考點19平面向量的基本定理及坐標表示-高考全攻略之備戰(zhàn)2019年高考數(shù)學理考點一遍過

1、考點19平面向量的基本定理及坐標表示考網(wǎng)點支 TOC o 1-5 h z (1)了解平面向量的基本定理及其意義.(2)掌握平面向量的正交分解及其坐標表示(3)會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算(4)理解用坐標表示的平面向量共線的條件會知識整鄉(xiāng)一、平面向量基本定理如果ei, %是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對實數(shù) 機尬，使2=+ %e2.其中，不共線的向量ei, e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解二、平面向量的坐標表示在平面直角坐標系中，分別取與 x軸、y軸方向相同的兩個單位向量 i、

2、j作為基底，對于平面內(nèi)的一個 向量a,由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)x、y,使得a=xi+yj,這樣，平面內(nèi)的任一向量a都可由x、y唯一確定，我們把(x, y)叫做向量a的坐標，記作a= (x, y),其中x叫做a在x軸上的坐標，y 叫做a在y軸上的坐標.三、平面向量的坐標運算.向量坐標的求法(1)若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標(2)設 A (x1，y , B (x2, y2),則 AB = (x2x，y2-yi).向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設 a = (x1, y)，b= (x2, y2),貝U a+ b= (x2+x1，y2+y1)，a - b= (x1一

3、x2, y1一 y2), 啟=(入 1,入1)，|a|=qM+y2 , |a+ b|= J(x+x2)2+( y+y2)2 .平面向量共線的坐標表示設 a = (x1, y1), b= (x2, y2),貝U a / b? x1y2x2yl=0.向量的夾角已知兩個非零向量 a和b,彳oA=a, OB=b,則/ AOB= 0 (0咨180)叫做向量a與b的夾角.如果向量a與b的夾角是90,我們說a與b垂直，記作ab.考向一平面向量基本定理的應用.應用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)應用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算，共線向量定理的應用起著至

4、關(guān)重要的作用.當基底確定后，任一向量的表示都是唯一的.應用平面向量基本定理的關(guān)鍵點(1)平面向量基本定理中的基底必須是兩個不共線的向量.(2)選定基底后，通過向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件，把相關(guān)向量用這一組基底表不出來.(3)強調(diào)幾何性質(zhì)在向量運算中的作用，用基底表示未知向量，常借助圖形的幾何性質(zhì)，如平行、相似等.用平面向量基本定理解決問題的一般思路(1)先選擇一組基底，并運用平面向量基本定理將條件和結(jié)論表示成該基底的線性組合，再進行向量的運算.(2)在基底未給出的情況下，合理地選取基底會給解題帶來方便，另外，要熟練運用線段中點的向量表達式 .典例引領(lǐng) . 一 1一一 1一V 一.

5、典例1如圖所不，在ABO中，OC = OA , OD = OB , AD與BC相交于點M，設OA= a, OB = b .42(1)試用向量a , b表示OM，;（2）過點MI作直線EF ,分別交線段 AC , BD于點E , F .記oE一 一13=*a , OF = bb,求證：一十 為【答案】（1）【解析】（1）OM =；a +| b；(2)證明見解析.由A, M , D三點共線，可設OM = mOA+(1 m OD =ma + 1 2m b ,C三點共線，可設OM = nOo 1 -n OB =na 1 -n b,4,解得=1 -n1m =一7由& M, F三點共線，設皿=二。十（+。

6、尸=3+（1無）,由（1）知匕I二13- = 7k r = 7-7k?Z社3- = 7,為定值一 A【名師點睛】本題主要考查了平面向量基本定理的應用，以及平面向量的線性運算，其中根據(jù)三點共線,合理設出向量，列出方程組求解是解答本題的關(guān)鍵，同時要熟記向量的基本概念和基本的運算公式是解答向量問題的基礎，著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于中檔試題.變式拓展1 .在4ABC中，點D是線段BC上任意一點,M是線段 AD的中點，若存在實數(shù)BM = AB AC,則二-2A. 2考向二平面向量的坐標運算.向量的坐標運算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運算的法則來進行求解的，若已知有向線段兩端點的坐標,則應先求

