十大模板方法解決所有排列組合問題

1、十大模板方法解決所有排列組合問題題型（一）至少變恰好（二）插空法（三）特殊元素優(yōu)先（四）捆綁法（五）不在問題的間接法（六）走街道問題（七）隔板法（八）回歸原始的方法（九）涂色（十）平均分堆與不平均分堆【題型方法歸納】（一）至少變恰好例1.某地區(qū)甲、乙、丙三所單位進(jìn)行招聘，其中甲單位招聘2名，乙單位招聘2名，丙單位招聘1名，并 且甲單位要至少招聘一名男生，現(xiàn)有3男3女參加三所單位的招聘，則不同的錄取方案種數(shù)為（）A. 36B. 72C. 108D. 144【答案】D【解析】根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析：單位甲在6人中任選2人招聘，要求至少招聘一名男生，有C2 -C2 = 12種情況，單位乙在剩下的4

2、人中任選2人招聘，有C2 = 6種情況，4單位丙在剩下的2人中任選1人招聘，有Ci = 2種情況，2則有12 x 6 x 2 = 144種不同的錄取方案；故選：D練習(xí)1. 2019年高考結(jié)束了，有5為同學(xué)（其中巴蜀、一中各2人，八中1人）高考發(fā)揮不好，為了實(shí)現(xiàn)“南 開夢”來到南開復(fù)讀，現(xiàn)在學(xué)校決定把他們分到1、2、3三個(gè)班，每個(gè)班至少分配1位同學(xué)，為了讓他們能更好 的融入新的班級，規(guī)定來自同一學(xué)校的同學(xué)不能分到同一個(gè)班，則不同的分配方案種數(shù)為（）A. 84B. 48C. 36D. 28【答案】A【解析】設(shè)這五人分別為A, B/ B2, q, C2，若A單獨(dú)為一組時(shí)，只要2種分組方法；若A組含有

3、兩人時(shí)，有 C;C;= 8種分組方法；若A組含有三人時(shí)，有C；C； = 4種分組情況；于是共有14種分組方法，所以分 配方案總數(shù)共有14* = 84，故選A.（二）插空法例2.電視臺在電視劇開播前連續(xù)播放6個(gè)不同的廣告，其中4個(gè)商業(yè)廣告2個(gè)公益廣告，現(xiàn)要求2個(gè)公益廣告不能連續(xù)播放，則不同的播放方式共有（）A. A； - A；B. C4 - C2C. A：-竺D. C： - C;【答案】A【解析】先排4個(gè)商業(yè)廣告，有A；種排法，然后利用插空法，4個(gè)商業(yè)廣告之間有5個(gè)空，插2個(gè)公益廣告，有A52種排法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，所以共有A4 . A；種排法.故選：A.練習(xí)1.某小區(qū)有排成一排的7個(gè)車位，現(xiàn)

4、有3輛不同型號的車需要停放，如果要求剩下的4個(gè)車位連在一 起，那么不同的停放方法的種數(shù)為（）A. 18B. 24C. 32D. 64【答案】B【解析】首先安排三輛車的位置，假設(shè)車位是從左到右一共7個(gè)，當(dāng)三輛車都在最左邊時(shí)，有車之間的一個(gè)排列A3當(dāng)左邊兩輛，最右邊一輛時(shí)，有車之間的一個(gè)排列A；當(dāng)左邊一輛，最右邊兩輛時(shí)，有車之間的一個(gè)排列A3當(dāng)最右邊三輛時(shí)，有車之間的一個(gè)排列A3總上可知，共有不同的排列法4 x a； =24種結(jié)果.所以選B（三）特殊元素優(yōu)先例4.某所大學(xué)在10月份舉行秋季越野接力賽，每個(gè)專業(yè)四人一組，其中計(jì)算機(jī)專業(yè)的甲、乙、丙、丁四 位大學(xué)生將代表本專業(yè)參加拉力賽，需要安排第一棒

