電磁學(xué)穩(wěn)恒磁場(chǎng)

1、第二篇電磁學(xué)第二章穩(wěn)恒磁場(chǎng)2-9如圖所示，在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的均勻磁場(chǎng)中，有一半徑為R的半球面，B與 半球面的軸線夾角為a 0求通過(guò)該半球面的磁通量。解 半球面與其底面構(gòu)成一個(gè)閉合曲面，通過(guò)此閉合曲面的磁通量 6等于通過(guò)半 球面的磁通量 句與通過(guò)底面的磁通量 的之和：。二% + %根據(jù)磁場(chǎng)的高斯定理可知，。:0 ,因此心二一心二-| B-dS = - BcosadS因?yàn)槭蔷鶆虼艌?chǎng)，底面又是平面，所以 E和1是常量,B cos adS = -BScos a - -tlR2Bcos a2-10電流為I均勻地通過(guò)半徑為R的圓柱形長(zhǎng)直導(dǎo)線，試計(jì)算單位長(zhǎng)度導(dǎo)線通過(guò) 圖中所示剖面的磁通量。解 圍繞軸線取同心

2、圓環(huán)路L,使其繞向與電流成右手螺旋關(guān)系，根據(jù)安培環(huán)路 定理可求得導(dǎo)線內(nèi)部距軸線r處的磁感應(yīng)強(qiáng)度f(wàn)/. flDfra，B .磯= B.2b = /。和門箕在距離軸線r處的剖面上取寬度為dr的很窄的面元由二曲，該面元上各點(diǎn)的B 相同，由磁通量的定義可知穿過(guò)該面元的磁通量為d = Bds = ldr所以單位長(zhǎng)度的磁通量為2-11已知10mm2裸銅導(dǎo)線允許通過(guò)50A電流而不導(dǎo)致導(dǎo)線過(guò)熱，電流在導(dǎo)線橫 截面上均勻分布。求導(dǎo)線內(nèi)、外磁感應(yīng)強(qiáng)度的分布。解 銅線可視作長(zhǎng)直圓柱體，電流沿導(dǎo)線軸向流過(guò)且均勻分布在導(dǎo)線橫截面上，其磁場(chǎng)具有軸對(duì)稱性。由安培環(huán)路定理可以求出磁場(chǎng)的分布。載流長(zhǎng)直銅線激發(fā)的磁場(chǎng)，磁感線是圍

3、繞銅線軸線的一組同心圓，取半徑為r的磁感線作積分環(huán)路L,應(yīng)用安培環(huán)路定理得，B -dl = B 2ir=當(dāng)則/r3 的卜&必=帆下8=點(diǎn)當(dāng)時(shí)，現(xiàn)二I，則2nr2-12如圖所示一同軸電纜兩導(dǎo)體中的電流均為 I,但電流的流向相反，導(dǎo)體的磁性可不考慮。試計(jì)算以下各處的磁感應(yīng)強(qiáng)度:(1) rR; (2) RrR2; (3) R2r+ 0.5, )丁的均勻磁場(chǎng)中，當(dāng)電子速度為v=5m106 jm/s時(shí)，求電子所受的磁場(chǎng)力。解 F J 二二fjft,-16 X 10-w05xlOfi0=L6xlO-13fcNQ20.50,2-17 一電子在B=2. O id T勺均勻磁場(chǎng)中作沿半徑為R = 2cm、螺距為

4、d =5. 0cm勺螺旋線運(yùn)動(dòng)，求電子的速度。解電子的螺線運(yùn)動(dòng)可分解為速度為4的沿軸線的勻速直線運(yùn)動(dòng)和速率為lTi的 垂直于軸線的平面上的勻速圓周運(yùn)動(dòng)電子速度垂直于磁場(chǎng)的分量 _ 1-_三則,eBRs .Ti = = 7,0 x 1。%，s-*電子速度平行于磁場(chǎng)的分量V可根據(jù)螺距的公式求得2wi則,eBk1=- = 2,8xlOfiins-1 1 2tt 譏于是，電子的運(yùn)動(dòng)速率為=J t+pf= 7_57 * 1 / e 喜v的方向與軸線的夾角W滿足2出！ =25甲= 68*17,2-18如圖所示，一根無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線通有電流Ii=30A ,矩形線圈通有電流I2=20A。試計(jì)算矩形線圈所受的磁場(chǎng)力

