工程力學(xué)第5章課件

1、第5章空間一般力系和重心空間一般力系是各力作用線在空間任意分布的力系,也稱(chēng)為空間任意力系。顯然,這是力系中最一般的情況,其他各種力系都是它的特殊情況。本章將研究空間一般力系的簡(jiǎn)化與平衡問(wèn)題。與平面力系的研究方法相似,空間一般力系的簡(jiǎn)化也是應(yīng)用力向一點(diǎn)平移的方法將空間一般力系分解為兩個(gè)基本力系:空間匯交力系和空間力偶系,再應(yīng)用這兩個(gè)力系的簡(jiǎn)化結(jié)果簡(jiǎn)化原力系,建立空間一般力系的平衡條件并導(dǎo)出平衡方程。 5. 1力對(duì)軸之矩設(shè)有一平面L,其上力F對(duì)平面內(nèi)O點(diǎn)之矩將使剛體繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng),如圖5-1a所示。從空間的觀點(diǎn)看,這一轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)實(shí)際上就是空間物體繞通過(guò)O點(diǎn)且與該平面垂直的空間軸z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。所以,平面內(nèi)力

2、對(duì)點(diǎn)之矩實(shí)際上就是空間問(wèn)題中的力對(duì)軸之矩。此時(shí),力F的作用線須與z軸在空間相互垂直。力F對(duì)z軸之矩度量了力F使剛體繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的效應(yīng)。圖5-1若力F不在垂直于z軸的平面內(nèi),如圖5-1b所示,要考察力F使剛體繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的效應(yīng),需將力F分解為兩個(gè)分力Fz和Fxy(圖5-1b)。分力Fz平行于z軸,它對(duì)剛體繞z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)不起作用;分力Fxy在垂直于z軸的平面內(nèi),Fxy對(duì)z軸的矩表示了力F使剛體繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的效應(yīng)。由此可得如下定義:空間力對(duì)軸之矩是使剛體繞此軸轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的度量,它等于此力在垂直于軸的任一平面上的投影對(duì)軸與平面交點(diǎn)之矩。若以Mz(F)表示力F對(duì)z軸之矩,上述定義可表示為式中,正負(fù)號(hào)按右手螺旋規(guī)則

3、確定,即從z軸的正向朝負(fù)向看,若Fxy使剛體繞該軸作逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng),取正號(hào);反之則取負(fù)號(hào)。顯然,力對(duì)軸之矩是代數(shù)量。由上述定義可知:(1)當(dāng)力沿其作用線滑移時(shí),力對(duì)軸之矩不變;(2)當(dāng)力的作用線與軸相交(d=0)或平行(Fxy=0)時(shí),力對(duì)該軸之矩等于零。與平面問(wèn)題中力對(duì)點(diǎn)之矩一樣,力對(duì)軸之矩也有合力矩定理,即合力對(duì)任一軸之矩等于各分力對(duì)同一軸之矩的代數(shù)和。力對(duì)軸之矩也可用解析式表示。設(shè)力F在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影分別為Fx、Fy、Fz,力F的作用點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x、y、z),如圖5-2所示。由力對(duì)軸之矩的定義和合力矩定理,可得圖5-25.2力對(duì)軸之矩與力對(duì)點(diǎn)之矩的關(guān)系空間力對(duì)點(diǎn)之矩是一個(gè)矢量,可用力的

4、作用點(diǎn)到矩心的矢徑r與力F的矢積表示將此式用解析形式表示,可以得到因此,力對(duì)點(diǎn)之矩矢MO(F)在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影分別為比較式(5-2)和式(5-3)不難看到:力對(duì)點(diǎn)之矩矢在通過(guò)該點(diǎn)的任一軸上的投影,等于力對(duì)該軸之矩。上述結(jié)論也可用幾何法證明。用MO(F)表示力F對(duì)點(diǎn)O的矩矢,用Mz(F)表示力F對(duì)通過(guò)點(diǎn)O的z軸之矩,如圖5-4所示。MO(F)的大小為|MO(F)|=2OAB面積力F對(duì)z軸之矩也可用相應(yīng)的三角形面積表示為Mz(F)=2OAB面積圖5-4OAB是OAB在坐標(biāo)面Oxy上的投影。該兩三角形平面間的夾角即是這兩個(gè)平面法線間的夾角,也就是矢量MO(F)與z軸之間的夾角,如圖5-4所示。由

