把握本質(zhì),有效建構(gòu)數(shù)學概念(共9頁)

1、PAGE PAGE 9把握(bw)本質(zhì)，有效建構(gòu)數(shù)學(shxu)概念基于(jy)“平均數(shù)”課例的分析與思考王雪帆 龍游西門小學內(nèi)容摘要】北師大版小學數(shù)學第六冊教材中，“平均數(shù)”以其別具一格的 “作為一種統(tǒng)計量(以往通常作為應用題教學)”這一全新的視角呈現(xiàn)。重點要解決三個問題：平均數(shù)產(chǎn)生的必要性；平均數(shù)概念的意義和計算；平均數(shù)在現(xiàn)實生活、工作中的運用。文章通過兩個不同的課例對“平均數(shù)”教學進行思考與分析：明確概念教學要提供給學生突出概念本質(zhì)特征的學習材料；概念的整個建構(gòu)過程要緊緊抓住概念的本質(zhì)特征，才能更好地幫助學生有效建構(gòu)數(shù)學概念?！娟P(guān)鍵詞】平均數(shù) 本質(zhì) 概念教學 思

2、考第一段的闡述欠精練。“平均數(shù)”作為一種統(tǒng)計量，本課時的教學目標是：了解平均數(shù)的意義，體會學習平均數(shù)的必要性，會求簡單數(shù)據(jù)的平均數(shù)（結(jié)果為整數(shù)）。本課時通常是讓學生通過“比總數(shù)”不公平的認知沖突中引出平均數(shù)的概念，體會到學習平均數(shù)的必要性。而在實際教學中，課堂往往演變成了求一些數(shù)據(jù)的平均數(shù)，淡化或忽略了平均數(shù)意義的理解。如何有效建構(gòu)平均數(shù)的概念呢？筆者試圖通過對兩個不同課例的深層剖析，明確概念教學要從概念的本質(zhì)入手，才能讓學生更好地建構(gòu)數(shù)學概念。第一次教學：1.創(chuàng)設情境三(1)班男女生投籃比賽成績統(tǒng)計圖：男生隊： 女生隊：圖形最好放在畫圖板上畫，以求美觀。1號 2號 3號 1號 2號 3號 4

3、號師：哪隊獲勝(hu shn)？你是怎么(zn me)比出來(ch li)的？生1：比總數(shù)，哪隊總數(shù)多哪隊就獲勝。男生隊：4+8+6=18（個）女生隊：4+3+9+4=20（個）所以女生隊獲勝。師：男生人數(shù)與女生人數(shù)不相等，比總數(shù)公平嗎？生2：不公平！應該比最多的投籃個數(shù)，哪隊最多哪隊獲勝。女生隊中有人投中9個是最多的，所以女生隊獲勝。生3：我認為讓男生隊再來一人，重新比,這樣才公平。生4：讓女生隊少一人，重新比也公平。師：人數(shù)不能再變了，男生隊就是3人，女生隊就是4人。怎么比才公平？（生茫然。）師：既然比總數(shù)不公平，應該比什么才公平呢？（還是沉默，過了一會兒，只有一兩位同學舉手。）生：可以求

4、出平均每人投籃的個數(shù)，再進行比較。師：對！應該比平均每人投籃的個數(shù)才公平。2求平均數(shù)師：你會求男生隊平均每人投籃的個數(shù)嗎？生1：先求出總數(shù)，再除以人數(shù)，就得到平均每人投籃個數(shù)。列式：（4+8+6）3=6（個）師：能說出算式的意思嗎？這個6就是4、8、6的平均數(shù)。（板書）師：還有其他方法能得到平均數(shù)嗎？（生沉默）師：不用計算的方法，你能找到平均數(shù)嗎？生：把2號同學的8個移2個到1號同學，大家都是6個了。（生演示移多補少的過程）師：把多的移給少的，這種方法叫做移多補少法。師：能求出女生隊的平均數(shù)嗎？生：（4+3+9+4）4=5（個）師：你還能用不同的方法嗎？（生演示移多補少的過程）3深化練習（略）

5、我的思考:“平均數(shù)”教學(jio xu)較為典型(dinxng)的思路：通過組織兩組人數(shù)不等的比賽，在學生初步體會到“比總數(shù)(zngsh)”不公平的前提下，自然過渡到“通過求出平均每人的數(shù)量，再作比較”的思路上來?！捌骄鶖?shù)”由此自然生成。此種教學思路優(yōu)點無疑是十分明顯的,尤其是從“比總數(shù)不公平”到“比平均數(shù)公平”的自然轉(zhuǎn)折，把平均數(shù)的來龍去脈刻畫得極為生動、細膩。但一直有幾個問題困擾著我。1.真的能自然順利生成平均數(shù)嗎？第一次教學中，教師創(chuàng)設了男女生人數(shù)不等的投籃比賽情境，引起了學生的熱鬧交流，學生先想到比總數(shù)來決定比賽的勝負，當明確比總數(shù)不公平時，學生想到增減人數(shù)的方法讓男女生人數(shù)相等，再進

