線段的和差倍分問題的證明2017

1、線段的和差倍分問題的證明、運用定理法即直接或間接運用某些涉及線段和差倍分關(guān)系的定理或推論進行證明。此類 定理和推論有：三角形中位線定理；梯形中位線定理；直角三角形 30的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半例 1 如圖，在 ABC中，/ B=2/ C, ACLBC于D, M為BC中點.1求證：DM= 1AB2對應(yīng)練習(xí)1、已知：如圖所示，點 D E分別是等邊 ABC的邊AG BC上的點，AD=CE BD AE交于1 點 P, BQ AE 于 Q.求證：PQ 1PB.22、如圖所示，在 ABC中，AB=AC BAC 90 , BE平分1于E點，求證：CE 1BD .

2、21 一八3、如圖所不，在 ABC中，AB - BC , D是BC的中點，M是BD的中點.求證：AC=2AM24、已知：如圖所示，D是 ABC的邊BC上一點，且CD=AB 的中線.求證：AC=2AE5、已知：如圖所示，銳角 ABC中，B 2 C,BE是角平分線，AD BE ,垂足是D.求證：AC=2BD、割補線段法這是證明線段的和差倍分問題的一種重要方法。即通過“分割”或“添補”的形式，在相關(guān)線段或其延長線上構(gòu)造一線段， 使之能夠表示幾條線段的和差倍 分關(guān)系，從而將多線段問題轉(zhuǎn)化為兩線段問題。在證明線段的和差倍分關(guān)系時， 往往通過添輔助線，構(gòu)造出能表示線段的和差倍分關(guān)系的線段， 促使問題的轉(zhuǎn)化

3、0 但在添加輔助線之前一定要結(jié)合題意和圖形深入分析，想一想，圖形中是否已經(jīng)存在能表示有關(guān)線段和差倍分關(guān)系的線段，否則亂添加輔助線只能把圖形復(fù)雜 化，使思路步人歧途。下面請看一個例子。例2、P是正方形ABCD勺邊BC上的任意一點，AQF分/ PAD求證：AP=BF+DQ例3、如圖， ABC中，/BAC=90 , AE是經(jīng)過點A的一條直線，交BC于F,且B、C在AE在的異側(cè)，BDLAE于D, CELAE于E,求證：DB=DE+CE。對應(yīng)練習(xí)A 60 , BD CE分別平分 ABC 和 ACB , BQ CE交1、如圖所示，已知 ABC中, 于點O.求證：BE+CD=BC2、如圖所示，已知 ABC中

4、， A 2 B, CD是 ACB的平分線，求證：BC=AC+AD3、如圖所示，若E為正方形ABC曲邊BC上一點，AF為 DAE的平分線，AF與CD相交于F 點.求證：AE=BE+DF4、如圖所示，等邊 ABC和等邊 BDE，點A在DE的延長線上，求證： BD+DC=AD三、比例線段法即找出與所證明有關(guān)的比例式，通過對比例式進行變形或重新組合， 從而得 出線段之間的和差倍分關(guān)系。例5如圖，在 ABC中，BD是/B的平分線，4ABD的外接園交BC于E,1若 AB= AC, 2求證：CE=2AD證明線段的和差倍分問題作業(yè)1、如圖所示，在等腰三角形ABC中，P是底邊BC上的任意一點.（1）求證：P點到

5、兩腰的距離之和等于腰上的高.（2）若P點在BC的延長線上，那么點 P到兩腰的距離與腰上的高三者之間存在什么關(guān)系?2、如圖所示，等腰三角形 ABC中，AB=AC A 108 , BD平分 ABC .求證：BC=AB+DC3、如圖所示，已知ABC是等腰三角形，AB=AC交于H,求證：AH=2BDBAC 45 , AD和CE是高，它們相線段的和差倍分問題的證明、運用定理法即直接或間接運用某些涉及線段和差倍分關(guān)系的定理或推論進行證明。此類 定理和推論有：三角形中位線定理；梯形中位線定理；直角三角形 30的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半例 1 如圖，在 ABC中，/

