攻克_整除_難關(guān)精講精練之一

1、攻克“整除”難關(guān)精講精練之一 整除是奧數(shù)中較有趣的一部分， 但是要學好這部分知識卻需要下一番功夫， 故將此整理成一個專題，大家一起來學習吧?！纠}解析】例 1： ( 1)判斷 47382 能否被 3或 9整除？以下例題運用了整除特征解題。(2)判斷 42559 ， 7295871 能否被 11 整除？【分析與解答】( 1 ) 4+7+3+8+2=24 3|24 ， 9 不能整除 24 3|47382, 9 不能整除 47382(2) (9+5+4) (5+2) =187=11，11|42559 (1+8+9+7) (7+5+2) =25 - 14=11 . 11|7295871啟示： 判斷一個

2、整數(shù)能否被另一個整數(shù)整除， 充分考慮整除的特征， 這樣有利于我們?nèi)ヅ袛?。?2：求一個首位數(shù)字為5 的最小六位數(shù)，使這個數(shù)能被9 整除，且各位數(shù)字均不相同。【分析與解答】 ：由于要求被9 整除， 可只考慮數(shù)字和， 又由于要求最小的， 故從第二位起應(yīng)盡量用最小的數(shù)字排，并試驗?zāi)┪粩?shù)字為哪個數(shù)時，六位數(shù)為 9 的倍數(shù)。解：一個以5為首位數(shù)的六位數(shù) 5,要想使它最小， 只可能是501234 (各位數(shù)字均不相同) 。但是 501234 的數(shù)字和 5+0+1+2+3+4=15 ， 并不是 9 的倍數(shù)， 故只能將末位數(shù)字改為 7， 這時，5+0+1+2+3+7=18 是 9的倍數(shù)，故501237 是 9

3、的倍數(shù)。即 501237 是以 5 為首位，且是9 的倍數(shù)的最小六位數(shù)。例 3：從0、 1、 2 、 4、 7 五個數(shù)中選出三個組成三位數(shù)，其中能被3 整除的有 個。南京市第一屆“興趣杯”少年數(shù)學邀請賽決賽 B卷【分析與解答】三位數(shù)的數(shù)字和應(yīng)被3 整除，所以可取的三個數(shù)字分別是：0,1,2； 0,2,4; 0,2,7; 1,4,7。于是有：(2*2*1) *3+3*2*1=18個例 4：四位數(shù)7a2b 能被 2 ， 3 ， 5 整除，這樣的四位數(shù)有幾個？分別是多少？【分析與解答】要使7a2b能同時被2, 3, 5整除，則b為零；又要使7a20能被3整除，a必須滿足各位數(shù)字的和 7+2+0+a

4、能被 3 整除，又知 a 只能取 0 至 9 這十個數(shù)字，所以 a 只可取 0 ， 3 ， 6， 9。故滿足條件的四位數(shù)有4 個，即 7020 ， 7320， 7620， 7920。啟示：在做有關(guān)整除的題目時，應(yīng)充分考慮一些常見整數(shù)的整除特征。例5:有0、1、4、7、9五個數(shù)字，從中選出四個數(shù)字組成一個四位數(shù)例如 1409，把其中能被 3 整除的四位數(shù)從小到大排列起來，第5 個數(shù)的末位數(shù)字是。北京市第一屆“迎春杯”賽【分析與解答】從 0、 1 、 4、 7、 9 中選出四個數(shù)字，使它們的和是3 的倍數(shù)，這樣的四位數(shù)只能由0、 1 、 4、 7 或 1、 4、 7 、 9 組成。按從小到大順序排

5、列為1047、 1074、 1407、 1470、 1479、 1749、所以第五個四位數(shù)個位上應(yīng)是9。例 6：在 568 后面補上三個數(shù)字，組成一個六位數(shù)，使它分別被3 ， 4 ， 5 整除，且使這個數(shù)盡可能的小。3 ， 4 ， 5 整除，故它應(yīng)【分析與解答】不妨設(shè)補上三個數(shù)字后的六位數(shù)為568abc。由于這個六位數(shù)分別被滿足如下三個條件：1 ) 數(shù)字和( 5+6+8+a+b+c )是 3 的倍數(shù)；) 末兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)bc 是 4 的倍數(shù)；) 末位 c 為 0 或 5。由于4|bc,故c不能是5,而只能是0,且b只可能是2, 4, 6,8，0。又因為 3|( 5+6+8+a+b+c )