7、向量的坐標.解題過程中，常利用向量相等則其坐標相同這一原則，通過列方程(組)來進行求解，并注意方程思想的應用.牢記：向量的坐標與表示向量的有向線段的起點、終點的相對位置有關(guān)系.兩個相等的向量，無論起點在什么位置，它們的坐標都是相同的.典例引領(lǐng)典例2已知鞏00, 0為坐標原點，點C在/AOB內(nèi)，且乙4。=45”,設c -入心+ (1 -均E R)則4的值為1A. 5B.C.D.1323【答案】C解析】“ZGC = 45- 設C&-X則在二 住一工),x=-3z.x = 22a又力(-3,0),見02,根據(jù)向量的坐標運算知+ 9=(3九2 2Q,所以， 典例 3 已知 A(2,4), B(3, -

8、1), C(3,4),設 7B = a, BC = b, cA = c.(1)求 3a +b -3c ；(2)求滿足a =mb +nc的實數(shù)m, n.【解析】(1)由已知得 a =(5, -5), b = (-6,-3), c = (1,8),則 3a . b _ 3c- - j - . .- . _ ,(2) ; mb +nc = (6m+n, 3m+8n),-6 m n = 5-3m 8n = -5= m = n = -1.變式拓展2.已知定=(5,3), 0(-1,31CD =2aB,則點D的坐標是A. (11,-3)B. (9,-3)C. 9,3D. 4,0考向三向量共線(平行)的坐標

9、表示.利用兩向量共線的條件求向量坐標.一般地，在求與一個已知向量 a共線的向量時，可設所求向量為Ka(人三R ),然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于人的方程，求出 九的值后代入兒a即可得到所求的向量.利用兩向量共線求參數(shù).如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時，則利用若a = (%,%),b =(X2, y2),則a / b的充要條件是x/2 = %y1”解題比較方便.T T.三點共線問題.A, B, C三點共線等價于 AB與AC共線.利用向量共線的坐標運算求三角函數(shù)值：利用向量共線的坐標運算轉(zhuǎn)化為三角方程，再利用三角恒等變換求解.典例引領(lǐng)典例4已知是平面內(nèi)兩個不共線的非零向量償=2e1+ 2,詼=-e

10、+入包比=-2e+ &,且A,E,C三點共線.(1)求實數(shù)入的值；(2)若e1 = (2,1),色=(2,-2)，求比的坐標;(3)已知點D(3,5)，在(2)的條件下，若A,B,C,D四點按逆時針順序構(gòu)成平行四邊形，求點A的坐標.【解析】(1)麻=八*+鹿=(2e1+ &)+(- e+入e2)=e1+(1 +入)金. A,E,C三點共線，存在實數(shù) k,使得心=kE即 e+(1+4e2=k(- 2e1+ e2),即(1 + 2k)&+(1 + 入-k)e2= 0. TOC o 1-5 h z e1, e2是平面內(nèi)兩個不共線的非零向量， HYPERLINK l bookmark10 o Curr

11、ent Document 3+2k=0 且 1 +入-k=0,解得 k=-入=一2 故實數(shù)入的值為-3.23(2)由(1)知也=-e2 e2,11則 =+=- 3e2 e2=- 3(2,1)- 2 (2,- 2) = (- 6,- 3)- (1,- 1)=(- 7,- 2). A,B,C,D四點按逆時針順序構(gòu)成平行四邊形，加=就.設 A(x,y),則疝=(3- x,5- y).由(2)知：=(-7,- 2),3-x = -75 - y = -2x =10，解得 )y =7.點A的坐標為(10,7).變式拓展3.已知 a = (1,2 ),b = (0,1),c = (2,k ),若 a +2b

12、/ c ,則 k =A. 8B.七1D.一2、產(chǎn)點沖先丸I1.在如圖所示的平面直角坐標系中，向量 AB的坐標是A. 2,2B”2,-2C. 1,1D.-1, -12.下列各組向量中，能作為平面上一組基底的是& =(0,2 ), e2 =(0,T )e =(2,1), e2 =(0,0 )5c. e =(3,1), e2 = p，3 jD. e=(2,1), e=(4,2)3.若A(1,1)B(1,3) ,C(x,5)共線，且 癥=?彘，則人等于a.B. 2C.D. 44.已知向量a -b = (3,1), b = (1, -2),若向量 1 a +m b與向量ab平行，則實數(shù) m =A. -4