5、。(其中a = 1.0cm, b = 8,0cm , l = 12.0cm )解 矩形線圈上，下兩邊所受磁場(chǎng)力大小相等，方向相反，互相抵消。所以矩形線圈所受磁場(chǎng)力就是其左側(cè)邊及其右側(cè)邊所受磁場(chǎng)力的合力。而線圈左邊所受的安培力場(chǎng)向左，線圈右邊所受安培力 片向右，且有2md + &)所以，矩形線圈所受磁場(chǎng)力的大小為2ir(tf + b)i = L28xlO-aN且磁場(chǎng)力的方向向左，指向直導(dǎo)線。2-19 一矩形線圈載有電流0.10A ,線圈邊長(zhǎng)分別為d=0.05m、b=0.10m ,線圈平面與xy平面成角日=30,線圈可繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示。今加上B=0.50T的均勻 磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向沿X軸，求線圈所

6、受到的磁力矩。解1載流線圈在均勻磁場(chǎng)中所受磁力矩為其中口為線圈平面法線與磁感應(yīng)強(qiáng)度 b之間的夾角，由題意可知s仇也二？俗8,則U 二臍dm a 二 Bdb cos 6- 2,165 X104加方向沿y軸負(fù)向。解2根據(jù)安培定律，與y軸平行的b邊所受的磁場(chǎng)力為F二拗此力對(duì)線圈產(chǎn)生力矩（線圈其他邊所受磁力對(duì)力矩?zé)o貢獻(xiàn)），大小為M=Fd = Bfdb sos 8 = 217 xlON-m方向沿y軸負(fù)向。2-20 一平面線圈電流為I ,匝數(shù)為N、面積為S,將其放在磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B的 均勻磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向與線圈磁矩的方向一致。 若將線圈翻轉(zhuǎn)180 ,求外力 需要作的功解作用于載流線圈的磁力矩為M

7、= 詵 8 二 N1SB 受當(dāng)線圈轉(zhuǎn)過(guò)d（j角度時(shí)，磁力矩所作的元功為二川胡二-N說(shuō)部刪磁通量為至二 ESss6線圈轉(zhuǎn)過(guò)的角度時(shí)，磁通量的改變?yōu)槎?ESs摭8 d8,與加相比較，得當(dāng)線圈磁矩與B的夾角由肉增至4 ,穿過(guò)線圈的磁通量從ml變?yōu)?。而時(shí)，其 問(wèn)磁力矩所做的功W為IV = f dlV = Wf f mld*m =力儂-中出）=2MB5 ,J * EZ2-21利用霍爾元件可以測(cè)量磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度， 設(shè)一霍爾元件用金屬材料制成， 其厚度為0.15mm ,載流子數(shù)密度為1024m,，將霍爾元件放入待測(cè)磁場(chǎng)中，測(cè)得霍爾 電壓為42 mV ,測(cè)得電流為10mA。求此時(shí)待測(cè)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解霍爾

8、電壓的經(jīng)驗(yàn)公式是IB從理論上可以證明因此nqdUH將題中數(shù)據(jù)帶入，并令q = L可得5=0112-22載流子濃度是半導(dǎo)體材料的重要參數(shù)，工藝上通過(guò)控制三價(jià)或五價(jià)摻雜原 子的濃度，來(lái)控制p型半導(dǎo)體或n型半導(dǎo)體的載流子。利用霍爾效應(yīng)可以測(cè)量載流子 的濃度和半導(dǎo)體類型。如圖所示一塊半導(dǎo)體材料樣品，均勻磁場(chǎng)垂直于樣品表面，樣 品中通過(guò)的電流為I ,現(xiàn)測(cè)得霍爾電壓為UH o證明樣品載流子濃度為：n= IB 。edUH解 假定半導(dǎo)體是n型的，載流子是電荷為e的正電荷，它的速度v的方向與電 流方向相同。當(dāng)樣品內(nèi)有垂直于電流方向的磁場(chǎng)時(shí)， 載流子受到如圖所示方向的洛倫 茲力，其大小為在這力的作用下，樣品中空穴