5、到第四棒的順序，四個(gè)人去詢問教練的安排，教練對 甲說：“根據(jù)訓(xùn)練成績，你和乙都不適合跑最后一棒”；然后又對乙說：“你還不適合安排在第一棒”，僅從 教練回答的信息分析，要對這四名同學(xué)講行合理的比賽棒次安排，那么不同情形的種數(shù)共有（）A. 6B. 8C. 12D. 24【答案】B【解析】根據(jù)條件乙只能安排在第二棒或第三棒；若乙”安排在第二棒，此時(shí)有：C;A; = 4種，若“乙” 安排在第三棒，此時(shí)有：C;A; = 4種，則一共有：8種.故選：B.（四）捆綁法例4.為迎接雙流中學(xué)建校80周年校慶，雙流區(qū)政府計(jì)劃提升雙流中學(xué)辦學(xué)條件.區(qū)政府聯(lián)合雙流中學(xué)組成 工作組，與某建設(shè)公司計(jì)劃進(jìn)行6個(gè)重點(diǎn)項(xiàng)目的洽

6、談，考慮到工程時(shí)間緊迫的現(xiàn)狀，工作組對項(xiàng)目洽談的 順序提出了如下要求：重點(diǎn)項(xiàng)目甲必須排在前三位，且項(xiàng)目丙、丁必須排在一起，則這六個(gè)項(xiàng)目的不同安 排方案共有（）A. 240 種B. 188種C. 156種D. 120種【答案】D【解析】第一類：當(dāng)甲在第1位時(shí)，第一步，丙、丁捆綁成的整體有4種方法，第二步，丙、丁內(nèi)部排列用A2種方法，第三步，其他三人共A3種方法，共4A；A； = 4X2X6 = 48種方法；第二類：當(dāng)甲在第2位時(shí)，第一步，丙、丁捆綁成的整體有3種方法，后面兩步與第一類方法相同，共3A2A3 =3 X 2 X 6 =36種方法；第三類：當(dāng)甲在第3為時(shí)，與第二類相同，共36種方法；總

7、計(jì)，完成這件事的方法數(shù)為N = 48 + 36 + 36 = 120.故選D.練習(xí)1.某校迎新晚會上有6個(gè)節(jié)目，考慮整體效果，對節(jié)目演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前三位， 且節(jié)目丙、丁必須排在一起.則該校迎新晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有（）A. 120種B. 156種C. 188種D. 240 種【答案】A【解析】先考慮將丙、丁排在一起的排法種數(shù)，將丙、丁捆綁在一起，與其他四人形成五個(gè)元素，排法種數(shù)為售彎=2 x 120 = 240利用對稱性思想，節(jié)目甲放在前三位或后三位的排法種數(shù)是一樣的，240因此，該校迎新晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有刁一=120種，故選：A.（五）不在問題的間接法

8、 例5.某教師準(zhǔn)備對一天的五節(jié)課進(jìn)行課程安排，要求語文、數(shù)學(xué)、外語、物理、化學(xué)每科分別要排一節(jié)課， TOC o 1-5 h z 則數(shù)學(xué)不排第一節(jié)，物理不排最后一節(jié)的情況下，化學(xué)排第四節(jié)的概率是（）A.第B. -3C. 7D. 17 HYPERLINK l bookmark33 o Current Document 2013978【答案】C【解析】設(shè)事件A :數(shù)學(xué)不排第一節(jié)，物理不排最后一節(jié).設(shè)事件B :化學(xué)排第四節(jié).P（A）= *:） A8，P（AB）= A； + ：告55514P (AB) 7，故滿足條件的概率是由 =疝.故選C.A5P(A) 395練習(xí)1.某公司安排五名大學(xué)生從事A、B、C

9、、D四項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作至少安排一人且每人只能安排一項(xiàng)工作，A項(xiàng)工作僅安排一人，甲同學(xué)不能從事B項(xiàng)工作，則不同的分配方案的種數(shù)為()A. 96B. 120C. 132D. 240【答案】C【解析】若甲同學(xué)在A項(xiàng)工作，則剩余4人安排在B、C、D三項(xiàng)工作中，共有C3C2C2C1 = 36種若甲同學(xué)不在A項(xiàng)工作，則在C或D工作，共有C4Ci(Ci + CiCi + C2)= 96種所以共有36+96=132種，選C練習(xí)2.某次文藝匯演為，要將A，B，C, D，E，F(xiàn)這六個(gè)不同節(jié)目編排成節(jié)目單，如下表：序號123456節(jié)目如果A，B兩個(gè)節(jié)目要相鄰，且都不排在第3號位置，那么節(jié)目單上不同的排序方式有A.