6、行比較的方法；這些方法得到了大多數(shù)學生的贊同。教師只有通過多次啟發(fā)引導，再三強調(diào)人數(shù)不相等，也只有極個別的學生想到“比總數(shù)”不公平，只有“比平均數(shù)”才公平。問題出在哪兒呢？從本質(zhì)上來看，兒童的社會與文化生活與他們數(shù)學理解能力的發(fā)展是交織在一起的，數(shù)學教學應該盡量與學生的生活現(xiàn)實和經(jīng)驗相關(guān)聯(lián)起來。三年級學生所經(jīng)歷的比賽與活動都是簡單迅捷地就知道結(jié)果的，有些時候往往比總數(shù)就可以得到結(jié)果，有時增減人數(shù)就可以，這些都是學生的學習原型和生活經(jīng)歷。所以學生在解決數(shù)學問題時自然而然地運用自己的生活經(jīng)驗想到這幾種方法，并且得到大多數(shù)同學的認同?！氨绕骄鶖?shù)”對他們而言是非常陌生的，對于要“比平均數(shù)”公平他們更是

7、莫名其妙，不明白為什么“比平均數(shù)”就公平了。2.兩種計算方法的背后應強化什么？當統(tǒng)一了“比平均數(shù)”公平的做法后，學生首先想到的是借助以往的知識經(jīng)驗用“總數(shù)份數(shù)=平均數(shù)”這一方法計算出平均每人投籃個數(shù)，這對于理解了除法意義中的三年級學生來說輕易就能解決。雖然會計算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是重要的技能，但過早的讓學生計算平均數(shù)，妨礙了學生體會平均數(shù)在數(shù)據(jù)處理過程中的價值，強化了學生對“平均分”的認識和算法的理解，淡化了學生對平均數(shù)意義的理解?！捌骄帧迸c“平均數(shù)”雖然計算過程相同，但表示的是不同的意義。平均分強調(diào)的是除法運算的意義，解決的是“單位量”與“單位個數(shù)”的問題；而平均數(shù)則反應全部數(shù)據(jù)的整體水平，

8、目的是比較兩組數(shù)據(jù)的整體水平，強化統(tǒng)計學意義，數(shù)據(jù)的個數(shù)不同于前面所說的份數(shù)，是根據(jù)需要所選擇的“樣本”的個數(shù)。而通過動態(tài)的演示來呈現(xiàn)“移多補少”的過程，能為理解平均數(shù)表示的均勻水平提供感性支撐。通過“移多補少”求得平均數(shù)，強化平均數(shù)“勻乎”的產(chǎn)生過程，是對平均數(shù)能刻畫一組數(shù)據(jù)的整體水平的進一步直觀理解。所以，筆者認為“移多補少”是理解平均數(shù)意義的重點與關(guān)鍵，教學時應該首先讓學生從直觀上理解體驗“移多補少”，而不是先通過計算求平均數(shù)。3.學生真正(zhnzhng)理解平均數(shù)了嗎？事實上，“求出平均(pngjn)每人投籃個數(shù)”，對于三年級學生而言，其心理(xnl)活動的表征往往是“先求出總數(shù)，再

9、除以人數(shù)，就得到了平均每人投籃個數(shù)”。這個結(jié)果是平均分后得到的，至于運算后的結(jié)果為什么可以表示這組數(shù)據(jù)的整體水平，為什么這樣比就公平了？對此學生一頭霧水，思維十分模糊。并由此可見，僅僅從比較的維度無法揭示平均數(shù)的意義，無法讓學生理解平均數(shù)代表一組數(shù)據(jù)的整體水平，個中潛藏著學生難以跨越的認知障礙與思維斷點。如果能從平均數(shù)是“一組數(shù)據(jù)的代表”的角度來讓學生建立“平均數(shù)”的意義，以上問題就迎刃而解了，就有了第二次教學。第二次教學:1直覺體驗哪個數(shù)能代表他們一分鐘投籃個數(shù)？為什么？小強1分鐘投籃成績統(tǒng)計圖： 第1次 第2次 第3次師：要表示小強1分鐘投中的個數(shù)，你認為用哪個數(shù)比較合適？生（齊）：5師：