9、分布不再均勻：在前表面附近濃度增大，而使前表面帶 正電；在后表面附近濃度減小，而使后表面帶負(fù)電，在出現(xiàn)這種情況的同時(shí)，樣品內(nèi) 必然會(huì)出現(xiàn)如圖所示的靜電場(chǎng)。電場(chǎng)強(qiáng)度E隨著樣品前后兩表面附近空穴濃度差別越 來(lái)越大而變得越來(lái)越強(qiáng)。顯然，當(dāng)出現(xiàn)電場(chǎng)時(shí)，空穴也會(huì)受到電場(chǎng)力與作用，而這個(gè)作用力的方向是與 及方向相反的。及是個(gè)包力，1隨著電場(chǎng)增強(qiáng)而增強(qiáng)，因此一 定會(huì)出現(xiàn)匕二%這種情況。自此以后，空穴濃度分布穩(wěn)定了?？昭ㄊ艿降碾妶?chǎng)力和 磁場(chǎng)力保持平衡，即在樣品前后兩表面分別帶有正、負(fù)電荷，兩表面之間就出現(xiàn)電壓，這就是霍爾電 壓為。其大小為UEb = 翎b設(shè)樣品內(nèi)空穴濃度為n,樣品垂直于電流方向的截面積為 S

10、,則電流1 二帆S 二 nevbd將此方程代入U(xiǎn)H=Eb = vBb可得由此可得IB edUH2-23如圖所示，半徑為R的圓片均勻帶電，電荷面密度為。，令圓片以角速度o 繞通過(guò)其中心且垂直于圓平面的軸轉(zhuǎn)動(dòng)。 求軸線上距圓片中心為x處P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng) 度和旋轉(zhuǎn)圓片的磁矩。解 旋轉(zhuǎn)帶電圓片可等效為一組同心圓電流。 在圓片上離開圓心r處取一寬度為 。的圓環(huán)，環(huán)上所帶等效電流為。 2irrdrdi =-=的）rdiT圓電流dl在圓片軸線上P點(diǎn)激發(fā)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為gD r3cEZdB 二件一厘+某苧整個(gè)旋轉(zhuǎn)帶電圓片在其軸線上 p點(diǎn)激發(fā)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為斯加汩r2 sZ（T2 +x2）5即R2 + 2x2F-2x

11、2 Vfla+xE圓片的磁矩為2-24如圖所示，一根長(zhǎng)直同軸電纜，內(nèi)、外導(dǎo)體之間充滿磁介質(zhì)，磁介質(zhì)的相 對(duì)磁導(dǎo)率為W ,導(dǎo)體的磁化可以略去不計(jì)。電纜沿軸向有恒定電流I通過(guò)，內(nèi)外導(dǎo)體 上電流的方向相反。求空間各區(qū)域內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解 電流分布呈軸對(duì)稱，依照右手螺旋定則，磁感線是以電纜軸線為中心的一組 同心圓。選取任一半徑為r的同心圓為積分路徑L,應(yīng)用磁介質(zhì)中的安培環(huán)路定理F H dI = H-2iir = Vl當(dāng)T咽時(shí)，即=今射雪 叫 鼠;三，所以小加=無(wú)Ht= 忽略導(dǎo)體的磁化（即導(dǎo)體的相對(duì)磁導(dǎo)率 “ = 1）,有瓦二即坨=曰*/TUT*當(dāng)&r也時(shí)，二1,所以H2 1 2nr = / %=-一1

12、3 2亞填充的磁介質(zhì)的相對(duì)磁導(dǎo)率為距,有當(dāng)&r&時(shí)，二，一痂滬（八一媳,所以%2而=1 一礙近7f 一磴為=石谷同樣忽略導(dǎo)體的磁化（*二1）,有g(shù)D/夠一產(chǎn)當(dāng)F用時(shí),門二所以心211r = 0九=0 比= 02-25環(huán)形螺線管共包含500匝線圈，平均周長(zhǎng)為50cm ,當(dāng)線圈中的電流為2.0A 時(shí)，用沖擊電流計(jì)測(cè)得介質(zhì)內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 2.0T,求：(1)待測(cè)材料的相對(duì)磁導(dǎo) 率匕；(2)磁化電流面密度上。解 (1) TOC o 1-5 h z 冊(cè) 500 x2 ,H=nl = - A/m = 2 000 A/m jL Un OB2.0u- = =：= 796gDH 4ttx 10? x2xl(J(2)由于磁化面電流產(chǎn)生的