13、B. -2C. 4D. 25,已知向量a =(1,3), b = (m,2m3),平面上任意向量c都可以唯一地表示為c =，a + Nb(九* WR),則實數(shù)m的取值范圍是A. (-,0 )U(0,依B.一二,3c.：i：-工,-3 U -3, ,二D.1-3,36.已知在 RtAABC中，兩直角邊 AB=1, AC=2, D 是 AABC 內(nèi)一點，且 N DAB =60，設AD =九 AB+N AC A NWR ),則 yr =B.A,正3C. 3D.2.3.已知向量 a = (m,2m T ), b = (1, -2 ),若 a/ b ,2? .如圖所示，已知在zABC中，AE=AC ,

14、BD3則 4a + 2 b =1二一 BC ,3BE 交 AD 于點 F, AF = AB + NAC,9.已知點 A(2,4 ),B(3,T ),C(3,-4 ),設向量 AB =a,BC =b,CA = c.(1)若a =mb + nc ,求實數(shù) m, n的值;10.如圖,CN =在平行四邊形 ABCD求實數(shù)U的值；記 a =CA，b =CB求向量MN中，CM NCB, 3一 - 41N 是 AM 上一點,且 CN = uCA + CB .7試用a, b表示向量am , dM , dn .直通商、 辦蟬r(2016新課標全國n理科)已知向量a = (1,m), b=(3, -2),且(a+

15、 b) .L b,則m=B. -6A. -8C. 6D. 8（2017新課標全國出理科） 在矩形ABCD中，AB=1 , AD=2,動點P在以點C為圓心且與 BD相切的圓上.右 AP =ZAB + NAD ，則九+ N的最大值為A . 3C. ,5B. 2,2D. 2(2015 江蘇)已知向量 a= (2,1) , b= (1,-2),若 ma +nb = (9,8)(m,nw R，則 mn 的值為（2017江蘇）如圖，在同一個平面內(nèi)，向量 OA,慈，OC的模分別為1,1,我，oA與oC的夾角為 0，且匕n 0( =7, OB與OC 的夾角為 45 .若OC = mOA+nOB (m,n W

16、R)則 m + n =（第12題）（2018新課標全國出理科）已知向量a =（1,2）, b =（2,1）, c=（1,入）.若c/（2a+ b）,貝U九=皋參考答卷變式拓展1 .【答案】DT T T T【解析】如圖所示，因為點 D在線段BC上，所以存在tw R,使得BD=tBC =t(ACAB), 11 = 1 r r r 1 r i-1因為 M 是線段 AD 的中點，所以 BM =一 BA + BD = AB+tAC -tAB =一一 t+1 AB+tAC ,2222又 BM=AB+nAC 所以 = l(t+1), N=1t,所以九+ N = _1.222本題選擇D選項.A【名師點睛】(1

17、 )應用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量 的加、減或數(shù)乘運算.(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.(3)對于本題，由題意結(jié)合中點的性質(zhì)和平面向量基本定理首先表示出向量BD, 1M,然后結(jié)合平面向量的運算法則即可求得最終結(jié)果.【答案】B【解析】設點比工蠹)，所以無=2AB- (10, -6),所以I月解之得產(chǎn)久產(chǎn)-3一所以點。的坐標為(% -3). -3 = -6故答案為B.【名師點睛】(1)本題主要考查向量的坐標表示和運算，意在考查學生對這些基礎知識的掌握能力. A(x

18、i,y1),8&,丫2 1則 AB -2,出-小).【答案】B【解析】.a =(1,2 ),b = (0,1),c = (2,k), . . a +2b =( 1, 2)+(0, 2)=( 1, 4), a +2b/l c , . k=- 8.故選 B.【名師點睛】本題考查用向量坐標來表示兩個向量平行的關(guān)系.解本題時，先求出a十2b,再由a +2b/ c ,能求出k=-8.考點沖關(guān).【答案】DT【解析】因為A(2, 2), B(1, 1),所以AB = (1,1 )故選D.【答案】D【解析】對于A,m=-2e2,向量0,e2共線，不能作為基底；對于B,零向量不能作為基底；3對于C, e1 =

19、e2,向量ei,e?共線，不能作為基底；5對于D,向量e,e?不共線，可作為基底.故選D.【名師點睛】本題考查了向量共線的判定、基底的定義，屬于基礎題，熟練掌握平面向量的基本定理是解題的關(guān)鍵.注意只有兩向量不共線才可以作為基底，判定各組向量是否共線即可.【答案】B【解析】由 A(1, 1),B(1,3) ,C(x,5)共線，且 AB=九 BC，可得(2,4)=九(x1,2),解得九= 2,x=2 .故選B.【名師點睛】本題考查向量共線的充要條件的應用，是對基礎知識的考查.解本題時，利用共線通過AB= 7lBC，得到方程，求出X,h即可.【答案】D【解析】由向量=得s = _A+3=(3_L_l