10、為什么？生：他每次都投中5個，用5表示小強1分鐘投中個數(shù)最合適了。師：為什么不是5+5+5=15（個）呢？生：我們要表示的1分鐘投中的個數(shù)，這里是3分鐘了。小林1分鐘投籃成績統(tǒng)計圖： 第1次 第2次 第3次師：現(xiàn)在(xinzi)要表示小林1分鐘投中的個數(shù)，你認為(rnwi)用哪個數(shù)比較(bjio)合適呢？為什么？生：4正好不多不少在中間，所以用4比較合適。師：有道理！還有其他的想法嗎？生：從第三次5個里面移1個到第一次3個里面，這樣三次都是4個了。所以用4代表小林1分鐘投中的個數(shù)比較合適。（師結(jié)合學生的交流，呈現(xiàn)移多補少的過程）師：數(shù)學上，像這樣從多的里面移一些補給少的，使每個數(shù)都一樣多。這一

11、過程就叫“移多補少”。小剛1分鐘投籃成績統(tǒng)計圖：第1次 第2次 第3次師：哪個數(shù)可以表示小剛1分鐘投中的個數(shù)呢？生：4師：為什么？生：從7個里面移出1個放到第一次，再移2個到第三次，這樣看起來三次都投中了4個。所以用4表示小剛1分鐘投中個數(shù)比較合適。（生演示移多補少的過程）師：你為什么要放1個到第一次呢？生：我以最少的第三次為標準，給了第三次1個后，發(fā)現(xiàn)第二次還比其它兩次多3個。所以給了第一次1個，一共給第三次2個。師：真是好辦法！先把第三次和第二次補成相同，再把多余的平均分。還有其他的方法嗎？師：你們都認為4能代表小剛1分鐘投中的個數(shù)，對嗎？既然這樣，4能代表小剛第一次投中的個數(shù)嗎？生：不能

12、。第1次是投中3個。師：4能代表小剛第二次第三次投中個數(shù)嗎？生：不能。第2次投中的是7個，第3次投中的是2個。師：既然4都不能代表這三次的投中個數(shù)，那么它究竟代表的是哪一次呢？生：4代表(dibio)的是小剛?cè)瓮吨械钠骄?。小結(jié)(xioji)：平均數(shù)代表的是一組數(shù)據(jù)的平均水平。2求平均數(shù)師：還有其他方法能知道(zh do)小剛一分鐘投籃的水平嗎？生：（3+7+2）3=4（個）師：誰看懂他的算法了嗎？生：先算總數(shù)，再除以人數(shù)，得到平均數(shù)。小結(jié)：無論是移多補少還是先合后分，目的只有一個使原來幾個不相同的數(shù)變得同樣多。這個同樣多的數(shù)，數(shù)學上就叫做這幾個數(shù)的平均數(shù)。師：4就是3、7、2的平均數(shù)。3

13、深化理解小方1分鐘投籃成績統(tǒng)計圖： 第1次 第2次 第3次 第4次師：你能估計小方的平均成績是幾個？生：4個師：為什么不估計小方的平均成績是6個呢？生：因為6個是最多的，它要移給少的。師：為什么不估計小方的平均成績是1個呢？生：因為1個是最少的，多的肯定會補給它。師；平均數(shù)代表的是一組數(shù)據(jù)的整體水平，不可能是這組數(shù)據(jù)中的最大數(shù)，也不可能是這組數(shù)據(jù)中的最小數(shù)，應該是。生：應該是在最大數(shù)和最小數(shù)之間。師：為什么小方的平均成績只有4個？原因在哪兒？生：因為第4次只投了1個，太少了，影響了他的平均成績。師：要是第4次能投幾個，小方的平均成績就是5個？生：5個師：要使平均成績發(fā)生變化，只要改變其中幾個數(shù)

14、就可以了？生：一個數(shù)。小結(jié)：平均數(shù)會隨著一個數(shù)據(jù)的變化而變化。這是平均數(shù)的一個重要(zhngyo)特點。4練習(linx)提升(tshng)（1）判斷下列說法是否正確？在聲樂比賽中，四位評委分別打分為85分、90分、88分、89分，這位選手平均得分為85分。（ ）籃球隊隊員平均身高200cm,就是說每個隊員身高都是200cm。（ ）小河平均水深110cm，小明身高130cm,他不會游泳，過河不會危險。（ ） (2)把表格填完整?！靶旅绫鄙賰焊枋执螵勝惓煽兘y(tǒng)計表：評委選手陳老師王老師李老師張老師平均分小強898596/？小林91949380？小方？95/9293（此題學生會有多種解題策略） （

