù)列的前50項中最小項和最大項分別是.故選D.題型83 判斷和證明數(shù)列是等差、等比數(shù)列思路提示判斷和證明數(shù)列是等差、等比數(shù)列常見的3中方法如下：（1）定義法：對于的任意正整數(shù)，都有（或）為同一常數(shù)（用于證明）

23、。（2）通項公式法： = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 若，則數(shù)列為等差數(shù)列（用于判斷）； = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 若，則數(shù)列為等比數(shù)列（用于判斷）；（3）中項公式法： = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 若（），則數(shù)列為等差數(shù)列（用于證明）； = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 若（），則數(shù)列為等比數(shù)列（用于證明）；定義法例6.14 (1)設(shè)為等差數(shù)列，證明：數(shù)列（）是等比數(shù)列。(2)設(shè)為正項等比數(shù)列，證明：數(shù)列（）是等差數(shù)列。分析 本題蔣函數(shù)與數(shù)列巧妙地結(jié)合，完美地進行等差數(shù)列與等比數(shù)列的轉(zhuǎn)化，可利用定義法證明。解析（1）為等差

24、數(shù)列，則（，為常數(shù)），令，則是常數(shù)，所以數(shù)列是等比數(shù)列。（2）為正項等比數(shù)列，則（）令，則是常數(shù)，所以數(shù)列是等差數(shù)列。評注 將等差數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，利用指數(shù)運算來轉(zhuǎn)化；將正項等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，利用對數(shù)運算來轉(zhuǎn)化。變式1 在數(shù)列中，且（1）設(shè)，求證：數(shù)列是等比數(shù)列（2）設(shè)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列解析 （1）由-得，所以.當時，所以所以，令，所以，故數(shù)列是等比數(shù)列.（2）因為數(shù)列是等比數(shù)列，.所以，則，所以令，又，故，因此數(shù)列是等差數(shù)列.變式2 數(shù)列的前項和為，已知，（），證明：數(shù)列是等比數(shù)列。解析 由得，所以，所以又，因此數(shù)列是等比數(shù)列.變式3 已知定義在R上的函數(shù)和數(shù)列滿足下列條件：，（

25、），（），（），其中為常數(shù)，為非零常數(shù)。令（），證明：數(shù)列為等比數(shù)列解析 ，所以，已知，所以，又，則，且，所以數(shù)列是等比數(shù)列.中項公式法例6.15 已知數(shù)列滿足，（）. (1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列。 (2)求數(shù)列的通項公式。 (3)若數(shù)列滿足（），證明：數(shù)列是等差數(shù)列。分析 第（1）問利用定義證明；由第（1）問可得的通項公式；第（3）問的解答需要將的通項公式帶入并整理。三問環(huán)環(huán)相扣，每一問都是后一問解題的基礎(chǔ)。解析 （1）因為，所以，即，（），又，故數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列。（2）由（1）得（）故，（）疊加得到，所以（）時也成立，所以（）（3）由（2）可知，即，故設(shè)為數(shù)列的前項和，則

26、 = 1 * GB3 * MERGEFORMAT ， = 2 * GB3 * MERGEFORMAT ，兩式相減得即 = 3 * GB3 * MERGEFORMAT 則有 = 4 * GB3 * MERGEFORMAT （） = 4 * GB3 * MERGEFORMAT = 3 * GB3 * MERGEFORMAT 得，即（）故數(shù)列是等差數(shù)列。評注 第（1）問給出數(shù)列的一個遞推公式，要證明形如的數(shù)列為等差或等比數(shù)列，一般將遞推公式代入，利用定義法證明。利用等差中項法解決第（3）問并不能明顯看出來，這需要在對第（3）問的整理和變形中去發(fā)現(xiàn)解題方法。在解數(shù)學(xué)題時，既要有嚴謹?shù)耐评?，也要勇于探?/p>