20、_2) = (43)，貝1+ mb = i| -8 + m,6 27n),向量用占與向量o 3平行,二(一1)(8 +加)一3(6 =0 p得？2 =2 ,故選D.【名師點睛】利用向量的位置關(guān)系求參數(shù)是出題的熱點，主要命題方式有兩個：(1)兩向量平行，利用 xy2 -X2y1 =0解答；(2)兩向量垂直，利用 x1x2 +y1y2 =0解答.【答案】C【解析】根據(jù)平面向量基本定理可知， 若平面上任意向量 c都可以唯一地表示為 c =，ua + Nb(九,N RR), 則向量a, b不共線，由a= (1,3), b = (m,2m3R|2m33m,解得m # 3 ,即實數(shù)m的取值 范圍是(-0,

21、-3 )U(-3, ).故選 C .【答案】A【解析】如圖，以 A為原點，以AB所在的直線為x軸，以AC所在的直線為y軸建立平面直角坐標系，則B點坐標為（1,0）, C點坐標為（0, 2）,因為/ DAB =60 ,所以可設D點坐標為（m, J3m）,則 AD = Z.AB + NAC =入 11, 0） +（0, 2） = （% 2 而? ?=m, = 3m， 22 3 所以一二.故選 A .3【名師點睛】本題主要考查平面向量的坐標表示，根據(jù)條件建立平面直角坐標系，分別寫出B、C點坐標，由于/ DAB=60。，可設D點坐標為（m, J3m）,再由平面向量坐標表示，即可求出入和改7 .【答案】

22、3出【解析】:響量”（風2附-1）, 3 = （L -2）,且o ,/. 4+25 = (1-6), |4期二附+(Y/二35 故答案為34一【名師點睛】本題考查兩個向量共線的性質(zhì)，兩個向量的線性運算以及向量模的計算，屬于基礎題6.【答案】-一一一 V .一. .1 一 T, 2T.1F【解析】設 AD =kAF k = 0 ,AD =AB BD = AB - AC - AB = - AB AE , TOC o 1-5 h z 3322rL -*2r ir即 kAF= AB+ AE , . . AF = AB + AE , 323k 2k,_ _ _21.7由F、B、E二點共線，得* =1解得

23、k =.3k 2k62 1 1 4 3 4T 2-4 . 2, 6 .AF= AB+ AE =AB+AE = AB+AC= .九+R= 3k 2k 7777777.【答案】(1) m=n = 1； (2) MN =(9,-18).【解析】（1）由題得a+b+c=0,a=bc,又b, c不共線，a =mb +nc,所以由平面向量的基本定理得mn = - 1.由題得 b = (6,4),c= (1,8 ),所以木刀荷二2b- 3-8 .【名師點睛】本題考查了平面向量的線性運算與坐標運算的問題，也考查了向量的相等問題以及解方程 組的應用問題，是基礎題.1 ,、一 21 一 5l 一 11L 6二/

24、皿一 DM =小一白，D.V = f一二。 733【解析】i）因為近7 =而,3*所以磁=嚴，所以CY =段C4+CB uCA + 黑二CAf - uCA-CM , 77 27因為三點、共線,猛刀京AM=CB AM = b 2 b-a =3T T 7 U,1T?,4二 11.6DN =DA - AN = CB - CN -CA = CB CA , CB -CA = b - - a .直通高考【解析】a +b =(4,m-2),由(a+b)，b得 4 M3+(m-2)M(-2) = 0 ,解得 m = 8 ,故選 D.【名師點睛】已知非零向量a =（為，刈），b = （x2,y2）:幾何表小坐標

25、表小模|a|= 4a aia=Jx2夾角cos 8 = a b |a| |b|x 十 yy2COSo =-=?J 22/22yx +y1+y2ab的充要條件a b = 0 x1x2+ yy2= 0.【答案】A【解析】如圖所示，建立平面直角坐標系設 A 0.1 ,B 0,0 ,C 2,0 ,D 2,1 ,P x,y , TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark63 o Current Document 2一 2易得圓的半徑r =/,即圓C的方程是（x-2）= (x, y-1 ), AB = (0,-1 ),AD=(2,0 ),若，t足 Ap=AB + aD , HYPERLINK l bookmark164 o Current Document x = 2 1xx則士, R = _，九=1y ,所以九