10、192 種B. 144 種C. 96 種D. 72 種【答案】B【解析】由題意知A，B兩個(gè)節(jié)目要相鄰，且都不排在第3號位置，可以把這兩個(gè)元素看做一個(gè)，再讓他們兩個(gè)元素之間還有一個(gè)排列，A，B兩個(gè)節(jié)目可以排在1，2兩個(gè)位置，可以排在4，5兩個(gè)位置，可以排在5，6兩個(gè)位置，,這兩個(gè)元素共有：三種排法，其他四個(gè)元素要在剩下的四個(gè)位置全排列，.節(jié)目單上不同的排序方式有李二=二4故選：B.走街道問題例6.如圖，某城市中，M、N兩地有整齊的道路網(wǎng)，若規(guī)定只能向東或向北兩個(gè)方向沿途中路線前進(jìn)，則從M到N不同的走法共有()D. 25A. 10B. 13C. 15【答案】C【解析】因?yàn)橹荒芟驏|或向北兩個(gè)方向向北

11、走的路有5條，向東走的路有3條走路時(shí)向北走的路有5種結(jié)果，向東走的路有3種結(jié)果根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知共有3 x 5 = 15種結(jié)果，選C隔板法例7.設(shè)有n +1個(gè)不同顏色的球，放入n個(gè)不同的盒子中，要求每個(gè)盒子中至少有一個(gè)球，則不同的放法有 TOC o 1-5 h z ()A. (n +1)!種B. n.(n +1)!種C. - (n +1)!種 2【答案】DD.上n.(n +1)!種2 TOC o 1-5 h z - n,【解析】將兩個(gè)顏色的球捆綁在一起，再全排列得。2 n!=兀(n +1)!選D n+12練習(xí)1.將4個(gè)大小相同，顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個(gè)盒子里，使得放入每個(gè)盒子

12、里球 的個(gè)數(shù)不小于該盒子的編號，則不同的放球方法有()種.A. 7B. 10C. 14D. 20【答案】B【解析】根據(jù)題意，每個(gè)盒子里的球的個(gè)數(shù)不小于該盒子的編號，分析可得，1號盒子至少放一個(gè)，最多放2個(gè)小球，分情況討論：1號盒子中放1個(gè)球，其余3個(gè)放入2號盒子，有C41=4種方法；1號盒子中放2個(gè)球，其余2個(gè)放入2號盒子，有C42=6種方法；則不同的放球方法有4+6=10種，故選：B.（八）回歸原始的方法例8.某次演出共有6位演員參加，規(guī)定甲只能排在第一個(gè)或最后一個(gè)出場，乙和丙必須排在相鄰的順序 出場，請問不同的演出順序共有（）A. 24 種B. 144 種C. 48 種D. 96 種【答案

13、】D【解析】第一步，先安排甲有A1種方案；第二步，安排乙和丙有A2A1種方案；第三步，安排剩余的三個(gè) 22 4演員有A；種方案，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得共有A；人；a4A3 = 96種方案.故選D.練習(xí)1.如圖，下有七張卡片，現(xiàn)這樣組成一個(gè)三位數(shù)：甲從這七張卡片中隨機(jī)抽出一張，把卡片上的數(shù)字 寫在百位，然后把卡片放回；乙再從這七張卡片中隨機(jī)抽出一張，把卡片上的數(shù)字寫在十位，然后把卡片 放回；丙又從這七張卡片中隨機(jī)抽出一張，把卡片上的數(shù)字寫在個(gè)位，然后把卡片放回。則這樣組成的三 位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A. 21B. 48C. 64D. 81【答案】C【解析】第一步：甲從七張卡片中隨機(jī)抽出一張，抽到的不同取

14、值為1,2,3,4,共4種情況；第二步：乙從七張卡片中隨機(jī)抽出一張，抽到的不同取值為1,2,3,4，共4種情況；第三步：丙從七張卡片中隨機(jī)抽出一張，抽到的不同取值為1,2,3,4，共4種情況； 因此，這樣組成的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為4 x 4 x 4 = 64.故選C（九）涂色例9.現(xiàn)有5種不同的顏色，給四棱錐P-ABCD的五個(gè)頂點(diǎn)涂色，要求同一條棱上的兩個(gè)頂點(diǎn)顏色不能相 同，一共有（）種方法.A. 240B. 360C. 420D. 480【答案】C【解析】當(dāng)頂點(diǎn)A,C同色時(shí)，頂點(diǎn)P有5種顏色可供選擇，點(diǎn)A有4種顏色可供選擇，點(diǎn)B有3種顏色可 供選擇，此時(shí)C只能與A同色，1種顏色可選，點(diǎn)D就有3種顏