27、嘗試。變式1 設(shè)是公比不為1的等比數(shù)列，其前項和為，且，成等差數(shù)列(1)求數(shù)列的公比；(2)證明：對任意成等差數(shù)列解析 （1）依題意，設(shè)公比不為1的等比數(shù)列的公比為，由成等差數(shù)列，得，所以，得，解得（舍），（2）要證明對任意，成等差數(shù)列，只需證明因為所以對任意，成等差數(shù)列.或利用求和公式展開.，因此對任意，成等差數(shù)列.變式2設(shè)數(shù)列中的每一項都不為0 . 證明：為等差數(shù)列的充分必要條件是：對任何，都有+解析 先證必要性.設(shè)數(shù)列的公差為，若，則所述等式顯然成立.若則再正充分性.依題意有-得在上式兩端同乘，得同理可得-得，即，所以為等差數(shù)列.評注 本題考查等差數(shù)列、充要條件等有關(guān)知識和推理論證、運算

28、求解能力.求解時，必要性證明的關(guān)鍵是利用裂項相消的方法，充分性證明的關(guān)鍵是利用遞推關(guān)系推導(dǎo)出等差數(shù)列的定義.題型84 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用思路提示等差數(shù)列與等比數(shù)列的相互轉(zhuǎn)化：等差數(shù)列通過指數(shù)運算轉(zhuǎn)化為正項等比數(shù)列，正項等比數(shù)列通過對數(shù)運算轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列。等差數(shù)列和等比數(shù)列的交匯，若一個數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則該數(shù)列為非零常數(shù)數(shù)列。一、等差數(shù)列與等比數(shù)列的相互轉(zhuǎn)化例6.16 已知數(shù)列，是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)()（1）數(shù)列是否為等比數(shù)列？證明你的結(jié)論（2）設(shè)數(shù)列，的前項和分別為，,若，求數(shù)列的前項和解析 （1）數(shù)列是等比數(shù)列。依題意，設(shè)的公比為（），的公比為 （），則，故數(shù)

29、列是等比數(shù)列。（2）由題意知數(shù)列，都是等差數(shù)列，且，得到，因為，都是關(guān)于的一次型函數(shù)，可令，則當時，即，,同理 ，故，進一步可得數(shù)列的前項和為變式1 設(shè)數(shù)列是正項等比數(shù)列，且，那么的值是（ ）A、30 B、20 C、10 D、5解析 是正項等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，故故選B.變式2 已知等比數(shù)列滿足各項均為正數(shù)，且（），則當時，等于（ ）A、 B、 C、 D、解析 因為是正項等比數(shù)列，所以是等差數(shù)列.故故選C.變式3 設(shè)是公比大于1的等比數(shù)列，前項和為，已知，且，構(gòu)成等差數(shù)列。（1）求數(shù)列的通項；（2）令（），求數(shù)列的前項和.分析 為公比大于1的等比數(shù)列，取對數(shù)后為等差數(shù)列，因此Tn為等差數(shù)列

30、的求和計算.解析 （1）由已知得解得.設(shè)數(shù)列的公比為q，由可得，可知即解得由題意得所以由可得故數(shù)列的通項為（2）由于，由（1）得，所以故等差數(shù)列和等比數(shù)列的交匯問題例6.17 已知首項為的等比數(shù)列不是遞減數(shù)列，其前項和為（），且，成等差數(shù)列，求數(shù)列的通項公式。分析 利用等比數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合已知條件求出公比，進而可得通項公式。解析 設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，成等差數(shù)列，所以2（）=+，即，于是，又數(shù)列不是遞減數(shù)列，所以，故數(shù)列的通項公式變式1 設(shè)數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，其前項和為 記，（），成等比數(shù)列，證明： （）分析 利用將表示出來，然后根據(jù)成等比數(shù)列，得到與的關(guān)系，可驗證解析 由，得又