15、3）生活中常見的平均數(shù)問題在剛剛結(jié)束的“青歌賽”中，某歌手得分分別是：93分、98分、95分、83分、92分、96分、94分，請計算她的平均得分。（93分）可歌手最后得分是94分，這是為什么呢？（去掉一個最高分和一個最低分）我的再思考:這次教學，執(zhí)教老師將學習平均數(shù)放在完整的統(tǒng)計活動中，在描述數(shù)據(jù)、進行整體水平對比的過程中深化“平均數(shù)是一種統(tǒng)計量”的本質(zhì)，實現(xiàn)從統(tǒng)計學的角度學習平均數(shù)。給了我很多的啟發(fā)。1學習材料的選擇有助于概念的理解。教師要深度研習教材，把握知識的來龍去脈；教師還要了解學生的認知發(fā)展規(guī)律和學習生活經(jīng)驗，課前對學生的了解和分析越充分，越能幫助教師對學習材料的合理選擇。概念教學的

16、核心是運用有效的學習材料豐富概念認識。在第二次教學中，由于教師選擇的幾組數(shù)據(jù)經(jīng)過精心設計，同時各組數(shù)據(jù)的呈現(xiàn)方式伴隨著教師的追問，使學生憑直覺體驗到“平均數(shù)”的代表性，幫助學生很好地理解了平均數(shù)的統(tǒng)計學意義。第二次教學(jio xu)中，教師有意(yuy)設計了“小強1分鐘三次(sn c)均投中5個”的特殊數(shù)據(jù)組，以此促進學生自然建立起“用5代表他的一般水平最合適”的心理傾向。這一學習材料的提供使學生清楚地知道“求總數(shù)”是不合情理的，進而在隨后的學習活動中學生能主動避開“求總數(shù)”的窠臼。接著引導學生努力尋找?guī)讉€數(shù)據(jù)的代表值，通過多次的移多補少呈現(xiàn)過程，使學生憑直覺體驗到平均數(shù)是一組數(shù)據(jù)的代表，

17、為平均數(shù)的意義建立奠定了堅實的基礎。在努力尋找每組數(shù)據(jù)代表性的同時，也自然地避開了學生過早進行計算求出平均數(shù)的做法。2.把握概念的本質(zhì)有助于概念的建構(gòu)。概念教學應該在層層遞進的學習過程中，逐步豐富和建構(gòu)對概念本質(zhì)意義的理解?！捌骄鶖?shù)”課例重點是體驗平均數(shù)的意義，理解平均數(shù)的本質(zhì)及性質(zhì)，不是用計算方法得出平均數(shù)。也正是因為學生在充分理解了平均數(shù)意義和本質(zhì)，才會有許多策略得到平均數(shù)，學生的思維才更敏捷更開放。概念教學的深化是理解概念的本質(zhì)和性質(zhì)。平均數(shù)有兩個讓學生能理解的重要性質(zhì)：一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)介于這組數(shù)據(jù)的最小值與最大值之間；一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)易受這組數(shù)據(jù)中每一個數(shù)據(jù)的影響。第二次教學中，學生多

18、次體驗了移多補少的過程，正是這多次直觀演示和體驗，使學生理解不可能是最大數(shù)，因為最大數(shù)要補給最小數(shù)，也不可能是最小數(shù)，因為最小數(shù)會有最大數(shù)移給它，最后平均數(shù)當然要比最大的小比最小的大了。小方的1分鐘投籃統(tǒng)計圖中出現(xiàn)了一個極端數(shù)據(jù)：第4次只投了1個。教師通過追問引導學生查找原因，并且找到解決問題的方法，可以在第4次投5個引起平均數(shù)變化。這一過程通過對某個數(shù)據(jù)的變化引起平均數(shù)的變化，讓學生能夠進一步理解平均數(shù)的敏感性：任何一個數(shù)據(jù)的風吹草動，都會使平均數(shù)發(fā)生變化。教師正是通過對平均數(shù)的這兩個性質(zhì)的理解，使學生能更好地理解平均數(shù)的本質(zhì)。通過這兩次課例的比較和分析，讓我們實實在在地感受到概念教學要提供給學生突出概念本質(zhì)特征的學習材料；概念的整個建構(gòu)過程要緊緊抓住概念的本質(zhì)特征，才能更好地幫助學生有效建構(gòu)數(shù)學概念?！緟⒖嘉墨I】1劉兼,孫曉天.數(shù)學課程標準解讀M.北京:北京師范大學出版社.2張齊華.我為什么重上“平均數(shù)”M.河南:河南教育報刊社.3劉加霞.概念為本的教學M.河南:河南教育報刊社.裴老