15、色可選，共有5x4x3x1x3 = 180種； 當(dāng)頂點(diǎn)A,C不同色時(shí)，頂點(diǎn)P有5種顏色可供選擇，點(diǎn)A有4種顏色可供選擇，點(diǎn)B有3種顏色可供選擇，此時(shí)C與A不同色，2種顏色可選，點(diǎn)D就有2種顏色可選，共有5x4x3x2x2 = 240種；綜上可得共有 180 + 240 = 420 種，故選 C.練習(xí)1. 一個(gè)正方形花圃，被分為5份A、B、C、D、E,種植紅、黃、藍(lán)、綠4種顏色不同的花，要求相 鄰兩部分種植不同顏色的花，則不同的種植方法有（）.A. 24 種B. 48 種C. 84 種D. 96 種【答案】D【解析】區(qū)域A、C、D兩兩相鄰，共有二二種不同的種植方法，當(dāng)區(qū)域E與區(qū)域A種植相同顏色的

16、花時(shí)，種植B、E有種不同的種植方法，當(dāng)區(qū)域E與區(qū)域A種植不同顏色的花時(shí)，種植B、E有2種不同的種植方法， .不同的種植方法有二：二：:種，故選：D練習(xí)2.如圖為我國數(shù)學(xué)家趙爽約3世紀(jì)初在為周髀算經(jīng)作注時(shí)驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏色給其中5個(gè)小區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，則-區(qū)域涂色不相同的概率為A.一B.-C. 一 nD.【答案】D【解析】D N提供5種顏色給其中5個(gè)小區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同， 根據(jù)題意，如圖，設(shè)5個(gè)區(qū)域依次為.至二三，分4步進(jìn)行分析：二，對于區(qū)域有5種顏色可選；二，對于區(qū)域掃與匚區(qū)域相鄰，有4種顏色可選；，；.

17、，對于區(qū)域三，與二三區(qū)域相鄰，有3種顏色可選；a，對于區(qū)域八，若與三顏色相同，.區(qū)域有3種顏色可選，若與-顏色不相同，甲區(qū)域有2種顏色可選，.區(qū)域有2種顏色可選，則區(qū)域二t有：2二-種選擇，則不同的涂色方案有-二二：種，其中，匚廠區(qū)域涂色不相同的情況有：二，對于區(qū)域，有5種顏色可選；:，對于區(qū)域三與區(qū)域相鄰，有4種顏色可選；三，對于區(qū)域三與二三區(qū)域相鄰，有2種顏色可選；：工，對于區(qū)域二，若與三顏色相同，.區(qū)域有2種顏色可選，若”與顏色不相同，”區(qū)域有2種顏色可選，. 區(qū)域有1種顏色可選， 則區(qū)域二三有：-;：= 土種選擇，不同的涂色方案有；4 ； J =二：種，區(qū)域涂色不相同的概率為，故選D.

18、P =一 r 43D7（十）平均分堆與不平均分堆例10.數(shù)術(shù)記遺是算經(jīng)十書中的一部，相傳是漢末徐岳（約公元2世紀(jì)）所著，該書主要記述了: 積算（即籌算）太乙、兩儀、三才、五行、八卦、九宮、運(yùn)籌、了知、成數(shù)、把頭、龜算、珠算計(jì)數(shù)14種 計(jì)算器械的使用方法某研究性學(xué)習(xí)小組3人分工搜集整理14種計(jì)算器械的相關(guān)資料，其中一人4種、另兩人每人5種計(jì)算器械，則不同的分配方法有（）A.C4 C5 C5A3141053A2B.C4 C5 C5A2141052A33C.C4 C5 C51410_5A22D. C4 C5 C514 10 5【答案】aC 4 C 5 C 5【解析】先將14種計(jì)算器械分為三組，方法數(shù)有14J0 5種，A22C4C5C5再排給3個(gè)人，方法數(shù)有14/ 5 X辮種，A232故選A.練習(xí)1.為了落實(shí)中央提出的精準(zhǔn)扶貧政策，永濟(jì)市人力資源和社會保障局派3人到開張鎮(zhèn)石橋村包扶5戶貧困戶，要求每戶都有且只有1人包扶，每人至少包扶1戶，則不同的包扶方案種數(shù)為（）A. 30B. 90C. 1