31、因為成等比數(shù)列，所以，即，化簡得因為，所以因此，對于所有的，有從而對于所有的，有例6.18 在等差數(shù)列中，公差，是與的等比中項，已知數(shù)列，成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項解析 依題意可得，所以，由可得，則，由已知得是等比數(shù)列。因為所以成等比數(shù)列，首項為1，公比為3，由此，所以（），故數(shù)列的通項為變式1 設(shè)2009個不全相等的正數(shù)，依次圍成一個圓圈，且，是公差為的等差數(shù)列，而，是公比為的等比數(shù)列，+=12，求通項（）解析 因為是公比為的等比數(shù)列，從而，由，得，解得或又均為正數(shù)，故或（舍）從而時，而當時，由是公比為的等比數(shù)列，觀察指數(shù)規(guī)律得因此，例6,19 設(shè)是各項均不為零的項等差數(shù)列，且公差.若將此數(shù)列

32、刪去某一項后得到的數(shù)列（按原來的順序排列）是等比數(shù)列。（1） = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 當時，求的數(shù)值； = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 求的所有可能值.（2）求證：對于給定的正整數(shù)，存在一個各項及公差均不為0的等差數(shù)列，其中任意三項（按原來的順序）都不能組成等比數(shù)列。解析 （1） = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 依題意，等差數(shù)列為，假設(shè)要刪去或，當刪去時，既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，故，與題意不合；當刪除時，既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，故，與題意不合；因此刪去的項只能是或若刪去，則由成等比數(shù)列，得因，故由上式得，即 4此時數(shù)列為，滿足題設(shè)若刪

33、去，則成等比數(shù)列，得 因，故由上 式得，即 1此時數(shù)列為 滿足題設(shè)綜上可知的值為或1 = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 一個“基本事實”：一個數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列,則該數(shù)列是非零常數(shù)數(shù)列。當n6時，則從滿足題設(shè)的數(shù)列中刪去任意一項后得到的數(shù)列，必有原數(shù)列中的連續(xù)三項，從而這三項既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，故知，數(shù)列的公差必為0，這與題設(shè)矛盾所以滿足題設(shè)的數(shù)列的項數(shù) 又因題設(shè)，故或當時，由（1）中的討論知存在滿足題設(shè)的數(shù)列當時，若存在滿足題設(shè)的數(shù)列，則由“基本事實”知，刪去的項只能是，從而成等比數(shù)列，故且分別化簡上述兩個等式，得和，故矛盾因此，不存在滿足題設(shè)的項數(shù)為5的等差數(shù)

34、列綜上可知，只能為4 假設(shè)對于某個正整數(shù)，存在一個公差為的項等差數(shù)列，其中三項，成等比數(shù)列，這里，則有，整理得，由得：且或者當且時，若且，則，矛盾。若，等式右邊為有理數(shù)，當為無理數(shù)時就產(chǎn)生矛盾。因此，只要為無理數(shù)，中任意三項不構(gòu)成等比數(shù)列。評注 本題考察了一個基本事實：一個數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則該數(shù)列是非零常數(shù)數(shù)列。變式1、設(shè)等差數(shù)列包含1和 ，求證：中的任意三項不構(gòu)成等比數(shù)列。解析 先設(shè)等差數(shù)列的公差為，存在，于是，即.如果數(shù)列中有不同的三項構(gòu)成等比數(shù)列，則不妨設(shè)則由成等比數(shù)列，故所以化簡得 +得，代入中，則，可得，與假設(shè)矛盾，因此命題得證.評注 本題實質(zhì)上是例6.19的特例，由例6.19可直接推出本命題.最有效訓(xùn)練題23（限時45分鐘）等差數(shù)列的公差不為零，首項，是和的等比中項， 則數(shù)列的前10項之和是（ ） A、90 B、100 C、145 D、190設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，其前項和為，已知， ，若對任意的，都有，則的值為（ ） A、22 B、21 C、20 D、193、如果等差數(shù)列中，那么（ ） A、14 B、21 C、28 D、35已知