5、幾何學(xué)關(guān)系有OAB=OABcos即 MO(F)z=Mz(F)(5-4a)同理可得對(duì)x軸和y軸的相應(yīng)關(guān)系MO(F)x=Mx(F)(5-4b)MO(F)y=My(F)(5-4c)5.3空間一般力系向任意點(diǎn)簡(jiǎn)化及其結(jié)果的討論5.3.1空間一般力系向任意點(diǎn)簡(jiǎn)化與平面一般力系的簡(jiǎn)化方法一樣,用力的平移定理,可以把空間一般力系向任意一點(diǎn)簡(jiǎn)化。要注意的是,由于空間一般力系中各力的作用線不在同一平面內(nèi),故將力系中各分力向一點(diǎn)平移時(shí),附加力偶的力偶矩應(yīng)當(dāng)用矢量表示。設(shè)一空間一般力系(F1、F2、Fn)作用在剛體上,如圖5-5a所示。將力系中各力分別向任選的簡(jiǎn)化中心O平移,可以得到一空間匯交力系(F1、F2、Fn

6、)和一空間力偶系,該力偶系的各分力偶矩矢分別為M1、M2、 Mn,如圖5-5b所示。其中圖5-5這兩個(gè)力系可以分別按空間匯交力系和空間力偶系的合成方法合成為通過(guò)簡(jiǎn)化中心的一個(gè)力和一個(gè)力偶。力矢量為力偶的力偶矩矢為FR稱(chēng)為空間一般力系的主矢,MO稱(chēng)為空間一般力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩。同樣地,力系的主矢與簡(jiǎn)化中心的位置選擇無(wú)關(guān);而主矩與簡(jiǎn)化中心的位置選擇有關(guān)。與平面力系不同的是,空間力系的主矩是矢量而不是代數(shù)量。于是得到結(jié)論:空間一般力系向任意點(diǎn)簡(jiǎn)化,可以得到一個(gè)力和一個(gè)力偶。這個(gè)力通過(guò)簡(jiǎn)化中心,大小和方向等于此空間一般力系的主矢;這個(gè)力偶的力偶矩矢等于此空間一般力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩。在實(shí)際計(jì)算中,常

7、采用解析式。過(guò)簡(jiǎn)化中心建立直角坐標(biāo)系Oxyz。用FRx、FRy、FRz和Fix、Fiy、Fiz分別表示主矢FR和空間一般力系中各分力Fi在坐標(biāo)軸上的投影,由合力投影定理有空間一般力系的主矢FR的大小和方向?yàn)?為便于書(shū)寫(xiě),下標(biāo)i可略去)若用MOx、MOy、MOz分別表示空間一般力系對(duì)簡(jiǎn)化中心O的主矩MO在x、y、z軸上的投影,由式(5-4)及合矢量投影定理知:主矩MO的大小和方向?yàn)榕c平面問(wèn)題中固定端約束的反力的簡(jiǎn)化方法類(lèi)似,空間問(wèn)題的固定端約束的反力可用6個(gè)量來(lái)表示,如圖5-6所示。它所限制的位移是:既不能沿任何方向移動(dòng),也不能繞任意軸轉(zhuǎn)動(dòng)。圖5-65.3.2簡(jiǎn)化結(jié)果分析空間一般力系向任意一點(diǎn)簡(jiǎn)

8、化,可能出現(xiàn)下列4種情況:(1)FR=0,MO=0,此時(shí),原空間一般力系為一平衡力系。(2)FR=0,MO0,原空間一般力系合成為一合力偶,其矩等于空間一般力系對(duì)簡(jiǎn)化中心的主矩MO。在這種情況下,該空間一般力系的主矩與簡(jiǎn)化中心的位置無(wú)關(guān)。(3)FR0,MO=0,原空間力系合成為作用線過(guò)簡(jiǎn)化中心的合力。合力矢FR等于力系的主矢FR。當(dāng)簡(jiǎn)化中心恰好選在合力的作用線上時(shí),就是這種情況。(4)FR0,MO0,根據(jù)它們之間位置的關(guān)系,又分為3種情形。1)FRMO,這時(shí)主矢FR的作用線所在的平面與主矩MO所表示的力偶的作用面是同一平面,它們還可進(jìn)一步合成為一個(gè)合力。合力的作用線到簡(jiǎn)化中心的距離為2)FRM