6、 B=2/ C, ACLBC于D, M為BC中點. 一求證：DM= AB1分析：如圖，因為AB等于4ABC的 2中位線NMB長，所以原命題就轉(zhuǎn)化為證明 DM= NM=DN為RtzXADC斗邊上的中 線，. .DKNC . ./2=/&又/2/0/&/1=/ 2+/ 3, . ./2=/ 3=/ C , . . DM:MN 問題得證。說明：證明線段的和差倍分問題，大都是采取間接的方法進行，即把線段的和差倍分問題轉(zhuǎn)化為證明兩條線段相等的問題?！稗D(zhuǎn)化”是證明線段的和差倍分 問題的指導(dǎo)思想，它通過對原問題進行變形，促使矛盾的轉(zhuǎn)移，從而達到化未知為已知，化難為易，化繁為簡的目的，一般說來，運用定理法證明

7、線段的和差倍分問題，就是根據(jù)有關(guān)定理將原命題轉(zhuǎn)化后再證明。1、已知：如圖所示，點 D E分別是等邊 ABC的邊AG BC上的點，AD=CE BD AE交于1點 P, BQ AE 于 Q.求證：PQ 1PB.22、已知：如圖所示，在 ABC中，AB=AC A 120 , AB的垂直平分線 MN分別交BCAB于點 M N.求證：CM=2BM1 一能力挑戰(zhàn)1、如圖所不，在ABC中，AB - BC , D是BC的中點，M是BD的中點.求證:AC=2AM能力挑戰(zhàn)2、已知：如圖所示，在 ABC中，BD是AC邊上的中線，BH平分 CBD, AF BH ,分別交BD BH BC于E、G F.求證：2DE=CF

8、【經(jīng)典練習(xí)】1、如圖所示，已知 ABC中，12, AD=DB DCBD62、已知：如圖所示，D是 ABC的邊BC上一點，且CD=AB BDA 的中線.求證：AC=2AEBAD , AE是ABD3、已知：如圖所示，在E.求證：EB=3EAABC 中，AB=AC BAC 120 ,4、已知：如圖所示，在 ABC中，AB=AC BAC 120 ,P是BC上一點，且 BAP 90 .求 證：PB=2PCBAC 90 , BE平分5、已知：如圖所示，銳角 ABC中，B 2 C , BE是角平分線，AD BE ,垂足是D.求證：AC=2BD6、如圖所示，在 ABC中，ab=ac1于E點，求證：CE 1BD

9、 .2、割補線段法這是證明線段的和差倍分問題的一種重要方法。即通過“分割”或“添補”的形式，在相關(guān)線段或其延長線上構(gòu)造一線段， 使之能夠表示幾條線段的和差倍 分關(guān)系，從而將多線段問題轉(zhuǎn)化為兩線段問題。例 2 如圖，在 AAB, BD=FC, FG/DE/ BA D、F 在 BC上，E、G 在 AC 上.求證：FG=ABDE分析：本題的關(guān)鍵在于構(gòu)造一條線段，使之等于（ABDE，如圖，在AB上載取線 段AH=DE則ABDEBH從而把原命題轉(zhuǎn)化 為證明FG=BH的問題，進而通過證 BHD1FG。使原命題得證例3如圖，P是正方形ABCD勺邊BC上的任意一點，AQff分/PAD求證：AP=BPfDQ證明