6、即 3|( 5+6+8+a+b+0 ) ，所以當 b=2 時， 3|( 5+6+8+a+2 ),a可為 0, 3, 6, 9當 b=4 時，當 b=6 時，當 b=8 時，3| (5+6+8+a+4) a可為 1, 4, 73| (5+6+8+a+6) ,a可為 2,5,83| (5+6+8+a+8) , a 可為 0, 3, 6,當 b=0 時，3| (5+6+8+a+0), a 可為 2, 5, 8要使六位數(shù)568abc 盡可能小，則 a 應(yīng)取 0 ， b 應(yīng)取 2， c 應(yīng)取0。故被 3， 4， 5 整除的最小六位數(shù)568abc 應(yīng)為568020?！玖曨}精練】直接判斷 25872 和 9

7、78651 能否被 3 或者 9 整除？判斷2458、 63582 和 1839673 能否被 11 整除？六位數(shù) 125a58 能被 3 整除，數(shù)字a=？由 2、 3 、 4 、 5 這四個數(shù)字組成的沒有重復數(shù)字的三位數(shù)中，有幾個能被3 整除？一根鐵絲長125 厘米，要把它剪成長 2 厘米、 5 厘米、 3 厘米的三種不同規(guī)格的小段，最多能剪成多少段？在 568 后面補上三個數(shù)字，組成一個六位數(shù)，使它分別能被 3 、 4 、 5 整除，且使這個數(shù)值最小。求這個六位數(shù)。已知一個自然數(shù)，它是15 的倍數(shù)，并且這個數(shù)的每個數(shù)位上的數(shù)字只有0 和 2，這個自然數(shù)最小是多少？五位數(shù) A329B 能被

8、72 整除，問 A 和 B 各代表什么數(shù)字？【習題精練附答案】25872 不能被 3 和 9 整除， 978651 能被 3 和 9 整除2458 和 63582 不能被 11 整除， 1839673 能被 11 整除a 可以取 0、 3 、 6、 94、有12 個60560202220A 是 7， B 是 6名師指導，輕松學奧數(shù)牛吃草問題之一英國著名科學家牛頓的算術(shù)一書中有一道非常有名的題：有一片牧場，已知牛27頭， 6 天把草吃盡，同樣一片牧場，牛23 頭， 9 天把草吃盡。如果有牛21 頭，幾天能把草吃盡？以后人們把這類問題稱為“牛吃草”問題。這類題的特點： 牛在吃草的同時， 草還在不斷

9、地生長著。 解這類題的關(guān)鍵是先設(shè)法求出草地的原有草和每天新生長的草這兩個不變的量，問題就容易了。牛吃草問題又稱為消長問題或牛頓牧場， 是 17 世紀英國偉大的科學家牛頓提出來的。典型牛吃草問題的條件是假設(shè)草的生長速度固定不變， 不同頭數(shù)的牛吃光同一片草地所需的天數(shù)各不相同， 求若干頭牛吃這片草地可以吃多少天。 由于吃的天數(shù)不同， 草又是天天在生長的， 所以草的存量隨牛吃的天數(shù)不斷地變化。 解決牛吃草問題常用到四個基本公式， 分別是：(1)草的生長速度=對應(yīng)的牛頭數(shù)X吃的較多天數(shù)一相應(yīng)的牛頭數(shù)X吃的較少天數(shù)+ (吃的較多天數(shù)吃的較少天數(shù)) ；(2)原有草量=牛頭數(shù)x吃的天數(shù)草的生長速度x吃的天數(shù)