9、O,此時(shí)主矢FR和主矩MO所表示的力偶的作用面相垂直,如圖5-7所示,這是一種最簡(jiǎn)結(jié)果,不能再進(jìn)一步合成。從而形成力學(xué)中又一個(gè)基本量,稱(chēng)為力螺旋。圖5-73)主矢FR和主矩MO兩者既不平行也不垂直。這是最一般的情況。這時(shí)可將MO分解為兩個(gè)分力偶MO與MO,它們分別與FR垂直和平行。與FR垂直的力偶MO與FR可進(jìn)一步合成為一個(gè)合力FR,由于力偶矩矢是自由矢量,則可將MO表示在FR處,從而得到一個(gè)力螺旋?？梢?jiàn),一般情形下空間一般力系可簡(jiǎn)化為力螺旋,如圖5-8所示。圖5-8當(dāng)空間一般力系能合成為合力時(shí),可以證明合力矩定理仍然成立,即:空間一般力系的合力對(duì)位意一點(diǎn)(或軸)的矩等于力系中各分力對(duì)同一點(diǎn)(

10、或同一軸)的矩的矢量和(或代數(shù)和)。即或5.4空間一般力系的平衡條件及其應(yīng)用若空間一般力系的主矢和對(duì)任意點(diǎn)的主矩都等于零,則該力系向任意點(diǎn)簡(jiǎn)化所得的空間匯交力系和附加的空間力偶系分別自成平衡,這表明原空間一般力系是平衡力系。反之,若空間一般力系是平衡的,則該力系的主矢和對(duì)任意點(diǎn)的主矩必定都等于零。因?yàn)?當(dāng)力系的主矢和對(duì)任意點(diǎn)的主矩有一個(gè)不為零時(shí),原空間一般力系將等效于一個(gè)力或一個(gè)力偶或力螺旋,它們都不是平衡力系。由此得出空間一般力系平衡的必要與充分條件是:空間一般力系的主矢和對(duì)任一點(diǎn)的主矩都等于零。即(5-15)根據(jù)式(5-8)和式(5-11),可將上述條件寫(xiě)成解析形式的平衡條件(5-16)所

11、以,空間一般力系平衡的必要與充分條件是:力系中各力在三個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別等于零;以及這些力對(duì)于三個(gè)坐標(biāo)軸之矩的代數(shù)和分別等于零。上式也稱(chēng)為空間一般力系基本式(三矩式)的平衡方程。前面所遇到的各種力系都是空間一般力系的特殊情況,例如,匯交力系、力偶系和平面一般力系等等。我們可以由空間一般力系的平衡方程(5-16)導(dǎo)出各種特殊力系的平衡方程。例如,對(duì)空間平行力系,如圖5-9所示,令z軸與各力線平行,則各力對(duì)z軸之矩為零;又由于所有力均與x和y軸垂直,它們?cè)谶@兩個(gè)軸上的投影恒等于零,式(5-16)中的第一、二、六三個(gè)方程成為恒等式,所以,空間平行力系的平衡方程為圖5-95.5平行力系的中心與

12、重心5.5.1平行力系的中心平行力系的中心是平行力系合力的作用點(diǎn)。若作用于某剛體上的任意個(gè)平行力(所組成的平行力系)有合力時(shí),則可順次應(yīng)用這種合成法求出該平行力系的合力。該合力作用線仍平行于原力系中各分力的作用線,其大小等于該平行力系中所有各分力的代數(shù)和;合力作用點(diǎn)所在的位置稱(chēng)為平行力系的中心,用點(diǎn)C表示。若將原力系中各分力繞其各自的作用點(diǎn)同方向轉(zhuǎn)過(guò)同樣角度,使它們?nèi)员３窒嗷テ叫?則合力將仍與各分力平行,也繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)過(guò)相同的角度。由此可知,平行力系中心C的位置僅與各平行力的大小和作用點(diǎn)的位置有關(guān),而與各平行力的方位無(wú)關(guān)。設(shè)有空間平行力系(F1、F2、Fn)分別作用于剛體上的A1、A2、An各點(diǎn),