10、：延長PB至E,使BE=DQ四邊形ABCM正方形，.BA=AD, /EBA=/QDA90.ABEzADQ . ./E=/4, / 3=/1,/1=/2, . ./3=/2, .PAR/BAR/4/ E=Z PAEPE=AP,既 BP+BE=AP,. bp+dqap說明：例2通過“分割”的形式構(gòu)造從兩條線段之差，例 3通過“添補”的 形式構(gòu)造從兩條線段之和，從而將原命題轉(zhuǎn)化為兩條線段的問題，值得注意的是：在運用“割補法”證明線段的和差倍分關(guān)系時，是運用“添補”的形式構(gòu)造線段 的“和”或“倍”，還是運用“分割”的形式構(gòu)造線段的“差”或“幾分之幾” 這不能取決于原命題的和差倍分形式。因為“和”與“差

11、”，“倍”與“分”是可 以互相轉(zhuǎn)化的。因此，我們在選擇割補的形式時要結(jié)合圖形和題目的已知條件， 即所割補的線段不是“孤立”的，而應(yīng)能夠與原來的圖形產(chǎn)生聯(lián)系。從以上三個例題可知，在證明線段的和差倍分關(guān)系時，往往通過添輔助線，構(gòu)造出能表示線段的和差倍分關(guān)系的線段， 促使問題的轉(zhuǎn)化。但在添加輔助線之 前一定要結(jié)合題意和圖形深入分析， 想一想，圖形中是否已經(jīng)存在能表示有關(guān)線 段和差倍分關(guān)系的線段，否則亂添加輔助線只能把圖形復(fù)雜化，使思路步人歧途。 下面請看一個例子。例4如圖，4ABC中，/ BAC=90 , AE是經(jīng)過點 A的一條直線，交 BC于F,且B、C在AE在的異側(cè)，BDLAE于D, CELAE

12、于E,求證：DB=DE+CE。能力挑戰(zhàn)1、如圖所示，在等月直角三角形ABC中，BAC 90 , AD=AE AF BE交BC于F,過點F作FG CD于M,交BE延長線于點 G 求證：BG=AF+FG能力挑戰(zhàn)2、如圖所示，在 ABC中，AB=AC a 100 , BE平分 ABC,求證：AE+BE=BC【練習(xí)】1、如圖所示，已知 ABC中,A 2 B, CD是 ACB的平分線，求證： BC=AC+A區(qū)2、如圖所示，若E為正方形ABC曲邊BC上一點，AF為DAE的平分線，AF與CD相交于F點.求證:AE=BE+DF3、如圖所示，已知 ABC和 ADE均為等邊三角形,B、G D在一直線上，求證：CE

13、=AC+CD4、如圖所示，已知在 ABC中,C 90 ,AC=BCAD是 BAC 的平分線，求證：AB=AC+CD105、如圖所示，等邊 ABC和等邊 BDE，點A在DE的延長線上，求證： BD+DC=AD三、比例線段法即找出與所證明有關(guān)的比例式，通過對比例式進行變形或重新組合， 從而得 出線段之間的和差倍分關(guān)系。例5如圖，在 ABC中，BD是/B的平分線，4ABD的外接園交BC于E,1若 AB= AC, 2求證：CE=2AQ分析與證：因為“C&2ALJ與AB=1AC的倍分關(guān)系一致，因此想辦法通過比例式將 2這些線段聯(lián)系起來，連接 DE則/CD=/ABC故CDPzCBA彳# CE DEACAB=2,又由BD為/ABC的平分線得DEAR所以CE AD=2,即CE=2AD運用定理法、割補法和比例線段法是證明線段的和差倍分問題常用的方法，它們的共同點是：通過變換，促使問題的轉(zhuǎn)化從而達到證明的目的。 鑒于幾何問 題的復(fù)雜多樣性，在證明線段的和差倍分問題時，不應(yīng)局限于這三種方法，而應(yīng) 積極開動腦筋，拓展思路，即能夠運用定勢思維進行思考， 又要防止定勢思維的 局限性。證明線段的和差倍分問題作業(yè)1、如圖所示，在等腰三角形 ABC中，P是底邊BC上的任意一點.（1）求證：P點到兩腰的距離之和等于腰上的高.（2）若P點在BC的延長線上，那么點 P到兩腰的距離與腰上的