10、；(3)吃的天數(shù)=原有草量+ (牛頭數(shù)草的生長速度)；(4)牛頭數(shù)=原有草量+吃的天數(shù)+草的生長速度。這四個公式是解決消長問題的基礎(chǔ)。由于牛在吃草的過程中，草是不斷生長的，所以解決消長問題的重點是要想辦法從變化中找到不變量。牧場上原有的草是不變的，新長的草雖然在變化，但由于是勻速生長，所以每天新長出的草量應(yīng)該是不變的。 正是由于這個不變量， 才能夠?qū)С錾厦娴乃膫€基本公 式。牛吃草問題經(jīng)常給出不同頭數(shù)的牛吃同一片次的草， 這塊地既有原有的草， 又有每天新長出的草。由于吃草的牛頭數(shù)不同，求若干頭牛吃的這片地的草可以吃多少天。解題關(guān)鍵是弄清楚已知條件，進行對比分析，從而求出每日新長草的數(shù)量，再求出草

11、地里原有草的數(shù)量，進而解答題總所求的問題。這類問題的基本數(shù)量關(guān)系是：.（牛的頭數(shù)X吃草較多的天數(shù)-牛頭數(shù)X吃草較少的天數(shù)）+ （吃的較多的天數(shù)-吃的較少的天數(shù)）=草地每天新長草的量。.牛的頭數(shù)X吃草天數(shù)-每天新長量x吃草天數(shù)=草地原有的草。【“牛吃草”問題簡析】華圖公務(wù)員考試研究中心數(shù)量關(guān)系資料分析教研室研究員 姚璐【名師指導例1 】有一塊牧場，可供 10 頭牛吃 20 天， 15 頭牛吃 10 天，則它可供25 頭牛吃多少天？A.3 B.4 C.5 D.6【名師指導答案】 C【名師指導解析】設(shè)該牧場每天長草量恰可供 頭牛吃一天，這片草場可供 25 頭牛吃 天根據(jù)核心公式：，代入【名師指導例2

12、】有一塊牧場，可供 10 頭牛吃 20 天， 15 頭牛吃 10 天，則它可供多少頭牛吃 4 天？A.20 B.25 C.30 D.35【名師指導答案】 C【名師指導解析】設(shè)該牧場每天長草量恰可供 頭牛吃一天，根據(jù)核心公式：【名師指導例3 】如果 22 頭牛吃 33 公畝牧場的草， 54 天后可以吃盡， 17 頭牛吃 28 公畝牧場的草， 84 天可以吃盡，那么要在 24 天內(nèi)吃盡 40 公畝牧場的草，需要多少頭牛？A.50 B.46 C.38 D.35【名師指導答案】D【名師指導解析】設(shè)每公畝牧場每天新長出來的草可供頭牛吃 1 天， 每公畝草場原有牧草量為 ，24 天內(nèi)吃盡 40 公畝牧場的

13、草，需要頭牛根據(jù)核心公式：，因此 ，選擇 D【名師指導注釋】這里面牧場的面積發(fā)生變化，所以每天長出的草量不再是常量。下面我們來看一下上述“牛吃草問題”解題方法，在真題中的應(yīng)用。4】有一個灌溉用的中轉(zhuǎn)水池，一直開著進水管往里灌水，一段時間后，用 臺抽水機排水， 則用 40 分鐘能排完； 如果用 4 臺同樣的抽水機排水，則用 16 分鐘排完。 問如果計劃用 10 分鐘將水排完，需要多少臺抽水機？【廣東2006 上】A.5 臺 B.6 臺 C.7 臺 D.8 臺【名師指導答案】 B臺抽水機的排水量，共需 臺抽水機【名師指導解析】設(shè)每分鐘流入的水量相當于有恒等式： 解 ，得 ，代入恒等式【名師指導例5

14、 】有一水池，池底有泉水不斷涌出， 要想把水池的水抽干， 10 臺抽水機需抽8 小時， 8 臺抽水機需抽 12 小時， 如果用 6 臺抽水機， 那么需抽多少小時？ 【北京社招 2006 】A.16 B.20 C.24 D.28【名師指導答案】 C【名師指導解析】設(shè)每分鐘流入的水量相當于 臺抽水機的排水量，共需小時 有恒等式： 解 ，得 ，代入恒等式【名師指導例6】林子里有猴子喜歡吃的野果，23 只猴子可在9 周內(nèi)吃光， 21 只猴子可在12 周內(nèi)吃光，問如果有33 只猴子一起吃，則需要幾周吃光？（假定野果生長的速度不變）【浙江2007】A.2 周 B.3 周 C.4 周 D.5 周【名師指導答案】 C【名師指導解析】設(shè)每