13、取直角坐標(biāo)系Oxyz,如圖5-13所示。各力作用點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1,z1)、(x2,y2,z2)、(xn,yn,zn),平行力系中心(即合力作用點(diǎn)C)的坐標(biāo)為(xC,yC,zC)。圖5-13先令所有各分力的作用線與z軸平行,利用對(duì)x軸的合力矩定理,有將計(jì)算力矩的解析計(jì)算式(5-2)代入上式,并注意到FR=Fi,則C點(diǎn)的y坐標(biāo)為同理,利用對(duì)y軸的合力矩定理,可以求出坐標(biāo)xC的表達(dá)式。再將力系轉(zhuǎn)到和y軸(或x軸)平行,再利用對(duì)x軸(或y軸)的合力矩定理,可求出點(diǎn)C的另外一個(gè)坐標(biāo)zC的表達(dá)式。這些公式是相似的,所以空間平行力系中心C的坐標(biāo)公式如下:5.5.2重心重力是地球?qū)ξ矬w的引力,如果將

14、物體視為由無(wú)數(shù)質(zhì)點(diǎn)所組成,則各質(zhì)點(diǎn)的重力便組成空間匯交力系。但由于地面上的物體與地球本身相比是很小的,而且離地心又極遠(yuǎn),因此可近似地認(rèn)為各質(zhì)點(diǎn)的重力組成一個(gè)空間平行力系。該平行力系合力的大小就是物體的重量;該平行力系的中心就是物體的重心。1.重心坐標(biāo)公式如將物體分割成許多微小單元體,每個(gè)微小單元體的重力為Gi,其作用點(diǎn)為Mi(xi,yi,zi),如圖5-14所示。圖5-14由式(5-18)可以直接得到物體重心C(xC,yC,zC)的坐標(biāo)公式為若物體是均質(zhì)的,其單位體積的重量為,各微小單元體體積為Vi,整個(gè)物體的體積為V=Vi,則Gi=Vi,G=V,代入上式,得這時(shí),物體重心的位置完全取決于物體

15、的幾何形狀,而與重量無(wú)關(guān)。物體幾何形狀的中心稱(chēng)為形心。均質(zhì)物體的重心與形心重合;對(duì)非均質(zhì)物體,兩者一般不重合。若物體是均質(zhì)薄殼或均質(zhì)細(xì)桿,其形心坐標(biāo)公式可表示為式中,A、L分別為物體的總面積和總長(zhǎng)度;Ai、Li分別為微小單元體的面積和長(zhǎng)度。對(duì)于連續(xù)分布的物體和圖形,可將整個(gè)物體或圖形無(wú)限細(xì)分,式(5-19)式(5-22)可表示為積分的形式。若均質(zhì)物體具有對(duì)稱(chēng)面、對(duì)稱(chēng)軸或?qū)ΨQ(chēng)中心,則其重心一定在對(duì)稱(chēng)面、對(duì)稱(chēng)軸或?qū)ΨQ(chēng)中心上。2.組合形物體的重心1)分割法工程中一些比較復(fù)雜的物體往往可以看成幾個(gè)簡(jiǎn)單形狀物體的組合,稱(chēng)這類(lèi)物體為組合形體。若這類(lèi)形體中每一個(gè)簡(jiǎn)單體的重力Fi及其重心坐標(biāo)(xiC、yiC、ziC)是已知的,利用式(5-19)式(5-22)中相應(yīng)的公式,即可求得整個(gè)組合形體的重心。2)負(fù)面積法若在物體內(nèi)切去一部分(例如有空穴或孔的物體),要求剩余部分物體的重心時(shí),仍可用與分割法相同的公式,只是切去部分的面積(或體積)應(yīng)取做負(fù)值。3)實(shí)驗(yàn)法求重心工程中經(jīng)常會(huì)遇到外形復(fù)雜的物體,用計(jì)算的方法求重心位置將非常困難。實(shí)驗(yàn)法則可比較方便地確定出重心的位置,而且具有足夠的準(zhǔn)確度。常用的實(shí)驗(yàn)方法有兩種:懸掛法，稱(chēng)重法懸掛法對(duì)于具有對(duì)稱(chēng)面或平板形狀的物體,可將該物體先懸掛在任一點(diǎn)A,如圖5-17a所示,根據(jù)二力平衡原理,重心在過(guò)懸掛